Пі ставлення. Старт у науці

Захоплені математикою люди в усьому світі щорічно з'їдають по шматочку пирога чотирнадцятого березня - це день числа Пі, найвідомішого ірраціонального числа. Ця дата пов'язана з числом, перші цифри якого 3,14. Пі - це співвідношення довжини кола до діаметра. Оскільки воно ірраціональне, записати його як дробу неможливо. Це нескінченно довге число. Його виявили тисячі років тому і з того часу постійно вивчають, але чи залишилися у Пі якісь секрети? Від стародавнього походження до невизначеного майбутнього ось кілька найцікавіших фактів про кількість Пі.

Запам'ятовування Пі

Рекорд у запам'ятовуванні цифр після коми належить Раджвір Міне з Індії, якому вдалося запам'ятати 70 000 цифр - він поставив рекорд двадцять першого березня 2015 року. До цього рекордсменом був Чао Лу з Китаю, якому вдалося запам'ятати 67 890 цифр - цей рекорд було поставлено 2005-го. Неофіційним рекордсменом є Акіра Харагучі, який записав на відео своє повторення 100 000 цифр у 2005-му і недавно опублікував відео, де йому вдається згадати 117 000 цифр. Офіційним рекорд став би лише в тому випадку, якби це відео було записано у присутності представника книги рекордів Гіннеса, а без підтвердження він залишається лише вражаючим фактом, але не вважається досягненням. Ентузіасти математики люблять заучувати цифру Пі. Багато людей використовують різні мнемонічні техніки, наприклад, вірші, де кількість букв у кожному слові збігається з цифрами Пі. У кожній мові є свої варіанти подібних фраз, які допомагають запам'ятати як перші кілька цифр, так і цілу сотню.

Існує мова Пі

Захоплені літературою математики винайшли діалект, у якому число букв у всіх словах відповідає цифрам Пі у точному порядку. Письменник Майк Кіт навіть написав книгу Not a Wake, яка повністю створена мовою Пі. Ентузіасти такої творчості пишуть свої твори у повній відповідності кількості букв до значення цифр. Це не має жодного прикладного застосування, але є досить поширеним та відомим явищем у колах захоплених учених.

Експонентне зростання

Пі - це нескінченне число, тому люди за визначенням ніколи не зможуть встановити точні цифри цього числа. Проте кількість цифр після коми сильно збільшилася з часів першого використання Пі. Ще вавилоняни ним користувалися, але їм було достатньо дробу в три цілих та одну восьму. Китайці і творці Старого Завіту взагалі обмежувалися трійкою. До 1665 сер Ісаак Ньютон обчислив 16 цифр Пі. До 1719 французький математик Том Фанте де Ланьї обчислив 127 цифр. Поява комп'ютерів радикальним чином покращило знання людини про Пі. З 1949 року по 1967-й кількість відомих людині цифр стрімко зросла з 2037 до 500 000. Нещодавно Петер Труеб, учений зі Швейцарії, зміг вирахувати 2,24 трильйона цифр Пі! На це знадобилося 105 днів. Зрозуміло, це межа. Цілком імовірно, що з розвитком технологій можна встановити ще більш точну цифру - так як Пі нескінченно, межі точності просто не існує, і обмежити її можуть лише технічні особливості обчислювальної техніки.

Обчислення Пі вручну

Якщо ви хочете знайти число самостійно, ви можете використовувати старомодну техніку - вам знадобляться лінійка, банку та мотузка, можна також використовувати транспортир та олівець. Мінус використання банки в тому, що вона має бути круглою, і точність визначатиметься тим, наскільки добре людина може намотувати мотузку навколо неї. Можна намалювати коло транспортиром, але це вимагає навичок і точності, оскільки нерівне коло може серйозно спотворити ваші виміри. Точніший метод передбачає використання геометрії. Розділіть коло на безліч сегментів, як піцу на шматочки, а потім обчисліть довжину прямої лінії, яка перетворила б кожен сегмент на рівнобедрений трикутник. Сума сторін надасть приблизне число Пі. Чим більше сегментів ви використовуєте, тим більш точним буде кількість. Зрозуміло, у своїх обчисленнях ви не зможете наблизитися до результатів комп'ютера, проте ці прості досліди дозволяють детальніше зрозуміти, що взагалі є числом Пі і яким чином воно використовується в математиці.

Відкриття Пі

Стародавні вавилоняни знали про існування числа Пі вже чотири тисячі років тому. Вавилонські таблички обчислюють Пі як 3,125, а єгипетському математичному папірусі зустрічається число 3,1605. У Біблії число Пі дається в застарілій довжині - у ліктях, а грецький математик Архімед використав для опису Пітеорему Піфагора, геометричне співвідношення довжини сторін трикутника та площі фігур усередині та зовні кіл. Таким чином, можна з упевненістю сказати, що Пі є одним із найдавніших математичних понять, хоч точна назва цього числа і з'явилася відносно недавно.

Новий погляд на Пі

Ще до того, як число Пі стали співвідносити з колами, математики вже мали безліч способів навіть для найменування цього числа. Наприклад, у старовинних підручниках з математики можна знайти фразу латиною, яку можна грубо перекласти як «кількість, що показує довжину, коли на нього множиться діаметр». Ірраціональне число прославилося тоді, коли швейцарський учений Леонард Ейлер використав його у своїх працях з тригонометрії у 1737 році. Тим не менш, грецький символ для Пі все ще не використовували - це сталося тільки в книзі менш відомого математика Вільяма Джонса. Він використав його вже в 1706 році, але це довго залишалося поза увагою. Згодом вчені прийняли таке найменування, і тепер це найвідоміша версія назви, хоча раніше її називали також лудольфовим числом.

Чи нормальне число Пі?

