डिग्रियों का अर्थ है न्यूनकोण त्रिभुज। त्रिभुजों के प्रकार: समकोण, न्यूनकोण, अधिक कोण वाले

एक नियम के रूप में, दो त्रिभुजों को समान माना जाता है यदि उनका आकार समान हो, भले ही वे अलग-अलग आकार के हों, घुमाए गए हों या उलटे भी हों।

आकृति में दिखाए गए दो समरूप त्रिभुजों A 1 B 1 C 1 और A 2 B 2 C 2 का गणितीय निरूपण इस प्रकार लिखा गया है:

ए 1 बी 1 सी 1 ~ ∆ए 2 बी 2 सी 2

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि:

1. एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोण के बराबर होता है:
A 1 = A 2 , ∠B 1 = B 2तथा C1 = C2

2. एक त्रिभुज की भुजाओं का दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं से अनुपात एक-दूसरे के बराबर होता है:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. रिश्ते दो बाजूएक त्रिभुज का दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं से एक दूसरे के बराबर और एक ही समय में
इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हैं:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ और $\angle A_1 = \angle A_2$
या
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ और $\angle B_1 = \angle B_2$
या
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ और $\angle C_1 = \angle C_2$

समान त्रिभुजों को समान त्रिभुजों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई होती है। तो समान त्रिभुजों के लिए:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी समान त्रिभुज समरूप होते हैं। हालांकि, सभी समरूप त्रिभुज समान नहीं होते हैं।

यद्यपि उपरोक्त संकेतन से पता चलता है कि दो त्रिभुज समान हैं या नहीं, यह पता लगाने के लिए, हमें समान त्रिभुजों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए, प्रत्येक त्रिभुज के तीन कोणों के मान या प्रत्येक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। प्रत्येक त्रिभुज के लिए ऊपर से किन्हीं तीन मानों को जानने के लिए पर्याप्त है। ये मान विभिन्न संयोजनों में हो सकते हैं:

1) प्रत्येक त्रिभुज के तीन कोण (त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं है)।

या एक त्रिभुज के कम से कम 2 कोण दूसरे त्रिभुज के 2 कोणों के बराबर होने चाहिए।
चूँकि यदि 2 कोण बराबर हैं, तो तीसरा कोण भी बराबर होगा।(तीसरे कोण का मान 180 - कोण 1 - कोण 2 है)

2) प्रत्येक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई (कोण जानने की आवश्यकता नहीं);

3) दोनों पक्षों की लंबाई और उनके बीच का कोण।

आगे, हम समरूप त्रिभुजों वाली कुछ समस्याओं के हल पर विचार करते हैं। सबसे पहले, हम उन समस्याओं को देखेंगे जिन्हें सीधे उपरोक्त नियमों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और फिर हम कुछ व्यावहारिक समस्याओं पर चर्चा करेंगे जिन्हें समान त्रिकोण विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

समरूप त्रिभुजों वाली व्यावहारिक समस्याएं

उदाहरण 1: दर्शाइए कि नीचे दी गई आकृति में दो त्रिभुज समरूप हैं।

समाधान:
चूँकि दोनों त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात है, दूसरा नियम यहाँ लागू किया जा सकता है:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

उदाहरण #2: दर्शाइए कि दिए गए दो त्रिभुज समरूप हैं और भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए पी क्यूतथा जनसंपर्क.

समाधान:
ए = पीतथा B = Q, C = R(क्योंकि C = 180 - ∠A - B और ∠R = 180 - ∠P - Q)

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज ∆ABC और PQR समरूप हैं। फलस्वरूप:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ और
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

उदाहरण #3: लंबाई निर्धारित करें अबइस त्रिभुज में।

समाधान:

ABC = ADE, ACB = AEDतथा एसामान्य => त्रिभुज एबीसीतथा एडीईसमान है।

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

उदाहरण #4: लंबाई निर्धारित करें एडी (एक्स)आकृति में ज्यामितीय आकृति।

त्रिभुज ABC और ∆CDE समरूप हैं क्योंकि AB || डीई और उनके पास एक आम है ऊपरी कोनासी।
हम देखते हैं कि एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज का छोटा रूप है। हालाँकि, हमें इसे गणितीय रूप से सिद्ध करने की आवश्यकता है।

एबी || डीई, सीडी || एसी और बीसी || यूरोपीय संघ
BAC = EDC और ∠ABC = DEC

पूर्वगामी के आधार पर और एक सामान्य कोण की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए सी, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज ABC और CDE समरूप हैं।

फलस्वरूप:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23.57
एक्स = एसी - डीसी = 23.57 - 15 = 8.57

व्यावहारिक उदाहरण

उदाहरण #5: फैक्ट्री उत्पादों को स्तर 1 से स्तर 2 तक ले जाने के लिए एक इच्छुक कन्वेयर बेल्ट का उपयोग करती है, जो कि स्तर 1 से 3 मीटर ऊपर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इच्छुक कन्वेयर को एक छोर से स्तर 1 तक और दूसरे छोर से स्तर 1 ऑपरेटिंग बिंदु से 8 मीटर की दूरी पर स्थित वर्कस्टेशन तक सेवित किया जाता है।

कारखाना कन्वेयर कोण को बनाए रखते हुए नए स्तर तक पहुंचने के लिए कन्वेयर को अपग्रेड करना चाहता है, जो कि स्तर 1 से 9 मीटर ऊपर है।

