घेरा हुआ घेरा। विजुअल गाइड (2019)

अनुदेश

वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचें। आपको दिए गए खण्ड का लम्ब समद्विभाजक प्राप्त हुआ है।

अब हमें एक बिंदु और एक रेखा दी गई है। इस बिंदु से एक लंबवत खींचना आवश्यक है सुई को बिंदु पर रखें। त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं (त्रिज्या एक बिंदु से एक रेखा तक होनी चाहिए ताकि वृत्त रेखा को दो बिंदुओं पर काट सके)। अब आपके पास लाइन पर दो बिंदु हैं। ये बिंदु एक रेखा बनाते हैं। ऊपर चर्चा किए गए एल्गोरिथम के अनुसार, खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें, छोर प्राप्त बिंदु हैं। लंबवत को प्रारंभिक बिंदु से गुजरना चाहिए।

सीधी रेखाएँ बनाना तकनीकी ड्राइंग का आधार है। अब यह ग्राफिक संपादकों की मदद से तेजी से किया जा रहा है, जो डिजाइनर को बेहतरीन अवसर प्रदान करते हैं। हालांकि, कुछ निर्माण सिद्धांत शास्त्रीय ड्राइंग के समान ही रहते हैं - एक पेंसिल और एक शासक का उपयोग करना।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेंसिल;
• - शासक;
• - ऑटोकैड सॉफ्टवेयर वाला कंप्यूटर।

अनुदेश

एक क्लासिक निर्माण के साथ शुरू करें। उस समतल का निर्धारण करें जिसमें आप रेखा खींचेंगे। इसे कागज की एक शीट का समतल होने दें। समस्या की स्थिति के आधार पर व्यवस्था करें। वे मनमाना हो सकते हैं, लेकिन यह संभव है कि एक समन्वय प्रणाली दी गई हो। मनमाना अंक जहां आपको सबसे अच्छा लगता है। उन्हें ए और बी लेबल करें। उन्हें जोड़ने के लिए एक शासक का उपयोग करें। अभिगृहीत के अनुसार, दो बिंदुओं और केवल एक के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना हमेशा संभव होता है।

एक समन्वय प्रणाली बनाएं। मान लीजिए आपको अंक A (x1; y1) दिए गए हैं। उनके लिए, x-अक्ष के अनुदिश वांछित संख्या को अलग रखना और चिह्नित बिंदु से y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है। फिर संगत अक्ष के अनुदिश y1 के बराबर मान आलेखित करें। चिह्नित बिंदु से एक लंब तब तक खींचे जब तक कि वह प्रतिच्छेद न कर दे। उनके प्रतिच्छेदन का स्थान बिंदु A होगा। उसी तरह, बिंदु B ज्ञात करें, जिसके निर्देशांक (x2; y2) के रूप में निरूपित किए जा सकते हैं। दोनों डॉट्स कनेक्ट करें।

ऑटोकैड में, कई के साथ एक सीधी रेखा बनाई जा सकती है। "द्वारा" फ़ंक्शन आमतौर पर डिफ़ॉल्ट रूप से सेट होता है। शीर्ष मेनू में "होम" टैब ढूंढें। आपके सामने Drawing पैनल दिखाई देगा। सीधी रेखा वाला बटन ढूंढें और उस पर क्लिक करें।

ऑटोकैड आपको दोनों के निर्देशांक निर्धारित करने की भी अनुमति देता है। नीचे डायल करें कमांड लाइन(_xline)। एंट्रर दबाये। पहले बिंदु के निर्देशांक दर्ज करें और एंटर भी दबाएं। दूसरे बिंदु को भी इसी तरह परिभाषित करें। इसे कर्सर को अंदर रखकर माउस क्लिक से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है वांछित बिंदुस्क्रीन।

