Zbroj parnih i neparnih funkcija. Parne i neparne funkcije

Parnost i neparnost funkcije jedno su od njezinih glavnih svojstava, a parnost zauzima impresivan dio školskog predmeta matematike. U velikoj mjeri određuje prirodu ponašanja funkcije i uvelike olakšava konstrukciju odgovarajućeg grafa.

Definirajmo parnost funkcije. Općenito govoreći, proučavana funkcija se smatra čak i ako su za suprotne vrijednosti nezavisne varijable (x) koja se nalazi u njezinoj domeni definicije, odgovarajuće vrijednosti y (funkcija) jednake.

Dajmo rigorozniju definiciju. Razmotrimo neku funkciju f (x), koja je definirana u domeni D. To će biti čak i ako za bilo koju točku x koja se nalazi u domeni definicije:

• -x (suprotna točka) također leži u zadanom opsegu,

• f(-x) = f(x).

Iz gornje definicije slijedi uvjet neophodan za područje definicije takve funkcije, naime, simetrija u odnosu na točku O, koja je ishodište koordinata, jer ako je neka točka b sadržana u području definicije neke parna funkcija, tada odgovarajuća točka - b također leži u ovoj domeni. Iz navedenog, dakle, slijedi zaključak: parna funkcija ima oblik koji je simetričan u odnosu na ordinatnu os (Oy).

Kako u praksi odrediti parnost funkcije?

Neka se zada pomoću formule h(x)=11^x+11^(-x). Slijedeći algoritam koji izravno slijedi iz definicije, prije svega proučavamo njezino područje definicije. Očito je definiran za sve vrijednosti argumenta, odnosno, prvi uvjet je zadovoljen.

Sljedeći korak je zamjena argumenta (x) njegovom suprotnom vrijednošću (-x).
dobivamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Budući da zbrajanje zadovoljava komutativni (pomak) zakon, očito je da je h(-x) = h(x) i da je zadana funkcionalna ovisnost parna.

Provjerimo ravnomjernost funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Slijedeći isti algoritam, dobivamo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Uzimajući minus, kao rezultat, imamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stoga je h(x) neparan.

Usput, treba podsjetiti da postoje funkcije koje se ne mogu klasificirati prema ovim kriterijima, ne nazivaju se ni parnim ni neparnim.

Parne funkcije imaju niz zanimljivih svojstava:

• kao rezultat zbrajanja sličnih funkcija, dobiva se parna;
• kao rezultat oduzimanja takvih funkcija dobiva se paran;
• čak, također čak;
• kao rezultat množenja dvije takve funkcije, dobiva se parna;
• kao rezultat množenja neparnih i parnih funkcija dobiva se neparna;
• kao rezultat dijeljenja neparne i parne funkcije dobiva se neparna;
• derivacija takve funkcije je neparna;
• Ako kvadriramo neparnu funkciju, dobivamo parnu funkciju.

Parnost funkcije može se koristiti u rješavanju jednadžbi.

Za rješavanje jednadžbe kao što je g(x) = 0, gdje je lijeva strana jednadžbe parna funkcija, bit će dovoljno pronaći njezina rješenja za nenegativne vrijednosti varijable. Dobiveni korijeni jednadžbe moraju se kombinirati sa suprotnim brojevima. Jedan od njih podliježe provjeri.

Isti se uspješno koristi za rješavanje nestandardnih problema s parametrom.

Na primjer, postoji li neka vrijednost za parametar a koja bi učinila da jednadžba 2x^6-x^4-ax^2=1 ima tri korijena?

Ako uzmemo u obzir da varijabla ulazi u jednadžbu u parnim potencijama, onda je jasno da zamjena x s - x zadana jednadžba neće se promijeniti. Iz toga slijedi da ako je određeni broj njegov korijen, onda je i suprotni broj. Zaključak je očit: korijeni jednadžbe, osim nule, uključeni su u skup njezinih rješenja u "parovima".

Jasno je da sam broj 0 nije, odnosno da broj korijena takve jednadžbe može biti samo paran i, naravno, za bilo koju vrijednost parametra ne može imati tri korijena.

Ali broj korijena jednadžbe 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 može biti neparan, i to za bilo koju vrijednost parametra. Doista, lako je provjeriti da li je skup korijena zadana jednadžba sadrži rješenja u "parovima". Provjerimo je li 0 korijen. Kada ga zamijenimo u jednadžbu, dobivamo 2=2. Dakle, osim "sparenog" 0 je i korijen, što dokazuje njihov neparni broj.