उस दूरी का निर्धारण करें जिस पर आपको एक नया कार्य केंद्र स्थापित करने की आवश्यकता है ताकि कन्वेयर अपने नए सिरे पर 2 स्तर पर संचालित हो सके। साथ ही उस अतिरिक्त दूरी की गणना करें जो उत्पाद एक नए स्तर पर जाने पर यात्रा करेगा।

समाधान:

सबसे पहले, आइए प्रत्येक चौराहे के बिंदु को एक विशिष्ट अक्षर के साथ लेबल करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

पिछले उदाहरणों में दिए गए तर्कों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज ABC और ADE समरूप हैं। फलस्वरूप,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 मी$
एक्स = एबी - 8 = 24 - 8 = 16 एम

इस प्रकार, नया बिंदु मौजूदा बिंदु से 16 मीटर की दूरी पर स्थापित किया जाना चाहिए।

और चूंकि संरचना समकोण त्रिभुजों से बनी है, इसलिए हम उत्पाद यात्रा दूरी की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

इसी तरह, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
वह दूरी है जिसमें उत्पाद यात्रा करता है इस पलमौजूदा स्तर में प्रवेश करने पर।

वाई = एसी - एई = 25.63 - 8.54 = 17.09 एम
यह वह अतिरिक्त दूरी है जो एक उत्पाद को एक नए स्तर तक पहुंचने के लिए तय करनी चाहिए।

उदाहरण #6: स्टीव अपने दोस्त से मिलने जाना चाहता है जो हाल ही में में आया है नया घर. स्टीव और उसके दोस्त के घर जाने का रोड मैप, स्टीव को ज्ञात दूरियों के साथ, चित्र में दिखाया गया है। स्टीव को जल्द से जल्द अपने दोस्त के घर पहुंचने में मदद करें।

समाधान:

रोडमैप को निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि त्रिभुज ∆ABC और CDE समरूप हैं, इसलिए:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

कार्य विवरण में कहा गया है कि:

AB = 15 किमी, AC = 13.13 किमी, CD = 4.41 किमी और DE = 5 किमी

इस जानकारी का उपयोग करके, हम निम्नलिखित दूरियों की गणना कर सकते हैं:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

स्टीव निम्नलिखित मार्गों से अपने मित्र के घर जा सकता है:

ए -> बी -> सी -> ई -> जी, कुल दूरी 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 किमी है

एफ -> बी -> सी -> डी -> जी, कुल दूरी 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 किमी है

एफ -> ए -> सी -> ई -> जी, कुल दूरी 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 किमी है

एफ -> ए -> सी -> डी -> जी, कुल दूरी 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 किमी है

इसलिए, मार्ग #3 सबसे छोटा है और स्टीव को पेश किया जा सकता है।

उदाहरण 7:
तृषा घर की ऊंचाई नापना चाहती है, लेकिन उसके पास नहीं है सही उपकरण. उसने देखा कि घर के सामने एक पेड़ उग रहा था और उसने इमारत की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए स्कूल में प्राप्त अपनी संसाधनशीलता और ज्यामिति के ज्ञान का उपयोग करने का फैसला किया। उसने पेड़ से घर की दूरी नापी, नतीजा 30 मीटर था। फिर वह पेड़ के सामने खड़ी हो गई और तब तक पीछे हटने लगी जब तक कि इमारत का ऊपरी किनारा पेड़ के ऊपर दिखाई नहीं दे रहा था। तृषा ने उस स्थान को चिन्हित किया और उससे पेड़ तक की दूरी नापी। यह दूरी 5 मीटर थी।

पेड़ की ऊंचाई 2.8 मीटर और तृषा की आंखों की ऊंचाई 1.6 मीटर है। त्रिशा को इमारत की ऊंचाई निर्धारित करने में मदद करें।

समाधान:

समस्या का ज्यामितीय निरूपण चित्र में दिखाया गया है।

पहले हम त्रिभुजों ABC और ADE की समरूपता का प्रयोग करते हैं।

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + एसी) = 8 + 1.6 \बार एसी$

$(2.8 - 1.6) \ बार एसी = 8 \ दायां एसी = \ frac (8) (1.2) = 6.67 $

फिर हम त्रिभुज ∆ACB और AFG या ADE और AFG की समानता का उपयोग कर सकते हैं। आइए पहला विकल्प चुनें।

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0.16) = 10 मीटर$

दो त्रिभुजों को सर्वांगसम कहा जाता है यदि उन्हें अतिव्याप्त किया जा सकता है। चित्र 1 में समान त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 दिखाया गया है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज को दूसरे पर आरोपित किया जा सकता है ताकि वे पूरी तरह से संगत हों, अर्थात उनके शीर्ष और भुजाएँ एक साथ जोड़ी गई हों। यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में इन त्रिभुजों के कोणों को जोड़े में जोड़ा जाएगा।

