При постоянно навеждане върху тях. Решаване на типични проблеми за здравината на материалите

Огъването е вид деформация, при която надлъжната ос на гредата е огъната. Правите греди, работещи при огъване, се наричат ​​греди. Правият завой е огъване, при което външните сили, действащи върху гредата, лежат в една и съща равнина (равнина на силата), минаваща през надлъжната ос на гредата и главната централна ос на инерция на напречното сечение.

Завоя се нарича чист, ако се появи само един огъващ момент във всяко напречно сечение на гредата.

Огъване, при което огъващ момент и напречна сила едновременно действат в напречното сечение на гредата, се нарича напречно. Линията на пресичане на равнината на силата и равнината на напречното сечение се нарича силова линия.

Фактори на вътрешна сила при огъване на гредата.

При плоско напречно огъване в секциите на гредата възникват два вътрешни фактора на сила: напречната сила Q и моментът на огъване M. За определянето им се използва методът на сечението (виж лекция 1). Напречната сила Q в сечението на гредата е равна на алгебричния сбор от проекциите върху равнината на сечението на всички външни сили, действащи от едната страна на разглежданото сечение.

Правило за знак за сили на срязване Q:

Моментът на огъване M в сечението на гредата е равен на алгебричния сбор от моментите около центъра на тежестта на този участък на всички външни сили, действащи от едната страна на разглеждания участък.

Знаково правило за огъващи моменти M:

Диференциални зависимости на Журавски.

Между интензитета q на разпределеното натоварване, изразите за напречната сила Q и момента на огъване M се установяват диференциални зависимости:

Въз основа на тези зависимости могат да се разграничат следните общи модели на диаграми на напречни сили Q и моменти на огъване M:

Особености на диаграмите на вътрешните силови фактори при огъване.

1. На участъка на гредата, където няма разпределен товар, е представен графикът Q права , успоредна на основата на диаграмата, а диаграмата M е наклонена права линия (фиг. а).

2. В участъка, където се прилага концентрираната сила, на Q диаграмата трябва да има скок , равна на стойността на тази сила, а на диаграмата M - до точката на пречупване (фиг. а).

3. В участъка, където се прилага концентриран момент, стойността на Q не се променя, а диаграмата M има скок , равна на стойността на този момент, (фиг. 26, б).

4. В сечението на гредата с разпределен товар с интензитет q диаграмата Q се променя по линеен закон, а диаграмата M - по параболичен, и изпъкналостта на параболата е насочена към посоката на разпределения товар (фиг. в, г).

5. Ако в рамките на характерния участък на диаграмата Q пресича основата на диаграмата, тогава в участъка, където Q = 0, моментът на огъване има екстремна стойност M max или M min (фиг. d).

Нормални напрежения при огъване.

Определя се по формулата:

Моментът на съпротивление на секцията на огъване е стойността:

Опасен участъкпри огъване се нарича напречното сечение на гредата, в което възниква максималното нормално напрежение.

Тангенциални напрежения при директно огъване.

Определя се от Формулата на Журавски за напрежения на срязване при директно огъване на греда:

където S ots - статичен момент на напречната област на отсечения слой от надлъжни влакна спрямо неутралната линия.

Изчисления на якост на огъване.

1. В изчисление за проверка определя се максималното проектно напрежение, което се сравнява с допустимото напрежение:

2. В проектиране изчисление изборът на секцията на гредата се извършва от условието:

3. При определяне на допустимото натоварване допустимият момент на огъване се определя от условието:

Огъващи движения.

Под действието на натоварване на огъване оста на гредата се огъва. В този случай има разтягане на влакната върху изпъкналите и компресия - върху вдлъбнатите части на гредата. Освен това има вертикално движение на центровете на тежестта на напречните сечения и тяхното въртене спрямо неутралната ос. За характеризиране на деформацията по време на огъване се използват следните понятия:

Отклонение на лъча Y- изместване на центъра на тежестта на напречното сечение на гредата в посока, перпендикулярна на нейната ос.

