सभी समान त्रिभुजों के बारे में। समरूप त्रिभुज

एक नियम के रूप में, दो त्रिभुजों को समान माना जाता है यदि उनका आकार समान हो, भले ही वे अलग-अलग आकार के हों, घुमाए गए हों या उलटे भी हों।

आकृति में दिखाए गए दो समरूप त्रिभुजों A 1 B 1 C 1 और A 2 B 2 C 2 का गणितीय निरूपण इस प्रकार लिखा गया है:

ए 1 बी 1 सी 1 ~ ∆ए 2 बी 2 सी 2

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि:

1. एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोण के बराबर होता है:
A 1 = A 2 , ∠B 1 = B 2और C1 = C2

2. एक त्रिभुज की भुजाओं का दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं से अनुपात एक-दूसरे के बराबर होता है:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. रिश्ते दो बाजूएक त्रिभुज का दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं से एक दूसरे के बराबर और एक ही समय में
इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हैं:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ और $\angle A_1 = \angle A_2$
या
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ और $\angle B_1 = \angle B_2$
या
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ और $\angle C_1 = \angle C_2$

समान त्रिभुजों को समान त्रिभुजों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई होती है। तो समान त्रिभुजों के लिए:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी समान त्रिभुजसमान है। हालांकि, सभी समरूप त्रिभुज समान नहीं होते हैं।

यद्यपि उपरोक्त संकेतन से पता चलता है कि दो त्रिभुज समान हैं या नहीं, यह पता लगाने के लिए, हमें समान त्रिभुजों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए तीन कोणों के मान या प्रत्येक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। प्रत्येक त्रिभुज के लिए ऊपर से किन्हीं तीन मानों को जानने के लिए पर्याप्त है। ये मान विभिन्न संयोजनों में हो सकते हैं:

1) प्रत्येक त्रिभुज के तीन कोण (त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं है)।

या एक त्रिभुज के कम से कम 2 कोण दूसरे त्रिभुज के 2 कोणों के बराबर होने चाहिए।
चूँकि यदि 2 कोण बराबर हैं, तो तीसरा कोण भी बराबर होगा।(तीसरे कोण का मान 180 - कोण 1 - कोण 2 है)

2) प्रत्येक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई (कोण जानने की आवश्यकता नहीं);

3) दोनों पक्षों की लंबाई और उनके बीच का कोण।

आगे, हम समरूप त्रिभुजों वाली कुछ समस्याओं के हल पर विचार करते हैं। सबसे पहले, हम उन समस्याओं को देखेंगे जिन्हें सीधे उपरोक्त नियमों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और फिर हम कुछ व्यावहारिक समस्याओं पर चर्चा करेंगे जिन्हें समान त्रिकोण विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

समरूप त्रिभुजों वाली व्यावहारिक समस्याएं

उदाहरण 1: दर्शाइए कि नीचे दी गई आकृति में दो त्रिभुज समरूप हैं।

समाधान:
चूँकि दोनों त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात है, दूसरा नियम यहाँ लागू किया जा सकता है:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

उदाहरण #2: दर्शाइए कि दिए गए दो त्रिभुज समरूप हैं और भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए पी क्यूऔर जनसंपर्क.

समाधान:
ए = पीऔर B = Q, C = R(क्योंकि C = 180 - ∠A - B और ∠R = 180 - ∠P - Q)

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज ∆ABC और PQR समरूप हैं। फलस्वरूप:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ और
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

उदाहरण #3: लंबाई निर्धारित करें अबइस त्रिभुज में।

समाधान:

ABC = ADE, ACB = AEDऔर एसामान्य => त्रिभुज एबीसीऔर एडीईसमान है।

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

उदाहरण #4: लंबाई निर्धारित करें एडी (एक्स) ज्यामितीय आकृतिछवि पर।

त्रिभुज ABC और ∆CDE समरूप हैं क्योंकि AB || डीई और उनके पास एक आम है ऊपरी कोनासी।
हम देखते हैं कि एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज का छोटा रूप है। हालाँकि, हमें इसे गणितीय रूप से सिद्ध करने की आवश्यकता है।

