रेखाओं के बीच के कोण की गणना के लिए सूत्र। समतल पर रेखाओं के बीच का कोण

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में रेखाएँ दी गई हैं मैंऔर एम. अंतरिक्ष के किसी बिंदु A से होकर हम सीधी रेखाएँ खींचते हैं मैं 1 || मैंऔर एम 1 || एम(चित्र। 138)।

ध्यान दें कि बिंदु A को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, विशेष रूप से, यह दी गई पंक्तियों में से एक पर स्थित हो सकता है। अगर सीधा मैंऔर एमप्रतिच्छेद करते हैं, तो A को इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में लिया जा सकता है ( मैं 1 = एलऔर एम 1 = एम).

गैर-समानांतर रेखाओं के बीच का कोण मैंऔर एमसीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने से बनने वाले सबसे छोटे आसन्न कोणों का मान है मैं 1 और एम 1 (मैं 1 || मैं, एम 1 || एम) समांतर रेखाओं के बीच का कोण शून्य माना जाता है।

रेखाओं के बीच का कोण मैंऔर एम\(\widehat((l;m)) \) द्वारा निरूपित। परिभाषा से यह इस प्रकार है कि यदि इसे डिग्री में मापा जाता है, तो 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, और यदि रेडियन में, तो 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

एक कार्य।घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है (चित्र 139)।

सीधी रेखाओं AB और DC 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

स्ट्रेट एबी और डीसी 1 क्रॉसिंग। चूँकि रेखा DC, रेखा AB के समानांतर है, रेखा AB और DC 1 के बीच का कोण, परिभाषा के अनुसार, \(\widehat(C_(1)DC)\) के बराबर है।

अत: \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°।

सीधे मैंऔर एमबुलाया सीधा, अगर \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. उदाहरण के लिए, एक घन में

रेखाओं के बीच के कोण की गणना।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या को उसी तरह हल किया जाता है जैसे विमान में। रेखाओं के बीच के कोण . द्वारा निरूपित करें मैं 1 और मैं 2 , और से होकर - दिशा सदिशों के बीच का कोण लेकिन और बी ये सीधी रेखाएँ।

तो अगर

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (चित्र 206.6), फिर = 180° - । यह स्पष्ट है कि दोनों ही स्थितियों में समानता cos = |cos | सत्य है। सूत्र के अनुसार ( . के बीच के कोण की कोज्या) गैर-शून्य वैक्टरए और बी बराबर है डॉट उत्पादइन सदिशों में से उनकी लंबाई के गुणनफल से विभाजित) हमारे पास है

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

फलस्वरूप,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

मान लीजिए कि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; और \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

फिर रेखाओं के बीच के कोण को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

यदि पंक्तियों में से एक (या दोनों) गैर-विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए, आपको इन रेखाओं के दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करना होगा।

कार्य 1।रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

सीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक होते हैं:

ए \u003d (-√2; √2; -2), बी = (√3 ; √3 ; √6 ).

सूत्र (1) से हम पाते हैं

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

अत: इन रेखाओं के बीच का कोण 60° है।

कार्य 2.रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) and \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(मामलों) $$

गाइड वेक्टर के पीछे लेकिन पहली सीधी रेखा हम सामान्य वैक्टर के वेक्टर उत्पाद लेते हैं एन 1 = (3; 0; -12) और एन 2 = (1; 1; -3) इस रेखा को परिभाषित करने वाले तल। सूत्र द्वारा \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) हम प्राप्त करते हैं

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

इसी तरह, हम दूसरी सीधी रेखा का दिशा सदिश पाते हैं:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

लेकिन सूत्र (1) वांछित कोण की कोज्या की गणना करता है:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

अतः इन रेखाओं के बीच का कोण 90° है।

कार्य 3.त्रिभुजाकार पिरामिड MAVS में, किनारे MA, MB और MC परस्पर लंबवत हैं, (चित्र 207);

उनकी लंबाई क्रमशः 4, 3, 6 के बराबर है। बिंदु D मध्य [MA] है। रेखा CA और DB के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि SA और DB रेखा SA और DB के दिशा सदिश हैं।