ऑटोकैड में, आप न केवल दो बिंदुओं से, बल्कि झुकाव के कोण से भी एक सीधी रेखा बना सकते हैं। ड्रा संदर्भ मेनू से, एक सीधी रेखा और फिर कोण विकल्प चुनें। प्रारंभिक बिंदु को माउस क्लिक या द्वारा सेट किया जा सकता है, जैसा कि पिछली विधि में था। फिर कोने का आकार सेट करें और एंटर दबाएं। डिफ़ॉल्ट रूप से, रेखा वांछित कोण पर क्षैतिज पर स्थित होगी।

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एक जटिल ड्राइंग पर (आरेख) खड़ापनप्रत्यक्ष और विमानमुख्य प्रावधानों द्वारा निर्धारित: यदि एक तरफ समकोणसमानांतर विमानअनुमान, तब इस तल पर बिना किसी विकृति के एक समकोण प्रक्षेपित किया जाता है; यदि एक रेखा दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लंबवत है विमान, यह इसके लंबवत है विमान.

आपको चाहिये होगा

• पेंसिल, शासक, चांदा, त्रिकोण।

अनुदेश

उदाहरण: बिंदु M से होकर पर एक लंब खींचिए विमानपर लंब खींचना विमान, इसमें दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ पड़ी हैं विमान, और उनके लम्बवत एक रेखा का निर्माण करें। ललाट और क्षैतिज को इन दो प्रतिच्छेद रेखाओं के रूप में चुना जाता है। विमान.

ललाट f(f₁f₂) एक सीधी रेखा है जो में पड़ी है विमानऔर सामने के समानांतर विमानअनुमान . तो f₂ इसका प्राकृतिक मान है, और f₁ हमेशा x₁₂ के समानांतर होता है। बिंदु A₂ से x₁₂ के समानांतर h₂ खींचे और B₂C₂ पर बिंदु 1₂ प्राप्त करें।

पर संचार बिंदु 1₁ की प्रक्षेपण रेखा की सहायता से। A₁ से जुड़ें - यह h₁ है - क्षैतिज का प्राकृतिक आकार। बिंदु B₁ से f₁‖x₁₂ खीचें, A₁C₁ पर बिंदु 2₁ प्राप्त करें। प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन का उपयोग करके A₂C₂ पर बिंदु 2₂ खोजें। बिंदु B₂ से जुड़ें - यह f₂ होगा - सामने का पूर्ण आकार।

निर्मित प्राकृतिक क्षैतिज h₁ और ललाट f₂ के लंबवत के प्रक्षेपणों का विमान. बिंदु M₂ से, इसका ललाट प्रक्षेपण a₂ 90 . के कोण पर खींचे

पिछले पाठ में, हमने एक कोण के समद्विभाजक के गुणों पर विचार किया, जो एक त्रिभुज में संलग्न और मुक्त दोनों हैं। त्रिभुज में तीन कोण शामिल हैं, और उनमें से प्रत्येक के लिए द्विभाजक के माने गए गुण संरक्षित हैं।

प्रमेय:

त्रिभुज के समद्विभाजक AA 1, BB 1, CC 1 एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

पहले दो समद्विभाजक BB 1 और СС 1 पर विचार करें। वे प्रतिच्छेद करते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु O मौजूद है। इसे साबित करने के लिए, इसके विपरीत मान लीजिए: दिए गए द्विभाजक प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, जिस स्थिति में वे समानांतर हैं। तब रेखा BC एक छेदक और कोणों का योग है , यह इस तथ्य का खंडन करता है कि पूरे त्रिभुज में कोणों का योग होता है।

तो, दो समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन का बिंदु O मौजूद है। इसके गुणों पर विचार करें:

बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं BA और BC से समान दूरी पर है। यदि OK BC पर लम्ब है, OL, BA पर लम्ब है, तो इन लम्बों की लम्बाइयाँ - के बराबर हैं। साथ ही, बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है और इसकी भुजाओं CB और CA से समान दूरी पर है, लंबवत OM और OK बराबर हैं।