एबी || डीई, सीडी || एसी और बीसी || यूरोपीय संघ
BAC = EDC और ∠ABC = DEC

पूर्वगामी के आधार पर और एक सामान्य कोण की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए सी, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज ∆ABC और CDE समरूप हैं।

फलस्वरूप:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23.57
एक्स = एसी - डीसी = 23.57 - 15 = 8.57

व्यावहारिक उदाहरण

उदाहरण #5: कारखाने में उत्पादों को स्तर 1 से स्तर 2 तक ले जाने के लिए एक इच्छुक कन्वेयर बेल्ट का उपयोग किया जाता है, जो कि स्तर 1 से 3 मीटर ऊपर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इच्छुक कन्वेयर को एक छोर से स्तर 1 तक और दूसरे छोर से स्तर 1 ऑपरेटिंग बिंदु से 8 मीटर की दूरी पर स्थित वर्कस्टेशन तक सेवित किया जाता है।

कारखाना कन्वेयर कोण को बनाए रखते हुए नए स्तर तक पहुंचने के लिए कन्वेयर को अपग्रेड करना चाहता है, जो कि स्तर 1 से 9 मीटर ऊपर है।

उस दूरी का निर्धारण करें जिस पर आपको एक नया कार्य केंद्र स्थापित करने की आवश्यकता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कन्वेयर अपने नए सिरे पर 2 स्तर पर काम करता है। साथ ही उस अतिरिक्त दूरी की गणना करें जो उत्पाद नए स्तर पर जाने पर यात्रा करेगा।

समाधान:

सबसे पहले, आइए प्रत्येक चौराहे के बिंदु को एक विशिष्ट अक्षर के साथ लेबल करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

पिछले उदाहरणों में दिए गए तर्कों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज ABC और ADE समरूप हैं। फलस्वरूप,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 मी$
एक्स = एबी - 8 = 24 - 8 = 16 एम

इस प्रकार, नया बिंदु मौजूदा बिंदु से 16 मीटर की दूरी पर स्थापित किया जाना चाहिए।

और चूंकि संरचना समकोण त्रिभुजों से बनी है, इसलिए हम उत्पाद यात्रा दूरी की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

इसी तरह, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
वह दूरी है जिसमें उत्पाद यात्रा करता है इस पलमौजूदा स्तर में प्रवेश करने पर।

वाई = एसी - एई = 25.63 - 8.54 = 17.09 एम
यह वह अतिरिक्त दूरी है जो एक उत्पाद को एक नए स्तर तक पहुंचने के लिए तय करनी चाहिए।

उदाहरण #6: स्टीव अपने दोस्त से मिलने जाना चाहता है जो हाल ही में में आया है नया घर. स्टीव और उसके दोस्त के घर जाने का रोड मैप, स्टीव को ज्ञात दूरियों के साथ, चित्र में दिखाया गया है। स्टीव को जल्द से जल्द अपने दोस्त के घर पहुंचने में मदद करें।

समाधान:

रोडमैप को निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि त्रिभुज ∆ABC और CDE समरूप हैं, इसलिए:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

कार्य विवरण में कहा गया है कि:

AB = 15 किमी, AC = 13.13 किमी, CD = 4.41 किमी और DE = 5 किमी

इस जानकारी का उपयोग करके, हम निम्नलिखित दूरियों की गणना कर सकते हैं:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

स्टीव निम्नलिखित मार्गों से अपने मित्र के घर जा सकता है:

ए -> बी -> सी -> ई -> जी, कुल दूरी 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 किमी है

एफ -> बी -> सी -> डी -> जी, कुल दूरी 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 किमी है

एफ -> ए -> सी -> ई -> जी, कुल दूरी 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 किमी है

एफ -> ए -> सी -> डी -> जी, कुल दूरी 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 किमी है