Число Пі безумовно дивне, але наскільки воно підпорядковується нормальним математичним законам? Вчені вже вирішили багато питань, пов'язаних із цим ірраціональним числом, але деякі загадки залишаються. Наприклад, невідомо, як часто використовуються всі цифри - цифри від 0 до 9 повинні використовуватися в рівній пропорції. Втім, за першими трильйонами цифр статистика простежується, але через те, що число нескінченне, довести нічого неможливо. Є й інші проблеми, які поки що вислизають від учених. Цілком можливо, що розвиток науки допоможе пролити на них світло, але на даний момент це залишається за межами людського інтелекту.

Пі звучить божественно

Вчені не можуть відповісти на деякі питання про кількість Пі, проте з кожним роком вони краще розуміють його суть. Вже у вісімнадцятому столітті було доведено ірраціональність цього числа. Крім того, було доведено, що число є трансцендентним. Це означає, що немає певної формули, яка б підрахувати Пі за допомогою раціональних чисел.

Невдоволення числом Пі

Багато математиків просто закохані в Пі, але є й ті, хто вважає, що ці цифри не мають особливої ​​значущості. Крім того, вони запевняють, що число Тау, яке вдвічі більше за Пі, зручніше у використанні як ірраціональне. Тау показує зв'язок довжини кола і радіусу, що, на думку деяких, є більш логічним методом обчислення. Втім, однозначно визначити що-небудь у цьому питанні неможливо, і в одного й іншого числа завжди будуть прихильники, обидва методи мають право на життя, так що це просто цікавий факт, а не привід думати, що користуватися числом Пі не варто.

Чому дорівнює число Піми знаємо та пам'ятаємо зі школи. Воно дорівнює 3.1415926 і так далі… Звичайній людині достатньо знати, що це число виходить, якщо розділити довжину кола на його діаметр. Але багатьом відомо, що число Пі виникає у несподіваних галузях як математики і геометрії, а й у фізиці. Ну а якщо вникнути в подробиці природи цього числа, можна помітити багато дивовижного серед нескінченного ряду цифр. Чи можливо, що Пі приховує найпотаємніші таємниці Всесвіту?

Нескінченна кількість

Саме число Пі виникає в нашому світі як довжина кола, діаметр якого дорівнює одиниці. Але, незважаючи на те, що відрізок рівний Пі цілком кінцевий, число Пі починається, як 3.1415926 і йде в нескінченність рядами цифр, які ніколи не повторюються. Перший дивовижний факт у тому, що це число, що використовується в геометрії, не можна висловити у вигляді дробу з цілих чисел. Інакше висловлюючись, ви зможете його записати ставленням двох чисел a/b. Крім цього, число Пі трансцендентне. Це означає, що немає такого рівняння (багаточлена) з цілими коефіцієнтами, рішенням якого було б число Пі.

Те, що число Пі є трансцендентним, довів у 1882 році німецький математик фон Ліндеман. Саме цей доказ став відповіддю на запитання, чи можна за допомогою циркуля та лінійки намалювати квадрат, у якого площа дорівнює площі заданого кола. Це завдання відоме як пошук квадратури кола, що хвилювало людство з найдавніших часів. Здавалося, що це завдання має просте рішення і ось-ось буде розкрито. Але саме незбагненне властивість числа Пі показало, що завдання квадратури кола рішення немає.

Протягом щонайменше чотирьох з половиною тисячоліть людство намагалося отримати дедалі точніше значення числа Пі. Наприклад, у Біблії у Третьій Книги Царств (7:23) число Пі приймається рівним 3.

Чудове за точністю значення Пі можна виявити у пірамідах Гізи: співвідношення периметра та висоти пірамід становить 22/7. Цей дріб дає наближене значення Пі, що дорівнює 3.142… Якщо, звичайно, єгиптяни не поставили таке співвідношення випадково. Це значення вже стосовно розрахунку числа Пі отримав у III столітті до нашої ери великий Архімед.

У папірусі Ахмеса, давньоєгипетському підручнику з математики, який датується 1650 роком до нашої ери, число Пі розраховане як 3.160493827.

У давньоіндійських текстах приблизно IX століття до нашої ери найточніше значення було виражено числом 339/108, яке дорівнювало 3,1388.

Після Архімеда майже дві тисячі років люди намагалися знайти способи розрахувати число Пі. У тому числі були як відомі, і невідомі математики. Наприклад, римський архітектор Марк Вітрувій Полліон, єгипетський астроном Клавдій Птолемей, китайський математик Лю Хуей, індійський мудрець Аріабхата, середньовічний математик Леонардо Пізанський, відомий як Фібоначчі, арабський вчений Аль-Хорезмі, від чийого імені Всі вони і безліч інших людей шукали найбільш точні методики розрахунку Пі, але аж до 15 століття ніколи не отримували більше 10 цифр після коми у зв'язку зі складністю розрахунків.

Нарешті, в 1400 індійський математик Мадхава з Сангамаграма розрахував Пі з точністю до 13 знаків (хоча в двох останніх все-таки помилився).

Кількість знаків

У 17 столітті Лейбніц і Ньютон відкрили аналіз нескінченно малих величин, який дозволив обчислювати Пі прогресивніше – через статечні ряди та інтеграли. Сам Ньютон вирахував 16 знаків після коми, але не згадав це у своїх книгах – про це стало відомо після його смерті. Ньютон стверджував, що займався розрахунком Пі виключно від нудьги.

Приблизно в той же час підтягнулися й інші менш відомі математики, які запропонували нові формули розрахунку Пі через тригонометричні функції.

Наприклад, за якою формулою розраховував Пі викладач астрономії Джон Мечин в 1706 року: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). За допомогою методів аналізу Мечін вивів із цієї формули число Пі з сотнею знаків після коми.

До речі, у тому ж 1706 року число Пі одержало офіційне позначення як грецької літери: його у своїй праці з математики використав Вільям Джонс, взявши першу літеру грецького слова «периферія», що означає «коло». Великий Леонард Ейлер, що народився в 1707, популяризував це позначення, нині відоме будь-якому школяру.