Funkcija se naziva parna (neparna) ako je za bilo koji i jednakost

.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os
.

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer 6.2. Ispitajte parne ili neparne funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Odluka.

1) Funkcija je definirana sa
. Nađimo
.

Oni.
. Dakle, ova funkcija je parna.

2) Funkcija je definirana za

Oni.
. Dakle, ova funkcija je čudna.

3) funkcija je definirana za , t.j. za

,
. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to općom funkcijom.

3. Istraživanje funkcije monotonosti.

Funkcija
naziva se rastućim (opadajućim) na nekom intervalu ako u tom intervalu svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcije koje rastu (opadaju) na nekom intervalu nazivaju se monotonim.

Ako je funkcija
diferencibilan na intervalu
i ima pozitivnu (negativnu) derivaciju
, zatim funkcija
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.

Primjer 6.3. Naći intervale monotonosti funkcija

1)
; 3)
.

Odluka.

1) Ova je funkcija definirana na cijeloj brojevnoj osi. Nađimo izvedenicu.

Izvod je nula ako
i
. Područje definicije - numerička os, podijeljena točkama
,
za intervale. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.

U intervalu
derivacija je negativna, funkcija opada na tom intervalu.

U intervalu
derivacija je pozitivna, dakle, funkcija raste na ovom intervalu.

2) Ova funkcija je definirana ako
ili

.

U svakom intervalu određujemo predznak kvadratnog trinoma.

Dakle, opseg funkcije

Nađimo izvedenicu
,
, ako
, tj.
, ali
. Odredimo predznak derivacije u intervalima
.

U intervalu
derivacija je negativna, dakle, funkcija opada na intervalu
. U intervalu
derivacija je pozitivna, funkcija raste na intervalu
.

4. Istraživanje funkcije za ekstrem.

Točka
naziva se maksimalna (minimalna) točka funkcije
, ako postoji takvo susjedstvo točke to za svakoga
ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

.

Maksimalne i minimalne točke funkcije nazivaju se točke ekstrema.

Ako je funkcija
u točki ima ekstrem, onda je derivacija funkcije u ovoj točki jednaka nuli ili ne postoji (nužan uvjet za postojanje ekstrema).

Točke u kojima je derivacija jednaka nuli ili ne postoji nazivaju se kritične.

5. Dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema.

Pravilo 1. Ako tijekom prijelaza (s lijeva na desno) kroz kritičnu točku izvedenica
mijenja znak iz "+" u "-", a zatim u točki funkcija
ima maksimum; ako od "-" do "+", onda minimum; ako
ne mijenja predznak, onda nema ekstrema.

Pravilo 2. Neka u točki
prvi izvod funkcije
nula
, a drugi izvod postoji i različit je od nule. Ako je a
, onda je maksimalna točka, ako
, onda je minimalna točka funkcije.

Primjer 6.4 . Istražite maksimalne i minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Odluka.

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
.

Nađimo izvedenicu
i riješi jednadžbu
, tj.
.odavde
su kritične točke.

Odredimo predznak derivacije u intervalima,
.

Prilikom prolaska kroz točke
i
derivacija mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle, prema pravilu 1
su minimalne točke.

Prilikom prolaska kroz točku
izvedenica mijenja znak iz "+" u "-", dakle
je maksimalna točka.

,
.

2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu
. Nađimo izvedenicu
.

Rješavanjem jednadžbe
, pronaći
i
su kritične točke. Ako nazivnik
, tj.
, onda derivacija ne postoji. Tako,
je treća kritična točka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.

Dakle, funkcija ima minimum u točki
, maksimalno u točkama
i
.

3) Funkcija je definirana i kontinuirana ako
, tj. na
.

Nađimo izvedenicu

.

Nađimo kritične točke:

Susjedstva točaka
ne pripadaju domeni definicije, pa nisu ekstremni t. Dakle, istražimo kritične točke
i
.

4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvodnicu
.

Nađimo kritične točke:

Nađimo drugu izvedenicu
te odrediti njegov predznak u točkama

U točkama
funkcija ima minimum.

U točkama
funkcija ima maksimum.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formirati pojam parnih i neparnih funkcija, naučiti sposobnosti određivanja i korištenja tih svojstava kada istraživanje funkcije, ucrtavanje;
• razvijati kreativnu aktivnost učenika, logično mišljenje, sposobnost uspoređivanja, generalizacije;
• njegovati marljivost, matematičku kulturu; razviti komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna ploča, materijali.