इस प्रकार, यदि दो त्रिभुज समान हैं, तो एक त्रिभुज के तत्व (अर्थात, भुजाएँ और कोण) क्रमशः दूसरे त्रिभुज के तत्वों के बराबर होते हैं। ध्यान दें कि समान त्रिभुजों में क्रमशः समान भुजाओं के सामने(अर्थात् अतिव्यापी होने पर अतिव्यापी) समान कोणों पर झूठ बोलनाऔर वापस: सम्मुख संगत रूप से समान कोण समान भुजाएँ रखते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, समान त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 में, चित्र 1 में दिखाया गया है, समान कोण C और C 1 क्रमशः समान भुजाओं AB और A 1 B 1 के विरुद्ध स्थित हैं। त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 की समानता को निम्नानुसार दर्शाया जाएगा: Δ एबीसी = Δ ए 1 बी 1 सी 1। यह पता चला है कि दो त्रिभुजों की समानता उनके कुछ तत्वों की तुलना करके स्थापित की जा सकती है।

प्रमेय 1. त्रिभुजों की समानता का पहला संकेत।यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं (चित्र 2)।

सबूत। त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 पर विचार करें, जिसमें एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1 ∠ ए \u003d ∠ ए 1 (चित्र 2 देखें)। आइए हम सिद्ध करें कि ABC = A 1 B 1 C 1 ।

चूंकि ∠ ए \u003d ∠ ए 1, तो त्रिभुज एबीसी को त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 1 पर लगाया जा सकता है ताकि शीर्ष ए शीर्ष ए 1 के साथ गठबंधन हो, और पक्ष एबी और एसी क्रमशः ओवरलैप हो जाएं। किरणें ए 1 बी 1 और ए 1 सी एक। चूंकि एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1, तो साइड एबी को साइड ए 1 बी 1 और साइड एसी के साथ जोड़ा जाएगा - साइड ए 1 सी 1 के साथ; विशेष रूप से, अंक बी और बी 1, सी और सी 1 संयोग करेंगे। इसलिए, भुजाएँ BC और B 1 C 1 संरेखित होंगी। तो, त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 पूरी तरह से संगत हैं, जिसका अर्थ है कि वे बराबर हैं।

प्रमेय 2 इसी प्रकार अध्यारोपण विधि से सिद्ध होता है।

प्रमेय 2। त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं (चित्र 34)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 के आधार पर, प्रमेय 3 की स्थापना की जाती है।

प्रमेय 3. किसी त्रिभुज के किन्हीं दो अंतः कोणों का योग 180° से कम होता है।

प्रमेय 4 अंतिम प्रमेय का अनुसरण करता है।

प्रमेय 4. त्रिभुज का बाह्य कोण किसी भी कोण से बड़ा होता है भीतरी कोने, उसके बगल में नहीं।

प्रमेय 5. त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह।यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर () होते हैं।

उदाहरण 1त्रिभुज ABC और DEF में (चित्र 4)

ए = ∠ ई, एबी = 20 सेमी, एसी = 18 सेमी, डीई = 18 सेमी, ईएफ = 20 सेमी। त्रिभुज एबीसी और डीईएफ की तुलना करें। त्रिभुज DEF में कौन सा कोण कोण B के बराबर है?

समाधान। ये त्रिभुज पहले चिन्ह में बराबर होते हैं। त्रिभुज DEF का कोण F, त्रिभुज ABC के कोण B के बराबर है, क्योंकि ये कोण संगत समान भुजाओं DE और AC के विपरीत स्थित हैं।

उदाहरण 2खंड AB और CD (चित्र 5) बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो उनमें से प्रत्येक का मध्य बिंदु है। यदि खंड AC 6 मीटर है तो खंड BD क्या है?

समाधान। त्रिभुज AOC और BOD बराबर हैं (पहले मानदंड के अनुसार): AOC = BOD (ऊर्ध्वाधर), AO = OB, CO = OD (शर्त के अनुसार)।
इन त्रिभुजों की समानता से उनकी भुजाओं की समानता का अनुसरण होता है, अर्थात् AC = BD। लेकिन चूँकि, शर्त के अनुसार, AC = 6 m, तो BD = 6 m।

मानक संकेतन

शीर्षों वाला त्रिभुज ए, बीतथा सीके रूप में दर्शाया गया है (चित्र देखें)। त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं:

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई लोअरकेस द्वारा दर्शाई जाती है लैटिन अक्षरों के साथ(ए, बी, सी):

त्रिभुज में निम्नलिखित कोण होते हैं:

संबंधित शीर्षों पर कोणों का मान पारंपरिक रूप से निरूपित किया जाता है ग्रीक अक्षर (α, β, γ).

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

यूक्लिडियन तल पर एक त्रिभुज मूल तत्वों के निम्नलिखित त्रिगुणों द्वारा परिभाषित विशिष्ट रूप से (एकरूपता तक) हो सकता है:

1. ए, बी, (दो पक्षों पर समानता और उनके बीच स्थित कोण);
2. ए, β, (पक्ष और दो आसन्न कोणों में समानता);
3. ए, बी, सी (तीन तरफ समानता)।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

1. पैर और कर्ण के साथ;
2. दो पैरों पर;
3. पैर और तीव्र कोण के साथ;
4. कर्ण और न्यून कोण।

त्रिभुज में कुछ बिंदु "युग्मित" हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे दो बिंदु हैं जहाँ से सभी भुजाएँ या तो 60° के कोण पर या 120° के कोण पर दिखाई देती हैं। उन्हें कहा जाता है डॉट्स टोरिसेली. ऐसे दो बिंदु भी हैं जिनकी भुजाओं पर प्रक्षेपण एक नियमित त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। यह - अपोलोनियस के अंक. अंक और जैसे कहलाते हैं ब्रोकार्ड अंक.