इसलिए, मार्ग #3 सबसे छोटा है और स्टीव को पेश किया जा सकता है।

उदाहरण 7:
तृषा घर की ऊंचाई नापना चाहती है, लेकिन उसके पास नहीं है सही उपकरण. उसने देखा कि घर के सामने एक पेड़ उग रहा था और उसने इमारत की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए स्कूल में प्राप्त अपनी संसाधनशीलता और ज्यामिति के ज्ञान का उपयोग करने का फैसला किया। उसने पेड़ से घर तक की दूरी नापी, नतीजा 30 मीटर था। फिर वह पेड़ के सामने खड़ी हो गई और तब तक पीछे हटने लगी जब तक कि इमारत का ऊपरी किनारा पेड़ के ऊपर दिखाई नहीं दे रहा था। तृषा ने उस स्थान को चिन्हित किया और उससे पेड़ तक की दूरी नापी। यह दूरी 5 मीटर थी।

पेड़ की ऊंचाई 2.8 मीटर और तृषा की आंखों की ऊंचाई 1.6 मीटर है। त्रिशा को इमारत की ऊंचाई निर्धारित करने में मदद करें।

समाधान:

समस्या का ज्यामितीय निरूपण चित्र में दिखाया गया है।

पहले हम त्रिभुजों ABC और ADE की समरूपता का प्रयोग करते हैं।

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + एसी) = 8 + 1.6 \बार एसी$

$(2.8 - 1.6) \ बार एसी = 8 \ दायां एसी = \ frac (8) (1.2) = 6.67 $

फिर हम त्रिभुज ∆ACB और AFG या ADE और AFG की समानता का उपयोग कर सकते हैं। आइए पहला विकल्प चुनें।

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0.16) = 10 मीटर$

1.2. समरूप त्रिभुजों की परिभाषा। परिभाषा। दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समान भुजाओं के समानुपाती हों। दूसरे शब्दों में, दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उन्हें ABC और A1B1C1 अक्षरों से निरूपित किया जा सकता है ताकि A= A1, B= B1, C= C1। त्रिभुजों की समरूप भुजाओं के अनुपात के बराबर संख्या k कहलाती है समानता गुणांक।

स्लाइड 9प्रस्तुति से ""समान त्रिभुज" ग्रेड 8". प्रस्तुति के साथ संग्रह का आकार 1756 केबी है।

ज्यामिति ग्रेड 8

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समरूप त्रिभुज दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि एक के कोण क्रमशः दूसरे के कोणों के बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपाती हों। आनुपातिकता के गुणांक को समानता का गुणांक कहा जाता है। इस प्रकार, त्रिभुज ABC त्रिभुज A 1 B 1 C 1 के समरूप है यदि A = A 1, B = B 1, C = C 1 और जहाँ k समरूपता गुणांक है।

समानता प्रमेय का पहला संकेत। (समानता का पहला चिन्ह।) यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं। प्रमाण। मान लीजिए कि त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1 है। फिर C= C 1. आइए इसे सिद्ध करें। आइए हम खंड ए 1 बी "बीम ए 1 बी 1 के बराबर एबी के बराबर प्लॉट करें और बी 1 सी 1 के समानांतर एक सीधी रेखा बी" सी "खींचें। त्रिभुज ए 1 बी" सी "और एबीसी बराबर हैं (के अनुसार) त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड। आनुपातिक खंडों पर प्रमेय के अनुसार, समानता होती है इसलिए, हमारे पास समानता है, यह साबित होता है कि समानता होती है त्रिभुज समान होते हैं।

प्रश्न 1 समरूप त्रिभुज किसे कहते हैं ? उत्तर दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि एक के कोण क्रमशः दूसरे के कोणों के बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपाती हों।

प्रश्न 2 त्रिभुज बनाइए। समानता का पहला चिन्ह उत्तर: यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रश्न 3 क्या कोई दो हैं: a) समबाहु त्रिभुज समरूप हैं? बी) समद्विबाहु त्रिभुज; ग) समद्विबाहु समकोण त्रिभुज? उत्तर: ए) हाँ; बी) नहीं; ग) हाँ।

अभ्यास 4 दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज A'B'C' खींचिए जिसका समरूप गुणनखंड 0.5 है। उत्तर:

व्यायाम 5 एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं। समरूप त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए यदि समरूपता गुणांक है: a) 0.5; बी) 2. उत्तर: ए) 2.5 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी; बी) 10 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी।

अभ्यास 6 क्या समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनमें से एक का कोण 40 o और दूसरे का 50 o है? उत्तर: हाँ।

व्यायाम 7 दो त्रिभुज समरूप हैं। एक त्रिभुज के दो कोण 55 o और 80 o के बराबर होते हैं। दूसरे त्रिभुज का सबसे छोटा कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 45 ओ.