Отклонението се счита за положително, ако центърът на тежестта се движи нагоре. Размерът на отклонението варира по дължината на гредата, т.е. y=y(z)

Ъгъл на завъртане на секцията- ъгълът θ, с който всяка секция се завърта спрямо първоначалното си положение. Ъгълът на въртене се счита за положителен, когато секцията се завърти обратно на часовниковата стрелка. Стойността на ъгъла на въртене варира по дължината на гредата, като е функция на θ = θ (z).

Най-често срещаният начин за определяне на преместванията е методът moraи Правилото на Верещагин.

Метод на Мор.

Процедурата за определяне на премествания по метода на Мор:

1. Изгражда се „спомагателна система“ и се натоварва с единичен товар в точката, където трябва да се определи изместването. Ако се определи линейно преместване, тогава в неговата посока се прилага единична сила; при определяне на ъглови премествания се прилага единичен момент.

2. За всеки участък от системата се записват изразите на огъващи моменти M f от приложеното натоварване и M 1 - от единичен товар.

3. Интегралите на Мор се изчисляват и сумират по всички секции на системата, което води до желаното изместване:

4. Ако изчисленото преместване има положителен знак, това означава, че неговата посока съвпада с посоката на единичната сила. Отрицателният знак показва, че действителното преместване е противоположно на посоката на единичната сила.

Правилото на Верещагин.

За случая, когато диаграмата на моментите на огъване от даден товар има произволен, а от единичен товар - праволинеен контур, е удобно да се използва графично-аналитичният метод или правилото на Верещагин.

където A f е площта на диаграмата на момента на огъване M f от даден товар; y c е ​​ордината на диаграмата от единичен товар под центъра на тежестта на диаграмата M f ; EI x - коравина на сечението на сечението на гредата. Изчисленията по тази формула се правят на секции, на всеки от които праволинейната диаграма трябва да е без счупвания. Стойността (A f *y c) се счита за положителна, ако и двете диаграми са разположени от една и съща страна на лъча, отрицателна, ако са разположени от противоположните страни. Положителен резултат от умножението на диаграмите означава, че посоката на движение съвпада с посоката на единична сила (или момент). Сложна диаграма M f трябва да бъде разделена на прости фигури (използва се така нареченото "чисто наслояване"), за всяка от които е лесно да се определи ординатата на центъра на тежестта. В този случай площта на всяка фигура се умножава по ординатата под нейния център на тежестта.

извивамнаречена деформация на пръта, придружена от промяна в кривината на оста му. Пръчка, която се огъва, се нарича лъч.

В зависимост от методите на прилагане на натоварването и методите за фиксиране на пръта могат да възникнат различни видове огъване.

Ако възникне само огъващ момент под действието на натоварване в напречното сечение на пръта, тогава огъването се нарича чисти.

Ако в напречните сечения, заедно с огъващите моменти, възникват и напречни сили, тогава се нарича огъване напречен.

Ако външните сили лежат в равнина, минаваща през една от главните централни оси на напречното сечение на пръта, огъването се нарича простоили апартамент. В този случай натоварването и деформируемата ос лежат в една и съща равнина (фиг. 1).

Ориз. един

За да може гредата да поеме натоварването в равнината, тя трябва да бъде фиксирана с помощта на опори: шарнирно-подвижни, шарнирно-фиксирани, вграждане.

Гредата трябва да е геометрично неизменна, а най-малкият брой връзки е 3. Пример за геометрично променлива система е показан на фиг. 2а. Пример за геометрично неизменни системи е фиг. 2b, c.

а Б В)

В опорите възникват реакции, които се определят от равновесните условия на статиката. Реакциите в подпорите са външни натоварвания.

Вътрешни сили на огъване

Пръчка, натоварена със сили, перпендикулярни на надлъжната ос на гредата, изпитва плосък огъване (фиг. 3). В напречните сечения има две вътрешни сили: сила на срязване Q уи огъващ момент Мz.

Вътрешните сили се определят по метода на сечението. На разстояние х от точката НО от равнина, перпендикулярна на оста X, пръчката се разрязва на две секции. Една от частите на гредата се изхвърля. Взаимодействието на частите на гредата се заменя от вътрешни сили: огъващ момент Mzи напречна сила Q у(фиг. 4).

Домашни усилия Mzи Q ув напречното сечение се определят от условията на равновесие.

За детайла се съставя равновесно уравнение С:

∑г = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Тогава Q у = Р А – П1.