प्रत्यक्ष

किसी भी त्रिभुज में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, लंबकेन्द्र और परिबद्ध वृत्त का केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होता है, जिसे कहा जाता है यूलर लाइन.

परिबद्ध वृत्त के केंद्र और लेमोइन बिंदु से गुजरने वाली रेखा कहलाती है ब्रोकर की धुरी. अपोलोनियस अंक उस पर झूठ बोलते हैं। Torricelli बिंदु और Lemoine बिंदु भी एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। त्रिभुज के कोणों के बाह्य समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बाहरी द्विभाजक की धुरी. त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के साथ समकोण त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु भी उसी रेखा पर स्थित होते हैं। इस लाइन को कहा जाता है ऑर्थोसेंट्रिक अक्ष, यह यूलर रेखा के लंबवत है।

यदि हम किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त पर एक बिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज की भुजाओं पर उसका प्रक्षेपण एक सीधी रेखा पर होगा, जिसे कहा जाता है सिमसन की सीधी रेखादिया गया बिंदु। सिमसन के व्यास के विपरीत बिंदुओं की रेखाएं लंबवत हैं।

त्रिभुज

• किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से खींचे गए सेवियन के आधार पर शिखर वाले त्रिभुज को कहा जाता है सेवियन त्रिकोणइस बिंदु।
• एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं पर दिए गए बिंदु के प्रक्षेपणों में शीर्ष होते हैं, कहलाते हैं त्वचा के नीचेया पेडल त्रिकोणइस बिंदु।
• एक त्रिभुज जिसमें शीर्षों के माध्यम से खींची गई रेखाओं के दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर शीर्ष होते हैं और परिबद्ध वृत्त के साथ दिए गए बिंदु को कहा जाता है सेवियन त्रिकोण. एक सेवियन त्रिकोण एक सबडर्मल के समान है।

हलकों

• अंकित वृत्तत्रिभुज की तीनों भुजाओं पर स्पर्शरेखा वाला एक वृत्त है। वह अकेली है। उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र को कहते हैं केंद्र में.
• परिचालित वृत्त- त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाला एक वृत्त। परिचालित वृत्त भी अद्वितीय है।
• बहिवृत्त- एक त्रिभुज की एक भुजा की स्पर्श रेखा और अन्य दो भुजाओं का विस्तार। एक त्रिभुज में ऐसे तीन वृत्त होते हैं। इनका मूलक केंद्र माध्यिका त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है, जिसे कहा जाता है स्पाइकर की बात.

एक त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्यबिंदु, उसके तीन शीर्षों के आधार और उसके शीर्षों को लम्बकेन्द्र से जोड़ने वाले तीन रेखाखंडों के मध्यबिंदु एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं, जिन्हें कहा जाता है नौ बिंदुओं का चक्रया यूलर सर्कल. नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र यूलर रेखा पर स्थित है। नौ बिंदुओं वाला एक वृत्त एक उत्कीर्ण वृत्त और तीन वृत्तों को स्पर्श करता है। एक उत्कीर्ण वृत्त और नौ बिंदुओं वाले वृत्त के बीच संपर्क बिंदु कहलाता है फ़्यूअरबैक पॉइंट. यदि प्रत्येक शीर्ष से हम भुजाओं वाली सीधी रेखाओं पर त्रिभुज बनाते हैं, जो लंबाई में विपरीत भुजाओं के बराबर होते हैं, तो परिणामी छह बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं - कॉनवे सर्कल. किसी भी त्रिभुज में, तीन वृत्तों को इस प्रकार अंकित किया जा सकता है कि उनमें से प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाओं और दो अन्य वृत्तों को स्पर्श करे। ऐसे वृत्त कहलाते हैं मालफट्टी मंडल. छह त्रिभुजों के परिबद्ध वृत्तों के केंद्र, जिनमें त्रिभुज को माध्यिकाओं द्वारा विभाजित किया जाता है, एक वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसे कहते हैं लामुन सर्कल.

एक त्रिभुज में तीन वृत्त होते हैं जो त्रिभुज की दो भुजाओं और परिबद्ध वृत्त को स्पर्श करते हैं। ऐसे वृत्त कहलाते हैं अर्ध-अंकितया वेरियर सर्कल. वेरियर सर्कल के संपर्क बिंदुओं को परिचालित सर्कल से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे कहा जाता है वेरियर पॉइंट. यह समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, जो परिबद्ध वृत्त को अंतःवृत्त तक ले जाता है। वेरियर वृत्तों की भुजाओं के साथ स्पर्शरेखा बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।

उत्कीर्ण वृत्त के स्पर्श बिंदुओं को शीर्षों से जोड़ने वाले रेखाखंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, कहलाते हैं गेर्गोन पॉइंट, और वृत्तों के संपर्क बिंदुओं के साथ कोने को जोड़ने वाले खंड - in नागल बिंदु.

दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय

खुदा हुआ शंकु (दीर्घवृत्त) और उसका दृष्टिकोण

एक त्रिभुज में अनंत संख्या में शंकु (दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय) अंकित किए जा सकते हैं। यदि हम एक त्रिभुज में एक मनमाना शंकु अंकित करते हैं और संपर्क बिंदुओं को विपरीत शीर्षों से जोड़ते हैं, तो परिणामी रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी, जिसे कहा जाता है परिप्रेक्ष्यशंकु विमान के किसी भी बिंदु के लिए जो एक तरफ या उसके विस्तार पर नहीं है, उस बिंदु पर एक परिप्रेक्ष्य के साथ एक खुदा हुआ शंकु मौजूद है।

स्टेनर का दीर्घवृत्त परिबद्ध है और सेवियन इसके फोकस से गुजरते हैं

एक दीर्घवृत्त को एक त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है जो मध्य बिंदुओं पर भुजाओं को स्पर्श करता है। ऐसे दीर्घवृत्त को कहते हैं स्टेनर खुदा दीर्घवृत्त(इसका परिप्रेक्ष्य त्रिभुज का केन्द्रक होगा)। वर्णित दीर्घवृत्त, जो भुजाओं के समानांतर शीर्षों से गुजरने वाली रेखाओं की स्पर्शरेखा है, कहलाती है स्टीनर दीर्घवृत्त द्वारा परिचालित. यदि एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन ("स्क्यू") त्रिभुज को नियमित रूप से अनुवादित करता है, तो इसका खुदा हुआ और परिचालित स्टीनर दीर्घवृत्त एक उत्कीर्ण और परिबद्ध सर्कल में जाएगा। वर्णित स्टीनर अंडाकार (स्कुटिन अंक) के फॉसी के माध्यम से खींचे गए सेवियन बराबर हैं (स्कुटिन के प्रमेय)। सभी परिबद्ध दीर्घवृत्तों में, परिबद्ध स्टीनर दीर्घवृत्त है सबसे छोटा क्षेत्र, और सभी खुदे हुए दीर्घवृत्तों में से, स्टीनर उत्कीर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।

ब्रोकार्ड का दीर्घवृत्त और उसका परिप्रेक्ष्य - लेमोइन बिंदु

ब्रोकर के बिंदुओं पर फॉसी के साथ एक दीर्घवृत्त कहलाता है ब्रोकार्ड दीर्घवृत्त. इसका दृष्टिकोण लेमोइन बिंदु है।

एक उत्कीर्ण परवलय के गुण

कीपर्ट परवलय

खुदा हुआ परवलय का दृष्टिकोण परिबद्ध स्टीनर दीर्घवृत्त पर स्थित है। एक उत्कीर्ण परवलय का फोकस परिचालित वृत्त पर होता है, और डायरेक्ट्रिक्स ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरता है। एक त्रिभुज में अंकित एक परवलय जिसकी नियता यूलर रेखा होती है, कहलाती है कीपर्ट का परवलय. इसका परिप्रेक्ष्य परिचालित वृत्त और परिबद्ध स्टेनर दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन का चौथा बिंदु है, जिसे कहा जाता है स्टेनर पॉइंट.

साइपर्ट की अतिशयोक्ति

यदि वर्णित हाइपरबोला ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है, तो यह समबाहु है (अर्थात इसके स्पर्शोन्मुख लंबवत हैं)। एक समबाहु अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन बिंदु नौ बिंदुओं के एक वृत्त पर स्थित होता है।

परिवर्तनों

यदि शीर्षों से गुजरने वाली रेखाएँ और कुछ बिंदु जो भुजाओं पर न हों और उनके विस्तार संगत समद्विभाजक के संबंध में परिलक्षित हों, तो उनके प्रतिबिम्ब भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे, जिसे कहते हैं समकोणीय संयुग्मीमूल एक (यदि बिंदु परिचालित वृत्त पर स्थित है, तो परिणामी रेखाएँ समानांतर होंगी)। उल्लेखनीय बिंदुओं के कई जोड़े समस्थानिक रूप से संयुग्मित होते हैं: परिचालित वृत्त का केंद्र और ऑर्थोसेंटर, केंद्रक और लेमोइन बिंदु, ब्रोकार्ड बिंदु। अपोलोनियस अंक टोरिसेली बिंदुओं के लिए समरूप रूप से संयुग्मित होते हैं, और अंतःवृत्त का केंद्र स्वयं के लिए समरूप रूप से संयुग्मित होता है। समद्विबाहु संयुग्मन की क्रिया के तहत, सीधी रेखाएँ परिबद्ध शंकुओं में जाती हैं, और परिबद्ध शंक्वाकार सीधी रेखाओं में। इस प्रकार, कीपर्ट हाइपरबोला और ब्रोकार्ड अक्ष, एनज़बेक हाइपरबोला और यूलर लाइन, फ़्यूअरबैक हाइपरबोला और खुदा सर्कल के केंद्रों की रेखा आइसोगोनली संयुग्मित हैं। आइसोगोनली संयुग्म बिंदुओं के सबडर्मल त्रिभुजों के परिचालित वृत्त मेल खाते हैं। खुदा हुआ दीर्घवृत्त का केंद्र समकोणीय रूप से संयुग्मित होता है।

यदि, एक सममित सेवियन के बजाय, हम एक सेवियन लेते हैं, जिसका आधार मूल के आधार के रूप में पक्ष के बीच से दूर है, तो ऐसे सेवियन भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। परिणामी परिवर्तन कहा जाता है समस्थानिक संयुग्मन. यह परिबद्ध शांकवों की रेखाओं को भी मानचित्रित करता है। Gergonne और Nagel अंक समस्थानिक रूप से संयुग्मित होते हैं। एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन के तहत, आइसोटोमिकली कॉन्जुगेट पॉइंट्स आइसोटोमिकली कॉन्जुगेट में पास हो जाते हैं। आइसोटॉमी संयुग्मन में, वर्णित स्टीनर अंडाकार अनंत पर सीधी रेखा में गुजरता है।