हमें निम्नलिखित समानताएँ मिलीं:

, अर्थात्, बिंदु O से त्रिभुज की भुजाओं पर गिराए गए तीनों लम्ब एक दूसरे के बराबर हैं।

हम लंब OL और OM की समानता में रुचि रखते हैं। यह समानता कहती है कि बिंदु O कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, इसलिए यह इसके समद्विभाजक AA 1 पर स्थित है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इसके अलावा, त्रिभुज में तीन खंड होते हैं, जिसका अर्थ है कि हमें एक खंड के गुणों पर विचार करना चाहिए।

खंड AB दिया गया है। किसी भी खंड में एक मध्य होता है, और इसके माध्यम से एक लंबवत खींचा जा सकता है - हम इसे पी द्वारा निरूपित करते हैं। अत: p लम्ब समद्विभाजक है।

चावल। 2. प्रमेय के लिए चित्रण

लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

सिद्ध कीजिए कि (चित्र 2)।

सबूत:

त्रिभुजों पर विचार करें और . वे आयताकार और बराबर हैं, क्योंकि उनके पास एक आम पैर ओएम है, और एओ और ओबी के पैर बराबर हैं, इस प्रकार, हमारे पास दो हैं सही त्रिकोण, दो पैरों में बराबर। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात् जो सिद्ध किया जाना था।

विलोम प्रमेय सत्य है।

एक खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित होता है।

खंड AB दिया गया है, इसका लंबवत समद्विभाजक p है, बिंदु M खंड के सिरों से समान दूरी पर है। सिद्ध कीजिए कि बिंदु M खण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 3)।

चावल। 3. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

आइए एक त्रिकोण पर विचार करें। यह समद्विबाहु है, जैसा कि शर्त के अनुसार है। त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्यबिंदु है, OM माध्यिका है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, उसके आधार तक खींची गई माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक दोनों होती है। इसलिए इसका पालन होता है। लेकिन रेखा p भी AB पर लंबवत है। हम जानते हैं कि खंड AB पर एक लम्ब बिंदु O पर खींचा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि बिंदु M रेखा p से संबंधित है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक बिंदु एक खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित होता है यदि और केवल अगर यह इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है।

इसलिए, हम दोहराते हैं कि एक त्रिभुज में तीन खंड होते हैं और उनमें से प्रत्येक पर लंबवत द्विभाजक की संपत्ति लागू होती है।

प्रमेय:

त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक त्रिकोण दिया गया है। इसके पक्षों के लंबवत: P 1 से BC, P 2 से AC, P 3 से AB तक।

सिद्ध कीजिए कि लम्ब Р 1, Р 2 और Р 3 बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 4)।

चावल। 4. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

दो मध्य लंबवत् P 2 और P 3 पर विचार करें, वे प्रतिच्छेद करते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु O मौजूद है। आइए हम इस तथ्य को विरोधाभास से साबित करें - मान लें कि लंबवत P2 और P3 समानांतर हैं। तब कोण सीधा होता है, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग होता है। अतः, तीन लंब समद्विभाजक में से दो के प्रतिच्छेदन का एक बिंदु O है। बिंदु O के गुण: यह भुजा AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह खंड AB: के सिरों से समान दूरी पर है। यह भुजा AC के लम्ब समद्विभाजक पर भी स्थित है, इसलिए . हमने निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त की हैं।

मध्य लंबवत (माध्य लंबवतया बीच-बचाव करनेवाली) दिए गए खंड के लंबवत और इसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

गुण

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; ए^2-बी^2+सी^2),$जहां सबस्क्रिप्ट उस पक्ष को इंगित करता है जिस पर लंबवत खींचा गया है, $एस$त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और यह भी माना जाता है कि भुजाएँ असमानताओं से संबंधित हैं $ए\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$तथा $p\_c\backslash geq\; p\_b.$दूसरे शब्दों में, एक त्रिभुज के लिए, सबसे छोटा लंबवत द्विभाजक मध्य खंड को संदर्भित करता है।

