Градуси означават остър триъгълник. Видове триъгълници: правоъгълни, остроъгълни, тъпоъгълни

Като правило два триъгълника се считат за подобни, ако имат една и съща форма, дори ако са с различни размери, завъртени или дори обърнати с главата надолу.

Математическото представяне на два подобни триъгълника A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2, показано на фигурата, е записано, както следва:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Два триъгълника са подобни, ако:

1. Всеки ъгъл на един триъгълник е равен на съответния ъгъл на друг триъгълник:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2И ∠C1 = ∠C2

2. Съотношенията на страните на един триъгълник към съответните страни на друг триъгълник са равни една спрямо друга:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Взаимоотношения две странина един триъгълник към съответните страни на друг триъгълник са равни една на друга и в същото време
ъглите между тези страни са равни:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ и $\angle A_1 = \angle A_2$
или
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ и $\angle B_1 = \angle B_2$
или
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ и $\angle C_1 = \angle C_2$

Подобни триъгълници не трябва да се бъркат с еднакви триъгълници. Конгруентните триъгълници имат съответни дължини на страните. Така че за равни триъгълници:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

От това следва, че всички равни триъгълници са подобни. Въпреки това, не всички подобни триъгълници са равни.

Въпреки че горната нотация показва, че за да разберем дали два триъгълника са сходни или не, трябва да знаем стойностите на трите ъгъла или дължините на трите страни на всеки триъгълник, за да решим задачи с подобни триъгълници, той Достатъчно е да се знаят каквито и да е три стойности от горните за всеки триъгълник. Тези стойности могат да бъдат в различни комбинации:

1) три ъгъла на всеки триъгълник (дължините на страните на триъгълниците не е необходимо да се знаят).

Или поне 2 ъгъла на един триъгълник трябва да са равни на 2 ъгъла на друг триъгълник.
Тъй като ако 2 ъгъла са равни, тогава третият ъгъл също ще бъде равен (Стойността на третия ъгъл е 180 - ъгъл1 - ъгъл2)

2) дължините на страните на всеки триъгълник (не е необходимо да се знаят ъглите);

3) дължините на двете страни и ъгъла между тях.

След това разглеждаме решението на някои задачи с подобни триъгълници. Първо ще разгледаме проблемите, които могат да бъдат решени чрез директно използване на горните правила, а след това ще обсъдим някои практически проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на метода на подобни триъгълници.

Практически задачи с подобни триъгълници

Пример №1: Покажете, че двата триъгълника на фигурата по-долу са сходни.

Решение:
Тъй като дължините на страните на двата триъгълника са известни, тук може да се приложи второто правило:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Пример №2: Покажете, че два дадени триъгълника са подобни и намерете дължините на страните PQИ PR.

Решение:
∠A = ∠PИ ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(тъй като ∠C = 180 - ∠A - ∠B и ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

От това следва, че триъгълниците ∆ABC и ∆PQR са сходни. следователно:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ и
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Пример №3: Определете дължината АБв този триъгълник.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDИ ∠Aобщи => триъгълници ΔABCИ ΔADEса подобни.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \rightarrow 2\times AB = AB + 4 \rightarrow AB = 4$

Пример №4: Определете дължината AD(x)геометрична фигура на фигурата.

Триъгълниците ∆ABC и ∆CDE са подобни, защото AB || DE и те имат общ горен ъгъл° С.
Виждаме, че единият триъгълник е мащабирана версия на другия. Трябва обаче да го докажем математически.

AB || DE, CD || AC и BC || ЕС
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Въз основа на гореизложеното и като се вземе предвид наличието на общ ъгъл ° С, можем да кажем, че триъгълниците ∆ABC и ∆CDE са подобни.

следователно:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23,57
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Практически примери

Пример №5: Фабриката използва наклонена транспортна лента за транспортиране на продукти от ниво 1 до ниво 2, което е на 3 метра над ниво 1, както е показано на фигурата. Наклоненият конвейер се обслужва от единия край до ниво 1 и от другия край до работна станция, разположена на разстояние 8 метра от работна точка на ниво 1.