Oblici rada: frontalni i grupni s elementima aktivnosti pretraživanja i istraživanja.

Izvori informacija:

1. Algebra razred 9 A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga zadataka.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.

2. Provjera domaće zadaće

Broj 10.17 (Zadatak 9. razred A.G. Mordkovich).

a) na = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 for x ~ 0,4
4. f(x) >0 u x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na najam = - 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje značajki?) Slajd.

2. Provjerimo tablicu koja vam je postavljena na slajdu.

Popunite tablicu
	Domena	Nule funkcije	Intervali postojanosti		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = -5, x = 2	h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ažuriranje znanja

– Zadane su funkcije.
– Odredite domenu definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Za koje su od zadanih funkcija u domeni definicije jednakosti f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (stavi podatke u tablicu) Slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafikoni	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		a nije definirana.

4. novi materijal

– Izvođenje ovaj posao, dečki, otkrili smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih - ovo je parna i neparna funkcija. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš je zadatak naučiti kako odrediti parne i neparne funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . Slajd

Def. jedan Funkcija na = f (x) definiran na skupu X zove se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X u tijeku jednakost f (–x) = f (x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X zove se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X ispunjena je jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo se susreli s pojmovima "parni" i "neparni"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koji su neparni? Zašto?
Za bilo koju funkciju obrasca na= x n, gdje n je cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna za n je neparan i funkcija je parna za n- čak.
– Funkcije pregleda na= i na = 2x– 3 nije ni paran ni neparan, jer jednakosti nisu zadovoljene f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Proučavanje pitanja je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanjem funkcije za paritet. Slajd

Definicije 1 i 2 bavile su se vrijednostima funkcije na x i - x, stoga se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na - x.

ODA 3. Ako je a skup brojeva zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element -x, zatim skup x naziva se simetričnim skupom.

primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su nesimetrični.

- Imaju li parne funkcije domenu definicije - simetričan skup? Oni čudni?
- Ako je D( f) je asimetričan skup, koja je onda funkcija?
– Dakle, ako je funkcija na = f(x) je paran ili neparan, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Ali je li obrnuta izjava istinita, ako je domena funkcije simetričan skup, onda je paran ili neparan?
- Dakle, prisutnost simetričnog skupa domene definicije je nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako možemo istražiti funkciju za paritet? Pokušajmo napisati algoritam.

Slajd

Algoritam za ispitivanje pariteta funkcije

1. Odredite je li domena funkcije simetrična. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, idite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–x).

3. Usporedite f(–x).i f(x):

• ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
• ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
• ako f(–x) ≠ f(x) i f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

primjeri:

Istražite funkciju za paritet a) na= x 5 +; b) na= ; u) na= .

Odluka.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + neparan.

b) y =,

na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, pa funkcija nije ni parna ni neparna.

u) f(x) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Ispitajte funkciju na paritet:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. Na sl. ucrtano na = f(x), za sve x, zadovoljavajući uvjet x? 0.
Iscrtajte funkciju na = f(x), ako na = f(x) je parna funkcija.

3. Na sl. ucrtano na = f(x), za sve x koje zadovoljava x? 0.
Iscrtajte funkciju na = f(x), ako na = f(x) je neparna funkcija.

Međusobna provjera slajd.

6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

*** (Dodjela opcije USE).

1. Neparna funkcija y \u003d f (x) definirana je na cijeloj realnoj liniji. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Pronađite vrijednost funkcije h( x) = at x = 3.

7. Sumiranje

Pretvorba grafikona.

Verbalni opis funkcije.

Grafički način.

Grafički način specificiranja funkcije je najilustrativniji i često se koristi u inženjerstvu. NA matematička analiza kao ilustracija je korišten grafički način postavljanja funkcija.

Grafikon funkcije f je skup svih točaka (x; y) koordinatne ravnine, gdje je y=f(x), a x "prolazi" kroz cijelu domenu zadane funkcije.

Podskup koordinatne ravnine je graf neke funkcije ako ima najviše jednu zajedničku točku s bilo kojom linijom paralelnom s osi Oy.

Primjer. Jesu li slike ispod grafikona funkcija?

prednost grafički zadatak je njegova vidljivost. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje raste, gdje se smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije.