Заключение. Напречната сила във всеки участък на гредата е равна на алгебричната сума от всички външни сили, лежащи от едната страна на начертаното сечение. Напречната сила се счита за положителна, ако върти пръта по посока на часовниковата стрелка около точката на сечението.

∑М 0 = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х - а) – Mz = 0

Тогава Mz = Р А ∙ х – П 1 ∙ (х – а)

1. Определение на реакциите Р А , Р Б ;

∑М А = П ∙ а – Р Б ∙ л = 0

Р Б =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Начертаване на първия участък 0 ≤ х 1 ≤ а

Q y = R A =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Начертаване на втория участък 0 ≤ х 2 ≤ б

Q у = - Р Б = - ; Mz = Р Б ∙ х 2 ; х 2 = 0 Mz(0) = 0 х 2 = бMz(б) =

При изграждане Mz положителните координати ще бъдат нанесени към опънатите влакна.

Проверка на парцели

1. На диаграмата Q упрекъсвания могат да бъдат само на места, където се прилагат външни сили, като големината на скока трябва да съответства на тяхната величина.

+ = = П

2. На диаграмата Mzв точките на приложение на концентрираните моменти възникват прекъсвания и големината на скока е равна на тяхната величина.

Диференциални зависимости междуМ, Виq

Между момента на огъване, напречната сила и интензивността на разпределеното натоварване се установяват следните зависимости:

q = , Q у =

където q е интензитетът на разпределеното натоварване,

Проверка на здравината на гредите при огъване

За да се оцени якостта на пръта при огъване и да се избере сечението на гредата, се използват якостните условия за нормални напрежения.

Моментът на огъване е резултантният момент на нормалните вътрешни сили, разпределени върху сечението.

s = × г,

където s е нормалното напрежение във всяка точка на напречното сечение,

ге разстоянието от центъра на тежестта на секцията до точката,

Mz- огъващ момент, действащ в секцията,

Джей Зие аксиалният момент на инерция на пръта.

За да се осигури здравина, се изчисляват максималните напрежения, които възникват в точките на секцията, които са най-отдалечени от центъра на тежестта г = ymax

s max = × ymax,

= Wzи s max = .

Тогава условието за якост за нормални напрежения има формата:

s max = ≤ [s],

където [s] е допустимото напрежение на опън.

прав завой- това е вид деформация, при която в напречните сечения на пръта възникват два вътрешни силови фактора: огъващ момент и напречна сила.

Чист завой- това е специален случай на директно огъване, при който в напречните сечения на пръта възниква само огъващ момент, а напречната сила е нула.

Пример за чист завой - парцел CDна пръчката АБ. Огъващ моменте стойността Падвойка външни сили, причиняващи огъване. От равновесието на частта от пръта вляво от напречното сечение mnот това следва, че вътрешните сили, разпределени върху този участък, са статично еквивалентни на момента М, равен и противоположен на момента на огъване Па.

За да се намери разпределението на тези вътрешни сили върху напречното сечение, е необходимо да се вземе предвид деформацията на пръта.

В най-простия случай прътът има надлъжна равнина на симетрия и е подложен на действието на външни огъващи двойки сили, разположени в тази равнина. Тогава огъването ще се случи в същата равнина.

ос на пръчката nn 1е линия, минаваща през центровете на тежестта на нейните напречни сечения.

Нека напречното сечение на пръта е правоъгълник. Начертайте две вертикални линии върху лицата му мми стр. Когато се огъват, тези линии остават прави и се въртят така, че да останат перпендикулярни на надлъжните влакна на пръта.

Друга теория на огъването се основава на предположението, че не само линиите мми стр, но цялото плоско напречно сечение на пръта остава плоско след огъване и нормално спрямо надлъжните влакна на пръта. Следователно, при огъване, напречните сечения мми стрсе въртят една спрямо друга около оси, перпендикулярни на равнината на огъване (равнината на чертежа). В този случай надлъжните влакна от изпъкналата страна изпитват напрежение, а влакната от вдлъбнатата страна изпитват компресия.

неутрална повърхносте повърхност, която не изпитва деформация по време на огъване. (Сега е разположен перпендикулярно на чертежа, деформираната ос на пръта nn 1принадлежи на тази повърхност).