Фабриката иска да надстрои конвейера за достъп до новото ниво, което е на 9 метра над ниво 1, като същевременно запази ъгъла на конвейера.

Определете разстоянието, на което трябва да настроите нова работна станция, за да сте сигурни, че конвейерът работи в новия си край на ниво 2. Също така изчислете допълнителното разстояние, което продуктът ще измине при преминаване към ново ниво.

Решение:

Първо, нека обозначим всяка пресечна точка с конкретна буква, както е показано на фигурата.

Въз основа на разсъжденията, дадени по-горе в предишните примери, можем да заключим, че триъгълниците ∆ABC и ∆ADE са сходни. следователно,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 милиона долара
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

По този начин новата точка трябва да бъде монтирана на разстояние 16 метра от съществуващата точка.

И тъй като структурата е съставена от правоъгълни триъгълници, можем да изчислим разстоянието на пътуването на продукта, както следва:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

По подобен начин $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
което е разстоянието, на което изминава продуктът този моментпри влизане в съществуващото ниво.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Това е допълнителното разстояние, което един продукт трябва да измине, за да достигне ново ниво.

Пример #6: Стив иска да посети приятеля си, който наскоро се премести в нова къща. Пътната карта за достигане до къщата на Стив и неговия приятел, заедно с разстоянията, известни на Стив, е показана на фигурата. Помогнете на Стив да стигне до къщата на приятеля си по най-краткия път.

Решение:

Пътната карта може да бъде представена геометрично в следната форма, както е показано на фигурата.

Виждаме, че триъгълниците ∆ABC и ∆CDE са подобни, следователно:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Декларацията на задачата гласи, че:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km и DE = 5 km

Използвайки тази информация, можем да изчислим следните разстояния:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Стив може да стигне до къщата на приятеля си по следните маршрути:

A -> B -> C -> E -> G, общото разстояние е 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, общото разстояние е 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 км

F -> A -> C -> E -> G, общото разстояние е 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 км

F -> A -> C -> D -> G, общото разстояние е 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 км

Следователно маршрут №3 е най-краткият и може да бъде предложен на Стив.

Пример 7:
Триша иска да измери височината на къщата, но няма правилните инструменти. Тя забелязала, че пред къщата расте дърво и решила да използва своята съобразителност и знания по геометрия, получени в училище, за да определи височината на сградата. Тя измери разстоянието от дървото до къщата, резултатът беше 30 м. След това застана пред дървото и започна да се отдръпва, докато горният ръб на сградата се виждаше над върха на дървото. Триша отбеляза мястото и измери разстоянието от него до дървото. Това разстояние беше 5 м.

Височината на дървото е 2,8 м, а височината на очите на Триша е 1,6 м. Помогнете на Триша да определи височината на сградата.

Решение:

Геометричното представяне на проблема е показано на фигурата.

Първо използваме подобието на триъгълниците ∆ABC и ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \ пъти AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

След това можем да използваме подобието на триъгълниците ∆ACB и ∆AFG или ∆ADE и ∆AFG. Нека изберем първия вариант.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Два триъгълника се казва, че са равни, ако могат да се припокриват. Фигура 1 показва равни триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1. Всеки от тези триъгълници може да се наслагва върху друг, така че да са напълно съвместими, тоест техните върхове и страни са сдвоени. Ясно е, че в този случай ъглите на тези триъгълници ще бъдат комбинирани по двойки.

По този начин, ако два триъгълника са равни, тогава елементите (т.е. страните и ъглите) на единия триъгълник са съответно равни на елементите на другия триъгълник. Отбележи, че в равни триъгълници срещу съответно равни страни(т.е. припокриване при наслагване) лежат под равни ъглии обратно: противоположни съответно равни ъгли лежат равни страни.

Така, например, в равни триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, показани на фигура 1, равни ъгли C и C 1 лежат съответно срещу равни страни AB и A 1 B 1. Равенството на триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 ще бъде обозначено, както следва: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Оказва се, че равенството на два триъгълника може да се установи чрез сравняване на някои от техните елементи.

