Lekcija "Periodičnost funkcija y=sinx, y=cosx". Sinus (sin x) i kosinus (cos x) - svojstva, grafikoni, formule

>> Periodičnost funkcija y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodičnost funkcija y \u003d sin x, y \u003d cos x

U prethodnim odlomcima koristili smo sedam svojstava funkcije: domena, parna ili neparna, monotona, ograničena, najveća i najmanju vrijednost, kontinuitet, raspon funkcije. Ta svojstva smo koristili ili za konstruiranje grafa funkcije (kao što je, na primjer, u § 9), ili za čitanje konstruiranog grafa (kao što je, na primjer, u § 10). Sada je došlo povoljan trenutak uvesti još jedno (osmo) svojstvo funkcija, koje je savršeno vidljivo na gore konstruiranom grafikoni funkcije y \u003d sin x (vidi sliku 37), y = cos x (vidi sliku 41).

Definicija. Funkcija se naziva periodičnom ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz skupova dvostruki jednakost:

Broj T koji zadovoljava navedeno stanje, naziva se period funkcije y \u003d f (x).
Iz toga slijedi da su za bilo koji x jednakosti istinite:

tada su funkcije y \u003d sin x, y \u003d cos x periodične i broj 2 P služi kao razdoblje obiju funkcija.
Periodičnost funkcije je obećano osmo svojstvo funkcija.

Sada pogledajte graf funkcije y \u003d sin x (slika 37). Da bismo izgradili sinusoidu, dovoljno je izgraditi jedan od njegovih vala (na segmentu, a zatim pomaknuti ovaj val duž osi x za). Kao rezultat toga, koristeći jedan val, izgradit ćemo cijeli graf.

Pogledajmo s iste točke gledišta graf funkcije y \u003d cos x (slika 41). Vidimo da je i ovdje za crtanje grafa dovoljno prvo nacrtati jedan val (npr. na segmentu

A zatim ga pomaknite po x-osi
Sumirajući, donosimo sljedeći zaključak.

Ako funkcija y \u003d f (x) ima period T, tada da biste nacrtali graf funkcije, prvo morate nacrtati granu (val, dio) grafa na bilo kojem intervalu duljine T (najčešće uzimaju interval s krajevima u točkama, a zatim pomaknite ovu granu duž osi x udesno i ulijevo na T, 2T, ZT itd.
Periodična funkcija ima beskonačno mnogo perioda: ako je T period, tada je 2T period, a 3T je period, a -T je period; općenito, razdoblje je bilo koji broj oblika KT, gdje je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Obično, ako je moguće, pokušavaju izdvojiti najmanji pozitivni period, naziva se glavno razdoblje.
Dakle, bilo koji broj oblika 2pc, gdje je k = ± 1, ± 2, ± 3, period funkcija y = sinn x, y = cos x; 2p je glavni period obiju funkcija.

Primjer. Pronađite glavni period funkcije:

a) Neka je T glavni period funkcije y \u003d sin x. Stavimo

Da bi broj T bio period funkcije, mora vrijediti identitet Ho, budući da pričamo pri pronalaženju glavnog razdoblja, dobivamo
b) Neka je T glavni period funkcije y = cos 0,5x. Neka je f(x)=cos 0,5x. Tada je f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5 T).

Da bi broj T bio period funkcije, mora biti zadovoljen identitet cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Dakle, 0,5t = 2pp. Ali, budući da govorimo o pronalaženju glavne periode, dobivamo 0,5T = 2 l, T = 4l.

Generalizacija rezultata dobivenih u primjeru je sljedeća tvrdnja: glavni period funkcije

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća rasprava pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije

Centrirano u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutni trokut, jednak omjeru duljine suprotne noge |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= grijeh x i y= cos x periodično s točkom 2 pi.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Područje definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y= grijeh x	y= cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Uzlazni
Silazni
Maksimumi, y= 1
Minimum, y = - 1
Nule, y= 0
Točke presjeka s y-osi, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Sinusne i kosinusne formule za zbroj i razliku

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz u terminima tangente

; .