Неутрална секционна ос- това е пресечната точка на неутрална повърхност с всякаква напречно сечение (сега също разположена перпендикулярно на чертежа).

Нека произволно влакно е на разстояние гот неутрална повърхност. ρ е радиусът на кривината на извитата ос. точка Ое центърът на кривината. Да начертаем линия n 1 s 1успоредно мм.ss 1е абсолютното удължение на влакното.

Относително разширение ε xвлакна

Следва, че деформация на надлъжните влакнапропорционално на разстоянието гот неутралната повърхност и обратно пропорционална на радиуса на кривината ρ .

Надлъжното удължаване на влакната на изпъкналата страна на пръчката е придружено от странично свиване, и надлъжното скъсяване на вдлъбнатата страна - странично удължаване, както в случай на просто разтягане и свиване. Поради това външният вид на всички напречни сечения се променя, вертикалните страни на правоъгълника стават наклонени. Странична деформация z:

μ - Коефициентът на Поасон.

В резултат на това изкривяване всички прави линии на напречното сечение са успоредни на оста z, са огънати така, че да останат нормални към страните на секцията. Радиусът на кривината на тази крива Рще бъде повече от ρ по същия начин като ε x е по-голямо по абсолютна стойност от ε z и получаваме

Тези деформации на надлъжните влакна съответстват на напрежения

Напрежението във всяко влакно е пропорционално на разстоянието му от неутралната ос. n 1 n 2. Позиция на неутралната ос и радиус на кривина ρ са две неизвестни в уравнението за σ x - може да се определи от условието, че силите, разпределени върху всяко напречно сечение, образуват двойка сили, която балансира външния момент М.

Всичко по-горе е вярно и ако прътът няма надлъжна равнина на симетрия, в която действа огъващият момент, стига моментът на огъване да действа в аксиалната равнина, която съдържа една от двете главни осинапречно сечение. Тези самолети се наричат основни равнини на огъване.

Когато има равнина на симетрия и огъващият момент действа в тази равнина, отклонението възниква в нея. Моменти на вътрешни сили около оста zбалансира външния момент М. Моменти на усилие спрямо оста гвзаимно се унищожават.

Прав напречен завойвъзниква, когато всички натоварвания се прилагат перпендикулярно на оста на пръта, лежат в една и съща равнина и освен това равнината на тяхното действие съвпада с една от основните централни оси на инерция на секцията. Директното напречно огъване се отнася до проста форма на съпротивление и е плоскостно напрегнато състояние, т.е. двете основни напрежения са различни от нула. При този вид деформация възникват вътрешни сили: напречна сила и огъващ момент. Специален случай на директен напречен завой е чист завой, с такова съпротивление има товарни участъци, в които напречната сила изчезва, а огъващият момент е различен от нула. В напречните сечения на прътите с директно напречно огъване възникват нормални и срязващи напрежения. Напреженията са функция на вътрешната сила, в този случай нормалните напрежения са функция на огъващия момент, а тангенциалните напрежения са функция на напречната сила. За директно напречно огъване се въвеждат няколко хипотези:

1) Напречните сечения на гредата, плоски преди деформация, остават равни и ортогонални на неутралния слой след деформация (хипотезата за плоските сечения или хипотезата на J. Bernoulli).Тази хипотеза е валидна за чисто огъване и се нарушава, когато се появят сила на срязване, напрежения на срязване и ъглова деформация.

2) Няма взаимно налягане между надлъжните слоеве (хипотеза за липса на натиск на влакната).От тази хипотеза следва, че надлъжните влакна изпитват едноосово напрежение или компресия, следователно при чисто огъване законът на Хук е валиден.

Нарича се прът, подложен на огъване лъч. При огъване една част от влакната се разтяга, другата част се компресира. Слоят от влакна между опънати и компресирани влакна се нарича неутрален слой, преминава през центъра на тежестта на секциите. Линията на нейното пресичане с напречното сечение на гредата се нарича неутрална ос. На базата на въведените хипотези за чисто огъване се получава формула за определяне на нормални напрежения, която се използва и за директно напречно огъване. Нормалното напрежение може да се намери с помощта на линейната зависимост (1), в която съотношението на огъващия момент към аксиалния момент на инерция (
) в определен участък е постоянна стойност, а разстоянието ( г) по оста на ординатите от центъра на тежестта на сечението до точката, в която се определя напрежението, варира от 0 до
.