व्यायाम 8 समरूप त्रिभुजों ABC और A 1 B 1 C 1 AB \u003d 8 सेमी, BC \u003d 10 सेमी, A 1 B 1 \u003d 5.6 सेमी, A 1 C 1 \u003d 10.5 सेमी में। AC और B 1 C 1 खोजें उत्तर: एसी = 15 सेमी, बी 1 सी 1 = 7 सेमी।

व्यायाम 9 त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 ए \u003d ए 1, बी \u003d बी 1, एबी \u003d 5 मीटर, बीसी \u003d 7 मीटर, ए 1 बी 1 \u003d 10 मीटर, ए 1 सी 1 \u003d 8 मी. त्रिभुजों की शेष भुजाएँ ज्ञात कीजिए। उत्तर: एसी = 4 मीटर, बी 1 सी 1 = 14 मीटर।

अभ्यास 10 एक त्रिभुज की भुजाएँ 5: 3: 7 के रूप में संबंधित हैं। एक त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए, जिसमें: a) परिमाप 45 सेमी है; बी) छोटा पक्ष 5 सेमी है; ग) सबसे बड़ी भुजा 7 सेमी है; डी) बड़े और छोटे पक्षों के बीच का अंतर 2 सेमी है उत्तर: ए) 15 सेमी, 9 सेमी, 21 सेमी; बी) 8 सेमी, 5 सेमी, 11 सेमी; ग) 5 सेमी, 3 सेमी, 7 सेमी; डी) 2.5 सेमी, 1.5 सेमी, 3.5 सेमी।

अभ्यास 11 आकृति में सभी समरूप त्रिभुजों को इंगित करें। उत्तर: ए) एबीसी, एफईसी, डीबीई; बी) एबीसी, जीएफसी, एजीडी, एफबीई; सी) एबीसी, सीडीए, एईबी, बीईसी; घ) एओबी, सीओडी; ई) एबीसी और एफजीसी; एडीसी और एफईसी; डीबीसी और ईजीसी।

व्यायाम 12 दो समद्विबाहु त्रिभुजों की भुजाओं के बीच समान कोण होते हैं। एक त्रिभुज की भुजा और आधार क्रमशः 17 सेमी और 10 सेमी हैं, दूसरे का आधार 8 सेमी है। इसकी भुजा ज्ञात कीजिए। उत्तर: 13.6 सेमी.

व्यायाम 13 एक त्रिभुज में जिसकी भुजा a और ऊँचाई h नीचे है, एक वर्ग खुदा हुआ है ताकि उसके दो शीर्ष त्रिभुज के इस तरफ स्थित हों, और अन्य दो त्रिभुज के अन्य दो पक्षों पर स्थित हों। वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए। उत्तर: ।

अभ्यास 14 समचतुर्भुज ADEF त्रिभुज ABC में इस प्रकार अंकित है कि उनका एक उभयनिष्ठ कोण है, और शीर्ष E भुजा BC पर है। समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात कीजिए यदि AB = c और AC = b है। उत्तर: ।

प्रश्न 15 क्या आधार के समांतर न होकर एक सीधी रेखा वाले त्रिभुज को काटना संभव है, जिससे एक समरूप त्रिभुज को उसमें से काटा जा सके? यह किस मामले में असंभव है? उत्तर: यदि त्रिभुज समबाहु नहीं है तो यह संभव है।