Općenito, analitički grafičke načine zadaci funkcija idu ruku pod ruku. Rad s formulom pomaže u izgradnji grafa. A grafikon često sugerira rješenja koja nećete primijetiti u formuli.

Gotovo svaki učenik zna tri načina definiranja funkcije koja smo upravo obradili.

Pokušajmo odgovoriti na pitanje: "Postoje li drugi načini za definiranje funkcije?"

Postoji takav način.

Funkcija se može sasvim nedvosmisleno definirati riječima.

Na primjer, funkcija y=2x može se definirati sljedećim verbalnim opisom: svakoj realnoj vrijednosti argumenta x dodjeljuje se udvostručena vrijednost. Pravilo je postavljeno, funkcija je postavljena.

Štoviše, moguće je odrediti funkciju verbalno, što je iznimno teško, ako ne i nemoguće, odrediti formulom.

Na primjer: svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbrojem znamenki koje čine vrijednost x. Na primjer, ako je x=3, tada je y=3. Ako je x=257, tada je y=2+5+7=14. itd. Teško je to zapisati u formulu. Ali stol je lako napraviti.

Metoda verbalnog opisa je prilično rijetko korištena metoda. Ali ponekad se dogodi.

Ako postoji zakon korespondencije jedan prema jedan između x i y, onda postoji funkcija. Koji zakon, u kojem obliku je izražen - formulom, tablicom, grafom, riječima - ne mijenja bit stvari.

Razmotrimo funkcije čije su domene definicije simetrične s obzirom na ishodište koordinata, t.j. za bilo koga x izvan opsega broj (- x) također spada u domenu definicije. Među tim funkcijama su par i nepar.

Definicija. Poziva se funkcija f čak, ako za bilo koji x izvan svoje domene

Primjer. Razmotrite funkciju

Ona je ujednačena. Idemo to provjeriti.

Za bilo koga x jednakosti

Dakle, oba uvjeta su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon ove funkcije.

Definicija. Poziva se funkcija f neparan, ako za bilo koji x izvan svoje domene

Primjer. Razmotrite funkciju

Ona je čudna. Idemo to provjeriti.

Područje definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku (0; 0).

Za bilo koga x jednakosti

Dakle, oba uvjeta su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon ove funkcije.

Grafovi prikazani na prvoj i trećoj slici su simetrični oko y-osi, a grafovi prikazani na drugoj i četvrtoj slici su simetrični u odnosu na ishodište.

Koje su funkcije čiji su grafovi prikazani na slikama parne, a koje neparne?

Funkcija jedan je od najvažnijih matematičkih pojmova. Funkcija - varijabla ovisnost na iz varijable x, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti na. varijabla x naziva neovisna varijabla ili argument. varijabla na naziva zavisna varijabla. Sve vrijednosti nezavisne varijable (varijable x) čine domenu funkcije. Sve vrijednosti koje zavisna varijabla uzima (varijabla y), čine raspon funkcije.

Grafikon funkcije nazivaju skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije, odnosno vrijednostima varijable su ucrtane duž apscise x, a vrijednosti varijable su iscrtane duž y osi y. Da biste nacrtali funkciju, morate znati svojstva funkcije. Glavna svojstva funkcije bit će razmotrena u nastavku!

Za crtanje grafa funkcije preporučujemo korištenje našeg programa - Graphing Functions Online. Ako imate bilo kakvih pitanja tijekom proučavanja materijala na ovoj stranici, uvijek ih možete postaviti na našem forumu. Također na forumu će vam se pomoći u rješavanju zadataka iz matematike, kemije, geometrije, teorije vjerojatnosti i mnogih drugih predmeta!

Osnovna svojstva funkcija.

1) Opseg funkcije i raspon funkcija.

Opseg funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenta x(promjenjivo x) za koje je funkcija y = f(x) definiran.
Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvaća.

U osnovnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

vrijednosti x, na kojem y=0, Zove se nule funkcije. To su apscise točaka presjeka grafa funkcije s osi x.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali konstantnosti predznaka funkcije su takvi intervali vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije y nazivaju se ili samo pozitivne ili samo negativne intervali konstantnosti predznaka funkcije.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje x f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje x iz domene definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Ravnomjerna funkcija
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0), odnosno ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točka -a također spada u domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os Oy.

neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na točku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, što pripada domeni definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takvog broja nema, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domene funkcije f(x+T) = f(x). Takav najmanji broj naziva se period funkcije. svi trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog razdoblju. Ovo se koristi pri crtanju grafova.