Теорема 1. Първият знак за равенство на триъгълниците.Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни (фиг. 2).

Доказателство. Помислете за триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, в които AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (вж. Фиг. 2). Нека докажем, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Тъй като ∠ A \u003d ∠ A 1, тогава триъгълникът ABC може да бъде насложен върху триъгълника A 1 B 1 C 1, така че върхът A да е подравнен с върха A 1, а страните AB и AC се припокриват съответно върху лъчи A 1 B 1 и A 1 C един . Тъй като AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, тогава страната AB ще се комбинира със страна A 1 B 1 и страна AC - със страна A 1 C 1; по-специално точки B и B 1 , C и C 1 ще съвпадат. Следователно страните BC и B 1 C 1 ще бъдат подравнени. И така, триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са напълно съвместими, което означава, че са равни.

Теорема 2 се доказва по подобен начин чрез метода на суперпозицията.

Теорема 2. Вторият знак за равенство на триъгълниците.Ако страната и два съседни до нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и на два съседни ъгъла на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни (фиг. 34).

Коментирайте. Въз основа на теорема 2 се установява теорема 3.

Теорема 3. Сумата от всеки два вътрешни ъгъла на триъгълник е по-малка от 180°.

Теорема 4 следва от последната теорема.

Теорема 4. Външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, не в съседство с него.

Теорема 5. Третият знак за равенство на триъгълниците.Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни ().

Пример 1В триъгълници ABC и DEF (фиг. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 см, AC = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнете триъгълниците ABC и DEF. Какъв ъгъл в триъгълника DEF е равен на ъгъл B?

Решение. Тези триъгълници са равни в първия знак. Ъгъл F на триъгълник DEF е равен на ъгъл B на триъгълник ABC, тъй като тези ъгли лежат срещу съответните равни страни DE и AC.

Пример 2Отсечките AB и CD (фиг. 5) се пресичат в точка O, която е средата на всеки от тях. На какво е равен отсечката BD, ако отсечката AC е 6 m?

Решение. Триъгълниците AOC и BOD са равни (по първия критерий): ∠ AOC = ∠ BOD (вертикално), AO = OB, CO = OD (по условие).
От равенството на тези триъгълници следва равенството на техните страни, т.е. AC = BD. Но тъй като според условието AC = 6 m, тогава BD = 6 m.

Стандартни нотации

Триъгълник с върхове А, БИ ° Собозначен като (виж фиг.). Триъгълникът има три страни:

Дължините на страните на триъгълник са обозначени с малки букви с латински букви(а, б, в):

Триъгълникът има следните ъгли:

Традиционно се означават стойностите на ъглите при съответните върхове гръцки букви (α, β, γ).

Признаци за равенство на триъгълници

Триъгълник в евклидовата равнина може да бъде еднозначно (до конгруентност) дефиниран от следните триплети от основни елементи:

1. a, b, γ (равенство на двете страни и ъгъла между тях);
2. a, β, γ (равенство по страничен и два съседни ъгъла);
3. a, b, c (равенство от три страни).

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

1. по протежение на крака и хипотенузата;
2. на два крака;
3. по протежение на крака и остър ъгъл;
4. хипотенуза и остър ъгъл.

Някои точки в триъгълника са "сдвоени". Например има две точки, от които всички страни се виждат или под ъгъл от 60°, или под ъгъл от 120°. Те се наричат точки Торичели. Има и две точки, чиито проекции на страните лежат във върховете на правилен триъгълник. Това - точки на Аполоний. Точки и такива, които се наричат Брокард точки.

Директен

Във всеки триъгълник центърът на тежестта, ортоцентърът и центърът на описаната окръжност лежат на една и съща права линия, наречена линия на Ойлер.