अभ्यास 16 माना AC और BD वृत्त जीवाएँ हैं जो बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABE और CDE समरूप हैं। उपपत्ति: त्रिभुज ABE का कोण A, त्रिभुज CDE के कोण D के बराबर है, एक वृत्ताकार चाप पर आधारित उत्कीर्ण कोणों के रूप में। इसी प्रकार, कोण B, कोण C के बराबर है। इसलिए, त्रिभुज ABE और CDE पहले मानदंड में समरूप हैं।

प्रश्न 17 आकृति में AE = 3, BE = 6, CE = 2 है। DE ज्ञात कीजिए। उत्तर - 4।

अभ्यास 18 चित्र में AB = 8, BE = 6, DE = 4 है। CD ज्ञात कीजिए। उत्तर: ।

प्रश्न 19 आकृति में CE = 2, DE = 5, AE = 4 है। BE ज्ञात कीजिए। उत्तर: 10.

अभ्यास 20 आकृति में CE = 4, CD = 10, AE = 6. AB ज्ञात कीजिए। उत्तर: 15.

अभ्यास 21 आकृति में DL एक वृत्त में अंकित त्रिभुज DEF का समद्विभाजक है। DL वृत्त को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करता है, जो रेखाखंडों द्वारा त्रिभुज के शीर्ष E और F से जुड़ा है। समरूप त्रिभुज ज्ञात कीजिए। उत्तर: डीईके और डीएलएफ, डीईके और ईएलके, डीएलएफ और ईएलके, डीएफके और डीएलई, डीएफके और एफएलके, डीएलई और एफएलके।

व्यायाम 22 एक वृत्त में अंकित न्यून त्रिकोण ABC, AH इसकी ऊँचाई है, AD वृत्त का व्यास है जो भुजा BC को बिंदु M पर काटता है। बिंदु D त्रिभुज के शीर्ष B और C से जुड़ा है। समरूप त्रिभुज ज्ञात कीजिए। उत्तर: एबीएच और एडीसी, एसीएच और एडीबी, एबीएम और सीडीएम, बीएमडी और एएमसी।

अभ्यास 23 सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी आंतरिक बिंदु से खींची गई किसी जीवा के खंडों का गुणनफल उसी बिंदु से खींचे गए व्यास के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। समाधान। मान लीजिए बिंदु O पर केंद्र वाला एक वृत्त दिया गया है, जीवा AB और व्यास CD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ACE और DBE समरूप हैं। इसलिए, इसका अर्थ है

अभ्यास 24 वृत्त के बाहरी बिंदु E से दो सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं और वृत्त को क्रमशः बिंदुओं A, C और B, D पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ADE और BCE समरूप हैं। उपपत्ति: त्रिभुज ADE का कोण D, त्रिभुज BCE के कोण C के बराबर है, एक वृत्ताकार चाप पर आधारित खुदा हुआ कोण। इन त्रिभुजों का कोण E उभयनिष्ठ है। इसलिए, त्रिभुज एडीई और बीसीई पहली विशेषता में समान हैं।

अभ्यास 25 वृत्त के बाहरी बिंदु E से दो सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, जो वृत्त को क्रमशः बिंदुओं A, C और B, D पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AE·CE = BE·DE. उपपत्ति: त्रिभुज ADE और BCE समरूप हैं। तो एई: डीई = बीई: सीई। इसलिए, एई सीई = बीई डीई।

अभ्यास 26 आकृति में, AE = 9, BE = 8, CE = 24 है। DE ज्ञात कीजिए। उत्तर : 27.

अभ्यास 27 वृत्त के बाहरी बिंदु E से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करती है, और एक स्पर्श रेखा EC (C संपर्क का बिंदु है)। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज EAC और ECB समरूप हैं। प्रमाण। त्रिभुज EAC और ECB में उभयनिष्ठ कोण E है। कोण ACE और CBE बराबर हैं, जैसे एक ही जीवा पर आधारित कोण हैं। अत: त्रिभुज EAC और ECB समरूप हैं।

अभ्यास 28 वृत्त के बाहरी बिंदु E से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करती है, और एक स्पर्श रेखा EC (C संपर्क बिंदु है)। सिद्ध कीजिए कि छेदक के खंड AE और BE का गुणनफल स्पर्शरेखा के खंड CE के वर्ग के बराबर है। प्रमाण। त्रिभुज ईएसी और ईसीबी समान हैं। इसलिए, एई: सीई = सीई: बीई, इसलिए एई बीई = सीई 2।