यदि, परिचालित वृत्त से त्रिभुज की भुजाओं द्वारा काटे गए खंडों में, वृत्त अंकित होते हैं जो एक निश्चित बिंदु के माध्यम से खींचे गए सेवियन के आधार पर पक्षों को स्पर्श करते हैं, और फिर इन मंडलियों के संपर्क बिंदु से जुड़े होते हैं विपरीत शीर्षों वाला परिबद्ध वृत्त, तो ऐसी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। परिणामी बिंदु से मूल बिंदु से मेल खाने वाले विमान के परिवर्तन को कहा जाता है समवृत्ताकार परिवर्तन. आइसोगोनल और आइसोटोमिक संयुग्मन की संरचना स्वयं के साथ समद्विबाहु परिवर्तन की संरचना है। यह रचना एक प्रक्षेपी परिवर्तन है जो त्रिभुज के किनारों को जगह में छोड़ देता है, और बाहरी द्विभाजक की धुरी को अनंत पर एक सीधी रेखा में बदल देता है।

यदि हम किसी बिंदु के सेवियन त्रिभुज की भुजाओं को जारी रखते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को संगत भुजाओं के साथ लेते हैं, तो परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे, जिसे कहा जाता है त्रिरेखीय ध्रुवीयप्रस्थान बिंदू। ऑर्थोसेन्ट्रिक अक्ष - ऑर्थोसेंटर का त्रिरेखीय ध्रुवीय; उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र का त्रिरेखीय ध्रुवीय बाहरी द्विभाजक की धुरी है। परिचालित शंकु पर स्थित बिंदुओं के त्रिरेखीय ध्रुव एक बिंदु पर काटते हैं (परिक्रमित वृत्त के लिए यह लेमोइन बिंदु है, परिबद्ध स्टीनर दीर्घवृत्त के लिए यह केन्द्रक है)। आइसोगोनल (या आइसोटोमिक) संयुग्मन और त्रिरेखीय ध्रुवीय की संरचना एक द्वैत परिवर्तन है (यदि बिंदु समस्थानिक (आइसोटोमिक रूप से) बिंदु से संयुग्मित बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुवीय पर स्थित है, तो बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुवीय आइसोगोनली (आइसोटोमिक रूप से) बिंदु से संयुग्मित बिंदु के त्रिरेखीय ध्रुवीय पर स्थित है)।

क्यूब्स

त्रिकोण में रिश्ते

टिप्पणी:इस खंड में, , , त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ हैं, और , क्रमशः इन तीनों भुजाओं (विपरीत कोणों) के सम्मुख स्थित कोण हैं।

असमानित त्रिकोण

एक गैर-पतित त्रिभुज में, इसकी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है, एक पतित त्रिभुज में यह बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ निम्नलिखित असमानताओं से संबंधित हैं:

त्रिभुज असमानता मेट्रिक्स के स्वयंसिद्धों में से एक है।

कोणों के प्रमेय का त्रिभुज योग

ज्या प्रमेय

,

जहाँ R त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है। यह प्रमेय से इस प्रकार है कि यदि a< b < c, то α < β < γ.

कोसाइन प्रमेय

स्पर्शरेखा प्रमेय

अन्य अनुपात

त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात निम्न के लिए दिए गए हैं:

त्रिभुजों को सुलझाना

ज्ञात पक्षों के आधार पर अज्ञात पक्षों और त्रिभुज के कोणों की गणना को ऐतिहासिक रूप से "त्रिकोण समाधान" कहा जाता है। इस मामले में, उपरोक्त सामान्य त्रिकोणमितीय प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

विशेष मामले संकेतन

क्षेत्र के लिए निम्नलिखित असमानताएँ हैं:

सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु , , , पर हैं।

आइए क्षेत्र वेक्टर का परिचय दें। इस सदिश की लंबाई त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, और इसे त्रिभुज के तल की ओर सामान्य दिशा में निर्देशित किया जाता है:

मान लीजिए , कहाँ , , निर्देशांक तलों पर त्रिभुज के प्रक्षेपण हैं। जिसमें

और इसी तरह

त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

एक विकल्प यह है कि भुजाओं की लंबाई (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके) की गणना की जाए और फिर बगुला सूत्र का उपयोग किया जाए।

त्रिभुज प्रमेय

Desargues प्रमेय: यदि दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य हैं (त्रिभुजों के संगत शीर्षों से गुजरने वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं), तो उनकी संबंधित भुजाएँ एक सीधी रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सोंड का प्रमेय: यदि दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य और ऑर्थोलॉगस हैं (लंबवत एक त्रिभुज के शीर्षों से त्रिभुज के संगत शीर्षों के विपरीत पक्षों पर गिराए जाते हैं, और इसके विपरीत), तो दोनों ऑर्थोलॉजी केंद्र (इन लंबवत के चौराहे के बिंदु) और परिप्रेक्ष्य केंद्र परिप्रेक्ष्य अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर लेटें (Desargues प्रमेय से सीधी रेखा)।

आज हम ज्यामिति के देश में जा रहे हैं, जहाँ से हम परिचित होंगे विभिन्न प्रकार केत्रिभुज।

