Képletek az abcd paralelogramma területének meghatározásához. Párhuzamos terület

4. feladat.

A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót.

Megoldás.

1. AO = 2√6.

2. Alkalmazza a szinusztételt az AOD háromszögre.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Válasz: 12.

5. feladat.

Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét!

Megoldás.

Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, az átlók és a paralelogramma kisebb szöge közötti szög pedig φ.

1. Számoljunk két különbözőt
területének módjait.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Az 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill.

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. A paralelogramma oldalainak és átlóinak arányát felhasználva felírjuk az egyenlőséget

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Készítsünk egy rendszert:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Szorozzuk meg a rendszer második egyenletét 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz.

Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24.

Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24.

Válasz: 24.

6. feladat.

A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 o. Keresse meg a paralelogramma területét.

Megoldás.

1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√ 2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját.

Ezt figyelembe vesszük<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

A d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk.

3. Van egy rendszerünk
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 d 2 √2 = 80 ill.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Jegyzet: Ebben és az előző feladatban sem szükséges a rendszert teljesen megoldani, előre látva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához.

Válasz: 10.

7. feladat.

A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét!

Megoldás.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Csináljunk behelyettesítést a képletben.

96 = 8 15 sin VAD-ot kapunk. Ezért sin VAD = 4/5.

2. Find cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ROSSZ = 1. cos 2 ROSSZ = 9/25.

A feladat feltétele szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A BD átló kisebb lesz, ha a BAD szög hegyes. Akkor mivel ROSSZ = 3/5.

3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Válasz: 145.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Az euklideszi geometriához hasonlóan a síkelmélet fő elemei a pont és az egyenes, így a paralelogramma a konvex négyszögek egyik kulcsfigurája. Belőle, mint a szálak egy labdából, a "téglalap", a "négyzet", a "rombusz" és más geometriai mennyiségek fogalmai folynak.

Kapcsolatban áll

A paralelogramma definíciója

konvex négyszög, szakaszokból áll, amelyek párja párhuzamos, a geometriában paralelogrammaként ismert.

Így néz ki egy klasszikus paralelogramma, az ABCD négyszög. Az oldalakat alapoknak (AB, BC, CD és AD) nevezzük, a tetszőleges csúcsból ennek a csúcsnak ellentétes oldalára húzott merőlegest magasságnak (BE és BF), az AC és BD egyeneseket pedig az átlóknak.

Figyelem! A négyzet, a rombusz és a téglalap a paralelogramma speciális esetei.

Oldalak és szögek: arány jellemzők

Összességében a legfontosabb tulajdonságok, maga a megnevezés határozza meg, azokat a tétel bizonyítja. Ezek a jellemzők a következők:

1. Az egymással szemben lévő oldalak páronként azonosak.
2. Az egymással ellentétes szögek páronként egyenlőek.

Bizonyítás: tekintsük ∆ABC és ∆ADC, amelyeket az ABCD négyszög AC egyenessel való osztásával kapunk. ∠BCA=∠CAD és ∠BAC=∠ACD, mivel az AC közös bennük (a BC||AD és AB||CD függőleges szögei). Ebből következik: ∆ABC = ∆ADC (a háromszögek egyenlőségének második kritériuma).

Az ∆ABC AB és BC szakaszai páronként megfelelnek az ∆ADC CD és AD egyeneseinek, ami azt jelenti, hogy azonosak: AB = CD, BC = AD. Így ∠B ∠D-nek felel meg, és egyenlők. Mivel ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, amelyek párban szintén azonosak, akkor ∠A = ∠C. Az ingatlan bizonyított.

A figura átlóinak jellemzői

Fő jellemzője ezek a paralelogramma egyenesek: a metszéspont kettévágja őket.

Bizonyítás: legyen m. E az ABCD ábra AC és BD átlóinak metszéspontja. Két arányos háromszöget alkotnak - ∆ABE és ∆CDE.