अभ्यास 30 ऊँचाईयाँ AA 1 और BB 1 त्रिभुज ABC में खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज A 1 AC और B 1 BC समरूप हैं। प्रमाण। त्रिभुज A 1 AC और B 1 BC समकोण हैं और इनका एक उभयनिष्ठ कोण C है। इसलिए, वे दो कोणों में समान हैं।

अभ्यास 31 सिद्ध कीजिए कि सही त्रिकोणलम्बवत से गिरा समकोणकर्ण पर, कर्ण पर पैरों के अनुमानों का ज्यामितीय माध्य है। (दो धनात्मक संख्याओं a और b का ज्यामितीय माध्य एक धनात्मक संख्या c है जिसका वर्ग ab के बराबर है, अर्थात c =)। हल: त्रिभुज ADC और CDB समरूप हैं। इसलिए, या तो सीडी 2 = एडी बीडी, यानी सीडी एडी और बीडी का ज्यामितीय माध्य है।

व्यायाम 32 त्रिभुज ABC में, बिंदु H ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, बिंदु O परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। सिद्ध कीजिए कि खंड CH की लंबाई बिंदु O से रेखा AB की दूरी की दुगुनी है। हल: मान लीजिए कि त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB के मध्य बिंदु B 1, C 1 है। त्रिभुज एचबीसी और ओबी 1 सी 1 समरूप हैं, बीसी = 2 बी 1 सी 1. इसलिए, सीएच = 2 ओसी 1.

प्रमेय 1. त्रिभुजों की समानता का पहला संकेत। यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमाण। मान लें कि ABC और $A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1 वाले त्रिभुज हैं; \angle B = \angle B_1$ , और इसलिए $\angle C = \angle C_1$ । आइए हम सिद्ध करें कि $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (चित्र 1)।

आइए हम बिंदु B से BA पर $A_1B_1$ खंड के बराबर एक खंड $BA_2$ डालते हैं, और बिंदु $A_2$ से होकर रेखा AC के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह रेखा BC को किसी बिंदु पर काटेगी $С_2$ । त्रिभुज $A_1B_1C_1\text( and )A_2BC_2$ बराबर हैं: $A_1B_1 = A_2B$ निर्माण से, $\angle B = \angle B_1$ धारणा से, और $\angle A_1 = \angle A_2$, क्योंकि $\angle A_1 = \ कोण A$ शर्त के अनुसार और $\angle A = \angle A_2$ संगत कोणों के रूप में। समान त्रिभुजों पर लेम्मा 1 द्वारा, हमारे पास है: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$, और इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2 और 3 इसी तरह से स्थापित किए गए हैं।

प्रमेय 2। त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच के कोण समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 3. त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के समानुपाती हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 1 का तात्पर्य निम्नलिखित है।

उपफल 1. समरूप त्रिभुजों में, समरूप भुजाएँ समान ऊँचाइयों के समानुपाती होती हैं, अर्थात उन ऊँचाइयों के लिए जो समान भुजाओं पर नीचे की जाती हैं।

उदाहरण 1क्या दो समबाहु त्रिभुज समान हैं?

समाधान। चूँकि एक समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक भीतरी कोनेबराबर 60° (उपदेश 3), तो दो समबाहु त्रिभुज पहले चिह्न में समरूप होते हैं।

उदाहरण 2त्रिभुज ABC और $A_1B_1C_1$ में यह ज्ञात है कि $\angle A = \angle A_1 ; \कोण बी = \कोण बी_1 ; AB = 5 मी, BC = 7 मी, A_1B_1 = 10 मी, A_1C_1 = 8 मी. त्रिभुजों की अज्ञात भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान। समस्या की स्थिति से परिभाषित त्रिकोण समानता के पहले संकेत के अनुसार समान हैं। त्रिभुजों की समानता से यह इस प्रकार है: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ समानता में प्रतिस्थापन (1) समस्या की स्थिति से डेटा, हमें मिलता है: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2 ) $$ समानता से (2) दो अनुपात बनाएं $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \ \ \पाठ (कहां से)B_1C_1 = 14 (मी), एसी = 4 (एम)। $$

