La règle pour ouvrir les parenthèses dans la multiplication. Ouverture de parenthèse : règles et exemples (7e année)

Dans cette leçon, vous apprendrez à transformer une expression qui contient des parenthèses en une expression qui ne contient pas de parenthèses. Vous apprendrez à ouvrir les parenthèses précédées d'un signe plus et d'un signe moins. Nous rappellerons comment ouvrir les parenthèses en utilisant la loi distributive de la multiplication. Les exemples considérés permettront de relier le matériel nouveau et déjà étudié en un seul ensemble.

Sujet : Résolution d'équations

Leçon : Développement des parenthèses

Comment ouvrir les parenthèses précédées d'un signe "+". Utilisation de la loi associative d'addition.

Si vous devez ajouter la somme de deux nombres à un nombre, vous pouvez ajouter le premier terme à ce nombre, puis le second.

À gauche du signe égal se trouve une expression entre parenthèses et à droite se trouve une expression sans parenthèses. Cela signifie qu'en passant du côté gauche de l'égalité au côté droit, les crochets ont été ouverts.

Prenons des exemples.

Exemple 1

En élargissant les parenthèses, nous avons modifié l'ordre des opérations. Compter est devenu plus pratique.

Exemple 2

Exemple 3

Notez que dans les trois exemples, nous avons simplement supprimé les parenthèses. Formulons la règle :

Commentaire.

Si le premier terme entre parenthèses n'est pas signé, il doit être écrit avec un signe plus.

Vous pouvez suivre l'exemple étape par étape. Tout d'abord, ajoutez 445 à 889. Cette action mentale peut être effectuée, mais ce n'est pas très facile. Ouvrons les parenthèses et voyons que le changement d'ordre des opérations simplifiera grandement les calculs.

Si vous suivez l'ordre des actions indiqué, vous devez d'abord soustraire 345 de 512, puis ajouter au résultat 1345. En élargissant les parenthèses, nous modifierons l'ordre des actions et simplifierons grandement les calculs.

Exemple illustratif et règle.

Prenons un exemple : . Vous pouvez trouver la valeur de l'expression en ajoutant 2 et 5, puis en prenant le nombre résultant avec le signe opposé. Nous obtenons -7.

Par contre, le même résultat peut être obtenu en additionnant les nombres opposés.

Formulons la règle :

Exemple 1

Exemple 2

La règle ne change pas s'il n'y a pas deux, mais trois termes ou plus entre parenthèses.

Exemple 3

Commentaire. Les signes sont inversés uniquement devant les termes.

Pour ouvrir les parenthèses, dans ce cas, nous devons rappeler la propriété distributive.

Tout d'abord, multipliez la première parenthèse par 2 et la seconde par 3.

La première parenthèse est précédée d'un signe "+", ce qui signifie que les signes doivent rester inchangés. Le second est précédé d'un signe "-", par conséquent, tous les signes doivent être inversés

Bibliographie

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5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de la 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
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1. Tests de mathématiques en ligne ().
2. Vous pouvez télécharger ceux spécifiés dans la clause 1.2. livres().

Devoirs

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Mathématiques 6.-M. : Mnemosyne, 2012. (voir lien 1.2)
2. Devoirs : n° 1254, n° 1255, n° 1256 (b, d)
3. Autres affectations : n° 1258(c), n° 1248

résumé des autres présentations

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La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs. Par exemple, dans l'expression numérique \(5 3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5 3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\), l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemple. Développez la parenthèse : \(-(4m+3)\).
La solution : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemple. Développez la parenthèse et donnez comme termes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
La solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemple. Développez les crochets \(5(3-x)\).
La solution : Nous avons \(3\) et \(-x\) entre parenthèses, et cinq devant la parenthèse. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \ (5 \) - je vous rappelle que le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse en mathématiques n'est pas écrit pour réduire la taille des enregistrements.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
La solution : Comme dans l'exemple précédent, les crochets \(-3x\) et \(5\) sont multipliés par \(-2\).

Exemple. Simplifiez l'expression : \(5(x+y)-2(x-y)\).
La solution : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Il reste à considérer la dernière situation.

En multipliant parenthèse par parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemple. Développez les crochets \((2-x)(3x-1)\).
La solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être ouvert immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas se tromper, faisons tout étape par étape.
Étape 1. Supprimez la première parenthèse - chacun de ses membres est multiplié par la deuxième parenthèse :

Étape 2. Développez les produits de la tranche par le facteur comme décrit ci-dessus :
- le premier d'abord...

Puis le deuxième.

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et apportons des termes similaires :

Il n'est pas nécessaire de peindre toutes les transformations en détail, vous pouvez immédiatement les multiplier. Mais si vous apprenez juste à ouvrir les parenthèses - écrivez en détail, il y aura moins de chance de faire une erreur.