До ери комп'ютерів математики займалися тим, щоб розрахувати якнайбільше знаків. У зв'язку з цим часом виникали курйози. Математик-аматор У. Шенкс в 1875 розрахував 707 знаків числа Пі. Ці сім сотень знаків увічнили на стіні Палацу Відкриттів у Парижі 1937 року. Однак через дев'ять років спостережними математиками було виявлено, що правильно обчислено лише перші 527 знаків. Музею довелося зазнати пристойних витрат, щоб виправити помилку – зараз усі цифри вірні.

Коли з'явилися комп'ютери, кількість цифр числа Пі стала обчислюватися абсолютно неймовірними системами.

Один з перших електронних комп'ютерів ENIAC, створений у 1946 році, що мав величезні розміри, і виділяв стільки тепла, що приміщення прогрівалося до 50 градусів за Цельсієм, обчислив перші 2037 символів Пі. Цей розрахунок зайняв у машини 70 годин.

У міру вдосконалення комп'ютерів наше знання числа Пі все далі й далі йшло в безкінечність. 1958 року було розраховано 10 тисяч знаків числа. У 1987 році японці вирахували 10 013 395 знаків. У 2011 японський дослідник Сігер Хондо перевищив рубіж в 10 трильйонів знаків.

Де ще можна зустріти Пі?

Отже, найчастіше наші знання про число Пі залишаються на шкільному рівні, і ми точно знаємо, що це число незамінне насамперед у геометрії.

Крім формул довжини і площі кола число Пі використовується в формулах еліпсів, сфер, конусів, циліндрів, еліпсоїдів і так далі: десь формули прості і легко запам'ятовуються, а десь містять дуже складні інтеграли.

Потім ми можемо зустріти число Пі в математичних формулах, де, на перший погляд, геометрії і не видно. Наприклад, невизначений інтеграл від 1/(1-x^2) дорівнює Пі.

Пі часто використовують у аналізі рядів. Для прикладу наведемо простий ряд, який сходиться до Пі:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Серед рядів число Пі найбільш несподівано з'являється у відомій дзета-функції Рімана. Розповісти про неї двома словами не вийде, скажімо лише, що колись число Пі допоможе знайти формулу розрахунку простих чисел.

І зовсім дивно: Пі з'являється у двох найкрасивіших «королівських» формулах математики – формулі Стірлінга (яка допомагає знайти приблизне значення факторіалу та гамма-функції) та формулі Ейлера (яка пов'язує аж цілих п'ять математичних констант).

Проте найбільш несподіване відкриття очікувало математиків теоретично ймовірності. Там теж є число Пі.

Наприклад, ймовірність того, що два числа будуть взаємно простими, дорівнює 6/PI^2.

Пі з'являється в задачі Бюффона про кидання голки, сформульованої в 18 столітті: яка ймовірність того, що кинута на розкреслений аркуш паперу голка перетне одну з ліній. Якщо довжина голки L, а відстань між лініями L, і r > L ми можемо приблизно розрахувати значення числа Пі за формулою ймовірності 2L/rPI. Тільки уявіть – ми можемо отримати Пі із випадкових подій. І між іншим Пі присутній у нормальному розподілі ймовірностей, з'являється у рівнянні знаменитої кривої Гауса. Чи означає це, що число Пі ще фундаментальніше, ніж просто відношення довжини кола до діаметра?

Ми можемо зустріти Пі у фізиці. Пі з'являється в законі Кулона, який описує силу взаємодії між двома зарядами, у третьому законі Кеплера, який показує період обігу планети навколо Сонця, зустрічається навіть у розташуванні електронних орбіталей атома водню. І що знову ж таки неймовірне – число Пі ховається у формулі принципу невизначеності Гейзенберга – фундаментального закону квантової фізики.

Таємниці числа Пі

У романі Карла Сагана «Контакт», за яким знято однойменний фільм, інопланетяни повідомляють героїні, що серед знаків Пі міститься таємне послання від Бога. З деякої позиції цифри в числі перестають бути випадковими і уявляють код, у якому записані всі секрети Світобудови.

Цей роман насправді відобразив загадку, що займає уми математиків усієї планети: чи є Пі нормальним числом, в якому цифри розкидані з однаковою частотою, або з цим числом щось не так. І хоча вчені схиляються до першого варіанту (але не можуть довести), число Пі дуже загадкове. Один японець як підрахував, скільки разів зустрічаються числа від 0 до 9 в першому трильйоні знаків Пі. І побачив, що числа 2, 4 та 8 зустрічаються частіше, ніж решта. Це може бути одним із натяків на те, що Пі не зовсім нормальне, і цифри у ньому справді не випадкові.

Згадаймо все, що ми прочитали вище, і запитаємо себе, яке ще ірраціональне та трансцендентне число так часто зустрічається у реальному світі?

А в запасі є ще дива. Наприклад, сума перших двадцяти цифр Пі дорівнює 20, а сума перших 144 цифр дорівнює «числу звіра» 666.

Головний герой американського серіалу «підозрюваний» професор Фінч розповідав студентам, що через нескінченність числа Пі в ньому можуть зустрітися будь-які комбінації цифр, починаючи від цифр дати вашого народження до складніших чисел. Наприклад, на 762-ій позиції знаходиться послідовність із шести дев'яток. Ця позиція називається точкою Фейнмана на вшанування відомого фізика, який помітив це цікаве поєднання.

Нам відомо також, що число Пі містить послідовність 0123456789, але вона знаходиться на 17 387 594 880-й цифрі.

Все це означає, що в нескінченності числа Пі можна виявити не тільки цікаві поєднання цифр, а й закодований текст «Війни та Світу», Біблії і навіть Головну Таємницю Світобудови, якщо така існує.

До речі, про Біблію. Відомий популяризатор математики Мартін Гарднер у 1966 році заявив, що мільйонним знаком числа Пі (на той момент ще невідомим) буде число 5. Свої розрахунки він пояснив тим, що в англомовній версії Біблії, у 3-й книзі, 14-му розділі, 16 -М вірші (3-14-16) сьоме слово містить п'ять букв. Мільйонну цифру отримали через вісім років. Це було число п'ять.