AB=CD, mivel ellentétesek. A vonalak és szekánsok szerint ∠ABE = ∠CDE és ∠BAE = ∠DCE.

Az egyenlőség második jele szerint ∆ABE = ∆CDE. Ez azt jelenti, hogy az ∆ABE és ∆CDE elemek a következők: AE = CE, BE = DE, és ráadásul az AC és BD arányos részei. Az ingatlan bizonyított.

A szomszédos sarkok jellemzői

A szomszédos oldalakon a szögek összege 180°, mivel a párhuzamos egyenesek és a szekáns ugyanazon az oldalán fekszenek. ABCD négyszög esetén:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Felező tulajdonságok:

1. , egyik oldalra ejtve, merőlegesek;
2. az ellentétes csúcsoknak párhuzamos felezői vannak;
3. a felezővonal megrajzolásával kapott háromszög egyenlő szárú lesz.

A paralelogramma jellemző tulajdonságainak meghatározása a tétel segítségével

Ennek az ábrának a jellemzői a fő tételből következnek, amely így hangzik: négyszöget paralelogrammának tekintjük abban az esetben, ha átlói metszik egymást, és ez a pont egyenlő szegmensekre osztja őket.

Bizonyítás: Az ABCD négyszög AC és BD egyenesei metszik egymást t. E-ben. Mivel ∠AED = ∠BEC, és AE+CE=AC BE+DE=BD, akkor ∆AED = ∆BEC (a háromszögek egyenlőségének első jele szerint). Vagyis ∠EAD = ∠ECB. Ezek egyben az AD és BC vonalak AC szekánsának belső keresztezési szögei is. Így a párhuzamosság definíciója szerint - AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. A BC és CD sorok hasonló tulajdonságát is levezetjük. A tétel bizonyítást nyert.

Egy ábra területének kiszámítása

Ennek az ábrának a területe többféleképpen is megtalálható az egyik legegyszerűbb: megszorozzuk a magasságot és a bázist, amelyhez húzzuk.

Bizonyítás: Rajzoljon BE és CF merőlegeseket a B és C csúcsokból. ∆ABE és ∆DCF egyenlő, mivel AB = CD és BE = CF. Az ABCD egyenlő az EBCF téglalappal, mivel ezek is arányos számokból állnak: S ABE és S EBCD, valamint S DCF és S EBCD. Ebből következik, hogy ennek a geometriai alaknak a területe megegyezik egy téglalapéval:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

A paralelogramma területének általános képletének meghatározásához a magasságot jelöljük hb, és az oldalsó b. Illetőleg:

A terület megtalálásának egyéb módjai

Területszámítások a paralelogramma oldalain és a szögön keresztül, amelyet alkotnak, a második ismert módszer.

,

Spr-ma - terület;

a és b az oldalai

α - az a és b szakaszok közötti szög.

Ez a módszer gyakorlatilag az elsőn alapul, de abban az esetben, ha nem ismert. mindig levág egy derékszögű háromszöget, amelynek paramétereit trigonometrikus azonosságok találják meg, azaz. Az arányt átalakítva azt kapjuk, hogy . Az első módszer egyenletében a magasságot ezzel a szorzattal helyettesítjük, és bizonyítjuk ennek a képletnek az érvényességét.

Egy paralelogramma és egy szög átlóin keresztül, amelyeket metszésükkor létrehoznak, akkor a területet is megtalálhatja.

Bizonyítás: AC és BD metszéspontja négy háromszöget alkot: ABE, BEC, CDE és AED. Összegük egyenlő ennek a négyszögnek a területével.

Mindegyik ∆ területe megtalálható a kifejezésből, ahol a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Mivel , akkor a szinusz egyetlen értékét használjuk a számításokhoz. azaz Mivel AE+CE=AC= d 1 és BE+DE=BD= d 2 , a területképlet a következőre redukálódik:

.