Remarque à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous souvenir que d'une, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si nous substituons un au lieu de c, nous obtenons la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous substituez une autre parenthèse au lieu de c, vous pouvez obtenir la dernière règle.

parenthèse entre parenthèses

Parfois, dans la pratique, il y a des problèmes avec des parenthèses imbriquées à l'intérieur d'autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : pour simplifier l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour réussir dans ces tâches, vous devez :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle est dans laquelle ;
- ouvrez les crochets dans l'ordre, en commençant par exemple par le plus à l'intérieur.

Il est important lors de l'ouverture d'un des supports ne touchez pas au reste de l'expression, il suffit de le réécrire tel quel.
Prenons la tâche ci-dessus comme exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez comme termes \(7x+2(5-(3x+y))\).
La solution:

Exemple. Développez les parenthèses et donnez des termes similaires \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
La solution :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Il s'agit d'une triple imbrication de parenthèses. Nous commençons par le plus interne (surligné en vert). Il y a un plus devant la parenthèse, il est donc simplement supprimé.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Maintenant, vous devez ouvrir le deuxième support, intermédiaire. Mais avant cela, nous allons simplifier l'expression en masquant les termes similaires dans cette seconde parenthèse.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Maintenant, nous ouvrons le deuxième support (surligné en bleu). Il y a un multiplicateur devant la parenthèse - donc chaque terme entre parenthèses est multiplié par celui-ci.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Et ouvrez la dernière parenthèse. Avant le crochet moins - donc tous les signes sont inversés.

L'ouverture des parenthèses est une compétence de base en mathématiques. Sans cette compétence, il est impossible d'avoir une note supérieure à trois en 8e et 9e année. Par conséquent, je recommande une bonne compréhension de ce sujet.

A + (b + c) peut être écrit sans crochets: a + (b + c) \u003d a + b + c. Cette opération est appelée développement de parenthèses.

Exemple 1 Ouvrons les parenthèses dans l'expression a + (- b + c).

La solution. une + (-b + c) = une + ((-b) + c) = une + (-b) + c = a-b + c.

S'il y a un signe "+" avant les parenthèses, vous pouvez omettre les parenthèses et ce signe "+", en conservant les signes des termes entre parenthèses. Si le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe, alors il doit être écrit avec un signe "+".

Exemple 2 Trouvons la valeur de l'expression -2,87+ (2,87-7,639).

La solution. En ouvrant les parenthèses, on obtient - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.

Pour trouver la valeur de l'expression - (- 9 + 5), vous devez ajouter Nombres-9 et 5 et trouvez le nombre opposé au montant reçu : -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

La même valeur peut être obtenue d'une manière différente : notez d'abord les nombres opposés à ces termes (c'est-à-dire changez leurs signes), puis ajoutez : 9 + (- 5) = 4. Ainsi, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Pour écrire la somme opposée à la somme de plusieurs termes, il faut changer les signes de ces termes.

Donc - (a + b) \u003d - a - b.

Exemple 3 Trouvez la valeur de l'expression 16 - (10 -18 + 12).

La solution. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Pour ouvrir les crochets précédés du signe "-", vous devez remplacer ce signe par "+", en changeant les signes de tous les termes entre crochets en ceux opposés, puis ouvrez les crochets.

Exemple 4 Trouvons la valeur de l'expression 9,36-(9,36 - 5,48).

La solution. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.

Ouverture des parenthèses et utilisation des propriétés commutatives et associatives ajouts faciliter les calculs.

Exemple 5 Trouvez la valeur de l'expression (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

La solution. Tout d'abord, nous ouvrons les parenthèses, puis nous trouvons séparément la somme de tous les nombres positifs et séparément la somme de tous les nombres négatifs, et enfin additionnons les résultats :

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Exemple 6 Trouver la valeur de l'expression

La solution. Tout d'abord, nous représentons chaque terme comme la somme de leurs parties entières et fractionnaires, puis ouvrons les parenthèses, puis additionnons le tout et séparément fractionnaire parties et enfin résumer les résultats :

Comment ouvrir les parenthèses précédées du signe "+" ? Comment trouver la valeur d'une expression qui est l'opposé de la somme de plusieurs nombres ? Comment ouvrir les parenthèses précédées d'un signe "-" ?

1218. Développez les crochets :

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Trouvez la valeur de l'expression :

1220. Développez les parenthèses :

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84 ; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5 ; e) -a+ (m-2,6) ; h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Développez les parenthèses et trouvez la valeur de l'expression :

1222. Simplifiez l'expression :

1223. Écrivez montant deux expressions et simplifiez-la :

a) - 4 - m et m + 6,4 ; d) a + b et p - b
b) 1.1+a et -26-a ; e) -m + n et -k - n;
c) a + 13 et -13 + b; e)m - n et n - m.