Чи варто після цього стверджувати, що число Пі є випадковим?

Ніколи не замислювалася про історію походження числа Пі. Досить цікаві факти про Лейбніцу та Ньютона прочитала. Ньютон вирахував 16 знаків після коми, але не розповів у своїй книзі. Дякую за гарну статтю.

Відповісти

Як то читав на форумі про магію, що число ПІ має не лише магічне значення, а й ритуальне. Багато обрядів пов'язані з цим числом і використовуються магами з давніх часів відкриття цього числа.

Відповісти

сума перших двадцяти цифр Пі дорівнює 20… Це що серйозно? У двійковій системі, чи що?

Відповісти

1. Відповісти

   1. 100 - це сума не перших 20 знаків, а 20 знаків після коми.

      Відповісти

1. при діаметрі = 1, довжина кола = пі, і, отже, коло ніколи не замкнеться!

   Відповісти

ЧИСЛО p - Відношення довжини кола до її діаметра, - Величина постійна і не залежить від розмірів кола. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою літерою 241 (від "perijereia" - коло, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ейлера, що відноситься до 1736, проте вперше воно було вжито Вільямом Джонсом (1675-1749) в 1706. Як і будь-яке ірраціональне число, воно є нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

p= 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, які стосуються колам і круглим тілам, змусили вже у давнину шукати для 241 наближення за допомогою раціональних чисел. Відомості про те, що коло рівно втричі довше за діаметр, знаходяться в клинописних табличках Стародавнього Межиріччя. Таке саме значення числа pє й у тексті Біблії: «І зробив лите з міді море, – від краю до краю його десять ліктів, – зовсім кругле, висотою п'ять ліктів, і снурок тридцять ліктів обіймав його навколо» (3 Цар. 7. 23). Так само вважали і давні китайці. Але вже у 2 тис. до н. стародавні єгиптяни користувалися більш точним значенням числа 241, яке виходить із формули для площі кола діаметра d:

Цьому правилу з 50-го завдання папірусу Райнда відповідає значення 4(8/9) 2 » 3,1605. Папірус Райнда, знайдений в 1858, названий так на ім'я його першого власника, його переписав переписувач Ахмес близько 1650 до н. до н.е. Хоча як єгиптяни отримали саму формулу, з контексту неясно. У так званому Московському папірусі, який був переписаний якимсь учнем між 1800 та 1600 до н.е. з давнішого тексту, приблизно 1900 до н. Невідомо, якої форми був кошик, але всі дослідники сходяться на думці, що і тут для числа pбереться те саме наближене значення 4(8/9) 2 .

Щоб зрозуміти, як древні вчені отримали той чи інший результат, потрібно спробувати вирішити завдання, використовуючи лише знання та прийоми обчислень на той час. Саме так роблять дослідники старовинних текстів, проте рішення, які їм вдається знайти, зовсім не обов'язково «ті самі». Дуже часто для одного завдання пропонується кілька варіантів вирішення, кожен може вибрати собі до смаку, проте ніхто не може стверджувати, що саме ним користувалися у давнину. Щодо площі кола здається правдоподібною гіпотеза А.Е.Раїк, автора численних книг з історії математики: площа кола діаметра dпорівнюється з площею описаного навколо нього квадрата, з якого по черзі віддаляються малі квадрати зі сторонами (рис. 1). У наших позначеннях обчислення виглядатимуть так: у першому наближенні площа кола Sдорівнює різниці між площею квадрата зі стороною dта сумарною площею чотирьох малих квадратів Азі стороною d:

На користь цієї гіпотези свідчать аналогічні обчислення в одному із завдань Московського папірусу, де пропонується порахувати

З 6 ст. до н.е. математика стрімко розвивалася у Стародавній Греції. Саме давньогрецькі геометри суворо довели, що довжина кола пропорційна її діаметру. l = 2p R; R- Радіус кола, l –її довжина), а площа кола дорівнює половині добутку довжини кола та радіусу:

S = ½ l R = p R 2 .

Ці докази приписують Евдоксу Кнідському та Архімеду.

У 3 ст. до н.е. Архімед у творі Про вимір колаобчислив периметри вписаних в коло і описаних біля неї правильних багатокутників (рис. 2) – від 6 до 96-кутника. Таким чином він встановив, що число pзнаходиться між 3 10/71 та 3 1/7, тобто. 3,14084< p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p»3,14166) знайшов знаменитий астроном, творець тригонометрії Клавдій Птолемей (2 в.), але воно не увійшло у вжиток.

Індійці та араби вважали, що p=. Це значення наводить також і індійський математик Брахмагупта (598 – бл. 660). У Китаї вчені у 3 ст. використовували значення 3 7/50, яке гірше за наближення Архімеда, але в другій половині 5 ст. Цзу Чун Чжі (бл. 430 – бл. 501) отримав для pнаближення 355/113 ( p»3,1415927). Воно залишилося невідомо європейцям і було знайдено нідерландським математиком Адріаном Антонісом тільки в 1585. Це наближення дає помилку лише в сьомому десятковому знаку.

Пошуки більш точного наближення pпродовжувалися і надалі. Наприклад, аль-Каші (перша половина 15 ст.) Трактат про коло(1427) обчислив 17 десяткових знаків p. У Європі таке саме значення було знайдено у 1597 році. Для цього йому довелося обчислювати сторону правильного 800335168-кутника. Нідерландський вчений Лудольф Ван Цейлен (1540-1610) знайшов для нього 32 правильних десяткових знаки (опубліковано посмертно в 1615), це наближення називається лудольфовим числом.