आइए बिंदु M को निर्देशांक के मूल के रूप में लें। कार्य की स्थिति से, हमारे पास ए (4; 0; 0), बी (0; 0; 3), सी (0; 6; 0), डी (2; 0; 0) है। इसलिए \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3)। हम सूत्र (1) का उपयोग करते हैं:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

कोसाइन की तालिका के अनुसार, हम पाते हैं कि सीधी रेखाओं CA और DB के बीच का कोण लगभग 72 ° है।

अनुदेश

ध्यान दें

अवधि त्रिकोणमितीय फलनस्पर्शरेखा 180 डिग्री के बराबर है, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखाओं के झुकाव के कोण इस मान से अधिक नहीं हो सकते हैं।

उपयोगी सलाह

यदि ढलान गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं, तो ऐसी रेखाओं के बीच का कोण 0 होता है, क्योंकि ऐसी रेखाएँ या तो संपाती होती हैं या समानांतर होती हैं।

प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए, चौराहे पर समानांतर स्थानांतरण की विधि द्वारा दोनों पंक्तियों (या उनमें से एक) को एक नई स्थिति में स्थानांतरित करना आवश्यक है। उसके बाद, आपको परिणामी प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना चाहिए।

आपको चाहिये होगा

• शासक, सही त्रिकोण, पेंसिल, चांदा।

अनुदेश

तो, मान लीजिए कि सदिश V = (a, b, c) और तल A x + B y + C z = 0 दिया गया है, जहाँ A, B और C प्रसामान्य N के निर्देशांक हैं। तब कोण की कोज्या वैक्टर V और N के बीच α है: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²))।

डिग्री या रेडियन में कोण के मान की गणना करने के लिए, आपको परिणामी अभिव्यक्ति से कोसाइन के विपरीत फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। आर्ककोसाइन: α \u003d arscos ((a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) (A² + B² + C²)))।

उदाहरण: ढूंढें इंजेक्शनके बीच वेक्टर(5, -3, 8) और विमान, सामान्य समीकरण 2 x - 5 y + 3 z = 0 द्वारा दिया गया है। हल: समतल N = (2, -5, 3) के प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक लिखिए। सब कुछ बदलें ज्ञात मूल्यउपरोक्त सूत्र में: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°।

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एक सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, वृत्त की स्पर्श रेखा होती है। स्पर्शरेखा की एक अन्य विशेषता यह है कि यह हमेशा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, अर्थात स्पर्शरेखा और त्रिज्या एक सीधी रेखा बनाती है। इंजेक्शन. यदि वृत्त AB और AC पर दो स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु A से खींची जाती हैं, तो वे हमेशा एक दूसरे के बराबर होती हैं। स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण की परिभाषा ( इंजेक्शन ABC) पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके बनाया गया है।

अनुदेश

कोण का निर्धारण करने के लिए, आपको वृत्त OB और OS की त्रिज्या और वृत्त के केंद्र से स्पर्शरेखा के शुरुआती बिंदु की दूरी जानने की आवश्यकता है - O. तो, कोण ABO और ACO बराबर हैं, त्रिज्या OB, उदाहरण के लिए, 10 सेमी, और वृत्त AO के केंद्र की दूरी 15 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार सूत्र द्वारा स्पर्शरेखा की लंबाई निर्धारित करें: AB = वर्गमूल AO2 से - OB2 या 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

यह सामग्री ऐसी अवधारणा के लिए समर्पित है जैसे दो प्रतिच्छेद सीधी रेखाओं के बीच का कोण। पहले पैराग्राफ में, हम समझाएंगे कि यह क्या है और इसे दृष्टांतों में दिखाएंगे। फिर हम विश्लेषण करेंगे कि आप इस कोण के साइन, कोसाइन और स्वयं कोण को कैसे ढूंढ सकते हैं (हम अलग-अलग मामलों पर एक विमान और त्रि-आयामी स्थान के साथ विचार करेंगे), हम आवश्यक सूत्र देंगे और उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि वे वास्तव में कैसे लागू होते हैं व्यवहार में।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

