Egenskaper för en vinkelhalveringslinje. Uppgifter

Idag blir en väldigt lätt lektion. Vi kommer att överväga bara ett objekt - vinkelhalveringslinjen - och bevisa dess viktigaste egenskap, som kommer att vara mycket användbar för oss i framtiden.

Slappna inte av: ibland kan elever som vill få ett högt betyg på samma Unified State Exam eller Unified State Exam inte ens exakt formulera definitionen av en bisektor i den första lektionen.

Och istället för att göra riktigt intressanta uppgifter, slösar vi tid på så enkla saker. Så läs, titta och adoptera det. :)

Till att börja med en lite konstig fråga: vad är en vinkel? Det stämmer: en vinkel är helt enkelt två strålar som kommer från samma punkt. Till exempel:

Exempel på vinklar: spetsig, trubbig och rätt

Som du kan se på bilden kan vinklar vara spetsiga, trubbiga, raka - det spelar ingen roll nu. Ofta, för enkelhets skull, markeras ytterligare en punkt på varje stråle och de säger att framför oss finns vinkeln $AOB$ (skriven som $\angle AOB$).

Captain Obviousness verkar antyda att utöver strålarna $OA$ och $OB$, är det alltid möjligt att dra ett gäng fler strålar från punkten $O$. Men bland dem kommer det att finnas en speciell - han kallas bisektor.

Definition. En vinkels bisektris är strålen som kommer ut från spetsen på den vinkeln och halverar vinkeln.

För vinklarna ovan kommer bisektorerna att se ut så här:

Exempel på bisektrar för spets, trubbig och rät vinkel

Eftersom det i verkliga ritningar inte alltid är uppenbart att en viss stråle (i vårt fall är det $OM$-strålen) delar den ursprungliga vinkeln i två lika stora, är det inom geometrin vanligt att markera lika vinklar med samma antal bågar ( i vår ritning är detta 1 båge för en spetsig vinkel, två för trubbig, tre för rak).

Okej, vi har löst definitionen. Nu måste du förstå vilka egenskaper bisektrisen har.

Huvudegenskapen för en vinkelhalveringslinje

Faktum är att bisektrisen har många egenskaper. Och vi kommer definitivt att titta på dem i nästa lektion. Men det finns ett knep som du måste förstå just nu:

Sats. En vinkels bisektris är platsen för punkter som är lika långt från sidorna av en given vinkel.

Översatt från matematisk till ryska betyder detta två fakta på en gång:

Varje punkt som ligger på bisektrisen för en viss vinkel är på samma avstånd från sidorna av denna vinkel.
Och vice versa: om en punkt ligger på samma avstånd från sidorna av en given vinkel, är den garanterat att ligga på bisektrisen av denna vinkel.

Innan vi bevisar dessa påståenden, låt oss klargöra en punkt: vad kallas exakt avståndet från en punkt till sidan av en vinkel? Här kommer den gamla goda bestämningen av avståndet från en punkt till en linje att hjälpa oss:

Definition. Avståndet från en punkt till en linje är längden på vinkelrät ritat från en given punkt till denna linje.

Tänk till exempel på en linje $l$ och en punkt $A$ som inte ligger på denna linje. Låt oss rita en vinkelrät mot $AH$, där $H\i l$. Då blir längden på denna vinkelrät avståndet från punkten $A$ till den räta linjen $l$.

Grafisk representation av avståndet från en punkt till en linje

Eftersom en vinkel helt enkelt är två strålar, och varje stråle är en del av en rät linje, är det lätt att bestämma avståndet från en punkt till sidorna av en vinkel. Dessa är bara två vinkelräta:

Bestäm avståndet från punkten till vinkelns sidor

Det är allt! Nu vet vi vad ett avstånd är och vad en bisektrik är. Därför kan vi bevisa huvudegendomen.

Som utlovat kommer vi att dela upp beviset i två delar:

1. Avstånden från punkten på bisektrisen till vinkelns sidor är desamma

Betrakta en godtycklig vinkel med vertex $O$ och bisektris $OM$:

Låt oss bevisa att just denna punkt $M$ är på samma avstånd från vinkelns sidor.

