สูตรลดลอการิทึม ลอการิทึมธรรมชาติ ln x ฟังก์ชัน

• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

ลอการิทึมของ b (b > 0) ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1)เป็นเลขชี้กำลังที่คุณต้องการเพิ่มจำนวน a เพื่อให้ได้ b

ลอการิทึมฐาน 10 ของ b เขียนได้เป็น บันทึก (b)และลอการิทึมถึงฐาน e (ลอการิทึมธรรมชาติ) - ln(ข).

มักใช้ในการแก้ปัญหาลอการิทึม:

คุณสมบัติของลอการิทึม

มีสี่หลัก คุณสมบัติของลอการิทึม.

ให้ a > 0, a ≠ 1, x > 0 และ y > 0

คุณสมบัติ 1. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม:

บันทึก a (x ⋅ y) = บันทึก a x + บันทึก a y

คุณสมบัติ 2. ลอการิทึมของผลหาร

ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม:

บันทึก a (x / y) = บันทึก a x – บันทึก a y

คุณสมบัติ 3. ลอการิทึมของดีกรี

ลอการิทึมองศาเท่ากับผลคูณของดีกรีและลอการิทึม:

หากฐานของลอการิทึมอยู่ในเลขชี้กำลัง ให้ใช้สูตรอื่น:

คุณสมบัติ 4. ลอการิทึมของรูท

คุณสมบัตินี้สามารถหาได้จากคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี เนื่องจากรูตของดีกรีที่ n เท่ากับกำลัง 1/n:

สูตรการเปลี่ยนจากลอการิทึมในฐานหนึ่งไปเป็นลอการิทึมในอีกฐานหนึ่ง

สูตรนี้มักใช้เมื่อแก้งานต่างๆ สำหรับลอการิทึม:

กรณีพิเศษ:

การเปรียบเทียบลอการิทึม (อสมการ)

สมมติว่าเรามี 2 ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ภายใต้ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากัน และมีเครื่องหมายอสมการระหว่างกัน:

ในการเปรียบเทียบ ก่อนอื่นคุณต้องดูที่ฐานของลอการิทึม a:

• ถ้า a > 0 แล้ว f(x) > g(x) > 0
• ถ้า0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

วิธีแก้ปัญหาลอการิทึม: ตัวอย่าง

งานที่มีลอการิทึมรวมอยู่ใน USE ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 11 ในงาน 5 และงาน 7 คุณสามารถค้นหางานพร้อมวิธีแก้ปัญหาบนเว็บไซต์ของเราในส่วนที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังพบงานที่มีลอการิทึมในธนาคารงานในวิชาคณิตศาสตร์ คุณสามารถค้นหาตัวอย่างทั้งหมดได้โดยการค้นหาไซต์

ลอการิทึมคืออะไร

ลอการิทึมถือเป็นหัวข้อที่ยากในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมาโดยตลอด มีคำจำกัดความของลอการิทึมที่แตกต่างกันมากมาย แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างตำราเรียนส่วนใหญ่จึงใช้คำที่ซับซ้อนที่สุดและโชคร้ายที่สุด

เราจะนิยามลอการิทึมอย่างเรียบง่ายและชัดเจน มาสร้างตารางสำหรับสิ่งนี้:

ดังนั้น เรามีกำลังสอง

ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร วิธีแก้

หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องเพิ่มกำลังสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องเพิ่มสองยกกำลังหก นี้สามารถเห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - อันที่จริง คำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x

สัญกรณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ บันทึก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 เป็นสามเพราะ 2 3 = 8) อาจเช่นกัน บันทึก 2 64 = 6 เพราะ 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่า มาเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรากัน:

น่าเสียดายที่ลอการิทึมบางตัวไม่ได้ถูกพิจารณาอย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น พยายามหาบันทึก 2 5 หมายเลข 5 ไม่อยู่ในตาราง แต่ตรรกะบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้อย่างไม่มีกำหนด และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ ปล่อยให้มันเป็นแบบนี้ดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีสองตัวแปร (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าฐานอยู่ที่ไหนและการโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ให้ดูภาพ:

ก่อนที่เราจะไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งคุณต้องเพิ่มฐานเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพถูกเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนของฉันในบทเรียนแรก และจะไม่เกิดความสับสน

วิธีการนับลอการิทึม

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราสังเกตว่าข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำจำกัดความ:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ต่อจากนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยหนึ่งไปยังกำลังใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกใครคนหนึ่งขึ้นเพื่อให้ได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีระดับดังกล่าว!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อดีซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการกำหนดหมายเลข b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบก็ได้: log 2 0.5 = -1 เพราะ 0.5 = 2 -1 .