Za, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula > > >

Derivati n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus, odnosno arkkosinus.

Arcsin, arcsin

Arkosinus, arccos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

Uputa

Da biste pronašli period trigonometrijske funkcije podignute na stepen, procijenite parnost stepena. Smanjiti standardno razdoblje za polovicu. Na primjer, ako vam je dana funkcija y \u003d 3 cos ^ 2x, tada će se standardni period 2P smanjiti za 2 puta, tako da će period biti jednak P. Imajte na umu da su funkcije tg, ctg periodične do bilo kojeg stupnja P.

Ako vam je dana jednadžba koja sadrži ili je kvocijent dviju trigonometrijskih funkcija, prvo pronađite razdoblje za svaku od njih zasebno. Zatim pronađite minimalni broj koji bi odgovarao cijelom broju oba. Na primjer, s obzirom na funkciju y=tgx*cos5x. Za tangentu, period je P, za kosinus 5x, period je 2P/5. Minimalni broj koji može stati u oba ova razdoblja je 2P, tako da je potrebno razdoblje 2P.

Ako vam je teško djelovati na predloženi način ili sumnjate u odgovor, pokušajte djelovati po definiciji. Uzmimo T kao period funkcije, veći je od nule. Zamijenite izraz (x + T) u jednadžbu za x i riješite rezultirajuću jednakost kao da je T parametar ili broj. Kao rezultat toga, pronaći ćete vrijednost trigonometrijske funkcije i moći ćete odabrati minimalno razdoblje. Na primjer, kao rezultat pojednostavljenja, dobivate identitet sin (T / 2) \u003d 0. Minimalna vrijednost T na kojoj se izvodi je 2P, to će biti zadatak.

Izvori:

razdoblje grijeha

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti nakon nekog razdoblja različitog od nule. Period funkcije je broj čiji dodatak argumentu funkcije ne mijenja vrijednost funkcije.

Trebat će vam

Poznavanje elementarne matematike i počeci analize.

Uputa

Slični Videi

Bilješka

svi trigonometrijske funkcije su periodični, a svi polinomi sa stupnjem većim od 2 su aperiodični.

Koristan savjet

Period funkcije koja se sastoji od dvije periodične funkcije najmanji je zajednički višekratnik perioda tih funkcija.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe koje sadrže funkcije nepoznatog argumenta (na primjer: 5sinx-3cosx =7). Da biste ih naučili riješiti - morate znati neke metode za to.

Uputa

Dekompozicija jednadžbe na faktore. Prvo prenosimo sve pojmove ulijevo i faktoriziramo.

Važno je zapamtiti da parne i neparne funkcije imaju ravnu liniju s domenom funkcije. Ako je, na primjer, par neparna funkcija ne za x=5, onda ne postoji za x=-5, što se ne može reći za funkciju opći pogled. Prilikom utvrđivanja parnih i neparnih, obratite pozornost na domenu funkcije.

Ispitivanje funkcije parnog i neparnog pariteta korelira s pronalaženjem skupa vrijednosti funkcije. Da biste pronašli skup vrijednosti parne funkcije, dovoljno je razmotriti polovicu funkcije, desno ili lijevo od nule. Ako za x>0 parna funkcija y(x) ide od A do B, tada će imati iste vrijednosti za x<0.
Da biste pronašli skup vrijednosti koje uzima neparna funkcija, također je dovoljno razmotriti samo jednu funkciju. Ako za x>0 neparna funkcija y(x) uzima raspon vrijednosti od A do B, tada za x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrijskim" su se nekada počele nazivati funkcije koje su određene ovisnošću oštrih kutova u pravokutnom trokutu o duljinama njegovih stranica. Te funkcije uključuju, prije svega, sinus i kosinus, a drugo, sekans i kosekans, koji su inverzni tim funkcijama, njihove tangentne i kotangensne derivacije, kao i inverzne funkcije arcsin, arkkosinus, itd. To je ispravnije je govoriti ne o "rješenju" takvih funkcija, već o njihovom "izračunu", odnosno o pronalaženju brojčane vrijednosti.