विचार करना ज्यामितीय आंकड़ेऔर उनमें से "अतिरिक्त" (चित्र 1) खोजें।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका अर्थ है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

अंक कहलाते हैं त्रिभुज शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है तीव्र, आयताकार और तिरछा।

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90 ° से कम (चित्र 4)।

चावल। 4. तीव्र त्रिभुज

एक त्रिभुज को समकोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, स्केलीन होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून और अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज कहलाता है, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा तीव्र कोण वाला।

एक त्रिभुज बहुमुखी कहलाता है, जिसमें तीनों भुजाओं की अलग-अलग लंबाई होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, कोणों के आकार के अनुसार वितरित करते हैं।

तीव्र त्रिभुज: संख्या 1, संख्या 3।

समकोण त्रिभुज: #2, #6।

अधिक त्रिभुज: #4, #5।

इन त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में विभाजित किया जाता है।

विषमकोण त्रिभुज: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: संख्या 2, संख्या 3, संख्या 5।

समबाहु त्रिभुज: संख्या 1।

रेखाचित्रों की समीक्षा करें।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (अंजीर। 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप इस तरह बहस कर सकते हैं।

तार का पहला टुकड़ा तीन बराबर भागों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। इसे चित्र में तीसरा दिखाया गया है।

तार का दूसरा टुकड़ा तीन अलग-अलग हिस्सों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक स्केलीन त्रिकोण बना सकें। इसे पहले चित्र में दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में बांटा गया है, जहाँ दोनों भाग समान लंबाई के हैं, इसलिए आप इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं। इसे चित्र में दूसरा दिखाया गया है।

आज के पाठ में हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हुए।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

1. वाक्यांश समाप्त करें।

a) त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिसमें ..., एक ही सीधी रेखा पर न पड़े हुए हों, और ..., इन बिंदुओं को जोड़ियों में जोड़ते हैं।

b) बिंदु कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

c) कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज ..., ..., .... होते हैं।

d) समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज ..., ..., ... होते हैं।

2. ड्रा

ए) एक सही त्रिकोण

बी) एक तीव्र त्रिकोण;

ग) एक अधिक त्रिभुज;

घ) एक समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) एक समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने साथियों के लिए पाठ के विषय पर एक कार्य बनाएं।

ज्यामिति का विज्ञान हमें बताता है कि त्रिभुज, वर्ग, घन क्या है। पर आधुनिक दुनियाँयह बिना किसी अपवाद के सभी स्कूलों में अध्ययन किया जाता है। साथ ही, एक विज्ञान जो सीधे अध्ययन करता है कि एक त्रिभुज क्या है और इसके क्या गुण हैं, त्रिकोणमिति है। वह डेटा से जुड़ी सभी घटनाओं की विस्तार से पड़ताल करती है। आज हम अपने लेख में इस बारे में बात करेंगे कि त्रिभुज क्या है। उनके प्रकारों का वर्णन नीचे किया जाएगा, साथ ही उनसे संबंधित कुछ प्रमेयों का भी वर्णन किया जाएगा।

एक त्रिभुज क्या है? परिभाषा

यह एक समतल बहुभुज है। इसके तीन कोने हैं, जो इसके नाम से ही स्पष्ट है। इसकी तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष भी हैं, जिनमें से पहला खंड है, दूसरा बिंदु है। दो कोण किसके बराबर होते हैं, यह जानकर आप 180 की संख्या में से पहले दो कोणों का योग घटाकर तीसरा ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिकोण क्या हैं?

उन्हें विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है।

सबसे पहले, उन्हें न्यून-कोण, अधिक-कोण और आयताकार में विभाजित किया गया है। पहले में न्यून कोण होते हैं, जो कि 90 डिग्री से कम होते हैं। अधिक कोणों में, एक कोण अधिक होता है, अर्थात एक जो 90 डिग्री से अधिक के बराबर होता है, अन्य दो न्यून होते हैं। तीव्र त्रिभुजों में समबाहु त्रिभुज भी शामिल होते हैं। ऐसे त्रिभुजों की सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं। वे सभी 60 डिग्री के बराबर हैं, इसकी गणना सभी कोणों (180) के योग को तीन से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है।

सही त्रिकोण

एक समकोण त्रिभुज क्या है, इस बारे में बात नहीं करना असंभव है।

ऐसी आकृति का एक कोण 90 डिग्री (सीधा) के बराबर होता है, यानी इसकी दो भुजाएँ लंबवत होती हैं। अन्य दो कोण न्यून हैं। वे बराबर हो सकते हैं, तो यह समद्विबाहु होगा। पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज से संबंधित है। इसकी मदद से आप पहले दो को जानकर तीसरा पक्ष ढूंढ सकते हैं। इस प्रमेय के अनुसार, यदि आप एक पैर के वर्ग को दूसरे के वर्ग में जोड़ दें, तो आप कर्ण का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं। पैर के वर्ग की गणना कर्ण के वर्ग से ज्ञात पैर के वर्ग को घटाकर की जा सकती है। त्रिभुज क्या है, इसके बारे में बोलते हुए, हम समद्विबाहुओं को याद कर सकते हैं। यह वह है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं, और दो कोण भी बराबर होते हैं।

पैर और कर्ण क्या है?