यह समझने के लिए कि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण क्या होता है, हमें कोण, लंबवतता और प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुत परिभाषा को याद करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1

हम दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए कहते हैं यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। इस बिंदु को दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है।

प्रत्येक रेखा को प्रतिच्छेदन बिंदु से किरणों में विभाजित किया जाता है। इस स्थिति में, दोनों रेखाएँ 4 कोण बनाती हैं, जिनमें से दो लंबवत हैं और दो आसन्न हैं। यदि हम उनमें से एक का माप जानते हैं, तो हम शेष शेष का निर्धारण कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हम जानते हैं कि इनमें से एक कोण α के बराबर है। ऐसी स्थिति में, जो कोण इसके लिए लंबवत है, वह भी α के बराबर होगा। शेष कोणों को खोजने के लिए, हमें 180 ° - α के अंतर की गणना करने की आवश्यकता है। यदि α 90 डिग्री के बराबर है, तो सभी कोण समकोण होंगे। समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं को लंबवत कहा जाता है (एक अलग लेख लंबवतता की अवधारणा के लिए समर्पित है)।

तस्वीर को जरा देखिए:

आइए हम मुख्य परिभाषा के निर्माण के लिए आगे बढ़ें।

परिभाषा 2

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाला कोण इन दो रेखाओं को बनाने वाले 4 कोणों में से छोटे कोणों का माप होता है।

परिभाषा से यह बनाना आवश्यक है महत्वपूर्ण निष्कर्ष: इस मामले में कोने का आकार किसी के द्वारा व्यक्त किया जाएगा वास्तविक संख्याअंतराल में (0, 90]। यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके बीच का कोण किसी भी स्थिति में 90 डिग्री के बराबर होगा।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की माप ज्ञात करने की क्षमता अनेक व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोगी होती है। समाधान विधि को कई विकल्पों में से चुना जा सकता है।

शुरुआत के लिए, हम ज्यामितीय तरीके ले सकते हैं। यदि हम अतिरिक्त कोणों के बारे में कुछ जानते हैं, तो हम समान या समान आकृतियों के गुणों का उपयोग करके उन्हें उस कोण से जोड़ सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं और हमें उन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है, जिन पर ये भुजाएँ स्थित हैं, तो कोसाइन प्रमेय हल करने के लिए उपयुक्त है। यदि हमारे पास स्थिति में एक समकोण त्रिभुज है, तो गणना के लिए हमें कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा को भी जानना होगा।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि भी बहुत सुविधाजनक है। आइए बताते हैं कि इसे सही तरीके से कैसे इस्तेमाल किया जाए।

हमारे पास दो सीधी रेखाओं के साथ एक आयताकार (कार्तीय) समन्वय प्रणाली O x y है। आइए उन्हें अक्षर a और b से निरूपित करें। इस मामले में, किसी भी समीकरण का उपयोग करके सीधी रेखाओं का वर्णन किया जा सकता है। मूल रेखाओं में एक प्रतिच्छेदन बिंदु M होता है। इन पंक्तियों के बीच वांछित कोण (आइए इसे α निरूपित करें) का निर्धारण कैसे करें?

आइए दी गई शर्तों के तहत कोण खोजने के मूल सिद्धांत के निर्माण के साथ शुरू करें।

हम जानते हैं कि निर्देशन और सामान्य वेक्टर जैसी अवधारणाएं एक सीधी रेखा की अवधारणा से निकटता से संबंधित हैं। यदि हमारे पास किसी सीधी रेखा का समीकरण है, तो हम इससे इन सदिशों के निर्देशांक ले सकते हैं। हम इसे एक साथ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए कर सकते हैं।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

• दिशा वैक्टर के बीच कोण;
• सामान्य वैक्टर के बीच कोण;
• एक रेखा के सामान्य वेक्टर और दूसरी के दिशा वेक्टर के बीच का कोण।