1224. Écrivez la différence de deux expressions et simplifiez-la :

1226. Utilisez l'équation pour résoudre le problème :

a) Il y a 42 livres sur une étagère et 34 sur l'autre. Plusieurs livres ont été retirés de la deuxième étagère, et autant qu'il en restait sur la seconde de la première. Après cela, 12 livres sont restés sur la première étagère. Combien de livres ont été retirés de la deuxième étagère ?

b) Il y a 42 élèves en première classe, 3 élèves de moins en seconde qu'en troisième. Combien y a-t-il d'élèves en troisième année s'il y a 125 élèves dans ces trois années ?

1227. Trouvez la valeur de l'expression :

1228. Calculez oralement :

1229. Trouver valeur la plus élevée expressions:

1230. Entrez 4 entiers consécutifs si :

a) le plus petit d'entre eux est égal à -12 ; c) le plus petit d'entre eux est égal à n ;
b) le plus grand d'entre eux est égal à -18 ; d) le plus grand d'entre eux est égal à k.

Contenu de la leçon résumé de la leçon support cadre leçon présentation méthodes accélératrices technologies interactives Pratique tâches et exercices auto-examen ateliers, formations, cas, quêtes devoirs questions de discussion questions rhétoriques des élèves Illustrations audio, clips vidéo et multimédia photographies, images graphiques, tableaux, schémas humoristiques, anecdotes, blagues, paraboles BD, dictons, mots croisés, citations Modules complémentaires résumés articles puces pour les curieux aide-mémoire manuels glossaire de base et supplémentaire des termes autre Améliorer les manuels et les leçonscorriger les erreurs dans le manuel mise à jour d'un fragment dans le manuel éléments d'innovation dans la leçon remplacement des connaissances obsolètes par de nouvelles Uniquement pour les enseignants leçons parfaites plan de calendrier pour un an des lignes directrices programmes de discussion Leçons intégrées

Parmi les diverses expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2a + 9x^3 - 7a^2 + 6x + 5a - 2 \)

La somme des monômes s'appelle un polynôme. Les termes d'un polynôme sont appelés membres du polynôme. Les mononômes sont également appelés polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un membre.

Par exemple, le polynôme
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
peut être simplifié.

Nous représentons tous les termes sous forme de monômes de la forme standard :
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nous donnons des termes similaires dans le polynôme résultant :
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Le résultat est un polynôme, dont tous les membres sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.

Par degré polynomial forme standard prend le plus grand des pouvoirs de ses membres. Ainsi, le binôme \(12a^2b - 7b \) a le troisième degré, et le trinôme \(2b^2 -7b + 6 \) a le second.

Habituellement, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant de ses exposants. Par exemple:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

La somme de plusieurs polynômes peut être convertie (simplifiée) en un polynôme de forme standard.

Parfois, les membres d'un polynôme doivent être divisés en groupes, mettant chaque groupe entre parenthèses. Puisque les parenthèses sont le contraire des parenthèses, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :

Si le signe + est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.

Si un signe "-" est placé devant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme

En utilisant la propriété distributive de la multiplication, on peut transformer (simplifier) ​​le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.

Ce résultat est généralement formulé comme une règle.

Pour multiplier un monôme par un polynôme, il faut multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.

Nous avons utilisé à plusieurs reprises cette règle pour multiplier par une somme.

Le produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes

En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.

Utilisez généralement la règle suivante.

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits obtenus.

Formules de multiplication abrégées. Carrés de somme, de différence et de différence

Certaines expressions dans les transformations algébriques doivent être traitées plus souvent que d'autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) et \(a^2 - b^2 \), c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et carré de la différence. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent être incomplets, ainsi, par exemple, \((a + b)^2 \) n'est bien sûr pas seulement le carré de la somme, mais le carré de la somme de a et b. Cependant, le carré de la somme de a et b n'est pas si courant, en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient diverses expressions, parfois assez complexes.

Les expressions \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sont faciles à convertir (simplifier) ​​en polynômes de la forme standard, en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= un^2 + 2ab + b^2 \)

Les identités résultantes sont utiles à retenir et à appliquer sans calculs intermédiaires. De courtes formulations verbales y contribuent.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - le carré de la somme est égal à la somme des carrés et du produit double.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - le carré de la différence est la somme des carrés sans doubler le produit.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.

Ces trois identités permettent dans les transformations de remplacer leurs parties gauches par des parties droites et vice versa - les parties droites par des parties gauches. Le plus difficile dans ce cas est de voir les expressions correspondantes et de comprendre en quoi les variables a et b y sont remplacées. Examinons quelques exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.