Правата, минаваща през центъра на описаната окръжност и точката на Лемоан, се нарича Оста на Брокар. Върху него лежат точки на Аполоний. Точките на Торичели и точката на Лемоан също лежат на една и съща права линия. Основите на външните сисектриси на ъглите на триъгълник лежат на една и съща права линия, наречена ос на външни бисектриси. Точките на пресичане на линиите, съдържащи страните на ортотриъгълника, с линиите, съдържащи страните на триъгълника, също лежат на една и съща права. Тази линия се нарича ортоцентрична ос, тя е перпендикулярна на линията на Ойлер.

Ако вземем точка от описаната окръжност на триъгълник, тогава нейните проекции върху страните на триъгълника ще лежат на една права линия, наречена Правата линия на Симсъндадена точка. Линиите на Симсън на диаметрално противоположни точки са перпендикулярни.

триъгълници

• Нарича се триъгълник с върхове в основите на чевианите, начертани през дадена точка чевиан триъгълниктази точка.
• Триъгълник с върхове в проекциите на дадена точка върху страните се нарича под кожатаили триъгълник на педалатази точка.
• Триъгълник с върхове във вторите пресечни точки на линиите, проведени през върховете и дадена точка, с описаната окръжност, се нарича чевиан триъгълник. Чевианският триъгълник е подобен на поддермалния.

кръгове

• Вписан кръге окръжност, допирателна към трите страни на триъгълника. Тя е единствената. Центърът на вписаната окръжност се нарича incenter.
• Описан кръг- окръжност, минаваща през трите върха на триъгълника. Описаната окръжност също е уникална.
• Изключете кръг- окръжност, допирателна към едната страна на триъгълник и продължение на другите две страни. В триъгълник има три такива кръга. Техният радикален център е центърът на вписаната окръжност на средния триъгълник, наречен Точката на Спайкър.

Средните точки на трите страни на триъгълника, основите на трите му височини и средните точки на трите отсечки, свързващи върховете му с ортоцентъра, лежат върху една окръжност, наречена кръг от девет точкиили кръг на Ойлер. Центърът на окръжността с девет точки лежи на правата на Ойлер. Окръжност от девет точки докосва вписана окръжност и три вписани окръжности. Точката на допир между вписана окръжност и окръжност от девет точки се нарича Фойербах точка. Ако от всеки връх изложим триъгълници на прави линии, съдържащи страни, ортези, равни по дължина на противоположните страни, тогава получените шест точки лежат на един кръг - Конуей кръгове. Във всеки триъгълник могат да се впишат три окръжности по такъв начин, че всеки от тях да докосва две страни на триъгълника и две други окръжности. Такива кръгове се наричат Малфати кръгове. Центровете на описаните окръжности на шестте триъгълника, на които триъгълникът е разделен от медианите, лежат върху една окръжност, която се нарича Ламунски кръг.

Триъгълникът има три окръжности, които докосват двете страни на триъгълника и описаната окръжност. Такива кръгове се наричат полувписанили Верие кръгове. Сегментите, свързващи точките на контакт на окръжностите на Верие с описаната окръжност, се пресичат в една точка, наречена Точка Верие. Той служи като център на хомотетията, която отвежда описаната окръжност до вписаната окръжност. Точките на допиране на окръжностите на Верие със страните лежат върху права линия, която минава през центъра на вписаната окръжност.

Отсечките, свързващи допирателните точки на вписаната окръжност с върховете, се пресичат в една точка, наречена Точка Жергон, а отсечките, свързващи върховете с допирните точки на извънокръжностите - в Точка Нагел.

Елипси, параболи и хиперболи

Вписана коника (елипса) и нейната перспектива

Безкраен брой коници (елипси, параболи или хиперболи) могат да бъдат вписани в триъгълник. Ако впишем произволна коника в триъгълник и свържем допирните точки с противоположни върхове, тогава получените прави ще се пресичат в една точка, наречена перспективаконици. За всяка точка от равнината, която не лежи на страна или на нейното продължение, съществува вписана коника с перспектива в тази точка.