पैर एक त्रिभुज की भुजाओं में से एक है जो 90 डिग्री का कोण बनाती है। कर्ण शेष भुजा है जो विपरीत है समकोण. इससे पैर पर लंबवत उतारा जा सकता है। आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात को कोसाइन कहा जाता है, और विपरीत को साइन कहा जाता है।

- इसकी विशेषताएं क्या हैं?

यह आयताकार है। इसके पैर तीन और चार हैं, और कर्ण पाँच हैं। यदि आपने देखा कि इस त्रिभुज के पैर तीन और चार के बराबर हैं, तो आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि कर्ण पांच के बराबर होगा। साथ ही, इस सिद्धांत के अनुसार, यह आसानी से निर्धारित किया जा सकता है कि पैर तीन के बराबर होगा यदि दूसरा चार के बराबर है, और कर्ण पांच है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए आप पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं। यदि दो पैर 3 और 4 हैं, तो 9 + 16 \u003d 25, 25 की जड़ 5 है, अर्थात कर्ण 5 है। साथ ही, मिस्र के त्रिभुज को एक समकोण त्रिभुज कहा जाता है, जिसकी भुजाएँ 6, 8 और 10 हैं। ; 9, 12 और 15 और अन्य संख्याएँ 3:4:5 के अनुपात के साथ।

एक और त्रिकोण क्या हो सकता है?

त्रिकोण भी खुदा और परिचालित किया जा सकता है। जिस आकृति के चारों ओर वृत्त का वर्णन किया जाता है उसे उत्कीर्ण कहा जाता है, इसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित बिंदु होते हैं। एक परिवृत्त त्रिभुज वह होता है जिसमें एक वृत्त अंकित होता है। इसके सभी पक्ष कुछ बिंदुओं पर इसके संपर्क में हैं।

कैसा है

किसी भी आकृति का क्षेत्रफल में मापा जाता है वर्ग इकाई(वर्ग मीटर, वर्ग मिलीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग डेसीमीटर, आदि) त्रिभुज के प्रकार के आधार पर इस मान की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। कोणों वाली किसी भी आकृति का क्षेत्रफल उस पर गिराए गए लंब से उसकी भुजा को गुणा करके ज्ञात किया जा सकता है विपरीत कोने, और इस आंकड़े को दो से विभाजित करते हैं। आप दोनों पक्षों को गुणा करके भी यह मान ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस संख्या को इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा करें और इसे दो से भाग दें। एक त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानने पर, लेकिन उसके कोणों को न जानने के कारण, आप किसी अन्य तरीके से क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको आधा परिधि खोजने की आवश्यकता है। फिर बारी-बारी से इस संख्या से अलग-अलग पक्षों को घटाएं और प्राप्त चार मानों को गुणा करें। इसके बाद जो संख्या निकली वह ज्ञात कीजिए। एक उत्कीर्ण त्रिभुज का क्षेत्रफल सभी भुजाओं को गुणा करके और परिणामी संख्या को विभाजित करके पाया जा सकता है जिससे उसके चारों ओर चार गुना परिवृत्त होता है।

वर्णित त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जाता है: हम परिधि को उस वृत्त की त्रिज्या से गुणा करते हैं जो उसमें अंकित है। यदि तब इसका क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जा सकता है: हम भुजा को वर्गाकार करते हैं, परिणामी आकृति को तीन के मूल से गुणा करते हैं, फिर इस संख्या को चार से विभाजित करते हैं। इसी तरह, आप एक त्रिभुज की ऊँचाई की गणना कर सकते हैं जिसमें सभी भुजाएँ समान हों, इसके लिए आपको उनमें से एक को तीन के मूल से गुणा करना होगा, और फिर इस संख्या को दो से विभाजित करना होगा।

त्रिभुज प्रमेय

इस आंकड़े से जुड़े मुख्य प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय हैं, जो ऊपर वर्णित हैं, और कोसाइन हैं। दूसरी (साइन) यह है कि यदि आप किसी भी पक्ष को उसके विपरीत कोण की ज्या से विभाजित करते हैं, तो आप उस वृत्त की त्रिज्या प्राप्त कर सकते हैं जो उसके चारों ओर वर्णित है, दो से गुणा किया जाता है। तीसरा (कोज्या) यह है कि यदि दोनों भुजाओं के वर्गों के योग को उनके गुणनफल से घटा दिया जाए, दो से गुणा किया जाए और उनके बीच स्थित कोण की कोज्या हो, तो तीसरी भुजा का वर्ग प्राप्त होगा।

डाली त्रिकोण - यह क्या है?

कई, इस अवधारणा का सामना करते हुए, पहले सोचते हैं कि यह ज्यामिति में किसी प्रकार की परिभाषा है, लेकिन ऐसा बिल्कुल नहीं है। डाली त्रिभुज है साधारण नामतीन स्थान प्रसिद्ध कलाकार के जीवन से निकटता से जुड़े हुए हैं। इसके "शीर्ष" वह घर हैं जहां साल्वाडोर डाली रहते थे, वह महल जो उन्होंने अपनी पत्नी को दिया था, और अतियथार्थवादी चित्रों का संग्रहालय। इन जगहों के भ्रमण के दौरान आप बहुत कुछ सीख सकते हैं। रोचक तथ्यदुनिया भर में मशहूर इस अजीबोगरीब रचनात्मक कलाकार के बारे में।