Paralelogram sve formule i svojstva. Istraživački projekt "paralelogram i njegova svojstva"

Pojam paralelograma

Definicija 1

Paralelogram je četverokut u kojem su suprotne stranice međusobno paralelne (slika 1).

Slika 1.

Paralelogram ima dva glavna svojstva. Razmotrimo ih bez dokaza.

Svojstvo 1: Suprotne stranice i kutovi paralelograma su međusobno jednaki.

Svojstvo 2: Dijagonale nacrtane u paralelogramu prepolovljene su točkom presjeka.

Značajke paralelograma

Razmotrite tri značajke paralelograma i predstavite ih u obliku teorema.

Teorem 1

Ako su dvije strane četverokuta jedna drugoj jednake i također paralelne, onda će ovaj četverokut biti paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je zadan četverokut $ABCD$. U kojem $AB||CD$ i $AB=CD$ Nacrtajmo u njemu dijagonalu $AC$ (slika 2).

Slika 2.

Razmotrimo paralelne prave $AB$ i $CD$ i njihov sekans $AC$. Zatim

\[\angle CAB=\angle DCA\]

poput poprečnih kutova.

Prema $I$ kriteriju za jednakost trokuta,

budući da je $AC$ njihova zajednička strana, a $AB=CD$ prema pretpostavci. Sredstva

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Razmotrimo prave $AD$ i $CB$ i njihov sekant $AC$; posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $AD||CB$.) Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverokut je paralelogram.

Teorem je dokazan.

Teorem 2

Ako su suprotne strane četverokuta jednake, onda je to paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je zadan četverokut $ABCD$. U kojem je $AD=BC$ i $AB=CD$. Nacrtajmo u njemu dijagonalu $AC$ (slika 3).

Slika 3

Budući da je $AD=BC$, $AB=CD$ i $AC$ zajednička strana, onda testom jednakosti trokuta $III$,

\[\trokut DAC=\trokut ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Razmotrimo prave $AD$ i $CB$ i njihov sekans $AC$, posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $AD||CB$. Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverokut je paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Razmotrimo prave $AB$ i $CD$ i njihov sekans $AC$, posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $AB||CD$. Dakle, prema definiciji 1, ovaj četverokut je paralelogram.

Teorem je dokazan.

Teorem 3

Ako su dijagonale nacrtane u četverokutu podijeljene na dva jednaka dijela točkom presjeka, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je zadan četverokut $ABCD$. Nacrtajmo dijagonale $AC$ i $BD$ u njemu. Neka se sijeku u točki $O$ (slika 4).

Slika 4

Budući da su po uvjetu $BO=OD,\ AO=OC$ i kutovi $\ugao COB=\ugao DOA$ okomiti, onda prema testu jednakosti trokuta $I$,

\[\trokut BOC=\trokut AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Razmotrimo prave $BC$ i $AD$ i njihov sekans $BD$, posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $BC||AD$. Također $BC=AD$. Dakle, prema teoremu $1$, ovaj četverokut je paralelogram.

1. Definicija paralelograma.

Presiječemo li par paralelnih pravaca s drugim parom paralelnih pravaca, dobivamo četverokut čije su suprotne strane parno paralelne.

U četverokutima ABDC i EFNM (slika 224) BD || AC i AB || CD;

EF || MN i EM || F.N.

Četverokut čije su suprotne strane parno paralelne naziva se paralelogram.

2. Svojstva paralelograma.

Teorema. Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva dijela jednak trokut.

Neka postoji paralelogram ABDC (slika 225) u kojem je AB || CD i AC || BD.

Potrebno je dokazati da ga dijagonala dijeli na dva jednaka trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu CB u paralelogramu ABDC. Dokažimo da je $\Delta$CAB = $\Delta$SDV.

SI strana je zajednička ovim trokutima; ∠ABC = ∠BCD, kao unutarnji križno ležeći kutovi s paralelnim AB i CD i sekantom CB; ∠ACB = ∠CBD, isto kao i unutarnji križno ležeći kutovi s paralelnim AC i BD i sekantom CB.

Stoga $\Delta$CAB = $\Delta$SDV.

Na isti se način može dokazati da dijagonala AD dijeli paralelogram na dva jednaka trokuta ACD i ABD.

Posljedice:

1 . Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki.

∠A = ∠D, to proizlazi iz jednakosti trokuta CAB i CDB.

Slično, ∠C = ∠B.