Елипсата на Щайнер е описана и чевианите минават през нейните фокуси

Елипса може да бъде вписана в триъгълник, който докосва страните в средните точки. Такава елипса се нарича Щайнер вписана елипса(неговата перспектива ще бъде центроидът на триъгълника). Описаната елипса, която е допирателна към линиите, минаващи през върхове, успоредни на страните, се нарича описано от елипсата на Щайнер. Ако афинна трансформация ("кос") преведе триъгълника в правилен, тогава неговата вписана и описана елипса на Щайнер ще влезе във вписана и описана окръжност. Цевианите, начертани през фокусите на описаната елипса на Щайнер (точките на Скутин), са равни (теоремата на Скутин). От всички описани елипси, описаната елипса на Щайнер има най-малката площ, и от всички вписани елипси, вписаната елипса на Щайнер има най-голяма площ.

Елипсата на Брокар и нейният перспектив - точка Лемуан

Нарича се елипса с фокуси в точките на Брокар Брокарова елипса. Неговата перспектива е точката Lemoine.

Свойства на вписана парабола

Парабола на Киперт

Перспективите на вписаните параболи лежат върху описаната елипса на Щайнер. Фокусът на вписана парабола лежи върху описаната окръжност, а директрисата минава през ортоцентъра. Нарича се парабола, вписана в триъгълник, чиято директриса е правата на Ойлер Парабола на Киперт. Неговата перспектива е четвъртата точка на пресичане на описаната окръжност и описаната Щайнерова елипса, наречена Точка на Щайнер.

Хипербола на Кипърт

Ако описаната хипербола минава през пресечната точка на височините, тогава тя е равностранна (тоест асимптотите й са перпендикулярни). Пресечната точка на асимптотите на равностранна хипербола лежи върху окръжност от девет точки.

Трансформации

Ако линиите, минаващи през върховете и някаква точка, която не лежи на страните и техните разширения, се отразят спрямо съответните ъглополовящи, тогава техните изображения също ще се пресичат в една точка, която се нарича изогонално спрегнатиоригиналната (ако точката лежи върху описаната окръжност, тогава получените линии ще бъдат успоредни). Много двойки забележителни точки са изогонално спрегнати: центърът на описаната окръжност и ортоцентърът, центроидът и точката на Лемоан, точките на Брокар. Точките на Аполоний са изогонално спрегнати на точките на Торичели, а центърът на вписаната окръжност е изогонално конюгиран със себе си. Под действието на изогонално спрежение правите преминават в описани коници, а описаните коници в прави. Така хиперболата на Киперт и оста на Брокар, хиперболата на Енжабек и линията на Ойлер, хиперболата на Фойербах и линията на центровете на вписаната окръжност са изогонално спрегнати. Описаните кръгове на подкожни триъгълници на изогонално спрегнати точки съвпадат. Фокусите на вписаните елипси са изогонално конюгирани.

Ако вместо симетричен чевиан вземем чевиан, чиято основа е толкова далеч от средата на страната, колкото основата на оригиналния, тогава такива чевиани също ще се пресичат в една точка. Получената трансформация се нарича изотомна конюгация. Освен това картографира линиите в описаните коници. Точките на Жергон и Нагел са изотомично спрегнати. При афинни трансформации изотомно спрегнатите точки преминават в изотомно спрегнати. При изотомично конюгиране описаната елипса на Щайнер преминава в права линия в безкрайност.

Ако в сегментите, отрязани от страните на триъгълника от описаната окръжност, са вписани окръжности, които докосват страните в основите на чевианите, изтеглени през определена точка, и след това точките на контакт на тези окръжности са свързани с описаната окръжност кръг с противоположни върхове, тогава такива линии ще се пресичат в една точка. Извиква се трансформацията на равнината, съпоставяща първоначалната точка с получената изокръгова трансформация. Съставът на изогоналните и изотомичните конюгации е съставът на изокръглената трансформация със себе си. Тази композиция е проективна трансформация, която оставя страните на триъгълника на място и превежда оста на външните ъглополовящи в права линия в безкрайност.