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลข ซึ่งไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม ข้อ จำกัด ทั้งหมดได้รับการพิจารณาโดยคอมไพเลอร์ของปัญหาแล้ว แต่เมื่อมีการใช้สมการลอการิทึมและอสมการ ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ แท้จริงแล้ว ในพื้นฐานและการโต้แย้ง อาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ตอนนี้ให้พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่ง ระหว่างทาง จะดีกว่าถ้ากำจัดเศษส่วนทศนิยม
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์ที่ได้คือ b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะเห็นได้ในขั้นแรก ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก ในทำนองเดียวกันกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นทศนิยมทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่ารูปแบบนี้ทำงานอย่างไรพร้อมตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

1. มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
ล็อก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. ได้รับคำตอบ : 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

1. มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ให้แทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. ได้รับการตอบกลับ: 0

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นกำลังเจ็ดเพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ตามมาจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าลอการิทึมไม่ได้รับการพิจารณา
3. คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของตัวเลขอื่น ง่ายมาก - เพียงแค่แยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ หากมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองประการในการขยาย จำนวนนั้นก็ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่ากำลังที่แท้จริงของตัวเลขคือ 8; 48; 81; 35; สิบสี่

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียว
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนเพราะมีสองปัจจัย: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน
35 = 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

นอกจากนี้ พึงสังเกตว่าจำนวนเฉพาะนั้นจะเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและชื่อพิเศษ

ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่ต้องยก 10 เพื่อให้ได้ x ชื่อ: lgx.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน จงรู้ว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณไม่คุ้นเคยกับการกำหนดดังกล่าว คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง ในแง่หนึ่ง มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน e นั่นคือ ยกกำลังที่ต้องยกจำนวน e เพื่อให้ได้จำนวน x การกำหนด: lnx.

หลายคนจะถามว่า e คืออะไร ? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่พบค่าที่แน่นอนและเขียนลงไป นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
อี = 2.718281828459…

เราจะไม่เจาะลึกว่าตัวเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น แค่จำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1; บันทึก อี 2 = 2; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ เป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นแน่นอน ความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดานั้นใช้ได้

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม (กำลังของลอการิทึม)

จะแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

เราใช้นิยามของลอการิทึม

ลอการิทึมเป็นตัวบ่งชี้กำลังซึ่งต้องยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

ดังนั้น เพื่อที่จะแทนจำนวนหนึ่ง c เป็นลอการิทึมของฐาน a จำเป็นต้องวางดีกรีไว้ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกับฐานของลอการิทึม และเขียนตัวเลข c ลงในเลขชี้กำลัง :

ในรูปแบบของลอการิทึม คุณสามารถแสดงจำนวนใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ จำนวนเต็ม เศษส่วน ตรรกยะ หรืออตรรกยะ:

เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนระหว่าง a และ c ในสภาวะเครียดของการทดสอบ คุณสามารถใช้กฎต่อไปนี้เพื่อจดจำ:

อันล่างขึ้นลง อันบนขึ้นขึ้น.

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการแสดงเลข 2 เป็นลอการิทึมถึงฐาน 3

เรามีตัวเลขสองตัว - 2 และ 3 ตัวเลขเหล่านี้เป็นฐานและเลขชี้กำลัง ซึ่งเราจะเขียนใต้เครื่องหมายของลอการิทึม มันยังคงกำหนดว่าควรเขียนตัวเลขใดในจำนวนเหล่านี้ในฐานของดีกรีและไหน - ขึ้นในเลขชี้กำลัง

ฐาน 3 ในบันทึกของลอการิทึมอยู่ที่ด้านล่าง ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราแสดงผีเป็นลอการิทึมของฐาน 3 เราจะเขียน 3 ลงไปที่ฐานด้วย

2 สูงกว่า 3 และในสัญกรณ์ของดีกรี เราเขียนสองตัวบนสาม นั่นคือ ในเลขชี้กำลัง:

ลอการิทึม ระดับแรก.

ลอการิทึม

ลอการิทึมจำนวนบวก ขด้วยเหตุผล เอ, ที่ไหน a > 0, a ≠ 1, เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องเพิ่มจำนวน เอ, ที่จะได้รับ ข.

ความหมายของลอการิทึมสามารถเขียนสั้น ๆ เช่นนี้:

ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้สำหรับ b > 0, a > 0, a ≠ 1เขามักจะเรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึม
การกระทำการหาลอการิทึมของจำนวนเรียกว่า ลอการิทึม.