Число pутворюється не тільки при вирішенні геометричних завдань. З часу Ф.Вієта (1540-1603) розшук меж деяких арифметичних послідовностей, що складаються за простими законами, призводило до того ж числа p. У зв'язку з цим у визначенні числа pбрали участь майже всі відомі математики: Ф.Вієт, Х.Гюйгенс, Дж.Валліс, Г.В.Лейбніц, Л.Ейлер. Вони отримували різні вирази для 241 у вигляді нескінченного твору, суми ряду, нескінченного дробу.

Наприклад, в 1593 Ф.Вієт (1540-1603) вивів формулу

У 1658 англієць Вільям Броункер (1620-1684) знайшов уявлення числа pу вигляді нескінченного безперервного дробу

проте невідомо, як він дійшов цього результату.

У 1665 році Джон Валліс (1616–1703) довів, що

Ця формула має його ім'я. Для практичного знаходження числа 241 вона мало придатна, але корисна у різних теоретичних міркуваннях. В історію науки вона увійшла як один із перших прикладів нескінченних творів.

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) в 1673 встановив таку формулу:

число, що виражає p/4 як суму низки. Однак цей ряд сходить дуже повільно. Щоб вирахувати pз точністю до десяти знаків, знадобилося б, як показав Ісаак Ньютон, знайти суму 5 млрд чисел і витратити на це близько тисячі років безперервної роботи.

Лондонський математик Джон Мечін (1680–1751) у 1706, застосовуючи формулу

отримав вираз

яка досі вважається однією з найкращих для наближеного обчислення p. Щоб знайти ті ж десять точних десяткових знаків, знадобиться лише кілька годин ручного рахунку. Сам Джон Мечін вирахував pзі 100 вірними знаками.

За допомогою того ж ряду для arctg xта формули

значення числа pбуло отримано на ЕОМ із точністю до ста тисяч десяткових знаків. Такі обчислення представляють інтерес у зв'язку з поняттям випадкових і псевдовипадкових чисел. Статистична обробка впорядкованої сукупності зазначеної кількості знаків pпоказує, що вона має багато рис випадкової послідовності.

Є кілька кумедних способів запам'ятати число pточніше, ніж просто 3,14. Наприклад, вивчивши наступне чотиривірш, можна легко назвати сім десяткових знаків p:

Потрібно лише постаратися

І запам'ятати все як є:

Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'яносто два та шість.

(С.Бобров Чарівний двір)

Підрахунок кількості літер у кожному слові наступних фраз також дає значення числа p:

«Що я знаю про кола?» ( p»3,1416). Цю приказку запропонував Я.І.Перельман.

«От і знаю я число, яке називається Пі. - Молодець!» ( p»3,1415927).

«Вчи та знай у числі відомому за цифрою цифру, як удачу помічати» ( p»3,14159265359).

Вчитель однієї з московських шкіл вигадав рядок: «Це я знаю і пам'ятаю чудово», а його учениця написала кумедне продовження: «Пи багато знаків мені зайві, марні». Це двовірш дозволяє визначити 12 цифр.

А так виглядає 101 знак числа pбез заокруглення

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

В наш час за допомогою ЕОМ значення числа pобчислено з мільйонами правильних знаків, але така точність не потрібна в жодних обчисленнях. А ось можливість аналітичного визначення числа ,

В останній формулі в чисельнику стоять всі прості числа, а знаменники відрізняються від них на одиницю, причому знаменник більший за чисельник, якщо той має вигляд 4 n+ 1, і менше інакше.

Хоча з кінця 16 в., тобто. відколи сформувалися самі поняття раціональних та ірраціональних чисел, багато вчених були переконані в тому, що p- Число ірраціональне, але тільки в 1766 німецький математик Йоган Генріх Ламберт (1728-1777), ґрунтуючись на відкритій Ейлером залежності між показовою та тригонометричною функціями, суворо довів це. Число pне може бути представлено у вигляді простого дробу, якими б не були великі чисельник і знаменник.

У 1882 професор Мюнхенського університету Карл Луїз Фердинанд Ліндеман (1852-1939) використовуючи результати, отримані французьким математиком Ш. Ермітом, довів, що p- Число трансцендентне, тобто. воно не є коренем жодного рівня алгебри a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 із цілими коефіцієнтами. Це підтвердження поставило крапку історія найдавнішої математичної завдання про квадратуру кола. Тисячоліття це завдання не піддавалося зусиллям математиків, вираз «квадратура кола» став синонімом нерозв'язної проблеми. А вся справа опинилася в трансцендентній природі числа p.

На згадку про це відкриття у залі перед математичною аудиторією Мюнхенського університету було встановлено погруддя Ліндемана. На постаменті під його ім'ям зображено коло, перетнуте квадратом рівної площі, всередині якого накреслено букву p.

Марина Федосова

Вступ

У статті присутні математичні формули, тому для читання перейдіть на сайт для їхнього коректного відображення.Число (pi) має багату історію. Ця константа позначає відношення довжини кола до її діаметру.

У науці число \(\pi\) використовують у будь-яких розрахунках, де є кола. Починаючи з обсягу банки газування, до орбіт супутників. І не лише кола. Адже у вивченні кривих ліній число \(\pi\) допомагає зрозуміти періодичні та коливальні системи. Наприклад, електромагнітні хвилі та навіть музику.

У 1706 році в книзі «Нове введення в математику» британського вченого Вільяма Джонса (1675-1749 рр.) для позначення числа 3,141592… вперше була використана літера грецького алфавіту (pi). Це позначення походить від початкової літери грецьких слів περιϕερεια — коло, периферія та περιµετρoς — периметр. Загальноприйнятим позначенням стало після робіт Леонарда Ейлера в 1737 році.

Геометричний період

Постійність відношення довжини будь-якого кола до її діаметру було помічено вже давно. Жителі Межиріччя застосовували досить грубе наближення числа (pi). Як випливає з стародавніх завдань, у своїх розрахунках вони використовують значення (pi ≈ 3).