उदाहरण 3त्रिभुज ABC और $A_1B_1C_1$ के कोण B और $B_1$ बराबर हैं। त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC 2.5 गुना अधिक पार्टियां$A_1B_1$ और $B_1C_1$ त्रिभुज $A_1B_1C_1$ का। एसी और $A_1C_1$ खोजें यदि उनका योग 4.2 मीटर है।

समाधान। मान लीजिए चित्र 2 समस्या की स्थिति के अनुरूप है।

समस्या की स्थिति से: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2.5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4.2 मीटर $$ इसलिए $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$। इन त्रिभुजों की समानता से $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2.5\text( , या )AC = 2.5\bullet A_1C_1 $$ का अनुसरण करता है क्योंकि AC = 2.5 A 1 C 1 , तो AC + A 1 C 1 \ u003d 2.5 ए 1 सी 1 + ए 1 सी 1 \u003d 4.2, जहां से ए 1 सी 1 \u003d 1.2 (एम), एसी \u003d 3 (एम)।

उदाहरण 4क्या त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 समान हैं यदि एबी = 3 सेमी, बीसी = 5 सेमी, एसी = 7 सेमी, ए 1 बी 1 = 4.5 सेमी, बी 1 सी 1 = 7.5 सेमी, ए 1 सी 1 \u003d 10.5 सेमी?

समाधान। हमारे पास है: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5 ) (7,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10,5) = \frac(1)(1,5) $ $ इसलिए, त्रिभुज तीसरे मानदंड में समान हैं।

उदाहरण 5सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो शीर्ष से गिनते हुए प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है।

समाधान। एक मनमाना त्रिभुज ABC पर विचार करें। आइए अक्षर O द्वारा इसके माध्यकों $AA_1\text( तथा )BB_1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें और इस त्रिभुज की मध्य रेखा $A_1B_1$ बनाएं (चित्र 3)।

खंड $A_1B_1$ भुजा AB के समानांतर है, इसलिए $\angle 1 = \angle2 \text( and ) \angle 3 = \angle 4 $। इसलिए, त्रिभुज AOB और $A_1OB_1$ दो कोणों में समान हैं, और इसलिए उनकी भुजाएँ समानुपाती हैं: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1) $ $

लेकिन $AB = 2A_1B_1$ , इसलिए $AO = 2A_1O$ और $BO = 2B_1O$।

इसी तरह, यह साबित होता है कि माध्यिका $BB_1\text( तथा )CC_1) का प्रतिच्छेदन बिंदु उनमें से प्रत्येक को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, और इसलिए, बिंदु O के साथ मेल खाता है।

अत: त्रिभुज ABC की तीनों माध्यिकाएँ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं और इसे ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं।

टिप्पणी। पहले यह नोट किया गया था कि त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतिम कथन के आधार पर, यह स्थापित होता है कि त्रिभुज की ऊँचाइयाँ (या उनके विस्तार) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन तीन बिंदुओं और माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाते हैं अद्भुत अंकत्रिकोण।

उदाहरण 6प्रोजेक्टर 240 सेमी की दूरी पर स्थित 90 सेमी ऊंचे स्क्रीन ए को पूरी तरह से प्रकाशित करता है। प्रोजेक्टर से सेमी में कितनी दूरी पर स्क्रीन बी को 150 सेमी ऊंचा रखा जाना चाहिए ताकि प्रोजेक्टर सेटिंग्स अपरिवर्तित रहने पर यह पूरी तरह से प्रकाशित हो।

वीडियो समाधान।

इस लेख में, हम समान त्रिभुजों की अवधारणा और इस परिभाषा से संबंधित अन्य अवधारणाओं और प्रमेयों पर विचार करेंगे।

