Уривок із книги одного з найкращих викладачів математики. Стівен строгац - задоволення від х

Ця книга здатна докорінно змінити ваше ставлення до математики. Вона складається з коротких розділів, у кожному з яких ви відкриєте собі щось нове. Ви дізнаєтеся наскільки корисні числа для вивчення навколишнього світу, зрозумієте, в чому принадність геометрії, познайомитеся з витонченістю інтегральних обчислень, переконайтеся в важливості статистики і стикнетеся з нескінченністю. Автор пояснює фундаментальні математичні ідеї просто та елегантно, наводячи блискучі приклади, зрозумілі кожному.

Назва: Насолоду від X. Захоплююча подорожу світ математики від одного з найкращих викладачів у світі
Автор:
Рік:
Жанр:

завантажити
Уривок

Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі
Стівен Строгац

Російською мовою публікується вперше.

Стівен Строгац

Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі

Steven Strogatz

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Всі права захищені. Ніяка частина електронної версії цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі і будь-якими засобами, включаючи розміщення в мережі Інтернет і в корпорації.

Цю книгу добре доповнюють:

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Стівен Строгац

Задоволення від Х

Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі

Інформація від видавництва

російською мовою публікується вперше

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгаць, П.

Задоволення від Х. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі / Стівен Строгац; пров. з англ. - М.: Манн, Іванов та Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Всі права захищені.

Ніяка частина цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі без письмового дозволу власників авторських прав.

Правову підтримку видавництва забезпечує юридична фірма"Вегас-Лекс"

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він – художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останніх досягненняхв галузі психології або квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику - і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

Насправді причина його неприйняття математики набагато глибша. Він ніяк не зрозуміє, чим математики взагалі займаються і що мають на увазі, коли кажуть, що цей доказ витончений. Іноді ми жартуємо, що мені потрібно просто сісти і почати його вчити з самих азів, буквально з 1 + 1 = 2 і заглибитися в математику настільки, наскільки він зможе.

І хоча ця витівка здається шаленою, саме її я і спробую здійснити в цій книзі. Я проведу вас по всіх основних розділах науки, від арифметики до вищої математикищоб ті, хто хотів отримати другий шанс, нарешті змогли ним скористатися. І цього разу вам не доведеться сідати за парту. Ця книга не зробить вас експертом з математики. Зате допоможе розібратися в тому, що вивчає ця дисципліна і чому вона така захоплююча для тих, хто це зрозумів.

Ми дізнаємося, як слем-данки Майкла Джордана можуть допомогти пояснити ази обчислення. Я покажу вам простий і приголомшливий спосіб, як зрозуміти основну теорему евклідової геометрії – теорему Піфагора. Ми постараємося дістатися до суті деяких таємниць життя, великих і малих: чи вбивав свою дружину Джей Сімпсон; як перекладати матрац, щоб він прослужив максимально довго; скільки партнерів потрібно змінити перед тим, як зіграти весілля, і побачимо, чому одні нескінченності більше, ніж інші.

Математика всюди, треба тільки навчитися її впізнавати. Можна розглянути синусоїду на спині зебри, почути відлуння теорем Евкліда у Декларації про незалежність; та що там говорити, навіть у сухих звітах, що передували Першій світовій війні, є негативні числа. Також можна побачити, як на наше сьогоднішнє життя впливають нові напрямки математики, наприклад, коли ми шукаємо ресторани за допомогою комп'ютера чи намагаємося хоча б зрозуміти, а ще краще – пережити лякаючі коливання фондового ринку.

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Всі права захищені. Ніяка частина електронної версії цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі та будь-якими засобами, включаючи розміщення в мережі Інтернет та в корпоративних мережах, для приватного та публічного використання без письмового дозволу власника авторських прав.

Правову підтримку видавництва надає юридична фірма «Вегас-Лекс»

* * *

Цю книгу добре доповнюють:

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він – художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останні досягнення в галузі психології або квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику - і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

І хоча ця витівка здається шаленою, саме її я і спробую здійснити в цій книзі. Я проведу вас по всіх основних розділах науки, від арифметики до вищої математики, щоб ті, хто хотів отримати другий шанс, нарешті змогли скористатися ним. І цього разу вам не доведеться сідати за парту. Ця книга не зробить вас експертом з математики. Зате допоможе розібратися в тому, що вивчає ця дисципліна і чому вона така захоплююча для тих, хто це зрозумів.

Для того щоб прояснити, що я маю на увазі під життям чисел та їхньою поведінкою, яку ми не можемо контролювати, давайте повернемося до готелю «Мохнаті лапи». Припустимо, що Хамфрі саме зібрався передати замовлення, але тут йому несподівано зателефонували пінгвіни з іншого номера і теж попросили таку кількість риби. Скільки разів Хамфрі має прокричати слово «рибка» після отримання двох замовлень? Якби він нічого не дізнався про числа, то йому довелося б кричати стільки разів, скільки всього пінгвінів в обох кімнатах. Або, використовуючи числа, він міг пояснити кухареві, що йому потрібно шість рибок для одного номера і шість для іншого. Але те, що йому дійсно необхідно, є нову концепцію- Додавання. Як тільки він його освоїть, він з гордістю скаже, що йому потрібно шість плюс шість (або якщо він позер, дванадцять) рибок.

Це такий самий творчий процес, як і той, коли ми лише вигадували числа. Так як числа спрощують підрахунок у порівнянні з перерахуванням по одному, додавання спрощує обчислення будь-якої суми. При цьому той, хто здійснює підрахунок, розвивається як математик. По-науковому цю думку можна сформулювати так: використання правильних абстракцій призводить до більш глибокого проникненняу суть питання та більшої могутності при його вирішенні.

Незабаром, можливо, навіть Хамфрі зрозуміє, що тепер він завжди може підрахувати.

Проте, незважаючи на таку нескінченну перспективу, наша творчість завжди має якісь обмеження. Ми можемо вирішити, що маємо на увазі під 6 і +, але як тільки це зробимо, результати виразів, подібних до 6 + 6, виявляться поза нашим контролем. Тут логіка не залишить нам вибору. У цьому сенсі математика завжди включає в себе як винахід, так івідкриття: ми винаходимоконцепції, але відкриваємоїх наслідки. Як стане ясно з наступних розділів, у математиці наша свобода полягає у можливості ставити запитання та наполегливо шукати на них відповіді, однак не винаходячи їх самостійно.

2. Кам'яна арифметика

Як і будь-яке явище в житті, арифметика має дві сторони: формальну та цікаву (або ігрову).

Формальну частину ми вивчали у школі. Там нам пояснювали, як працювати зі стовпцями чисел, складаючи та віднімаючи їх, як перелопачувати їх при виконанні розрахунків в електронних таблицях під час заповнення податкових деклараційта підготовки річних звітів. Ця сторона арифметики здається багатьом важливою з практичної точки зору, але абсолютно безрадісною.

З цікавою стороною арифметики можна познайомитися лише у процесі вивчення вищої математики {3}. Тим не менш, вона так само природна, як і цікавість дитини {4}.

У есеї «Плач математика» Пол Локхарт пропонує вивчати числа більш конкретних, ніж зазвичай, прикладах: він просить, щоб ми представили їх у вигляді деякої кількості каменів. Наприклад, число 6 відповідає такому набору каменів:

Ви навряд чи побачите тут щось незвичне. Так воно і є. Поки ми не приступимо до маніпуляцій із числами, вони виглядають приблизно однаково. Гра починається, коли ми отримуємо завдання.

Наприклад, погляньмо на набори, в яких є від 1 до 10 каменів, і спробуємо скласти з них квадрати. Це можна зробити тільки з двома наборами – з 4 та 9 каменів, оскільки 4 = 2×2 та 9 = 3×3. Ми отримуємо ці числа шляхом зведення в квадрат якогось іншого числа (тобто розкладаючи каміння у вигляді квадрата).

Ось завдання, що має більша кількістьрішень: треба дізнатися, з яких наборів вийде прямокутник, якщо розкласти каміння у два ряди з рівною кількістю елементів. Тут підійдуть набори з 2, 4, 6, 8 або 10 каменів; число має бути парним. Якщо ми спробуємо розкласти в два ряди набори з непарною кількістю каменів, то у нас незмінно буде залишатися зайвий камінь.

Але не все втрачено для цих незручних чисел! Якщо взяти два такі набори, то зайві елементи знайдуть собі пару, і сума вийде парна: непарне число + непарне число = парне число.

Якщо поширити ці правила на числа, що йдуть після 10, і вважати, що кількість рядів у прямокутнику може бути більшою за два, то деякі непарні числадозволять скласти такі прямокутники. Наприклад, число 15 може становити прямокутник 3×5.

Тому хоча 15, безсумнівно, непарне число, воно є складовим і може бути представлене у вигляді трьох рядів по п'ять каменів у кожному. Так само будь-яка запис у таблиці множення дає власну прямокутну групу каменів.

Але деякі числа, на зразок 2, 3, 5 та 7, абсолютно безнадійні. З них не можна викласти нічого, крім як розмістити їх у вигляді простої лінії (одного ряду). Ці дивні затяті - знамениті прості числа.

Отже, бачимо, що числа можуть мати химерні структури, які наділяють їх певним характером. Але, щоб уявити весь спектр їхньої поведінки, треба відсторонитися від окремих чисел і поспостерігати за тим, що відбувається під час їхньої взаємодії.

Наприклад, замість того щоб скласти всього два непарні числа, складемо всі можливі послідовності непарних чисел, починаючи з 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Дивно, але ці суми завжди є ідеальними квадратами. (Про те, що 4 і 9 можна подати у вигляді квадратів, ми вже говорили, а для 16 = 4 × 4 і 25 = 5 × 5 це теж вірно.) Швидкий підрахунок показує, що це правило справедливе і для великих непарних чисел і , мабуть, прагне нескінченності. Але який же зв'язок між непарними числами з їхніми «зайвими» камінням та класично симетричними числами, що утворюють квадрати? Правильно розташовуючи камінці, ми можемо зробити її очевидною, що є відмінною рисоювитонченого доказу. {5}

Ключем до нього буде спостереження, що непарні числа можна у вигляді рівносторонніх куточків, послідовне накладання яких один на одного утворює квадрат!

Подібний спосіб міркувань представлений ще в одній книзі, що недавно вийшла. У чарівному романі Йоко Огави The Housekeeper and the Professor («Домробітниця і професор») розповідається про проникливу, але неосвічену молоду жінку та її десятирічного сина. Жінку найняли доглядати літнього математика, у якого через отриману черепно-мозкову травму в короткостроковій пам'яті зберігається інформація лише про останні 80 хвилин життя. Загубившись у цьому, один у своєму убогому котеджі, нічого не маючи, крім чисел, професор намагається спілкуватися з хатньою робітницею єдиним відомим йому способом: запитуючи про розмір її взуття або дату народження і ведучи з нею світську бесіду про її витрати. Професор також має особливу симпатію до сина економки, якого називає Рут (Root – корінь), тому що у хлопчика зверху плоска голова, і це нагадує йому позначення математики квадратного кореня √.

Якось професор пропонує хлопчику просте завдання- знайти суму всіх чисел від 1 до 10. Після того як Рут акуратно складає всі числа між собою і повертається з відповіддю (55), професор просить його пошукати простіший спосіб. Чи зможе він знайти відповідь беззвичайної складання чисел? Рут штовхає стілець і кричить: "Це несправедливо!"

Помалу хатня робітниця теж втягується у світ чисел і сама таємно намагається вирішити це завдання. «Я не розумію, чому так захопилося дитячим завданням, яке не має жодної практичної користі», – каже вона. «Спочатку я хотіла догодити професору, але поступово це заняття перетворилося на бій між мною та числами. Коли я прокидалася вранці, рівняння вже чекало на мене:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Цю книгу добре доповнюють:

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Стівен Строгац

Задоволення від Х

Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі

Інформація від видавництва

російською мовою публікується вперше

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгаць, П.

ISBN 978-500057-008-1

Всі права захищені.

Правову підтримку видавництва надає юридична фірма «Вегас-Лекс»

Передмова

Серія з 15 статей під загальною назвою«Основи математики» з'явилася у мережі наприкінці січня 2010 року. У відповідь на їх публікацію посипалися листи та коментарі від читачів різного віку, серед яких було багато студентів та викладачів. Зустрічалися і допитливі люди, з тих чи інших причин «збилися зі шляху» розуміння математичної науки; тепер же вони відчули, що упустили щось ст прояще, і хотіли б спробувати ще раз. Особливу радість мені доставляли подяки від батьків за те, що вони з моєю допомогою змогли пояснити математику своїм дітям, та й самі стали краще розуміти її. Здавалося, що навіть мої колеги та товариші, гарячі шанувальники цієї науки, отримували задоволення від читання статей, за винятком тих моментів, коли вони навперебій пропонували всілякі рекомендації щодо покращення мого дітища.

Незважаючи на поширену думку, в суспільстві спостерігається явний інтерес до математики, хоча цьому феномену і мало уваги приділяють. Ми тільки й чуємо, що про страх перед математикою, і тим не менш, багато хто з радістю спробував би розібратися в ній краще. І варто цьому статися – їх уже буде важко відірвати.

Ця книга познайомить вас із найскладнішими та передовими ідеями зі світу математики. Розділи невеликі, легко читаються та особливо не залежать один від одного. Серед них є й ті, що увійшли в ту першу серію статей у New York Times. Так що як тільки відчуєте легкий математичний голод, не роздумуючи, беріться за наступний розділ. Якщо захочете докладніше розібратися в питанні, що зацікавило вас, то в кінці книги є примітки з додатковою інформацієюта рекомендаціями, що ще про це можна почитати.

Для зручності читачів, які віддають перевагу покроковому підходу, я розбив матеріал на шість частин відповідно до традиційного порядку вивчення тем.

Частина I «Числа» починає нашу подорож з арифметики дитячому садкуі початковій школі. У ній показано, наскільки корисними бувають числа і як магічно ефективні при описі навколишнього світу.

Частина II "Співвідношення" переводить увагу з самих чисел на співвідношення між ними. Ці ідеї лежать в основі алгебри і є першими інструментами для опису того, як одне впливає на інше, виявляючи причинно-наслідковий зв'язок найрізноманітніших речей: попиту та пропозиції, стимулу та реакції - словом, усіх видів відносин, які роблять світ настільки багатогранним та багатим .

Частина III «Фігури» оповідає не про числа і символи, а про фігури та простір - вотчину геометрії та тригонометрії. Ці теми, поряд з описом всіх доступних об'єктів за допомогою форм, за допомогою логічних міркувань і доказів піднімають математику на новий рівеньточності.

У частині IV «Час змін» ми розглянемо обчислення - найбільш вражаюче і багатогранне напрямок математики. Обчислення дозволяють передбачити траєкторію руху планет, цикли припливів і відливів і дають змогу зрозуміти і описати всі процеси, що періодично змінюються, і явища у Всесвіті і всередині нас. Важливе місце в цій частині відведено вивченню нескінченності, утихомирення якої стало проривом, що дозволило обчисленням заробити. Обчислення допомогли вирішити багато завдань, що виникли ще в античному світі, і це, зрештою, призвело до революції в науці та сучасному світі.

Частина V «Багатоликі дані» має справу з ймовірністю, статистикою, мережами та обробкою даних – це все ще щодо молоді області, породжені не завжди впорядкованими сторонами нашого життя, такими як можливість та удача, невпевненість, ризик, мінливість, хаотичність, взаємозалежність. Використовуючи відповідні засоби математики та відповідні типи даних, ми навчимося виявляти закономірність у потоці випадковостей.

Наприкінці нашої подорожі в частині VI «Кордони можливого» ми наблизимось до меж математичного знання, до прикордонної області між тим, що вже відомо, і тим, що поки що невловимо і не пізнано. Ми знову пройдемося по темах у вже знайомому нам порядку: числа, співвідношення, фігури, зміни та нескінченність, але при цьому розглянемо кожну з них глибше, у її сучасному втіленні.

2010 року Стівен Строгац написав серію статей про основи математики для газети The New York Times. Статті викликали бурю захоплення. Кожна колонка ставала найпопулярнішим матеріалом у газеті та збирала сотні коментарів. Читачі ще просили, і Стівен не підвів — з'явилася ця книга, до якої увійшли як уже опубліковані частини, так і нові глави.

Математика пронизує все в цьому світі, включаючи нас самих, але, на жаль, мало хто розуміє цю універсальну мову настільки добре, щоб оцінити її мудрість і красу. Стівен Строгац - той самий учитель математики, про який ви мріяли у школі. Вчитель, який здатний запалити іскру інтересу та прищепити любов до свого предмета на все життя. У цій неймовірно легкій та захоплюючій книзі він дає всім нам другий шанс познайомитися з математикою. У кожному короткому розділі ви відкриваєте собі щось нове: починаючи з того, навіщо взагалі потрібні цифри й надалі до таких тем, як геометрія, інтегральне числення, статистика і нескінченність. Автор пояснює великі математичні ідеї просто та елегантно, наводячи блискучі приклади, зрозумілі кожному. Ця книга є для всіх. Ті, хто мало знайомий з математикою – познайомляться з нею близько, а ті, хто математику любить – із задоволенням шанують про «царицю наук».

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останні досягнення в галузі психології або квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику — і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

Математика всюди, треба тільки навчитися її впізнавати. Можна розглянути синусоїду на спині зебри, почути відлуння теорем Евкліда у Декларації про незалежність; та що там говорити, навіть у сухих звітах, що передували Першій світовій війні, є негативні числа. Також можна побачити, як на наше сьогоднішнє життя впливають нові напрямки математики, наприклад, коли ми шукаємо ресторани за допомогою комп'ютера або намагаємося хоча б зрозуміти, а ще краще пережити лякаючі коливання фондового ринку.

— Читати онлайн книгу Стівена Строгаца «Задоволення від X»

Серія з 15 статей під загальною назвою «Основи математики» з'явилася у мережі наприкінці січня 2010 року. У відповідь на їх публікацію посипалися листи та коментарі від читачів різного віку, серед яких було багато студентів та викладачів. Зустрічалися і допитливі люди, з тих чи інших причин «збилися зі шляху» розуміння математичної науки; тепер же вони відчули, що прогаяли щось варте, і хотіли б спробувати ще раз. Особливу радість мені доставляли подяки від батьків за те, що вони з моєю допомогою змогли пояснити математику своїм дітям, та й самі стали краще розуміти її. Здавалося, що навіть мої колеги та товариші, гарячі шанувальники цієї науки, отримували задоволення від читання статей, за винятком тих моментів, коли вони навперебій пропонували всілякі рекомендації щодо покращення мого дітища.

Незважаючи на поширену думку, в суспільстві спостерігається явний інтерес до математики, хоча цьому феномену і мало уваги приділяють. Ми тільки й чуємо, що про страх перед математикою, і тим не менш, багато хто з радістю спробував би розібратися в ній краще. І варто цьому статися — їх уже важко буде відірвати.

Ця книга познайомить вас із найскладнішими та передовими ідеями зі світу математики. Розділи невеликі, легко читаються та особливо не залежать один від одного. Серед них є й ті, що увійшли в ту першу серію статей у New York Times. Так що як тільки відчуєте легкий математичний голод, не роздумуючи, беріться за наступний розділ. Якщо захочете докладніше розібратися в питанні, що зацікавило вас, то в кінці книги є примітки з додатковою інформацією та рекомендаціями, що ще про це можна почитати.