2. Suprotne strane paralelograma su jednake.

AB \u003d CD i AC \u003d BD, budući da su to stranice jednakih trokuta i leže nasuprot jednakih kutova.

Teorem 2. Dijagonale paralelograma prepolovljene su u točki njihova presjeka.

Neka su BC i AD dijagonale paralelograma ABDC (slika 226). Dokažimo da je AO = OD i CO = OB.

Da bismo to učinili, usporedimo neki par suprotnih trokuta, na primjer $\Delta$AOB i $\Delta$COD.

U tim trokutima AB = CD, kao suprotne strane paralelograma;

∠1 = ∠2, kao unutarnji kutovi koji poprečno leže na paraleli AB i CD i sekanti AD;

∠3 = ∠4 iz istog razloga, budući da AB || CD i CB su njihova sekansa.

Iz toga slijedi da je $\Delta$AOB = $\Delta$COD. A u jednakim trokutima suprotni jednaki kutovi su jednake stranice. Prema tome, AO = OD i CO = OB.

Teorem 3. Zbroj kutova koji su susjedni jednoj strani paralelograma jednak je 180°.

Nacrtajte dijagonalu AC u paralelogramu ABCD i dobijete dva trokuta ABC i ADC.

Trokuti su sukladni jer je ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (kutovi koji se nalaze u križanju kod paralelnih pravaca), a stranica AC je zajednička.
Jednakost $\Delta$ABC = $\Delta$ADC implicira da je AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Zbroj kutova susjednih jednoj strani, na primjer, kutova A i D, jednak je 180 ° kao jednostrani s paralelnim crtama.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne strane parno paralelne. Sljedeća slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stranu AB paralelnu sa stranicom CD i stranu BC paralelnu sa stranicom AD.

Kao što ste možda pogodili, paralelogram je konveksan četverokut. Razmotrimo osnovna svojstva paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. U paralelogramu suprotnim kutovima a suprotne strane su jednake. Dokažimo ovo svojstvo – razmotrimo paralelogram prikazan na sljedećoj slici.

Dijagonala BD ga dijeli na dva jednaka trokuta: ABD i CBD. Oni su jednaki po strani BD i dvama susjednim kutovima, budući da su kutovi koji leže na sekanti BD paralelni pravci BC i AD, odnosno AB i CD. Prema tome, AB = CD i
BC=AD. A iz jednakosti kutova 1, 2, 3 i 4 proizlazi da je kut A = kut1 + kut3 = kut2 + kut4 = kut C.

2. Dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka. Neka je točka O točka presjeka dijagonala AC i BD paralelograma ABCD.

Tada su trokut AOB i trokut COD međusobno jednaki, duž stranice i dva susjedna kuta. (AB=CD budući da su suprotne strane paralelograma. I kut1 = kut2 i kut3 = kut4 kao poprečni kutovi na presjeku pravaca AB i CD sekantima AC i BD, redom.) Slijedi da je AO = OC i OB = OD, što je i trebalo dokazati.

Sva glavna svojstva ilustrirana su na sljedeće tri slike.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne strane parno paralelne. Ova je definicija već dovoljna, budući da preostala svojstva paralelograma slijede iz nje i dokazuju se u obliku teorema.

Glavna svojstva paralelograma su:

paralelogram je konveksan četverokut;
paralelogram ima suprotne stranice jednake u paru;
paralelogram ima suprotne kutove koji su jednaki u parovima;
dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka.

Paralelogram - konveksan četverokut

Prvo dokažimo teorem da paralelogram je konveksan četverokut. Poligon je konveksan kada se bilo koja njegova strana produži na ravnu liniju, sve ostale strane poligona bit će na istoj strani ove ravne crte.

Neka je zadan paralelogram ABCD u kojem je AB suprotna strana za CD, a BC suprotna strana za AD. Tada iz definicije paralelograma slijedi da je AB || CD, BC || OGLAS.

Paralelni segmenti nemaju zajedničkih točaka, ne sijeku se. To znači da CD leži na jednoj strani AB. Budući da odsječak BC povezuje točku B segmenta AB s točkom C odsječka CD, a segment AD povezuje druge točke AB i CD, segmenti BC i AD također leže na istoj strani pravca AB, gdje leži CD. Dakle, sve tri strane - CD, BC, AD - leže na istoj strani AB.

Slično se dokazuje da s obzirom na druge strane paralelograma, ostale tri stranice leže na istoj strani.