Ако продължим страните на триъгълника на Севиан на някаква точка и вземем техните пресечни точки със съответните страни, тогава получените точки на пресичане ще лежат на една права линия, наречена трилинеен поляренначална точка. Ортоцентрична ос - трилинейна полярна на ортоцентъра; трилинейният полярен на центъра на вписаната окръжност е оста на външните ъглополовящи. Трилинейните поляри на точките, лежащи върху описаната коника, се пресичат в една точка (за описаната окръжност това е точката на Лемоан, за описаната Щайнерова елипса е центроидът). Съставът на изогоналното (или изотомно) конюгиране и трилинейния полярен е трансформация на двойственост (ако точката, изогонално (изотомично) конюгирана с точката, лежи на трилинейния поляр на точката, тогава трилинейната поляна на точката изогонално (изотомично) конюгат на точката лежи на трилинейния полюс на точката).

кубчета

Отношения в триъгълник

Забележка:в този раздел, , , са дължините на трите страни на триъгълника и , , са ъглите, лежащи съответно срещу тези три страни (противоположни ъгли).

неравенство на триъгълник

В неизроден триъгълник сумата от дължините на двете му страни е по-голяма от дължината на третата страна, в изроден триъгълник е равна. С други думи, дължините на страните на триъгълник са свързани със следните неравенства:

Неравенството на триъгълника е една от аксиомите на метриките.

Теорема за сумата на ъглите на триъгълника

Синусова теорема

,

където R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника. От теоремата следва, че ако a< b < c, то α < β < γ.

Теорема за косинусите

Допирателна теорема

Други съотношения

Метричните съотношения в триъгълник са дадени за:

Решаване на триъгълници

Изчисляването на неизвестни страни и ъгли на триъгълник, базирано на известни такива, исторически се нарича "решения на триъгълник". В този случай се използват горните общи тригонометрични теореми.

Площ на триъгълник

Специални случаи Обозначение

За площта са валидни следните неравенства:

Изчисляване на площта на триъгълник в пространството с помощта на вектори

Нека върховете на триъгълника са в точките , , .

Нека представим вектора на площта. Дължината на този вектор е равна на площта на триъгълника и е насочена по нормалата към равнината на триъгълника:

Нека , където , , са проекциите на триъгълника върху координатните равнини. При което

и по същия начин

Площта на триъгълника е.

Алтернатива е да се изчислят дължините на страните (като се използва Питагоровата теорема) и след това да се използва формулата на Херон.

Теореми за триъгълник

Теорема на Дезарг: ако два триъгълника са перспективни (правите, минаващи през съответните върхове на триъгълниците се пресичат в една точка), то съответните им страни се пресичат на една права линия.

Теорема на Сонд: ако два триъгълника са перспективни и ортологични (перпендикуляри, изпуснати от върховете на един триъгълник до страните, противоположни на съответните върхове на триъгълника, и обратно), тогава и двата ортологични центъра (точки на пресичане на тези перпендикуляри) и центъра на перспективата лежат на една права линия, перпендикулярна на оста на перспективата (права от теоремата на Дезарг).

Днес отиваме в страната на геометрията, където ще се запознаем различни видоветриъгълници.

Обмисли геометрични фигурии намерете сред тях „екстрата” (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигури № 1, 2, 3, 5 са ​​четириъгълници. Всеки от тях има собствено име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че "допълнителната" фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една и съща права линия, и три сегмента, свързващи тези точки по двойки.

Точките се наричат върхове на триъгълник, сегменти - неговите партии. Оформят се страните на триъгълника Има три ъгъла във върховете на триъгълник.

Основните характеристики на триъгълника са три страни и три ъгъла.Триъгълниците се класифицират според ъгъла остър, правоъгълен и тъп.

Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остър триъгълник

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълник се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, тоест по-голям от 90° (фиг. 6).

Ориз. 6. Тъп триъгълник

Според броя на равните страни триъгълниците биват равностранни, равнобедрени, скални.

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който две страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Тези страни се наричат страничен, трета страна - основа. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.

Равнобедрените триъгълници са остър и тъп(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник

Нарича се равностранен триъгълник, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълницивинаги остроъгълен.

Триъгълник се нарича универсален, в който и трите страни имат различни дължини (фиг. 10).