अब आइए प्रत्येक विधि को अलग से देखें।

1. मान लीजिए कि हमारे पास दिशा सदिश a → = (a x , a y) के साथ एक रेखा a और दिशा सदिश b → (b x , b y) वाली एक रेखा b है। अब दो सदिशों a → और b → को प्रतिच्छेदन बिंदु से अलग रखते हैं। उसके बाद, हम देखेंगे कि वे प्रत्येक अपनी लाइन पर स्थित होंगे। तब हमारे पास उनके लिए चार विकल्प होते हैं तुलनात्मक स्थिति. उदाहरण देखें:

यदि दो सदिशों के बीच का कोण अधिक नहीं है, तो यह वह कोण होगा जो हमें प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच चाहिए। यदि यह अधिक है, तो वांछित कोण कोण a → , b → ^ के आसन्न कोण के बराबर होगा। इस प्रकार, α = a → , b → ^ यदि a → , b → ^ ≤ 90 ° , और α = 180 ° - a → , b → ^ यदि a → , b → ^ > 90 °।

इस तथ्य के आधार पर कि समान कोणों की कोज्या बराबर हैं, हम परिणामी समानता को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं: cos α = cos a → , b → ^ यदि a → , b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ यदि a → , b → ^ > 90 ° ।

दूसरे मामले में, कमी सूत्रों का इस्तेमाल किया गया था। इस प्रकार से,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

आइए अंतिम सूत्र को शब्दों में लिखें:

परिभाषा 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले कोण की कोज्या उसके दिशा सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के मापांक के बराबर होगी।

दो सदिशों a → = (a x, a y) और b → = (b x, b y) के बीच के कोण की कोज्या के लिए सूत्र का सामान्य रूप इस तरह दिखता है:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

इससे हम दो दी गई रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

तब कोण स्वयं निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

यहाँ a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) दी गई रेखाओं के दिशा सदिश हैं।

आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 1

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, समतल पर दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b दी गई हैं। उन्हें पैरामीट्रिक समीकरण x = 1 + 4 · λ y = 2 + ∈ R और x 5 = y - 6 - 3 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें।

समाधान

हमारे पास स्थिति में एक पैरामीट्रिक समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इस सीधी रेखा के लिए हम तुरंत इसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें गुणांक के मान को पैरामीटर पर लेने की आवश्यकता है, अर्थात। रेखा x = 1 + 4 λ y = 2 + R का एक दिशा सदिश a → = (4 , 1) होगा।

दूसरी सीधी रेखा को विहित समीकरण x 5 = y - 6 - 3 का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यहां हम हर से निर्देशांक ले सकते हैं। इस प्रकार, इस रेखा का एक दिशा सदिश b → = (5 , - 3) है।

अगला, हम सीधे कोण खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। ऐसा करने के लिए, उपरोक्त सूत्र α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 में दो वैक्टर के उपलब्ध निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

उत्तर: ये रेखाएँ 45 डिग्री का कोण बनाती हैं।

हम सामान्य सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करके इसी तरह की समस्या को हल कर सकते हैं। यदि हमारे पास एक सामान्य सदिश के साथ एक रेखा a → = (nax , nay) और एक सामान्य वेक्टर nb → = (nbx , nby) के साथ एक रेखा b है, तो उनके बीच का कोण na → और के बीच के कोण के बराबर होगा। nb → या वह कोण जो na → , nb → ^ के निकट होगा। यह विधि चित्र में दिखाई गई है:

प्रतिच्छेदन रेखाओं और इस कोण के बीच के कोण की कोज्या की गणना के लिए सूत्र सामान्य वैक्टर के निर्देशांक का उपयोग करते हुए इस तरह दिखते हैं:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

यहाँ n a → तथा n b → दो दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों को निरूपित करते हैं।

उदाहरण 2

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में समीकरण 3 x + 5 y - 30 = 0 और x + 4 y - 17 = 0 का उपयोग करके दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। उनके बीच के कोण की ज्या, कोज्या और स्वयं उस कोण का परिमाण ज्ञात कीजिए।