Bevis. Låt oss rita vinkelräta från punkten $M$ till vinkelns sidor. Låt oss kalla dem $M((H)_(1))$ och $M((H)_(2))$:
Rita vinkelräta mot sidorna av vinkeln
Vi fick två räta trianglar: $\vartriangel OM((H)_(1))$ och $\vartriangel OM((H)_(2))$. De har en gemensam hypotenusa $OM$ och lika vinklar:

$\vinkel MO((H)_(1))=\vinkel MO((H)_(2))$ efter villkor (eftersom $OM$ är en bisektrik);

$\vinkel M((H)_(1))O=\vinkel M((H)_(2))O=90()^\cirkel $ genom konstruktion;

$\vinkel OM((H)_(1))=\vinkel OM((H)_(2))=90()^\cirkel -\vinkel MO((H)_(1))$, eftersom summa De spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är alltid 90 grader.

Följaktligen är trianglarna lika i sidorna och två intilliggande vinklar (se tecken på trianglars likhet). Därför i synnerhet $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, dvs. avstånden från punkt $O$ till vinkelns sidor är verkligen lika. Q.E.D. :)

2. Om avstånden är lika, så ligger punkten på bisektrisen

Nu är situationen den omvända. Låt en vinkel $O$ ges och en punkt $M$ på samma avstånd från sidorna av denna vinkel:

Låt oss bevisa att strålen $OM$ är en bisektor, d.v.s. $\vinkel MO((H)_(1))=\vinkel MO((H)_(2))$.

Bevis. Låt oss först rita just den här strålen $OM$, annars finns det inget att bevisa:
Leds $OM$ balk innanför hörnet
Återigen får vi två räta trianglar: $\vartriangel OM((H)_(1))$ och $\vartriangel OM((H)_(2))$. Uppenbarligen är de lika eftersom:

Hypotenus $OM$ - allmän;

Ben $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ efter villkor (trots allt är punkten $M$ lika långt från vinkelns sidor);

De återstående benen är också lika, eftersom av Pythagoras sats $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Därför har trianglarna $\vartriangel OM((H)_(1))$ och $\vartriangel OM((H)_(2))$ på tre sidor. Speciellt är deras vinklar lika: $\vinkel MO((H)_(1))=\vinkel MO((H)_(2))$. Och detta betyder bara att $OM$ är en bisektor.

För att avsluta beviset markerar vi de resulterande lika vinklarna med röda bågar:
Bisektaren delar vinkeln $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ i två lika stora

Som du kan se, inget komplicerat. Vi har bevisat att halveringslinjen för en vinkel är platsen för punkter som är lika långt från sidorna av denna vinkel.

Nu när vi mer eller mindre har bestämt oss för terminologin är det dags att gå till nästa nivå. I nästa lektion kommer vi att titta på mer komplexa egenskaper hos bisektrisen och lära oss hur man använder dem för att lösa verkliga problem.

I den här lektionen kommer vi att påminna oss om begreppet en vinkelhalveringslinje, formulera och bevisa direkta och inversa satser om egenskaperna hos en vinkelhalveringslinje, och generalisera dem. Låt oss lösa ett problem där vi, förutom fakta om bisektrisen, tillämpar andra geometriska fakta.

Ämne: Cirkel

Lektion: Egenskaper för en vinkelhalveringslinje. Uppgifter

Triangeln är den centrala figuren i all geometri, och det sägs skämtsamt att den är outtömlig, som en atom. Dess egenskaper är många, intressanta, underhållande. Vi tittar på några av dessa egenskaper.

Varje triangel är först och främst tre vinklar och tre segment (se fig. 1).

Ris. 1

Betrakta en vinkel med vertex A och sidorna B och C-vinkel.

I vilken vinkel som helst, inklusive vinkeln på en triangel, kan du rita en bisektrik - det vill säga en rät linje som delar vinkeln på mitten (se fig. 2).

Ris. 2

Låt oss överväga egenskaperna hos en punkt som ligger på bisektrisen av en vinkel (se fig. 3).

Betrakta punkten M som ligger på vinkelns bisektrik.

Kom ihåg att avståndet från en punkt till en linje är längden på vinkelrät ritat från denna punkt till linjen.

Ris. 3

Uppenbarligen, om vi tar en punkt som inte ligger på bisekturen, kommer avstånden från denna punkt till vinkelns sidor att vara olika. Avståndet från punkt M till vinkelns sidor är detsamma.

Sats

Varje punkt i bisektrisen för en outvecklad vinkel är lika långt från vinkelns sidor, det vill säga avstånden från punkten M till AC och till BC för vinkelns sidor är lika.

Vinkeln är given, dess bisektrik är AL, punkt M ligger på bisektrisen (se fig. 4).

Bevisa det .