Ориз. 10. Скален триъгълник

Изпълнете задачата. Разделете тези триъгълници на три групи (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация към задачата

Първо, нека разпределим според размера на ъглите.

Остри триъгълници: No1, No3.

Правоъгълни триъгълници: #2, #6.

Тъпи триъгълници: #4, #5.

Тези триъгълници са разделени на групи според броя на равните страни.

Мащабни триъгълници: No 4, No 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: № 1.

Прегледайте чертежите.

Помислете от какво парче тел е направен всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да спорите по този начин.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че можете да направите равностранен триъгълник от него. Показан е трети на фигурата.

Второто парче тел е разделено на три различни части, така че можете да направите скален триъгълник от него. Показан е първо на снимката.

Третото парче тел е разделено на три части, като двете части са с еднаква дължина, така че можете да направите равнобедрен триъгълник от него. Показан е втори на фигурата.

Днес в урока се запознахме с различни видове триъгълници.

Библиография

1. М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Просвещение", 2012.
2. М.И. Моро, M.A. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Просвещение", 2012.
3. М.И. Моро. уроци по математика: Насокиза учителя. 3 клас - М.: Образование, 2012.
4. Регулаторен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М.: "Просвещение", 2011.
5. "Училище на Русия": Програми за основно училище. - М.: "Просвещение", 2011.
6. S.I. Волков. математика: Работа по проверка. 3 клас - М.: Образование, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: "Изпит", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Завършете фразите.

а) Триъгълник е фигура, която се състои от ..., които не лежат на една и съща права линия, и ..., свързващи тези точки по двойки.

б) Точките се наричат … , сегменти - неговите … . Страните на триъгълник се образуват във върховете на триъгълник ….

в) Според големината на ъгъла триъгълниците са ..., ..., ....

г) Според броя на равните страни триъгълниците са ..., ..., ....

2. Рисуване

а) правоъгълен триъгълник

б) остър триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) скален триъгълник;

д) равнобедрен триъгълник.

3. Направете задача по темата на урока за вашите другари.

Науката геометрия ни казва какво е триъгълник, квадрат, куб. IN съвременен святизучава се в училищата от всички без изключение. Също така една наука, която директно изучава какво е триъгълник и какви свойства има, е тригонометрията. Тя изследва подробно всички явления, свързани с данните.Ще говорим за това какво е триъгълник днес в нашата статия. Техните видове ще бъдат описани по-долу, както и някои теореми, свързани с тях.

Какво е триъгълник? Определение

Това е плосък многоъгълник. Има три ъгъла, което става ясно от името му. Също така има три страни и три върха, първият от които са сегменти, а вторият са точки. Като знаете на какво са равни два ъгъла, можете да намерите третия, като извадите сумата на първите два от числото 180.

Какво представляват триъгълниците?

Те могат да бъдат класифицирани по различни критерии.

На първо място, те са разделени на остроъгълни, тъпоъгълни и правоъгълни. Първите имат остри ъгли, тоест тези, които са по-малки от 90 градуса. При тъпите ъгли единият от ъглите е тъп, тоест този, който е равен на повече от 90 градуса, другите два са остри. Острите триъгълници включват също и равностранни триъгълници. На такива триъгълници всички страни и ъгли са равни. Всички те са равни на 60 градуса, това може лесно да се изчисли, като се раздели сумата от всички ъгли (180) на три.

Правоъгълен триъгълник

Невъзможно е да не говорим за това какво е правоъгълен триъгълник.

Такава фигура има един ъгъл, равен на 90 градуса (прав), тоест две от страните й са перпендикулярни. Другите два ъгъла са остри. Те могат да бъдат равни, тогава ще бъде равнобедрен. Питагоровата теорема е свързана с правоъгълния триъгълник. С негова помощ можете да намерите третата страна, като знаете първите две. Според тази теорема, ако добавите квадрата на единия крак към квадрата на другия, можете да получите квадрата на хипотенузата. Квадратът на катета може да се изчисли чрез изваждане на квадрата на известния катет от квадрата на хипотенузата. Говорейки за това какво е триъгълник, можем да си припомним равнобедреното. Това е този, в който две от страните са равни, а два от ъглите също са равни.