समाधान

मूल सीधी रेखाएं A x + B y + C = 0 के रूप के सामान्य सरल रेखा समीकरणों का उपयोग करके दी गई हैं। अभिलंब सदिश n → = (A , B) को निरूपित करें। आइए एक सीधी रेखा के लिए पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजें और उन्हें नीचे लिखें: n a → = (3 , 5)। दूसरी पंक्ति x + 4 y - 17 = 0 के लिए प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक n b → = (1 , 4) होंगे। अब प्राप्त मूल्यों को सूत्र में जोड़ें और कुल की गणना करें:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

यदि हम किसी कोण की कोज्या जानते हैं, तो हम मूल का उपयोग करके इसकी ज्या की गणना कर सकते हैं त्रिकोणमितीय पहचान. चूँकि सीधी रेखाओं से बना कोण α अधिक नहीं है, तो sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

इस स्थिति में, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 ।

उत्तर: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

आइए अंतिम मामले का विश्लेषण करें - रेखाओं के बीच के कोण को खोजना, यदि हम एक रेखा के दिशा वेक्टर और दूसरे के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक जानते हैं।

मान लें कि रेखा a का एक दिशा सदिश a → = (a x , a y) है, और रेखा b का एक प्रसामान्य सदिश n b → = (n b x , n b y) है। हमें इन वैक्टरों को चौराहे के बिंदु से स्थगित करने और उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए सभी विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है। तस्वीर देखो:

यदि दिए गए वैक्टर के बीच का कोण 90 डिग्री से अधिक नहीं है, तो यह पता चलता है कि यह ए और बी के बीच के कोण को समकोण पर पूरक करेगा।

a → , n b → ^ = 90 ° - α यदि a → , n b → ^ ≤ 90 °।

यदि यह 90 डिग्री से कम है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

a → , n b → ^ > 90 ° , फिर a → , n b → ^ = 90 ° + α

समान कोणों की कोज्याओं की समानता के नियम का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° के लिए।

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 °।

इस प्रकार से,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^, a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

आइए एक निष्कर्ष तैयार करें।

परिभाषा 4

एक समतल में प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं के बीच के कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आपको पहली पंक्ति के दिशा सदिश और दूसरी के सामान्य सदिश के बीच के कोण के कोज्या के मापांक की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए आवश्यक सूत्र लिखें। कोण की ज्या ज्ञात करना:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

खुद कोना ढूँढना:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

यहाँ a → पहली पंक्ति का दिशा सदिश है, और n b → दूसरी का सामान्य सदिश है।

उदाहरण 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ समीकरण x - 5 = y - 6 3 और x + 4 y - 17 = 0 द्वारा दी गई हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम दिए गए समीकरणों से निर्देशन और सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लेते हैं। यह एक → = (- 5 , 3) ​​और n → b = (1 , 4) निकलता है। हम सूत्र α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 लेते हैं और विचार करते हैं:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

ध्यान दें कि हमने पिछली समस्या से समीकरण लिए और बिल्कुल वही परिणाम प्राप्त किया, लेकिन एक अलग तरीके से।

उत्तर:α = ए आर सी पाप 7 2 34

यहां दी गई रेखाओं के ढलान गुणांक का उपयोग करके वांछित कोण खोजने का एक और तरीका है।

हमारे पास एक रेखा a है, जिसे समीकरण y = k 1 · x + b 1 और एक रेखा b का उपयोग करके एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित किया गया है, जिसे y = k 2 · x + b 2 के रूप में परिभाषित किया गया है। ये ढलान वाली रेखाओं के समीकरण हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , जहां k 1 और k 2 हैं ढलान कारकदी गई पंक्तियाँ। इस रिकॉर्ड को प्राप्त करने के लिए, सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से कोण निर्धारित करने के लिए सूत्रों का उपयोग किया गया था।

उदाहरण 4

एक समतल में दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, समीकरणों द्वारा दिया गया y = - 3 5 x + 6 और y = - 1 4 x + 17 4। चौराहे के कोण की गणना करें।