. (1)

За да се определи напрежението на срязване по време на огъване през 1856 г. Руският инженер-строител на мостове Д.И. Журавски получи зависимостта

. (2)

Напрежението на срязване в определен участък не зависи от съотношението на напречната сила към аксиалния момент на инерция (
), защото тази стойност не се променя в рамките на един участък, а зависи от съотношението на статичния момент на площта на отрязаната част към ширината на секцията на нивото на отрязаната част (
).

При директно напречно огъване има движения: отклонения (v ) и ъгли на завъртане (Θ ) . За определянето им се използват уравненията на метода на началните параметри (3), които се получават чрез интегриране на диференциалното уравнение на огъната ос на гредата (
).

Тук v 0 , Θ 0 ,М 0 , В 0 – начални параметри, х – разстояние от началото на координатите до участъка, в който е дефинирано преместването , ае разстоянието от началото на координатите до мястото на приложение или началото на натоварването.

Изчислението за якост и твърдост се извършва с помощта на условията на якост и твърдост. Използвайки тези условия, можете да решите проблеми с проверката (извършете проверка на изпълнението на условието), да определите размера на напречното сечение или да изберете допустимата стойност на параметъра на натоварването. Има няколко условия за сила, някои от тях са дадени по-долу. Състояние на сила за нормални натоварванияизглежда като:

, (4)

тук
– модул на сечението спрямо оста z, R е проектното съпротивление за нормални напрежения.

Условие на якост за напрежения на срязванеизглежда като:

, (5)

тук обозначението е същото като във формулата на Журавски и Р с - проектна устойчивост на срязване или проектна устойчивост на срязване.

Състояние на сила според третата хипотеза за силаили хипотезата за най-големите напрежения на срязване може да се запише в следната форма:

. (6)

Условия на скованостможе да се пише за отклонения (v ) и ъгли на въртене (Θ ) :

където стойностите на изместване в квадратни скоби са валидни.

Пример за изпълнение на индивидуална задача No4 (срок 2-8 седмици)

При директно чисто огъване в напречното сечение на пръта има само един фактор на силата - огъващият момент М х(Фиг. 1). Като Q y = dM x / dz \u003d 0,тогава Mx=const и чисто директно огъване може да се осъществи, когато прътът е натоварен с двойки сили, приложени в крайните секции на пръта. От момента на огъване М хпо дефиниция е равно на сумата от моментите на вътрешните сили около оста охтя е свързана с нормалните напрежения чрез уравнението на статиката, което следва от това определение

Нека формулираме предпоставките на теорията за чистото директно огъване на призматичен прът. За целта анализираме деформациите на модел на прът, изработен от нискомодулен материал, върху чиято странична повърхност е нанесена решетка от надлъжни и напречни драскотини (фиг. 2). Тъй като напречните рискове, когато прътът е огънат от двойки сили, приложени в крайните секции, остават прави и перпендикулярни на извитите надлъжни рискове, това ни позволява да заключим, че хипотези за плоско сечение,което, както показва решението на този проблем чрез методите на теорията на еластичността, престава да бъде хипотеза, превръщайки се в точен факт - законът за равнинните сечения.Измервайки изменението на разстоянията между надлъжните рискове, стигаме до извода за валидността на хипотезата за неналягане на надлъжните влакна.

Ортогоналността на надлъжните и напречните драскотини преди и след деформация (като отражение на действието на закона за плоските сечения) също показва липсата на измествания, напрежения на срязване в напречните и надлъжните сечения на пръта.