คุณสมบัติของลอการิทึม:

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ลอการิทึมของผลหารจากการหาร:

การแทนที่ฐานของลอการิทึม:

ลอการิทึมองศา:

ลอการิทึมรูท:

ลอการิทึมพร้อมฐานกำลัง:

ลอการิทึมทศนิยมและธรรมชาติ

ลอการิทึมทศนิยมตัวเลขเรียกลอการิทึมฐาน 10 ของตัวเลขนั้นแล้วเขียนว่า   lg ข
ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลขเรียกลอการิทึมของตัวเลขนี้ไปที่ฐาน อี, ที่ไหน อีเป็นจำนวนอตรรกยะ ประมาณเท่ากับ 2.7 ในขณะเดียวกันก็เขียน ln ข.

หมายเหตุอื่นๆ เกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องรู้กฎเหล่านี้ - ปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลยดีกว่า

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: บันทึก a x และ log a y จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

1. บันทึก a x + บันทึก a y = บันทึก a (x y);
2. บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: จุดสำคัญที่นี่คือ - เหตุเดียวกัน. หากฐานต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ลองดูตัวอย่างและดู:

บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 - log 3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่พิจารณาแยกกัน แต่หลังจากการแปลง ตัวเลขค่อนข้างปกติปรากฎ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายคลึงกันในทุกเรื่องที่จริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ก็ควรจำไว้ดีกว่า - ในบางกรณีจะลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ในทางกลับกัน เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนเครื่องหมายของลอการิทึมลงในตัวลอการิทึมได้

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 72. เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: บันทึก 2 7. เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่าพวกมันใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าฐานแตกต่างกัน? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ได้รับการช่วยเหลือ เราสร้างพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมล็อก a x จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองสามารถแลกเปลี่ยนฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมด "ถูกพลิกกลับ" กล่าวคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลย ยกเว้นการย้ายฐานรากใหม่ ลองพิจารณาสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: บันทึก 5 16 บันทึก 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2log 2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของตัวประกอบ เราจึงคูณสี่กับสองอย่างใจเย็น แล้วหาลอการิทึมออกมา

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: บันทึก 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกเป็นกำลังที่แน่นอน มาเขียนมันและกำจัดตัวชี้วัด:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด

ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรก จำนวน n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวน b ถูกยกขึ้นในระดับที่หมายเลข b ในระดับนี้ให้จำนวน a? ใช่แล้ว: นี่คือตัวเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างระมัดระวังอีกครั้ง - หลายคน "แขวน" ไว้

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่า log 25 64 = log 5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองประการที่เรียกคุณสมบัติได้ยาก - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขามักพบปัญหาและสร้างความประหลาดใจให้กับนักเรียนที่ "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. บันทึก a = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากตัวฐานนั้นเองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
2. บันทึก a 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

มาจากคำจำกัดความของมัน ดังนั้นลอการิทึมของจำนวน ขด้วยเหตุผล แต่กำหนดเป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยกตัวเลข เอเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x=log a bเทียบเท่ากับการแก้สมการ ขวาน=ข.ตัวอย่างเช่น, บันทึก 2 8 = 3เพราะ 8 = 2 3 . สูตรของลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่า if b=a c, แล้วลอการิทึมของจำนวน ขด้วยเหตุผล เอเท่ากับ จาก. เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อเรื่องกำลังของตัวเลข

ด้วยลอการิทึม เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ คุณสามารถดำเนินการได้ การดำเนินการของการบวก, การลบและเปลี่ยนแปลงไปในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงใช้กฎพิเศษของลอการิทึมซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

การบวกและการลบของลอการิทึม

หาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: บันทึก xและ เข้าสู่ระบบ y. จากนั้นลบมันเป็นไปได้ที่จะดำเนินการบวกและลบ:

บันทึก x+ บันทึก a y= บันทึก a (x y);

บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x:y)

เข้าสู่ระบบ(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = บันทึก x 1 + บันทึก x 2 + บันทึก x 3 + ... + บันทึก x k.

จาก ทฤษฎีบทลอการิทึมเชาวน์สามารถรับคุณสมบัติของลอการิทึมได้อีก เป็นที่ทราบกันดีว่า log เอ 1= 0 ดังนั้น

บันทึก เอ 1 /ข= บันทึก เอ 1 - บันทึก ข= -log ข.

จึงมีความเท่าเทียมกันคือ

บันทึก a 1 / b = - บันทึก a b.

ลอการิทึมของจำนวนส่วนกลับกันสองตัวบนพื้นฐานเดียวกันจะแตกต่างกันในเครื่องหมายเท่านั้น ดังนั้น:

บันทึก 3 9= - บันทึก 3 1 / 9 ; บันทึก 5 1 / 125 = -log 5 125