Ъгъл точка на графиката. Допирателна към графика на функция в точка

Вид работа: 7

състояние

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на точката на допир е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на допирателната, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на допирателна, т.е. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Получаваме система от уравнения \begin(случаи) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Според условието на абсцисата допирните точки са по-малки от нула, следователно x_0=-1, след това b=3+24x_0=-21.

Отговор

Вид работа: 7
тема: геометричен смисълпроизводно. Допирателна към функционалната графика

състояние

Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Покажи решение

Решение

Наклонът на линията спрямо графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е y"(x_0). Но y"=-2x+5, така че y"(x_0)=- 2x_0+5 Ъгловият коефициент на правата y=-3x+4, посочен в условието, е -3.Успоредните линии имат същите коефициенти на наклон.Следователно намираме такава стойност x_0, че =-2x_0 +5=-3.

Получаваме: x_0 = 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Вид работа: 7
Тема: Геометричното значение на производната. Допирателна към функционалната графика

състояние

Покажи решение

Решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(-6; 2) и B(-1; 1). Означете с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува тъп ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox.

Както знаете, tg(\pi -\alpha) ще бъде стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0. забележи това tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.Оттук по формулите за редукция получаваме: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Вид работа: 7
Тема: Геометричното значение на производната. Допирателна към функционалната графика

състояние

Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на точката на допир е по-голяма от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката на графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която

е допирателна към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на допирателната, т.е. y "(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на допирателна, т.е. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения \begin(случаи) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(случаи)

Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Според условието на абсцисата допирните точки са по-големи от нула, следователно x_0=1, след това b=-2-32x_0=-34.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Вид работа: 7
Тема: Геометричното значение на производната. Допирателна към функционалната графика

състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8). Определете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата y=6.

Покажи решение

Решение

Правата y=6 е успоредна на оста Ox. Следователно намираме такива точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox. На тази диаграма такива точки са точки на екстремум (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 4 екстремни точки.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Вид работа: 7
Тема: Геометричното значение на производната. Допирателна към функционалната графика

състояние

Правата y=4x-6 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Покажи решение

Решение

Наклонът на допирателната към графиката на функцията y \u003d x ^ 2-4x + 9 в произволна точка x_0 е y "(x_0). Но y" \u003d 2x-4, което означава y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Наклонът на допирателната y \u003d 4x-7, посочен в условието, е равен на 4. Успоредните линии имат еднакви наклони. Следователно намираме такава стойност x_0, че 2x_0-4 = 4. Получаваме : x_0 \u003d 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за изпит-2017. ниво профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Вид работа: 7
Тема: Геометричното значение на производната. Допирателна към функционалната графика

състояние

Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x_0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0.

Покажи решение

Решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(1; 1) и B(5; 4). Означете с C(5; 1) пресечната точка на правите x=5 и y=1, а с \alpha ъгъла BAC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува ъгъл \alpha с положителната посока на оста Ox.

В тази статия ще анализираме всички видове проблеми за намиране

Да си припомним геометричен смисъл на производната: ако е начертана допирателна към графиката на функция в точка, тогава наклонът на допирателната (равна на тангенса на ъгъла между допирателната и положителната посока на оста) е равен на производната на функцията при точката .

Вземете произволна точка от допирателната с координати:

И помислете за правоъгълен триъгълник:

В този триъгълник

Оттук

Това е уравнението на допирателната, начертана към графиката на функцията в точката.

За да напишем уравнението на допирателната, трябва само да знаем уравнението на функцията и точката, където е начертана допирателната. Тогава можем да намерим и .

Има три основни типа задачи с допирателни уравнения.

1. Посочена точка за контакт

2. Даден е коефициентът на наклон на допирателната, тоест стойността на производната на функцията в точката.

3. Дадени са координатите на точката, през която е проведена допирателната, но която не е допирателна точка.

Нека разгледаме всеки тип проблем.

един . Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката .

.

б) Намерете стойността на производната в точката . Първо намираме производната на функцията

Заменете намерените стойности в допирателното уравнение:

Нека отворим скобите от дясната страна на уравнението. Получаваме:

Отговор: .

2. Намерете абсцисите на точките, в които функциите се допират до графиката успоредно на оста х.

Ако допирателната е успоредна на оста x, тогава ъгълът между допирателната и положителната посока на оста нула, следователно, тангенсът на наклона на допирателната е нула. Значи стойността на производната на функцията в допирните точки е нула.