समाधान

हमारी रेखाओं के ढलान k 1 = - 3 5 और k 2 = - 1 4 के बराबर हैं। आइए उन्हें सूत्र α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 में जोड़ें और गणना करें:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

उत्तर:α = a r c cos 23 2 34

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां दिए गए कोणों को खोजने के सूत्रों को दिल से सीखने की जरूरत नहीं है। ऐसा करने के लिए, दी गई लाइनों के गाइड और/या सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को जानना पर्याप्त है और उन्हें निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए। विभिन्न प्रकारसमीकरण लेकिन किसी कोण की कोज्या की गणना के सूत्र याद रखने या लिखने के लिए बेहतर हैं।

अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें

इस तरह के कोण की गणना को दिशा वैक्टर के निर्देशांक की गणना और इन वैक्टरों द्वारा गठित कोण के परिमाण के निर्धारण के लिए कम किया जा सकता है। ऐसे उदाहरणों के लिए, हम उसी तर्क का प्रयोग करते हैं जो हमने पहले दिया है।

मान लें कि हमारे पास 3D स्पेस में स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली है। इसमें प्रतिच्छेद बिंदु M के साथ दो रेखाएँ a और b हैं। दिशा सदिशों के निर्देशांकों की गणना करने के लिए, हमें इन रेखाओं के समीकरणों को जानना होगा। दिशा सदिश a → = (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) को निरूपित करें। उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

कोण को स्वयं खोजने के लिए, हमें इस सूत्र की आवश्यकता है:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

उदाहरण 5

हमारे पास समीकरण x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 का उपयोग करके 3D स्पेस में परिभाषित एक सीधी रेखा है। यह ज्ञात है कि यह O z अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है। प्रतिच्छेद कोण और उस कोण की कोज्या की गणना करें।

समाधान

आइए अक्षर α द्वारा गणना किए जाने वाले कोण को निरूपित करें। आइए पहली सीधी रेखा - a → = (1 , - 3 , - 2) के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक लिखें। अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए, हम निर्देशांक सदिश k → = (0 , 0 , 1) को मार्गदर्शक के रूप में ले सकते हैं। हमें आवश्यक डेटा प्राप्त हुआ है और इसे वांछित सूत्र में जोड़ सकते हैं:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

नतीजतन, हमने पाया कि हमें जिस कोण की आवश्यकता होगी वह बराबर होगा a r c cos 1 2 = 45 °।

उत्तर: cos α = 1 2, α = 45 °।

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गणित की परीक्षा की तैयारी कर रहे प्रत्येक छात्र के लिए "लाइनों के बीच के कोण का पता लगाना" विषय को दोहराना उपयोगी होगा। जैसा कि आंकड़े दिखाते हैं, प्रमाणन परीक्षण पास करते समय, स्टीरियोमेट्री के इस खंड में कार्य के लिए कठिनाइयों का कारण बनता है एक लंबी संख्याछात्र। उसी समय, सीधी रेखाओं के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता वाले कार्य USE में बुनियादी और प्रोफ़ाइल दोनों स्तरों पर पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि हर कोई उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए।

बुनियादी क्षण

अन्तरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था 4 प्रकार की होती है। वे संयोग कर सकते हैं, प्रतिच्छेद कर सकते हैं, समानांतर या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। उनके बीच का कोण तीव्र या सीधा हो सकता है।

एकीकृत राज्य परीक्षा में रेखाओं के बीच के कोण को खोजने के लिए या, उदाहरण के लिए, समाधान में, मॉस्को और अन्य शहरों में स्कूली बच्चे स्टीरियोमेट्री के इस खंड में समस्याओं को हल करने के लिए कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। आप शास्त्रीय निर्माण द्वारा कार्य को पूरा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, स्टीरियोमेट्री के मूल सिद्धांतों और प्रमेयों को सीखना उचित है। कार्य को एक समतलीय समस्या में लाने के लिए छात्र को तार्किक रूप से तर्क बनाने और चित्र बनाने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