Uputa

Ako je trigonometrijski argument nepoznat, tada se njegova vrijednost može izračunati neizravno na temelju definicija ovih funkcija. Da biste to učinili, morate znati duljine stranica trokuta, trigonometriju za jedan od kutova koje želite izračunati. Na primjer, sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljine kraka nasuprot ovom kutu i duljine hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je za kut dovoljno znati duljine ovih dviju stranica. Analogno kaže da je sinus oštrog kuta omjer duljine kraka koji se nalazi uz ovaj kut i duljine hipotenuze. Tangens oštrog kuta može se izračunati tako da se duljina suprotnog kraka podijeli s duljinom susjednog, a zahtijeva dijeljenje duljine susjednog kraka s duljinom suprotnog. Za izračunavanje sekansa oštrog kuta potrebno je pronaći omjer duljine hipotenuze i duljine kraka uz željeni kut, a kosekans je određen omjerom duljine hipotenuze i dužina suprotne noge.

Ako je argument trigonometrijske funkcije poznat, onda ne morate znati duljine stranica trokuta - možete koristiti tablice vrijednosti ili kalkulatore trigonometrijskih funkcija. Ovo je među standardnim programima operacijskog sustava Windows. Da biste ga pokrenuli, možete pritisnuti kombinaciju tipki Win + R, unijeti naredbu calc i kliknuti gumb U redu. U sučelju programa otvorite odjeljak "Prikaz" i stavku "Inženjering" ili "Znanstveno". Nakon toga možete unijeti argument trigonometrijske funkcije. Za izračunavanje funkcija sinus, kosinus, a nakon unosa vrijednosti, dovoljno je kliknuti na odgovarajući gumb sučelja (sin, cos, tg), te pronaći njihove inverze arksinusa, arkkosinusa, te prvo provjeriti Inv potvrdni okvir.

Postoje i alternativni načini. Jedan od njih je otići na stranicu tražilice Nigma ili Google i upisati željenu funkciju i njezin argument kao upit za pretraživanje (npr. sin 0,47). Ove tražilice imaju ugrađene kalkulatore pa ćete nakon slanja takvog zahtjeva dobiti vrijednost trigonometrijske funkcije koju ste unijeli.

Slični Videi

Trigonometrijske funkcije najprije su nastale kao alati za apstraktne matematičke proračune ovisnosti veličina oštrih kutova u pravokutnom trokutu o duljinama njegovih stranica. Sada se vrlo široko koriste u znanstvenim i tehničkim područjima ljudske djelatnosti. Za praktične izračune trigonometrijskih funkcija iz zadanih argumenata možete koristiti različite alate - nekoliko najpristupačnijih od njih opisano je u nastavku.

Uputa

Koristite, na primjer, program kalkulatora instaliran prema zadanim postavkama s operativnim sustavom. Otvara se odabirom stavke "Kalkulator" u mapi "Uslužni programi" iz pododjeljka "Standard", smještenog u odjeljku "Svi programi". Ovaj odjeljak se može otvoriti klikom na gumb "Start" na glavnom izborniku operacijske dvorane. Ako koristite verziju sustava Windows 7, možete jednostavno upisati "Kalkulator" u okvir "Traži programe i datoteke" na glavnom izborniku, a zatim kliknuti odgovarajuću vezu u rezultatima pretraživanja.

Unesite kut za koji želite izračunati trigonometrijsku funkciju, a zatim kliknite na odgovarajući gumb za to - sin, cos ili tan. Ako vas zanimaju inverzne trigonometrijske funkcije (arksinus, arkkosinus ili ), tada prvo kliknite gumb s oznakom Inv - on obrće funkcije dodijeljene kontrolnim gumbima.