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लंबवत द्विभाजक की विशेषता वाला एक अंश

कुतुज़ोव, चबाने के लिए रुक गया, वोल्ज़ोजेन को आश्चर्य से देखता रहा, जैसे कि उसे समझ नहीं आ रहा था कि उसे क्या कहा जा रहा है। वोल्ज़ोजेन, डेस अल्टेन हेरन, [बूढ़े सज्जन (जर्मन)] के उत्साह को देखते हुए, मुस्कुराते हुए कहा:
- मैंने जो देखा, मैंने आपकी कृपा से खुद को छिपाने का हकदार नहीं माना ... सैनिक पूरी तरह से अस्त-व्यस्त हैं ...
- दिखाई दिया? क्या तुमने देखा? .. - कुतुज़ोव एक भ्रूभंग के साथ चिल्लाया, जल्दी से उठकर वोल्ज़ोजेन पर आगे बढ़ रहा था। "तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई ... तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई ...!" वह चिल्लाया, हाथ मिलाने और घुटन के साथ खतरनाक इशारे किए। - तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई, मेरे प्यारे साहब, मुझसे यह कहो। तुम कुछ नहीं जानते। मुझसे जनरल बार्कले को बताएं कि उनकी जानकारी गलत है और लड़ाई का वास्तविक तरीका मुझे, कमांडर-इन-चीफ, उससे बेहतर पता है।
वोल्ज़ोजेन कुछ आपत्ति करना चाहता था, लेकिन कुतुज़ोव ने उसे रोक दिया।
- शत्रु को बायीं ओर खदेड़ दिया जाता है और दायीं ओर पराजित किया जाता है। यदि आपने अच्छी तरह से नहीं देखा है, प्रिय महोदय, तो जो आप नहीं जानते उसे अपने आप को कहने की अनुमति न दें। कृपया जनरल बार्कले के पास जाएं और कल दुश्मन पर हमला करने के लिए मेरे अपरिहार्य इरादे से उसे अवगत कराएं, ”कुतुज़ोव ने सख्ती से कहा। हर कोई चुप था, और कोई सांस लेने वाले बूढ़े जनरल की एक भारी सांस सुन सकता था। - हर जगह खदेड़ दिया, जिसके लिए मैं भगवान और हमारी बहादुर सेना को धन्यवाद देता हूं। दुश्मन हार गया है, और कल हम उसे पवित्र रूसी भूमि से बाहर निकाल देंगे, - कुतुज़ोव ने खुद को पार करते हुए कहा; और अचानक फूट-फूट कर रोने लगा। वोल्ज़ोजेन, अपने कंधों को सिकोड़ते हुए और अपने होठों को मोड़ते हुए, चुपचाप एक तरफ हट गए, उबेर डाइस ईन्गेनमेनहाइट डेस अल्टेन हेरन पर आश्चर्य करते हुए। [बूढ़े सज्जन के इस अत्याचार पर। (जर्मन)]
"हाँ, वह यहाँ है, मेरे नायक," कुतुज़ोव ने मोटे, सुंदर काले बालों वाले जनरल से कहा, जो उस समय टीले में प्रवेश कर रहा था। यह रवेस्की था, जिसने पूरा दिन बोरोडिनो क्षेत्र के मुख्य बिंदु पर बिताया था।
रैव्स्की ने बताया कि सैनिक अपने स्थान पर मजबूती से खड़े थे और फ्रांसीसी ने अब और हमला करने की हिम्मत नहीं की। उसे सुनने के बाद, कुतुज़ोव ने फ्रेंच में कहा:
- वौस ने पेन्सेज़ डॉन पास कम लेसॉट्रेस क्यू नूस सोमेस ओब्लिजेस डे नूस रिटायरर? [तो आप नहीं सोचते, दूसरों की तरह, कि हमें पीछे हटना चाहिए?]