а) Намерете производната на функцията .

б) Приравнете производната към нула и намерете стойностите, в които допирателната е успоредна на оста:

Приравняваме всеки фактор на нула, получаваме:

Отговор: 0;3;5

3 . Напишете уравнения на допирателните към графиката на функция , успоредно прав .

Допирателната е успоредна на правата. Наклонът на тази права линия е -1. Тъй като допирателната е успоредна на тази права, следователно, наклонът на допирателната също е -1. т.е знаем наклона на допирателната, и по този начин стойността на производната в точката на контакт.

Това е вторият тип задача за намиране на уравнението на допирателната.

И така, ни е дадена функция и стойността на производната в точката на контакт.

а) Намерете точките, в които производната на функцията е равна на -1.

Първо, нека намерим производното уравнение.

Нека приравним производната на числото -1.

Намерете стойността на функцията в точката.

(по условие)

.

b) Намерете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката .

Намерете стойността на функцията в точката.

(по условие).

Заменете тези стойности в допирателното уравнение:

.

Отговор:

4 . Напишете уравнение за допирателна към крива , преминаване през точка

Първо проверете дали точката не е точка на допир. Ако точката е допирателна, тогава тя принадлежи на графиката на функцията и нейните координати трябва да отговарят на уравнението на функцията. Заместете координатите на точката в уравнението на функцията.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} не е точка за контакт.

Това е последният тип задача за намиране на уравнението на допирателната. Първо нещо трябва да намерим абсцисата на допирната точка.

Нека намерим стойността.

Нека бъде точката на контакт. Точката принадлежи на допирателната към графиката на функцията. Ако заместим координатите на тази точка в уравнението на допирателната, получаваме правилното равенство:

.

Стойността на функцията в точката е .

Намерете стойността на производната на функцията в точката .

Нека първо намерим производната на функцията. Това .

Производната в точка е .

Нека заместим изразите за и в уравнението на допирателната. Получаваме уравнението за:

Нека решим това уравнение.

Намалете числителя и знаменателя на дроба с 2:

Привеждаме дясната страна на уравнението до общ знаменател. Получаваме:

Опростете числителя на дроба и умножете двете части по - този израз е строго по-голям от нула.

Получаваме уравнението

Нека го решим. За да направите това, квадратираме двете части и отиваме към системата.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Нека решим първото уравнение.

ние ще решим квадратно уравнение, получаваме

Вторият корен не отговаря на условието title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Нека напишем уравнението на допирателната към кривата в точката . За да направите това, заместваме стойността в уравнението Вече го записахме.

Отговор:
.

Нека е дадена функция f, която в някаква точка x 0 има крайна производна f (x 0). Тогава правата, минаваща през точката (x 0 ; f (x 0)), имаща наклон f '(x 0), се нарича допирателна.

Но какво се случва, ако производната в точката x 0 не съществува? Има две възможности:

1. Допирателната към графиката също не съществува. Класическият пример е функцията y = |x | в точката (0; 0).
2. Допирателната става вертикална. Това е вярно например за функцията y = arcsin x в точката (1; π /2).

Допирателно уравнение

Всяка невертикална права линия се дава от уравнение от вида y = kx + b, където k е наклонът. Допирателната не е изключение и за да се състави нейното уравнение в някаква точка x 0, е достатъчно да се знае стойността на функцията и производната в тази точка.

И така, нека е дадена функция y = f (x), която има производна y = f '(x) на сегмента. Тогава във всяка точка x 0 ∈ (a; b) може да бъде начертана допирателна към графиката на тази функция, която се дава от уравнението:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Тук f ’(x 0) е стойността на производната в точката x 0, а f (x 0) е стойността на самата функция.

Задача. Дадена е функция y = x 3 . Напишете уравнение за допирателната към графиката на тази функция в точката x 0 = 2.

Допирателно уравнение: y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Точката x 0 = 2 ни е дадена, но стойностите f (x 0) и f '(x 0) ще трябва да бъдат изчислени.

Първо, нека намерим стойността на функцията. Тук всичко е лесно: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Сега нека намерим производната: f '(x) \u003d (x 3) ' = 3x 2;
Заместете в производната x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Така получаваме: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Това е уравнението на допирателната.

Задача. Съставете уравнението на допирателната към графиката на функцията f (x) \u003d 2sin x + 5 в точката x 0 \u003d π / 2.