Ris. 4

Bevis:

Tänk på trianglar och . Dessa är räta trianglar, och de är lika, eftersom de har en gemensam hypotenusa AM, och vinklarna är lika, eftersom AL är vinkelns bisektris. Således är räta trianglar lika i hypotenusa och spetsig vinkel, det följer att , vilket är vad som behövde bevisas. Således är en punkt på bisektrisen av en vinkel på samma avstånd från sidorna av den vinkeln.

Den omvända satsen är sann.

Sats

Om en punkt är lika långt från sidorna av en outvecklad vinkel, så ligger den på sin bisektrik.

En outvecklad vinkel ges, punkt M, så att avståndet från den till vinkelns sidor är detsamma.

Bevisa att punkten M ligger på vinkelns bisektrik (se fig. 5).

Ris. 5

Bevis:

Avståndet från en punkt till en linje är längden på vinkelrät. Från punkt M ritar vi vinkelräta MK till sidan AB och MR till sidan AC.

Tänk på trianglar och . Dessa är räta trianglar, och de är lika, eftersom de har en gemensam hypotenusa AM, är benen MK och MR lika tillstånd. Således är räta trianglar lika i hypotenusa och ben. Från trianglarnas likhet följer likheten mellan de motsvarande elementen lika vinklar ligger mittemot lika sidor, alltså, Därför ligger punkt M på bisektrisen för den givna vinkeln.

Ibland kombineras de direkta och omvända satserna enligt följande:

Sats

En punkt är lika långt från sidorna av en vinkel om och bara om den ligger på bisektrisen av denna vinkel.

Halvledspunkternas ekvidistans från sidorna av en vinkel används ofta i olika problem.

Problem nr 674 från Atanasyans lärobok, geometri, årskurs 7-9:

Från punkt M av bisektrisen för en outvecklad vinkel, dras vinkelräta MA och MB till sidorna av denna vinkel (se fig. 6). Bevisa det .

Givet: vinkel, bisektris OM, vinkelräta MA och MB till vinkelns sidor.

Ris. 6

Bevisa det:

Bevis:

Enligt den direkta satsen är punkten M på samma avstånd från vinkelns sidor, eftersom den tillståndsmässigt ligger på sin bisektrik. .

Betrakta räta trianglar och (se fig. 7). De har en gemensam hypotenusa OM, benen MA och MB är lika, som vi bevisade tidigare. Alltså två rektangulära

Ris. 7

trianglar är lika i ben och hypotenusa. Från trianglarnas likhet följer likheten mellan deras motsvarande element, därav vinklarnas likhet och jämlikhet mellan andra ben.

Av likheten mellan benen OA och OB följer att triangeln är likbent, och AB är dess bas. Den räta linjen OM är bisektrisen av en triangel. Enligt egenskapen hos en likbent triangel är denna bisektrik också en höjd, vilket innebär att linjerna OM och AB skär varandra i räta vinklar, vilket är det som behövde bevisas.

Så vi undersökte de direkta och omvända satserna om egenskapen hos en punkt som ligger på bisektrisen av en vinkel, generaliserade dem och löste problemet med hjälp av olika geometriska fakta, inklusive denna sats.

Bibliografi

Alexandrov A.D. och andra Geometri, 8:e klass. - M.: Utbildning, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8:e klass. - M.: Utbildning, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8:e klass. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Bymath.net().
Oldskola1.narod.ru ().

Läxa

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. och andra Geometry, 7-9, nr 676-678, art. 180.

I den här lektionen kommer vi att titta i detalj på egenskaperna hos punkter som ligger på en vinkels bisektrik och punkter som ligger på den vinkelräta bisekturen till ett segment.

Ämne: Cirkel

Lektion: Egenskaper för en vinkels bisektrik och den vinkelräta halveringslinjen för ett segment

Låt oss överväga egenskaperna hos en punkt som ligger på bisektrisen av en vinkel (se fig. 1).

Ris. 1

Vinkeln är given, dess bisektrik är AL, punkt M ligger på bisektrisen.

Sats:

Om punkten M ligger på bisektrisen av en vinkel, så är den lika långt från vinkelns sidor, det vill säga avstånden från punkt M till AC och till BC för vinkelns sidor är lika.

Bevis:

Tänk på trianglar och . Dessa är räta trianglar och de är lika eftersom... har en gemensam hypotenusa AM, och vinklarna är lika, eftersom AL är vinkelns bisektris. Således är räta trianglar lika i hypotenusa och spetsig vinkel, det följer att , vilket är vad som behövde bevisas. Således är en punkt på bisektrisen av en vinkel på samma avstånd från sidorna av den vinkeln.