आप सरल सूत्रों, नियमों और एल्गोरिदम का उपयोग करके वेक्टर-समन्वय विधि का भी उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में मुख्य बात सभी गणनाओं को सही ढंग से करना है। यह आपको स्टीरियोमेट्री और स्कूल पाठ्यक्रम के अन्य वर्गों में समस्याओं को हल करने में अपने कौशल को सुधारने में मदद करेगा। शैक्षिक परियोजना"श्कोल्कोवो"।

लेकिन। दो रेखाएँ दें।ये रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में बताया गया था, विभिन्न सकारात्मक और नकारात्मक कोण बनाती हैं, जो इस मामले में, न्यून और अधिक दोनों हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम किसी अन्य कोण को आसानी से खोज सकते हैं।

वैसे इन सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा का संख्यात्मक मान समान होता है, अंतर केवल चिह्न में हो सकता है

रेखाओं के समीकरण। संख्याएं पहली और दूसरी पंक्तियों के निर्देशन वैक्टर के अनुमान हैं। इन वैक्टरों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा बनाए गए कोणों में से एक के बराबर होता है। इसलिए, वैक्टर के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए समस्या कम हो जाती है, हमें मिलता है

सरलता के लिए, हम एक न्यून धनात्मक कोण को समझने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर सहमत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार, यदि सूत्र (1) के दाईं ओर ऋण चिह्न प्राप्त होता है, तो हमें इसे त्याग देना चाहिए, अर्थात केवल निरपेक्ष मान रखना चाहिए।

उदाहरण। रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र द्वारा (1) हमारे पास है

से। यदि यह इंगित किया जाए कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी इसका अंत है, तो कोण की दिशा को हमेशा वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्रों (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि अंजीर से देखना आसान है। 53 सूत्र के दाईं ओर प्राप्त चिह्न (1) इंगित करेगा कि कौन सा एक - न्यून या अधिक - कोण पहली के साथ दूसरी पंक्ति बनाता है।

(वास्तव में, अंजीर। 53 से हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा के वैक्टर के बीच का कोण या तो रेखाओं के बीच वांछित कोण के बराबर होता है, या इससे ± 180 ° से भिन्न होता है।)

डी। यदि रेखाएँ समानांतर हों, तो उनके दिशा सदिश भी समानांतर होते हैं।दो सदिशों की समांतरता की स्थिति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं!

दो रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। सीधे

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति को लागू करने पर, हम दो रेखाओं के लंबवतता की स्थिति प्राप्त करते हैं, अर्थात्

उदाहरण। सीधे

लंबवत क्योंकि

समांतरता और लंबवतता की शर्तों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं को हल करेंगे।

एफ। एक बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचे

निर्णय इस प्रकार किया जाता है। चूंकि वांछित रेखा दी गई रेखा के समानांतर है, तो इसके निर्देशन वेक्टर के लिए हम दी गई रेखा के समान ही ले सकते हैं, अर्थात, ए और बी अनुमानों के साथ एक वेक्टर। और फिर वांछित रेखा का समीकरण लिखा जाएगा फॉर्म में (§ 1)

उदाहरण। एक सीधी रेखा के समांतर एक बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। दी गई रेखा के लंबवत बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें

यहां, अनुमान ए के साथ एक वेक्टर और एक निर्देशन वेक्टर के रूप में लेने के लिए अब उपयुक्त नहीं है, लेकिन इसके लिए एक वेक्टर लंबवत जीतना आवश्यक है। इसलिए इस वेक्टर के अनुमानों को इस शर्त के अनुसार चुना जाना चाहिए कि दोनों वैक्टर लंबवत हैं, यानी स्थिति के अनुसार

इस शर्त को अनंत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है। लेकिन इसे लेना सबसे आसान तरीका है। फिर वांछित सीधी रेखा का समीकरण रूप में लिखा जाएगा

उदाहरण। एक लंब रेखा में एक बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब रेखाएँ रूप के समीकरणों द्वारा दी जाती हैं