Какво е катета и хипотенузата?

Краят е една от страните на триъгълник, които образуват ъгъл от 90 градуса. Хипотенузата е останалата страна, която е срещуположна прав ъгъл. От него може да се спусне перпендикуляр върху крака. Съотношението на съседния катет към хипотенузата се нарича косинус, а обратното се нарича синус.

- какви са неговите характеристики?

Тя е правоъгълна. Катетата му са три и четири, а хипотенузата е пет. Ако сте видели, че краката на този триъгълник са равни на три и четири, можете да сте сигурни, че хипотенузата ще бъде равна на пет. Също така, според този принцип, може лесно да се определи, че катета ще бъде равен на три, ако вторият е равен на четири, а хипотенузата е пет. За да докажете това твърдение, можете да приложите теоремата на Питагор. Ако два крака са 3 и 4, тогава 9 + 16 \u003d 25, коренът от 25 е 5, тоест хипотенузата е 5. Също така, египетски триъгълник се нарича правоъгълен триъгълник, чиито страни са 6, 8 и 10 ; 9, 12 и 15 и други числа със съотношение 3:4:5.

Какво друго може да бъде триъгълник?

Триъгълниците също могат да бъдат вписани и описани. Фигурата, около която е описан кръгът, се нарича вписана, всичките й върхове са точки, лежащи върху окръжността. Описан триъгълник е този, в който е вписана окръжност. Всичките му страни са в контакт с него в определени точки.

Как е

Площта на всяка фигура се измерва в квадратни единици(квадратни метри, квадратни милиметри, квадратни сантиметри, квадратни дециметри и т.н.) Тази стойност може да се изчисли по различни начини, в зависимост от вида на триъгълника. Площта на всяка фигура с ъгли може да се намери, като се умножи нейната страна по перпендикуляра, пуснат върху нея от противоположния ъгъл, и разделяне на тази цифра на две. Можете също да намерите тази стойност, като умножите двете страни. След това умножете това число по синуса на ъгъла между тези страни и го разделете на две. Като знаете всички страни на триъгълник, но не знаете ъглите му, можете да намерите площта по друг начин. За да направите това, трябва да намерите половината от периметъра. След това последователно извадете различни страни от това число и умножете четирите получени стойности. След това разберете номера, който излезе. Площта на вписан триъгълник може да се намери, като се умножат всички страни и полученото число, което е описано около него, се раздели на четири.

Площта на описания триъгълник се намира по този начин: умножаваме половината периметър по радиуса на окръжността, която е вписана в него. Ако тогава площта му може да бъде намерена, както следва: квадратираме страната, умножаваме получената цифра по корен от три, след което разделяме това число на четири. По същия начин можете да изчислите височината на триъгълник, в който всички страни са равни, за това трябва да умножите една от тях по корен от три и след това да разделите това число на две.

Теореми за триъгълник

Основните теореми, които са свързани с тази фигура, са теоремата на Питагор, описана по-горе, и косинусите. Вторият (синус) е, че ако разделите която и да е страна на синуса на противоположния на нея ъгъл, можете да получите радиуса на окръжността, която е описана около нея, умножена по две. Третият (косинус) е, че ако сумата от квадратите на двете страни се извади от тяхното произведение, умножена по две и косинуса на ъгъла, разположен между тях, тогава ще се получи квадратът на третата страна.

Триъгълник на Дали - какво е това?

Мнозина, изправени пред тази концепция, отначало мислят, че това е някаква дефиниция в геометрията, но това изобщо не е така. Триъгълникът Дали е често срещано иметри места, които са тясно свързани с живота на известния художник. Неговите „върхове“ са къщата, в която е живял Салвадор Дали, замъкът, който подарява на съпругата си, и музеят на сюрреалистичните картини. По време на обиколката на тези места можете да научите много. интересни фактиза този особен творец, известен в цял свят.