Den omvända satsen är sann.

Om en punkt är lika långt från sidorna av en outvecklad vinkel, så ligger den på sin bisektrik.

Ris. 2

En outvecklad vinkel ges, punkt M, så att avståndet från den till vinkelns sidor är detsamma (se fig. 2).

Bevisa att punkten M ligger på vinkelns bisektrik.

Bevis:

Avståndet från en punkt till en linje är längden på vinkelrät. Från punkt M ritar vi vinkelräta MK till sidan AB och MR till sidan AC.

Tänk på trianglar och . Dessa är räta trianglar och de är lika eftersom... har en gemensam hypotenusa AM, ben MK och MR är lika tillstånd. Således är räta trianglar lika i hypotenusa och ben. Av trianglarnas likhet följer lika med de motsvarande elementen lika vinklar ligger mitt emot lika sidor, alltså Därför ligger punkt M på bisektrisen för den givna vinkeln.

De direkta och omvända satserna kan kombineras.

Sats

Bisektrisen för en outvecklad vinkel är platsen för punkter på samma avstånd från sidorna av en given vinkel.

Sats

Bisektorerna AA 1, BB 1, СС 1 i triangeln skär varandra i en punkt O (se fig. 3).

Ris. 3

Bevis:

Låt oss först betrakta två bisektrar BB 1 och CC 1. De skär varandra, skärningspunkten O finns. För att bevisa detta, låt oss anta motsatsen - även om dessa bisektrar inte skär varandra, i så fall är de parallella. Då är den räta linjen BC en sekant, och summan av vinklarna , detta motsäger det faktum att i hela triangeln är summan av vinklarna .

Så, punkt O i skärningspunkten mellan två bisektrar existerar. Låt oss överväga dess egenskaper:

Punkt O ligger på vinkelns bisektrik, vilket betyder att den är lika långt från dess sidor BA och BC. Om OK är vinkelrät mot BC, är OL vinkelrät mot BA, då är längderna på dessa vinkelräta - . Också punkt O ligger på vinkelns bisektris och är lika långt från dess sidor CB och CA, vinkelräta OM och OK är lika.

Vi fick följande likheter:

, det vill säga alla tre vinkelräta vinkelräta från punkt O till triangelns sidor är lika med varandra.

Vi är intresserade av jämlikheten mellan vinkelräta OL och OM. Denna likhet säger att punkt O är lika långt från vinkelns sidor, det följer att den ligger på sin bisekt AA 1.

Således har vi bevisat att alla tre halvledarna i en triangel skär varandra i en punkt.

Låt oss gå vidare med att betrakta segmentet, dess vinkelräta bisektrik och egenskaperna för den punkt som ligger på den vinkelräta halveringslinjen.

Ett segment AB ges, p är den vinkelräta bisektaren. Detta betyder att den räta linjen p går genom mitten av segment AB och är vinkelrät mot det.

Sats

Ris. 4

Varje punkt som ligger på den vinkelräta halveringslinjen är lika långt från segmentets ändar (se fig. 4).

Bevisa det

Bevis:

Tänk på trianglar och . De är rektangulära och lika, eftersom. har ett gemensamt ben OM, och benen AO och OB är lika tillstånd, alltså har vi två räta trianglar, lika i två ben. Därav följer att trianglarnas hypotenuser också är lika, det vill säga vad som krävdes för att bevisas.

Observera att segmentet AB är ett vanligt ackord för många cirklar.

Till exempel, den första cirkeln med ett centrum i punkten M och radien MA och MB; andra cirkel med centrum i punkt N, radie NA och NB.

Således har vi bevisat att om en punkt ligger på den vinkelräta bisektrisen av ett segment, är den på samma avstånd från segmentets ändar (se fig. 5).

Ris. 5

Den omvända satsen är sann.

Sats

Om en viss punkt M är lika långt från ändarna av ett segment, så ligger den på den vinkelräta bisektrisen till detta segment.

Givet ett segment AB, en vinkelrät bisektris till det p, en punkt M på samma avstånd från segmentets ändar (se fig. 6).

Bevisa att punkten M ligger på den vinkelräta halveringslinjen av segmentet.