U ranijim verzijama OS-a (na primjer, Windows XP), da biste pristupili trigonometrijskim funkcijama, otvorite odjeljak "Prikaz" u izborniku kalkulatora i odaberite redak "Inženjering". Osim toga, umjesto gumba Inv u sučelju starijih verzija programa nalazi se potvrdni okvir s istim natpisom.

Možete to učiniti bez kalkulatora ako imate pristup internetu. Na mreži postoji mnogo usluga koje nude različito organizirane kalkulatore trigonometrijskih funkcija. Jedan od najprikladnijih ugrađen je u tražilicu Nigma. Odlaskom na njegovu glavnu stranicu, jednostavno unesite vrijednost koja vas zanima u polje upita za pretraživanje - na primjer, " arktangent 30». Nakon što kliknete na "Pronađi!" tražilica će izračunati i pokazati rezultat izračuna - 0,482347907101025.

Slični Videi

Trigonometrija je grana matematike za proučavanje, koja izražava različite ovisnosti stranica pravokutnog trokuta o veličinama oštrih kutova u hipotenuzi. Takve funkcije nazivaju se trigonometrijskim, a radi pojednostavljenja rada s njima izvedene su trigonometrijske funkcije. identiteta.

koncept identiteta in znači jednakost, koja je zadovoljena za bilo koje vrijednosti argumenata funkcija uključenih u njega. Trigonometrijski identiteta- to su jednakosti trigonometrijskih funkcija, dokazano i prihvaćeno da olakšavaju rad s trigonometrijskim formulama.Trigonometrijska funkcija je elementarna funkcija ovisnosti jednog od krakova pravokutnog trokuta o veličini oštrog kuta na hipotenuzi . Postoji šest osnovnih trigonometrijskih funkcija koje se najčešće koriste: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangenta), ctg (kotangens), sec (sekant) i kosec (kosekans). Ove funkcije se također nazivaju izravnim

Svrha: generalizirati i sistematizirati znanja učenika o temi "Periodicitet funkcija"; formirati vještine primjene svojstava periodične funkcije, pronalaženja najmanjeg pozitivnog perioda funkcije, crtanja periodičnih funkcija; promicati interes za studij matematike; njegovati zapažanje, točnost.

Oprema: računalo, multimedijski projektor, kartice sa zadacima, dijapozitivi, satovi, ukrasni stolovi, elementi narodnog zanata

"Matematika je ono što ljudi koriste da kontroliraju prirodu i sebe"
A.N. Kolmogorov

Tijekom nastave

I. Organizacijska faza.

Provjera spremnosti učenika za nastavu. Prezentacija teme i ciljeva sata.

II. Provjera domaće zadaće.

Provjeravamo domaću zadaću prema uzorcima, raspravljamo o najtežim točkama.

III. Generalizacija i sistematizacija znanja.

1. Usmeni frontalni rad.

Pitanja teorije.

1) Oblikujte definiciju perioda funkcije
2) Koja je najmanja pozitivna razdoblja funkcija y=sin(x), y=cos(x)
3). Koja je najmanja pozitivna razdoblja funkcija y=tg(x), y=ctg(x)
4) Koristite krug da dokažete točnost odnosa:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako nacrtati periodičnu funkciju?

usmene vježbe.

1) Dokažite sljedeće odnose

a) sin (740º) = sin (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokažite da je kut od 540º jedan od perioda funkcije y= cos(2x)

3. Dokažite da je kut od 360º jedan od perioda funkcije y=tg(x)

4. Transformirajte ove izraze tako da kutovi uključeni u njih ne prelaze 90º u apsolutnoj vrijednosti.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Gdje ste se susreli s riječima PERIOD, PERIODIČNOST?