Точніше значення для \(\pi\) використовували древні єгиптяни. У Лондоні та Нью-Йорку зберігаються дві частини давньоєгипетського папірусу, який називають «папірус Рінда». Папірус був складений писарем Армесом приблизно між 2000-1700 рр. до н.е. Армес у своєму папірусі написав, що площа кола з радіусом \(r\) дорівнює площі квадрата зі стороною, що дорівнює \(\frac(8)(9) \) від діаметра кола \(\frac(8) )(9) \cdot 2r \), тобто \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Звідси \(\pi=3,16\).

Давньогрецький математик Архімед (287-212 рр. е.) вперше поставив завдання виміру кола на науковий грунт. Він отримав оцінку \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Метод досить простий, але за відсутності готових таблиць тригонометричних функцій знадобиться вилучення коренів. Крім цього, наближення сходить до \(\pi\) дуже повільно: з кожною ітерацією похибка зменшується лише вчетверо.

Аналітичний період

Незважаючи на це, до середини 17 століття всі спроби європейських вчених обчислити число зводилися до збільшення сторін багатокутника. Так, наприклад, голландський математик Лудольф ван Цейлен (1540-1610 рр.) обчислив наближене значення числа \(\pi\) з точністю до 20-ти десяткових цифр.

На обчислення йому знадобилося 10 років. Подвоюючи за методом Архімеда число сторін вписаних та описаних багатокутників, він дійшов до \(60\cdot 2^(29)\) - косинця з метою обчислення \(\pi\) з 20 десятковими знаками.

Після смерті в його рукописах було виявлено ще 15 точних цифр числа \(\pi\). Лудольф заповів, щоб знайдені ним знаки були висічені на його надгробку. На честь нього число \(\pi\) іноді називали "лудольфовим числом" або "константою Лудольфа".

Одним із перших, хто представив метод, відмінний від методу Архімеда, був Франсуа Вієт (1540-1603 рр.). Він прийшов до результату, що коло, діаметр якого дорівнює одиниці, має площу:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

З іншого боку, площа дорівнює \(\frac(\pi)(4) \). Підставивши і спростивши вираз, можна отримати таку формулу нескінченного твору для обчислення наближеного значення \(\frac(\pi)(2) \):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Отримана формула є першим точним аналітичним виразом для числа \(\pi\). Крім цієї формули, Вієт, використовуючи метод Архімеда, дав за допомогою вписаних та описаних багатокутників, починаючи з 6-кутника і закінчуючи багатокутником з \(2^(16) \cdot 6 \) сторонами наближення числа \(\pi\) з 9 правильними знаками.

Англійський математик Вільям Броункер (1620-1684 рр.), використовуючи ланцюговий дріб, отримав наступні результати обчислення \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Даний метод обчислення наближення числа \(\frac(4)(\pi) \) вимагає досить великих обчислень, щоб отримати хоча б невелике наближення.

Отримані в результаті підстановки значення то більше, то менше числа \(\pi \), і щоразу все ближче до справжнього значення, але для отримання значення 3,141592 потрібно зробити досить великі обчислення.

Інший англійський математик Джон Мечин (1686-1751 рр.) в 1706 для обчислення числа \(\pi \) зі 100 десятковими знаками скористався формулою, виведеною Лейбніцем в 1673, і застосував її наступним чином:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) — arctg\frac(1)(239) \]

Ряд швидко сходиться і за його допомогою можна обчислити число \(\pi\) з великою точністю. Формули подібного типу використовувалися для встановлення кількох рекордів за доби комп'ютерів.

У XVII ст. з початком періоду математики змінної величини настав новий етап у обчисленні \(\pi\). Німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716 рр.) в 1673 знайшов розкладання числа \(\pi \), в загальному вигляді його можна записати наступним нескінченним рядом:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

Ряд виходить при підстановці x = 1 в \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Леонард Ейлер розвиває ідею Лейбніца у своїх роботах, присвячених використанню рядів для arctg x при обчисленні числа \(\pi\). У трактаті "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Про різні методи вираження квадратури кола наближеними числами), написаному в 1738, розглядаються методи удосконалення обчислень за формулою Лейбніца.

Ейлер пише про те, що ряд для арктангенса буде сходитися швидше, якщо аргумент буде прагнути нуля. Для \(x = 1\) збіжність ряду дуже повільна: для обчислення з точністю до 100 цифр необхідно скласти \(10^(50)\) членів ряду. Прискорити обчислення можна, зменшивши значення аргументу. Якщо прийняти \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), то виходить ряд

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

За твердженням Ейлера, якщо ми візьмемо 210 членів цього ряду, отримаємо 100 вірних знаків числа. Отриманий ряд незручний, тому що необхідно знати досить точне значення ірраціонального числа (sqrt(3)). Також Ейлер у своїх обчисленнях використав розкладання арктангенсів на суму арктангенсів менших аргументів:

\[Де x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Не всі формули для обчислення \(\pi\), які використовував Ейлер у своїх записниках, були опубліковані. В опублікованих роботах і записних книжках він розглянув 3 різних ряди для обчислення арктангенса, а також навів безліч тверджень, що стосуються кількості сумованих членів, необхідних для отримання наближеного значення \(\pi \) з заданою точністю.

У наступні роки уточнення значення числа \(\pi\) відбувалися все швидше і швидше. Так, наприклад, у 1794 році Георг Вега (1754-1802 рр.) визначив вже 140 знаків, з яких лише 136 виявилися вірними.

Період комп'ютерних обчислень

XX століття ознаменовано абсолютно новим етапом у обчисленні числа \(\pi\). Індійський математик Срініваса Рамануджан (1887-1920 рр.) виявив безліч нових формул для \(\pi\). У 1910 році він отримав формулу для обчислення \(\pi\) через розкладання арктангенса в ряд Тейлора:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

При k=100 досягається точність 600 вірних цифр числа \(\pi \).