Ris. 6

Bevis:

Tänk på en triangel. Det är likbent, enligt villkoret. Betrakta medianen för en triangel: punkt O är mitten av basen AB, OM är medianen. Enligt egenskapen hos en likbent triangel är medianen som dras till dess bas både en höjd och en bisektrik. Det följer att . Men linjen p är också vinkelrät mot AB. Vi vet att det i punkt O är möjligt att rita en enda vinkelrät mot segmentet AB, vilket betyder att linjerna OM och p sammanfaller, det följer att punkten M tillhör den räta linjen p, vilket är vad vi behövde bevisa.

De direkta och omvända satserna kan generaliseras.

Sats

Den vinkelräta bisektrisen för ett segment är platsen för punkter på samma avstånd från dess ändar.

En triangel består som bekant av tre segment, vilket betyder att tre vinkelräta bisektrar kan ritas i den. Det visar sig att de skär varandra vid ett tillfälle.

De vinkelräta halvledarna i en triangel skär varandra i en punkt.

En triangel ges. Vinkelrätter till dess sidor: P 1 till sidan BC, P 2 till sidan AC, P 3 till sidan AB (se fig. 7).

Bevisa att vinkelräta P 1, P 2 och P 3 skär varandra i punkt O.

Vet du vad mittpunkten av ett segment är? Självklart gör du det. Hur är det med mitten av cirkeln? Samma.

Vad är mittpunkten av en vinkel?

Man kan säga att detta inte händer. Men varför kan ett segment delas i hälften, men en vinkel inte? Det är fullt möjligt - bara inte en prick, men... linje.

Kommer du ihåg skämtet: en bisektor är en råtta som springer runt hörnen och delar hörnet på mitten. Så den verkliga definitionen av en bisektrik är väldigt lik det här skämtet:

Bisektor av en triangel- detta är halveringslinjen av en vinkel i en triangel som förbinder denna vinkels spets med en punkt på motsatt sida.

En gång i tiden upptäckte forntida astronomer och matematiker många intressanta egenskaper hos bisektorn. Denna kunskap har avsevärt förenklat människors liv.

Den första kunskapen som kommer att hjälpa till med detta är...

Förresten, kommer du ihåg alla dessa termer? Kommer du ihåg hur de skiljer sig från varandra? Nej? Inte läskigt. Låt oss ta reda på det nu.

Basen av en likbent triangel- det här är sidan som inte är lika med någon annan. Titta på bilden, vilken sida tror du att det här är? Det stämmer - det här är sidan.
Medianen är en linje som dras från toppen av en triangel och delar den motsatta sidan (det är det igen) på mitten. Lägg märke till att vi inte säger "Median av en likbent triangel." Vet du varför? Eftersom en median dragen från en vertex i en triangel halverar den motsatta sidan i NÅGON triangel.
Höjd är en linje som dras från toppen och vinkelrätt mot basen. Du märkte? Vi talar återigen om vilken triangel som helst, inte bara en likbent. Höjden i ALLA triangel är alltid vinkelrät mot basen.

Så, har du kommit på det? Nästan.

För att förstå ännu bättre och för alltid komma ihåg vad en bisektrik, median och höjd är, behöver du dem jämföra med varandra och förstå hur de är lika och hur de skiljer sig från varandra.

Samtidigt, för att komma ihåg bättre, är det bättre att beskriva allt på "mänskligt språk".

Då kommer du lätt att arbeta på matematikens språk, men först förstår du inte detta språk och du måste förstå allt på ditt eget språk.

Så hur är de lika?

Bisektrisen, medianen och höjden - de "kommer alla ut" från triangelns spets och vilar på motsatt sida och "gör något" antingen med vinkeln från vilken de kommer ut eller med motsatt sida.

Jag tror att det är enkelt, eller hur?

Hur skiljer de sig åt?

Bisektrisen delar vinkeln från vilken den kommer ut på mitten.
Medianen delar den motsatta sidan på mitten.
Höjden är alltid vinkelrät mot motsatt sida.

Det är allt. Det är lätt att förstå. Och när du väl förstår kan du komma ihåg.

Nu nästa fråga.

Varför, i fallet med en likbent triangel, visar sig bisekturen vara både medianen och höjden?

Du kan helt enkelt titta på figuren och se till att medianen delar sig i två absolut lika trianglar.

Det är allt! Men matematiker gillar inte att tro sina ögon. De måste bevisa allt.

Skrämmande ord?

Inget sådant - det är enkelt! Titta: båda har lika sidor och de har i allmänhet en gemensam sida och. (- bisektris!) Och så visar det sig att två trianglar har två lika sidor och en vinkel mellan sig.