Фиг. 1.Връзка между вътрешни усилия и стрес

Фиг.2.Модел на чисто огъване

По този начин чистото директно огъване на призматичен прът се свежда до едноосово опъване или компресия на надлъжните влакна от напрежения (индекс гпропуснат по-късно). В този случай част от влакната е в зоната на опън (на фиг. 2 това са долните влакна), а другата част е в зоната на компресия (горните влакна). Тези зони са разделени от неутрален слой (p-p),без промяна на дължината си, напреженията в която са равни на нула. Като се вземат предвид формулираните по-горе предпоставки и като се приеме, че материалът на пръта е линейно еластичен, т.е. законът на Хук в този случай има формата: , ние извеждаме формули за кривината на неутралния слой (-радиус на кривина) и нормални напрежения. Първо отбелязваме, че постоянството на напречното сечение на призматичната пръчка и момента на огъване (M x = const),осигурява постоянството на радиуса на кривината на неутралния слой по дължината на пръта (фиг. 3, а), неутрален слой (n—n)описано с дъга на окръжност.

Помислете за призматичен прът при условия на директно чисто огъване (фиг. 3, а) с напречно сечение, симетрично спрямо вертикалната ос OUТова условие няма да повлияе на крайния резултат (за да е възможно прав завой, съвпадението на оста О сосновна ос на инерция на напречното сечение, която е оста на симетрия). ос волсложете неутралния слой, позиция на коготоне се знае предварително.

а) изчислителна схема, б) напрежения и напрежения

Фиг.3.Фрагмент от чист завой на греда

Помислете за елемент, изрязан от пръчка с дължина дз, което е показано в скала с пропорции, изкривени за по-голяма яснота на фиг. 3, б. Тъй като деформациите на елемента, определени от относителното преместване на неговите точки, представляват интерес, една от крайните секции на елемента може да се счита за фиксирана. С оглед на малкостта приемаме, че точките на напречното сечение, когато се завъртят през този ъгъл, се движат не по дъги, а по съответните допирателни.

Нека изчислим относителната деформация на надлъжното влакно AB,отделен от неутралния слой от на адрес:

От сходството на триъгълниците C00 1и 0 1 BB 1следва това

Оказа се, че надлъжната деформация е линейна функция на разстоянието от неутралния слой, което е пряко следствие от закона за равнинните сечения

Тази формула не е подходяща за практическа употреба, тъй като съдържа две неизвестни: кривината на неутралния слой и позицията на неутралната ос ох, от която се отчита координатата г.За да определим тези неизвестни, използваме равновесните уравнения на статиката. Първият изразява изискването надлъжната сила да е равна на нула

Заместване на израз (2) в това уравнение

и като вземем предвид това, получаваме това

Интегралът от лявата страна на това уравнение е статичният момент на напречното сечение на пръта около неутралната ос о,което може да бъде равно на нула само спрямо централната ос. Следователно, неутралната ос охпреминава през центъра на тежестта на напречното сечение.

Второто статично равновесно уравнение е това, което свързва нормалните напрежения с момента на огъване (който може лесно да се изрази чрез външни сили и следователно се счита за дадена стойност). Заместване на израза за в уравнението на пакета. напрежение, получаваме:

и предвид това където J хе основният централен момент на инерция спрямо оста о,за кривината на неутралния слой получаваме формулата

Фиг.4.Нормално разпределение на стреса

който за първи път е получен от С. Кулон през 1773г. За да съответства на знаците на огъващия момент М хи нормални напрежения, знакът минус се поставя от дясната страна на формула (5), тъй като at M x >0нормални напрежения при г>0 се оказва съкращаващо. Въпреки това, в практическите изчисления е по-удобно, без да се придържате към формалното правило на знаците, да се определят напреженията по модул и да се постави знакът според значението. Нормалните напрежения при чисто огъване на призматичен прът са линейна функция на координатата ви достигат най-високите стойности в най-отдалечените от неутралната ос влакна (фиг. 4), т.е.

Тук се въвежда геометрична характеристика, която има размерност m 3 и се нарича момент на съпротивление при огъване.Тъй като за даденост М хволтаж макс?колкото по-малко толкова повече Ш х ,моментът на съпротивление е геометрична характеристика на якостта на напречното сечение на огъване.Нека дадем примери за изчисляване на моментите на съпротивление за най-простите форми на напречни сечения. За правоъгълно напречно сечение (фиг. 5, а) ние имаме J x \u003d bh 3 / 12, y макс = h/2и W x = J x /y макс = bh 2 /6.По същия начин за кръг (фиг. 5 ,a J x =d4 /64, ymax=d/2) получаваме Ш х =d3/32, за кръгло пръстеновидно сечение (фиг. 5, в),кое