Този път няма да описваме подробно всяко действие - ще посочим само ключовите стъпки. Ние имаме:

f (x 0) \u003d f (π / 2) = 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' = 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) = 2cos (π / 2) \u003d 0;

Тангенс уравнение:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последния случай линията се оказа хоризонтална, т.к неговият наклон k = 0. В това няма нищо лошо - току-що се натъкнахме на точка на екстремум.

Y \u003d f (x) и ако в този момент може да се начертае допирателна към графиката на функцията, която не е перпендикулярна на оста x, тогава наклонът на допирателната е f "(a). Вече използвахме това няколко пъти. Например, в § 33 беше установено, че графиката на функцията y = sin x (синусоида) в началото образува ъгъл от 45 ° с оста на абсцисата (по-точно допирателната към графиката в началото прави ъгъл от 45° с положителната посока на оста x), а в пример 5 от § 33 точки бяха намерени по даден график функции, при което допирателната е успоредна на оста x. В пример 2 от § 33 е съставено уравнение за допирателната към графиката на функцията y = x 2 в точка x = 1 (по-точно в точката (1; 1), но по-често само стойността на абсцисата е посочена, като се приеме, че ако стойността на абсцисата е известна, тогава стойността на ординатата може да се намери от уравнението y = f(x)). В този раздел ще разработим алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на всяка функция.

Нека функцията y \u003d f (x) и точката M (a; f (a)) са дадени, а също така е известно, че f "(a) съществува. Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на дадената функция в дадена точка. Това уравнение, подобно на уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на оста y, има формата y = kx + m, така че проблемът е да се намерят стойностите на коефициентите k и m.

Няма проблеми с наклона k: знаем, че k \u003d f "(a). За да изчислим стойността на m, използваме факта, че желаната права минава през точката M (a; f (a)). Това означава, че ако поставим координатните точки M в уравнението на права линия, получаваме правилното равенство: f (a) = ka + m, откъдето намираме, че m = f (a) - ka.
Остава да заменим намерените стойности на коефициентите на кита уравнениетонаправо:

Получихме уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x \u003d a.
ако кажи,
Замествайки в уравнение (1) намерените стойности a = 1, f (a) = 1 f "(a) \u003d 2, получаваме: y = 1 + 2 (xf), т.е. y = 2x -1.
Сравнете този резултат с този, получен в пример 2 от § 33. Естествено се случи същото.
Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d tg x в началото. Ние имаме: следователно cos xf "(0) = 1. Замествайки намерените стойности a = 0, f (a) = 0, f "(a) = 1 в уравнение (1), получаваме: y = x .
Ето защо начертахме тангентоида в § 15 (виж фиг. 62) през началото под ъгъл от 45° спрямо оста на абсцисата.
Решаването на тези проблеми е достатъчно прости примери, всъщност използвахме определен алгоритъм, който е вграден във формула (1). Нека направим този алгоритъм ясен.

АЛГОРИТЪМ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА УРАВНЕНИЕТО НА ФУНКЦИЯТА, ТАНКЕНТА НА ГРАФИКАТА y = f (x)

1) Определете абсцисата на точката на контакт с буквата а.
2) Изчислете 1 (а).
3) Намерете f "(x) и изчислете f" (a).
4) Заместете намерените числа a, f(a), (a) във формула (1).

Пример 1Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точката x = 1.
Нека използваме алгоритъма, като вземем предвид, че в този пример

На фиг. 126 показва хипербола, изградена е права линия y \u003d 2x.
Чертежът потвърждава дадените изчисления: наистина, линията y \u003d 2-x докосва хиперболата в точката (1; 1).

Отговор: y \u003d 2-x.
Пример 2Начертайте допирателна към графиката на функцията, така че да е успоредна на правата y \u003d 4x - 5.
Нека прецизираме формулировката на проблема. Изискването за "начертаване на допирателна" обикновено означава "направете уравнение за допирателна". Това е логично, защото ако човек е успял да състави уравнение за допирателна, тогава е малко вероятно да изпита трудности при конструирането на права линия в координатната равнина според нейното уравнение.
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като се има предвид, че в този пример, Но, за разлика от предишния пример, тук има неяснота: абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена.
Да започнем да говорим така. Желаната допирателна трябва да е успоредна на правата линия y = 4x-5. Две прави са успоредни, ако и само ако техните наклони са равни. Това означава, че наклонът на допирателната трябва да бъде равен на наклона на дадената права линия: По този начин можем да намерим стойността на a от уравнението f "(a) \u003d 4.
Ние имаме:
От уравнението има две допирателни, които удовлетворяват условията на задачата: едната в точка с абциса 2, другата в точка с абциса от -2.
Сега можете да действате според алгоритъма.