Odgovori učenika: Razdoblje u glazbi je konstrukcija u kojoj se iznosi više ili manje cjelovita glazbena misao. Geološko razdoblje dio je ere i podijeljeno je na epohe s razdobljem od 35 do 90 milijuna godina.

Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari. Periodični razlomak. Periodične publikacije su tiskane publikacije koje se pojavljuju na strogo određene datume. Periodični sustav Mendeljejeva.

6. Na slikama su prikazani dijelovi grafova periodičnih funkcija. Definirajte razdoblje funkcije. Odredite period funkcije.

Odgovor: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdje ste se u životu susreli s konstrukcijom ponavljajućih elemenata?

Učenici odgovaraju: Elementi ornamenta, narodna umjetnost.

IV. Kolektivno rješavanje problema.

(Rješavanje problema na slajdovima.)

Razmotrimo jedan od načina proučavanja funkcije za periodičnost.

Ova metoda zaobilazi poteškoće povezane s dokazivanjem da je jedan ili drugi period najmanji, a također nema potrebe doticati pitanja o aritmetičkim operacijama nad periodičnim funkcijama i o periodičnosti složene funkcije. Obrazloženje se temelji samo na definiciji periodične funkcije i na sljedećoj činjenici: ako je T period funkcije, tada je nT(n? 0) njezin period.

Zadatak 1. Pronađite najmanji pozitivni period funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rješenje: Pretpostavimo da je T-period ove funkcije. Tada je f(x+T)=f(x) za sve x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Neka dobijemo x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo da su sve periode razmatrane funkcije (ako postoje) među cijelim brojevima. Odaberite među tim brojevima najmanji pozitivan broj. Ovo je 1 . Provjerimo je li to zapravo mjesečnica 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Budući da je (T+1)=(T) za bilo koji T, tada je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 - točka f. Budući da je 1 najmanji od svih pozitivnih cijelih brojeva, tada je T=1.

Zadatak 2. Pokažite da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična i pronađite njenu glavnu period.

Zadatak 3. Nađite glavno razdoblje funkcije

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Pretpostavimo T-razdoblje funkcije, zatim za bilo koji x omjer

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ako je x=0 onda

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ako je x=-T, onda

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Zbrajanjem dobivamo:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Odaberimo od svih brojeva "sumnjivih" za razdoblje najmanji pozitivni i provjerimo je li to razdoblje za f. Ovaj broj

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Dakle, glavni je period funkcije f.

Zadatak 4. Provjerite je li funkcija f(x)=sin(x) periodična

Neka je T period funkcije f. Zatim za bilo koji x

sin|x+T|=sin|x|

Ako je x=0, tada sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Pretpostavimo. Da je za neki n broj π n točka

smatra se funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

To implicira da n mora biti i paran i neparan u isto vrijeme, što je nemoguće. Stoga ova funkcija nije periodična.

Zadatak 5. Provjerite je li funkcija periodična

f(x)=

Neka je T onda period f

, dakle sinT=0, T=π n, n € Z. Pretpostavimo da je za neki n broj π n doista period zadane funkcije. Tada će i broj 2π n biti točka

Kako su brojnici jednaki, tako su i njihovi nazivnici, dakle

Dakle, funkcija f nije periodična.

Grupni rad.

Zadaci za grupu 1.

Zadaci za grupu 2.

Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadaci za grupu 3.

Na kraju rada grupe iznose svoja rješenja.

VI. Sažimanje lekcije.

Odraz.

Nastavnik učenicima daje kartice s crtežima i nudi da dio prvog crteža prefarbaju u skladu s mjerom u kojoj su, kako im se čini, savladali metode proučavanja funkcije za periodičnost, a dio drugog crteža , u skladu s njihovim doprinosom radu na satu.

VII. Domaća zadaća

jedan). Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njezino glavno razdoblje (ako postoji)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima period T=2 i f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Pronađite vrijednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

Književnost/