Поява ЕОМ дозволило значно збільшити точність одержуваних значень за короткі терміни. У 1949 році всього за 70 годин за допомогою ENIAC група вчених під керівництвом Джона фон Неймана (1903-1957 рр.) отримала 2037 знаків після коми числа \(\pi\). Давид і Грегорій Чудновські в 1987 році отримали формулу, за допомогою якої змогли встановити кілька рекордів у обчисленні \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Кожен член низки дає по 14 цифр. У 1989 році було отримано 1011196691 цифр після коми. Ця формула добре підходить для обчислення \(\pi\) на персональних комп'ютерах. На даний момент брати є професорами політехнічного інституту Нью-Йоркського університету.

Важливою подією недавнього часу стало відкриття формули 1997 року Саймоном Плаффом. Вона дозволяє витягти будь-яку шістнадцяткову цифру числа \(\pi\) без обчислення попередніх. Формула зветься «Формула Бейлі – Боруейна – Плаффа» на честь авторів статті, де формула була вперше опублікована. Вона має такий вигляд:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

У 2006 році Саймон, використовуючи PSLQ, отримав кілька красивих формул для обчислення \(\pi\). Наприклад,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

де \(q = e^(\pi)). У 2009 році японські вчені, використовуючи суперкомп'ютер T2K Tsukuba System, отримали число \(\pi\) з 2576980377524 десятковими знаками після коми. Обчислення зайняли 73 години 36 хвилин. Комп'ютер був оснащений 640-ма чотирма ядерними процесорами AMD Opteron, що забезпечило продуктивність в 95 трильйонів операцій на секунду.

Наступне досягнення у обчисленні \(\pi\) належить французькому програмісту Фабрісу Беллару, який наприкінці 2009 року на своєму персональному комп'ютері під керуванням Fedora 10 встановив рекорд, обчисливши 2 699 999 990 000 знаків після коми числа \(\pi\). За останні 14 років це перший світовий рекорд, поставлений без використання суперкомп'ютера. Для високої продуктивності Фабріс використав формулу братів Чудновських. Загалом обчислення зайняло 131 день (103 дні розрахунки та 13 днів перевірка результату). Досягнення Беллара показало, що з таких обчислень необов'язково мати суперкомп'ютер.

Всього через півроку рекорд Франсуа був побитий інженерами Олександром Йі та Сінгер Кондо. Для встановлення рекорду в 5 трильйонів знаків після коми числа \(\pi\) був також використаний персональний комп'ютер, але вже з більш значними характеристиками: два процесори Intel Xeon X5680 по 3,33 ГГц, 96 ГБ оперативної пам'яті, 38 ТБ дискової пам'яті та Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Для обчислень Олександр і Сінгер використовували формулу братів Чуднівських. Процес обчислення зайняв 90 днів та 22 ТБ дискового простору. У 2011 році вони встановили ще один рекорд, обчисливши 10 трильйонів десяткових знаків числа \(\pi\). Обчислення відбувалися на тому ж комп'ютері, на якому було поставлено їхній попередній рекорд і зайняв загалом 371 день. Наприкінці 2013 року Олександр та Сінгер покращили рекорд до 12,1 трильйона цифр числа \(\pi\), обчислення яких зайняло у них всього 94 дні. Таке покращення у продуктивності досягнуто завдяки оптимізації продуктивності програмного забезпечення, збільшення кількості ядер процесора та значного покращення відмовостійкості ПЗ.

Поточним рекордом є рекорд Олександра Йі та Сінгеру Кондо, який становить 12,1 трильйона цифр після коми числа \(\pi\).

Таким чином, ми розглянули методи обчислення числа \(\pi\), що використовуються в давні часи, аналітичні методи, а також розглянули сучасні методи та рекорди з обчислення числа \(\pi\) на комп'ютерах.

Список джерел

1. Жуков О.В. Всюдисуще число Пі - М.: Вид-во ЛКІ, 2007 - 216 с.
2. Ф.Рудіо. Про квадратуру кола, з додатком історії питання, складеної Ф.Рудіо. / Рудіо Ф. - М.: ОНТІ НКТП СРСР, 1936. - 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - Springer, 2001. - 270p.
4. Шухман, Є.В. Наближене обчислення числа Пі за допомогою ряду arctg x в опублікованих і неопублікованих роботах Леонарда Ейлера / Е.В. Шухман. - Історія науки та техніки, 2008 - №4. - С. 2-17.
5. Euler, L. De variis modes circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 - Vol.9 - 222-236p.
6. Шуміхін, С. Число Пі. Історія довжиною в 4000 років / С. Шуміхіна, А. Шуміхіна. - М.: Ексмо, 2011. - 192с.
7. Борвейн, Дж.М. Рамануджан та число Пі. / Борвейн, Дж.М., Борвейн П.Б. У світі науки. 1988 – №4. - С. 58-66.
8. Alex Yee. Номер світу. Access mode: numberworld.org

Сподобалось?

Розкажи

Січень 13, 2017

***

Що спільного між колесом від Лади Пріори, обручкою та блюдцем вашого кота? Ви, звичайно, скажете краса і стиль, але я насмілюся з вами посперечатися. Число Пі!Це число, що об'єднує всі кола, кола і округлості, до яких можна віднести і мамине кільце, і колесо від улюбленої татової машини і навіть блюдце улюбленого кота Мурзика. Готовий посперечатися, що у рейтингу найпопулярніших фізичних та математичних констант число Пі безсумнівно займе перший рядок. Але що ховається за ним? Може якісь страшні лайки математиків? Спробуймо розібратися в цьому питанні.

Що ж таке число Пі і звідки воно взялося?

Сучасне позначення числа π (Пі)з'явилося завдяки англійському математику Джонсону у 1706 році. Це перша літера грецького слова περιφέρεια (периферія, або коло). Для тих, хто проходив математику давно, та й до того ж повз, нагадаємо, що число Пі - це відношення довжини кола до її діаметра. Величина є константою, тобто стала для будь-якого кола, незалежно від її радіусу. Люди знали про це ще в давнину. Так у стародавньому Єгипті число Пі приймали рівним відношенню 256/81, а у ведичних текстах наводиться значення 339/108, Архімед ж пропонував співвідношення 22/7. Але ці, ні багато інших способів вираження числа Пі не давали точний результат.

Виявилося, що число Пі трансцендентне, відповідно, та ірраціональне. А це значить, його не можна уявити у вигляді простого дробу. Якщо його висловити через десяткову, то послідовність цифр після коми спрямують у нескінченність, до того ж періодично не повторюючись. Що це все означає? Дуже просто. Хочете дізнатися номер телефону дівчини, що сподобалася? Його, напевно, можна знайти в послідовності цифр після коми числа Пі.

Телефон можна переглянути тут ↓

Число Пі з точністю до 10000 знаків.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Не знайшли? Тоді подивіться.

Взагалі, це може бути не тільки номер телефону, а будь-яка інформація, закодована за допомогою цифр. Наприклад, якщо уявити всі твори Олександра Сергійовича Пушкіна у цифровому вигляді, всі вони зберігалися серед Пі ще до того, як він їх написав, навіть до того, як він народився. В принципі, вони зберігаються там і досі. До речі, лайки математиків у π теж присутні, та й як математиків. Словом, серед Пі є все, навіть думки, які відвідають вашу світлу голову завтра, післязавтра, через рік, а може, через два. У це дуже важко повірити, але навіть якщо ми уявімо, що повірили, ще важче буде отримати звідти інформацію та розшифрувати її. Так що замість того, щоб копатися в цих цифрах, може простіше підійти до дівчини, що сподобалася, і запитати в неї номер? обчислення. Вважайте на здоров'я.

Чому дорівнює число Пі? Методи його обчислення:

1. Експериментальний метод.Якщо число Пі це відношення довжини кола до його діаметра, то перший, мабуть, найочевидніший спосіб знаходження нашої загадкової константи буде вручну зробити всі виміри і обчислити число Пі за формулою π=l/d. Де l – довжина кола, а d – її діаметр. Все дуже просто, необхідно лише озброїться ниткою для визначення довжини кола, лінійкою для знаходження діаметра, і, власне, довжини самої нитки, та й калькулятором, якщо у вас проблеми з розподілом у стовпчик. У ролі вимірюваного зразка може виступити каструля або банку з-під огірків, неважливо, головне? щоб на підставі було коло.

Розглянутий спосіб обчислення найпростіший, але, на жаль, має два істотні недоліки, що відображаються на точності отриманого числа Пі. По-перше, похибка вимірювальних приладів (у нашому випадку це лінійка з ниткою), а по-друге, немає жодної гарантії, що виміряне нами коло буде мати правильну форму. Тому не дивно, що математика подарувала нам безліч інших методів обчислення π, де немає потреби робити точні виміри.

2. Ряд Лейбниці.Існує кілька нескінченних рядів, що дозволяють точно обчислювати число Пі до великої кількості знаків після коми. Одним із найпростіших рядів є ряд Лейбніца. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) …
Все просто: беремо дроби з 4 в чисельнику (це те, що зверху) і одним числом з послідовності непарних чисел у знаменнику (це те, що знизу), послідовно складаємо і віднімаємо їх один з одним і отримуємо число Пі. Що більше ітерацій чи повторень наших нехитрих дій, то точніше результат. Просто, але не ефективно, до речі, потрібно 500000 ітерацій щоб отримати точне значення числа Пі з 10 знаками після коми. Тобто нам доведеться нещасну четвірку розділити аж 500000 разів, а крім цього отримані результати ми повинні будемо 500000 разів віднімати та складати. Хочете спробувати?

3. Ряд Нілаканта.Немає часу порається з поруч Лейбніца? Є альтернатива. Ряд Нілаканта, хоча він трохи складніший, але дозволяє швидше отримати нам результат. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) …Думаю, якщо уважно подивитися на наведений початковий фрагмент ряду, все стає зрозумілим, і коментарі зайві. Тому йдемо далі.

4. Метод "Монте-Карло"Досить цікавим способом обчислення числа Пі є метод Монте Карло. Така екстравагантна назва йому дісталася на честь однойменного міста в королівстві Монако. І причина цього випадковість. Ні, його не назвали випадково, просто в основі методу лежать випадкові числа, а що може бути випадковіше чисел, що випадають на рулетках казино Монте Карло? Обчислення числа Пі не єдине застосування цього методу, тож у п'ятдесятих роках його використовували при розрахунках водневої бомби. Але не відволікатимемося.

Візьмемо квадрат зі стороною, що дорівнює 2r, і впишемо в нього коло радіусом r. Тепер якщо навмання ставити крапки в квадраті, то ймовірність Pтого, що точка потрапить у коло, є відношення площ кола та квадрата. P=S кр /S кв =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Тепер звідси висловимо число Пі π=4P. Залишається тільки отримати експериментальні дані та знайти ймовірність Р як відношення попадань у коло N крдо попадань у квадрат N кв. У загальному вигляді розрахункова формула виглядатиме так: π=4N кр/N кв.

Хочеться відзначити, що для того, щоб реалізувати цей метод, у казино йти необов'язково, достатньо скористатися будь-якою більш менш пристойною мовою програмування. Ну а точність отриманих результатів залежатиме від кількості поставлених точок відповідно чим більше, тим точніше. Бажаю удачі 😉

Число Тау (Замість ув'язнення).

Люди, далекі від математики, швидше за все не знають, але так склалося, що число Пі має брата, який більше за нього вдвічі. Це число Тау(τ) , і, якщо Пі це ставлення довжини кола до діаметра, то Тау це ставлення цієї довжини до радіусу. І на сьогоднішній день є пропозиції деяких математиків відмовитися від числа Пі і замінити його на Тау, так як це багато в чому зручніше. Але це лише пропозиції, і як говорив Лев Давидович Ландау: «Нова теорія починає панувати тоді, коли вимруть прихильники старої».