Пример 3От точката (0; 1) начертайте допирателна към графиката на функцията
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като се има предвид, че в този пример Забележете, че тук, както в пример 2, абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена. Въпреки това действаме според алгоритъма.

По условие допирателната минава през точката (0; 1). Замествайки в уравнение (2) стойностите x = 0, y = 1, получаваме:
Както можете да видите, в този пример само на четвъртата стъпка от алгоритъма успяхме да намерим абсцисата на точката на допир. Замествайки стойността a = 4 в уравнение (2), получаваме:

На фиг. 127 показва геометрична илюстрация на разглеждания пример: графика на функцията

В § 32 отбелязахме, че за функция y = f(x), която има производна във фиксирана точка x, приблизителното равенство важи:

За удобство на по-нататъшните разсъждения променяме нотацията: вместо x ще напишем a, вместо това ще напишем x и съответно ще напишем x-a. Тогава приблизителното равенство, написано по-горе, ще приеме формата:

Сега погледнете фиг. 128. На графиката на функцията y = f (x) в точка M (a; f (a)) е начертана допирателна. Маркирана точка x на оста x близо до a. Ясно е, че f(x) е ордината на графиката на функцията в определената точка x. И какво е f (a) + f "(a) (x-a)? Това е ординатата на допирателната, съответстваща на същата точка x - виж формула (1). Какво е значението на приблизителното равенство (3)? Това за изчислява се приблизителната стойност на функцията, взема се стойността на допирателната ордината.

Пример 4Намерете приблизителната стойност на числовия израз 1.02 7 .
Това е заотносно намирането на стойността на функцията y = x 7 в точката x = 1.02. Използваме формула (3), като вземем предвид това в този пример
В резултат на това получаваме:

Ако използваме калкулатор, получаваме: 1,02 7 = 1,148685667...
Както можете да видите, точността на апроксимацията е доста приемлива.
Отговор: 1,02 7 =1,14.

A.G. Алгебра Мордкович 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, математика в училище изтегляне

Съдържание на урока резюме на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения самоизпитване семинари, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитни cheat sheets учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци

Помислете за следната фигура:

Показва някаква функция y = f(x), която е диференцируема в точка a. Маркирана точка M с координати (a; f(a)). През произволна точка P(a + ∆x; f(a + ∆x)) на графиката се чертае секуща MP.

Ако сега точката P се измести по протежение на графиката до точката M, тогава правата MP ще се завърти около точката M. В този случай ∆x ще се стреми към нула. От тук можем да формулираме дефиницията на допирателна към графиката на функция.

Допирателна към функционалната графика

Допирателната към графиката на функцията е граничната позиция на секанса, когато инкрементът на аргумента клони към нула. Трябва да се разбере, че съществуването на производната на функцията f в точката x0 означава, че в тази точка от графиката има допирателнана него.

В този случай наклонът на допирателната ще бъде равен на производната на тази функция в тази точка f’(x0). Това е геометричният смисъл на производната. Допирателната към графиката на функцията f, диференцируема в точката x0, е някаква права линия, минаваща през точката (x0;f(x0)) и имаща наклон f’(x0).

Допирателно уравнение

Нека се опитаме да получим уравнението на допирателната към графиката на някаква функция f в точката A(x0; f(x0)). Уравнението на права линия с наклон k има следния вид:

Тъй като нашият наклон е равен на производната f'(x0), тогава уравнението ще приеме следния вид: y = f'(x0)*x + b.

Сега нека изчислим стойността на b. За да направим това, използваме факта, че функцията минава през точка А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, от тук изразяваме b и получаваме b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Заместваме получената стойност в уравнението на допирателната:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Помислете за следния пример: намерете уравнението на допирателната към графиката на функцията f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 в точката x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Заместете получените стойности във формулата за допирателна, получаваме: y = 1 + 4*(x - 2). Отваряйки скобите и привеждайки подобни членове, получаваме: y = 4*x - 7.

Отговор: y = 4*x - 7.

Обща схема за съставяне на уравнението на допирателнатакъм графиката на функцията y = f(x):

1. Определете x0.

2. Изчислете f(x0).

3. Изчислете f'(x)