समरूप त्रिभुजों की परिभाषा

हम निम्नलिखित दो त्रिभुजों पर विचार करेंगे (चित्र 1)।

चित्र 1. समरूप त्रिभुज

परिभाषा 1

दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि एक त्रिभुज के कोण और सभी कोण क्रमशः दूसरे और त्रिभुज के कोणों के बराबर हों और इन त्रिभुजों की सभी समरूप भुजाएँ समानुपाती हों, अर्थात्

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(एसी)(A_1C_1)\]

पद: $ABC\sim A_1B_1C_1$

परिभाषा 2

समरूप आकृतियों की समरूप भुजाओं के अनुपात के बराबर $k$ की संख्या को इन आकृतियों की समानता का गुणांक कहा जाता है।

समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल अनुपात

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात पर निम्नलिखित प्रमेय इस अवधारणा से जुड़ा है। आइए इसे बिना प्रमाण के मानें।

प्रमेय 1

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात्

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

हम त्रिभुजों की समानता के लिए तीन मानदंडों के सूत्रीकरण प्रस्तुत करते हैं।

प्रमेय 2

: यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

अर्थात्, यदि $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$, तो त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुजों की समानता का पहला चिन्ह

प्रमेय 3

त्रिभुजों की समता का दूसरा चिन्ह: यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच के कोण समान हों, तो ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

अर्थात्, यदि $\angle A=\angle A_1$ और $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, तो त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं (चित्र 3) .

चित्र 3. त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह

प्रमेय 4

त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह: यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन संगत भुजाओं के समानुपाती हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।

अर्थात्, यदि $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, तो त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं।

त्रिभुजों की समानता की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

क्या समद्विबाहु त्रिभुज समान होते हैं यदि उनके पास

एक समान तीव्र कोण के साथ;

एक समान अधिक कोण के साथ;

समान समकोण।

समाधान।

$\angle A=\angle A_1 के साथ समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ दें।

चलो $\angle A=\angle A_1$ त्रिभुजों के न्यून कोण हों। फिर दो संभावित मामले हैं:

a) $\angle A=\angle A_1$ - इन त्रिभुजों के शीर्ष पर कोण। फिर, चूँकि त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है, तो

\[\angle B=\angle C=\frac(180-\angle A)(2)\]

चूँकि त्रिभुज $A_1B_1C_1$ समद्विबाहु है, तो

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac(180-A_1)(2)=\frac(180-\angle A)(2)=\angle B=\angle C\]

यानी, $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$। समानता के पहले मानदंड से, हम पाते हैं कि त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं।

b) $\angle A=\angle A_1$ - इन त्रिभुजों के आधार पर कोण। चूँकि त्रिभुज समरूप होते हैं, इसलिए उनके आधार कोण बराबर होते हैं। लेकिन तब एक त्रिभुज के दो संगत कोण दूसरे त्रिभुज के दो संगत कोणों के बराबर होते हैं। अत: त्रिभुजों की समरूपता के प्रथम चिह्न के अनुसार त्रिभुज समरूप होते हैं।

चूंकि कोण अधिक है, यह इन त्रिभुजों के आधार पर स्थित है। इसी प्रकार मद 1, क), हम पाते हैं कि वे समान हैं।

चूंकि कोण एक समकोण है, यह इन त्रिभुजों के आधार पर स्थित है। इसी प्रकार मद 1, क), हम पाते हैं कि वे समान हैं।

उदाहरण 2

क्या त्रिभुज $ABC$ और $A_1B_1C_1$ समान हैं यदि $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ (\ A)_1B_1=34,\ (\ B)_1C_1=60,\ \ A_1C_1= 84 $?

समाधान।

त्रिभुजों की भुजाओं के प्रत्येक युग्म के लिए समरूपता गुणांक ज्ञात कीजिए:

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(17)(34)=\frac(1)(2)\] \[\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(30)( 60)=\frac(1)(2)\] \[\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(42)(84)=\frac(1)(2)\]

हमें मिला

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(1)(2)\]

अत: त्रिभुजों की तीसरी समरूपता कसौटी के अनुसार, हम पाते हैं कि ये त्रिभुज समरूप हैं।