Suprotne strane i kutovi su jednaki

Jedno od svojstava paralelograma je da u paralelogramu su suprotne stranice i suprotni kutovi jednaki. Na primjer, ako je zadan paralelogram ABCD, tada ima AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ovaj se teorem dokazuje na sljedeći način.

Paralelogram je četverokut. Dakle, ima dvije dijagonale. Budući da je paralelogram konveksan četverokut, bilo koji od njih dijeli ga na dva trokuta. Promotrimo trokute ABC i ADC u paralelogramu ABCD dobivenom povlačenjem dijagonale AC.

Ovi trokuti imaju jednu zajedničku stranu - AC. Kut BCA jednak je kutu CAD, kao i vertikale s paralelnim BC i AD. Kutovi BAC i ACD su također jednaki, kao i okomiti kutovi kada su AB i CD paralelni. Prema tome, ∆ABC = ∆ADC nad dva kuta i stranicom između njih.

U tim trokutima stranica AB odgovara strani CD, a stranica BC odgovara AD. Prema tome, AB = CD i BC = AD.

Kut B odgovara kutu D, tj. ∠B = ∠D. Kut A paralelograma je zbroj dvaju kutova - ∠BAC i ∠CAD. Kut jednak C sastoji se od ∠BCA i ∠ACD. Budući da su parovi kutova međusobno jednaki, onda je ∠A = ∠C.

Dakle, dokazano je da su u paralelogramu suprotne strane i kutovi jednaki.

Dijagonale prepolovljene

Budući da je paralelogram konveksan četverokut, ima dvije dvije dijagonale i one se sijeku. Neka je zadan paralelogram ABCD, njegove dijagonale AC i BD sijeku se u točki E. Promotrimo trokute ABE i CDE koji su njima formirani.

Ovi trokuti imaju stranice AB i CD jednake suprotnim stranicama paralelograma. Kut ABE jednak je kutu CDE jer leže preko paralelnih pravaca AB i CD. Iz istog razloga, ∠BAE = ∠DCE. Dakle, ∆ABE = ∆CDE nad dva kuta i stranicom između njih.

Također možete primijetiti da su kutovi AEB i CED okomiti, te stoga također jednaki jedan drugome.

Kako su trokuti ABE i CDE međusobno jednaki, tako su i svi njihovi odgovarajući elementi. Strana AE prvog trokuta odgovara strani CE drugog, pa je AE = CE. Slično, BE = DE. Svaki par jednakih segmenata čini dijagonalu paralelograma. Dakle, dokazano je da dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka.

U današnjoj lekciji ponovit ćemo glavna svojstva paralelograma, a zatim ćemo obratiti pozornost na razmatranje prve dvije značajke paralelograma i dokazati ih. Tijekom dokazivanja prisjetimo se primjene znakova jednakosti trokuta koju smo učili prošle godine i ponovili u prvom satu. Na kraju će biti dan primjer primjene proučavanih značajki paralelograma.

Tema: četverokuti

Lekcija: Znakovi paralelograma

Započnimo prisjetimo se definicije paralelograma.

Definicija. Paralelogram- četverokut u kojem su sve dvije suprotne strane paralelne (vidi sliku 1).

Riža. 1. Paralelogram

Prisjetimo se osnovna svojstva paralelograma:

Da bismo mogli koristiti sva ta svojstva, potrebno je biti siguran da je brojka o kojoj u pitanju, je paralelogram. Da biste to učinili, morate znati takve činjenice kao što su znakovi paralelograma. Danas ćemo razmotriti prva dva od njih.

Teorema. Prva karakteristika paralelograma. Ako su u četverokutu dvije suprotne strane jednake i paralelne, onda je ovaj četverokut paralelogram. .

Riža. 2. Prvi znak paralelograma

Dokaz. Nacrtajmo dijagonalu u četverokutu (vidi sliku 2), podijelila ju je na dva trokuta. Zapišimo što znamo o ovim trokutima:

prema prvom znaku jednakosti trokuta.

Iz jednakosti ovih trokuta proizlazi da, na temelju paralelizma pravaca na sjecištu njihove sekante. imamo to:

Provjereno.

Teorema. Drugi znak paralelograma. Ako su u četverokutu sve dvije suprotne strane jednake, onda je ovaj četverokut paralelogram. .

Riža. 3. Drugi znak paralelograma

Dokaz. Nacrtajmo dijagonalu u četverokutu (vidi sliku 3), ona ga dijeli na dva trokuta. Zapišimo što znamo o tim trokutima, na temelju formulacije teorema:

prema trećem kriteriju za jednakost trokuta.