Alkalmazás vektoralgebrában

E négyszög alkotórészeinek jellemzői alkalmazásra találtak a vektoralgebrában, nevezetesen: két vektor összeadása. A paralelogramma szabály azt mondja ki ha adott vektorokÉsnemkollineárisak, akkor összegük egyenlő lesz ennek az ábrának az átlójával, amelynek alapjai ezeknek a vektoroknak felelnek meg.

Bizonyítás: önkényesen választott kezdetből - vagyis. - vektorokat építünk és . Ezután készítünk egy OASV paralelogrammát, ahol az OA és OB szakaszok oldalak. Így az operációs rendszer a vektoron vagy az összegen fekszik.

Képletek a paralelogramma paramétereinek kiszámításához

A személyazonosságokat a következő feltételekkel adják meg:

1. a és b, α - oldalak és a köztük lévő szög;
2. d 1 és d 2, γ - átlók és metszéspontjuk;
3. h a és h b - az a és b oldalra süllyesztett magasságok;

Paraméter	Képlet
Oldalak megtalálása
az átlók és a köztük lévő szög koszinusza mentén
átlósan és oldalra
magasságon és ellentétes csúcson keresztül
Az átlók hosszának meghatározása
az oldalakon és a köztük lévő felső méretével

Geometriai terület- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
   Egy háromszög területe egyenlő egy háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. Egy háromszög területének képlete adott három oldallal és a körülírt kör sugarával
   
3. A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
2. A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
a négyzet oldalának hossza,
a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Téglalap terület egyenlő a két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
a téglalap oldalainak hossza.

A paralelogramma területének képletei

1. Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sinα

ahol S a paralelogramma területe,
a paralelogramma oldalainak hossza,
a paralelogramma magassága,
a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,
   

A paralelogramma olyan négyszög alakú alakzat, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak és páronként egyenlőek. Ellentétes szögei is egyenlőek, és a paralelogramma átlóinak metszéspontja kettéosztja őket, miközben az ábra szimmetriaközéppontja. A paralelogramma speciális esetei olyan geometriai formák, mint a négyzet, a téglalap és a rombusz. A paralelogramma területe többféleképpen megkereshető, attól függően, hogy milyen kiindulási adatokhoz társul a probléma megfogalmazása.

1. A legegyszerűbb esetben a paralelogramma területét az alapja és a magassága szorzataként határozzuk meg.
   

   S = DC ∙ óra

   
   

   ahol S a paralelogramma területe;
   a - alap;
   h az adott alaphoz húzott magasság.

   Ez a képlet nagyon könnyen érthető és megjegyezhető, ha megnézi a következő ábrát.

   

   Amint ezen a képen látható, ha a paralelogramma bal oldalán levágunk egy képzeletbeli háromszöget, és jobbra rögzítjük, akkor ennek eredményeként egy téglalapot kapunk. És mint tudod, a téglalap területét úgy találjuk meg, hogy megszorozzuk a hosszát a magasságával. Csak paralelogramma esetén a hossza lesz az alap, a téglalap magassága pedig az erre az oldalra süllyesztett paralelogramma magassága.

2. A paralelogramma területe úgy is meghatározható, hogy megszorozzuk két szomszédos alap hosszát és a köztük lévő szög szinuszát:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   ahol AD, AB szomszédos bázisok, amelyek a metszéspontot és a köztük lévő a szöget alkotják;
   α az AD és AB alapok közötti szög.

   

3. A paralelogramma területét úgy is meg lehet találni, hogy a paralelogramma átlóinak hosszának szorzatát elosztjuk a köztük lévő szög szinuszával.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   ahol AC, BD a paralelogramma átlói;
   β az átlók közötti szög.

   

4. Van egy képlet a paralelogramma területének meghatározására a beleírt kör sugara szerint. A következőképpen írják:

A „Get an A” videós kurzus tartalmazza az összes olyan témakört, amely a sikeres matematika vizsga 60-65 ponttal történő letételéhez szükséges. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem bírja.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből – a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásához.