Формули тригонометрії сума синуса та косинуса. Купити диплом про вищу освіту недорого

Найчастіші питання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото хорошої якостіі ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете оплатити документ під час отримання на руки у кур'єра після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути певна, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти на більше високооплачувана робота. Ми заробили довіру та визнання серед клієнтів, тому у нас зовсім немає причин чинити таким чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення в момент отримання на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася практично повна база видаваних документів майже всіх ВНЗ країни та різні рокивидачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВНЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра або поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлена ​​помилка, помилка або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмовому виглядінадіславши лист на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, що пересилання буде оплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь, перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа для перевірки та затвердження остаточного варіанта. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фотота відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у підсумку.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми вислали вам бланк анкети, який потрібно заповнити і надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Олексій:

Мені потрібно було придбати диплом для влаштування на роботу за фахом менеджер. І найголовніше, що і досвід, і навички у мене є, але без документа я не можу, нікуди влаштується. Потрапивши на ваш сайт, таки зважився на покупку диплома. Диплом був виконаний за 2 дні! Тепер у мене є робота, про яку я раніше не мріяв!! Спасибі!

Формули суми та різниці синусів і косінусів для двох кутів α і β дозволяють перейти від суми зазначених кутів до твору кутів α + β 2 та α - β 2 . Відразу зазначимо, що не варто плутати формули суми та різниці синусів та косінусів з формулами синусів та косінусів суми та різниці. Нижче ми перерахуємо ці формули, наведемо їх висновок та покажемо приклади застосування для конкретних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули суми та різниці синусів та косінусів

Запишемо, як виглядають формули суми та різниці для синусів та для косінусів

Формули суми та різниці для синусів

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули суми та різниці для косінусів

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Дані формули справедливі для будь-яких кутів α та β. Кути α + β 2 і α - β 2 називаються відповідно напівсумою та напіврізністю кутів альфа та бета. Дамо формулювання для кожної формули.

Визначення формул сум і різниці синусів та косінусів

Сума синусів двох кутівдорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на косинус напіврізності.

Різниця синусів двох кутівдорівнює подвоєному добутку синуса напіврізності цих кутів на косинус напівсуми.

Сума косінусів двох кутівдорівнює подвоєному твору косинуса напівсуми та косинуса напіврізності цих кутів.

Різниця косінусів двох кутівдорівнює подвоєному твору синуса напівсуми на косинус напіврізності цих кутів, взятому з негативним знаком.

Висновок формул суми та різниці синусів та косінусів

Для виведення формул суми та різниці синуса та косинуса двох кутів використовуються формули складання. Наведемо їх нижче

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Також представимо самі кути у вигляді суми напівсум та напіврізниць.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Переходимо безпосередньо до виведення формул суми та різниці для sin та cos.

Висновок формули суми синусів

У сумі sin α + sin β замінимо α та β на вирази для цих кутів, наведені вище. Отримаємо

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Тепер до першого виразу застосовуємо формулу додавання, а до другого - формулу синуса різниць кутів (див. формули вище)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки та отримаємо шукану формулу

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Події щодо висновку інших формул аналогічні.

Висновок формули різниці синусів

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Висновок формули суми косінусів

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Висновок формули різниці косінусів

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Приклади вирішення практичних завдань

Для початку зробимо перевірку однієї з формул, підставивши в неї конкретні значення кутів. Нехай ? = ? 2 , ? = ? 6 . Обчислимо значення суми синусів цих кутів. Спочатку скористаємось таблицею основних значень тригонометричних функцій, а потім застосуємо формулу суми синусів.

Приклад 1. Перевірка формули суми синусів двох кутів

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Розглянемо тепер випадок, коли значення кутів від основних значень, представлених у таблиці. Нехай α = 165°, β = 75°. Обчислимо значення різниці синусів цих кутів.

Приклад 2. Застосування формули різниці синусів

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 · sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 · sin 45° · cos 120° = 2 · 2 2 · - 1 2 = 2 2

За допомогою формул суми та різниці синусів та косінусів можна перейти від суми або різниці до твору тригонометричних функцій. Часто ці формули називають формулами переходу від суми до твору. Формули суми та різниці синусів та косінусів широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівняньі при перетворенні тригонометричних виразів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Косинус суми та різниці двох кутів

У цьому параграфі буде доведено такі дві формули:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Косинус суми (різниці) двох кутів дорівнює добутку косінусів цих кутів мінус (плюс) добуток синусів цих кутів.

Нам зручніше розпочатиме з доказу формули (2). Для простоти викладу припустимо спочатку, що кути α і β задовольняють наступним умовам:

1) кожен із цих кутів невід'ємний і менший 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Нехай позитивна частина осі 0х є загальною початковою стороною кутів α і β .

Кінцеві сторони цих кутів позначимо відповідно через 0А та 0В. Очевидно, що кут α - β можна розглядати як такий кут, на який потрібно повернути промінь 0В навколо точки 0 проти годинникової стрілки, щоб його напрямок збігся з напрямком променя 0А.

На променях 0А та 0В відзначимо точки М та N, що віддалені від початку координат 0 на відстані 1, так що 0М = 0N = 1.

У системі координат х0у точка М має координати ( cos α, sin α), а точка N - координати ( cos β , sin β). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

При обчисленнях ми користувалися тотожністю

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Тепер розглянемо іншу систему координат В0С, яка утворюється шляхом повороту осей 0х і 0у навколо точки 0 проти годинникової стрілки на кут β .

У цій системі координат точка М має координати (cos ( α - β ), sin ( α - β )), а точка N-координати (1,0). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α-β) = 2 .

Але відстань між точками М та N не залежить від того, щодо якої системи координат ми розглядаємо ці точки. Тому

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Звідси випливає формула (2).

Тепер слід згадати про ті два обмеження, які ми наклали для простоти викладу на кути α і β .

Вимога, щоб кожен з кутів α і β був невід'ємним, насправді не суттєвим. Адже до кожного з цих кутів можна додати кут, кратний 2я, що не позначиться на справедливості формули (2). Так само від кожного з даних кутів можна відняти кут, кратний 2π. Тому можна вважати, що 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Не суттєвою виявляється і умова α > β . Справді, якщо α < β , то β >α ; тому, враховуючи парність функції cos х , отримуємо:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

що сутнісно збігається з формулою (2). Таким чином, формула

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

вірна для будь-яких кутів α і β . Зокрема, замінюючи у ній β на - β та враховуючи, що функція cosх є парною, а функція sinх непарною, отримуємо:

cos (α + β) = cos [α - (-β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

що доводить формулу (1).

Отже, формули (1) та (2) доведені.

приклади.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Вправи

1 . Обчислити, не користуючись тригонометричними таблицями:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

б) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

в) cos 29 ° cos 74 ° + sin 29 ° sin 74 °;

г) sin 97 ° sin 37 ° + cos 37 ° cos 97 °;

д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2. Спростити вирази:

a). cos ( α + π/3 ) + cos (π/3 - α ) .

б). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) sin ( α - 24 °).

в). sin (π/4 - α ) sin (π/4+ α ) - cos (π/4+ α ) cos (π / 4 - α )

г) cos 2 α + tg α sin 2 α .

3 . Обчислити :

a) cos (α - β), якщо

cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

б) cos ( α + π / 6), якщо cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Знайти cos (α+β)та cos (α - β) ,якщо відомо, що sin α = 7 / 25 , cos β = - 5/13 та обидва кути ( α і β ) закінчуються в одній і тій же чверті.

5 .Обчислити:

а). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

б). cos [arcsin 1/3 - arccos (-2/3)] .

в). cos [ arctg 1 / 2 + arccos (-2) ]