Vi minns det första tecknet på trianglars likhet (om du inte kommer ihåg, titta i ämnet) och drar slutsatsen att, och därför = och.

Det här är redan bra - det betyder att det visade sig vara medianen.

Men vad är det?

Låt oss titta på bilden - . Och vi fick det. Så också! Äntligen, hurra! Och.

Tyckte du att detta bevis var lite svårt? Titta på bilden - två identiska trianglar talar för sig själva.

I alla fall, kom ihåg:

Nu är det svårare: vi räknar vinkel mellan bisektrar i valfri triangel! Var inte rädd, det är inte så knepigt. Titta på bilden:

Låt oss räkna det. Kommer du ihåg det summan av vinklarna i en triangel är?

Låt oss tillämpa detta fantastiska faktum.

Å ena sidan, från:

Det är.

Låt oss nu titta på:

Men bisektorer, bisektorer!

Låt oss komma ihåg om:

Nu genom bokstäverna

Är det inte förvånande?

Det visade sig att vinkeln mellan två vinklars halvled beror endast på den tredje vinkeln!

Tja, vi tittade på två bisektorer. Tänk om de är tre??!! Kommer de alla att skära varandra vid ett tillfälle?

Eller blir det så här?

Hur tänker du? Så matematiker tänkte och tänkte och bevisade:

Är inte det bra?

Vill du veta varför detta händer?

Gå till nästa nivå - du är redo att erövra nya höjder av kunskap om bisektorn!

BISEKTRIS. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Kommer du ihåg vad en bisektrik är?

En bisektrik är en linje som halverar en vinkel.

Stötte du på en bisektrik i problemet? Försök att applicera en (eller ibland flera) av följande fantastiska egenskaper.

1. Halvled i en likbent triangel.

Är du inte rädd för ordet "sats"? Om du är rädd, då är det förgäves. Matematiker är vana vid att kalla ett teorem vilket påstående som helst som på något sätt kan härledas från andra enklare påståenden.

Så, uppmärksamhet, sats!

Låt oss bevisa detta teorem, det vill säga låt oss förstå varför detta händer? Titta på de likbenta.

Låt oss titta noga på dem. Och då får vi se det

- allmänt.

Och detta betyder (kom snabbt ihåg det första tecknet på trianglars likhet!) det.

Än sen då? Vill du säga det? Och faktum är att vi ännu inte har tittat på de tredje sidorna och de återstående vinklarna i dessa trianglar.

Nu får vi se. En gång, sedan absolut, och även därtill, .

Så det visade sig

delade sidan på mitten, det vill säga det visade sig vara medianen
, vilket betyder att de båda är lika (titta igen på bilden).

Så det blev en bisektor och en höjd också!

Hurra! Vi bevisade satsen. Men gissa vad, det är inte allt. Också trogen omvänd sats:

Bevis? Är du verkligen intresserad? Läs nästa teorinivå!

Och om du inte är intresserad, då kom ihåg bestämt:

Varför komma ihåg detta bestämt? Hur kan detta hjälpa? Men föreställ dig att du har en uppgift:

Given: .

Hitta: .

Du inser genast, bisector och, se och se, hon delade sidan på mitten! (efter villkor...). Om du kommer ihåg att detta händer endast i en likbent triangel drar du en slutsats, vilket innebär att du skriver svaret: . Bra, eller hur? Naturligtvis kommer inte alla uppgifter att vara så lätta, men kunskap kommer definitivt att hjälpa!

Och nu nästa fastighet. Redo?

2. En vinkels bisektrik är platsen för punkter på samma avstånd från vinkelns sidor.

Rädd? Det är verkligen ingen stor grej. Lata matematiker gömde fyra på två rader. Så, vad betyder det, "Bisector - punkters plats"? Det innebär att de avrättas omedelbart tvåuttalanden:

Om en punkt ligger på en bisektrik är avstånden från den till vinkelns sidor lika.
Om vid något tillfälle avstånden till vinkelns sidor är lika, då denna punkt Nödvändigtvis ligger på bisektorn.

Ser du skillnaden mellan påstående 1 och 2? Om inte så mycket, kom ihåg hattmakaren från "Alice i Underlandet": "Så vad ska du säga mer, som om "Jag ser vad jag äter" och "Jag äter vad jag ser" är samma sak!"

Så vi måste bevisa påståendena 1 och 2, och sedan påståendet: "en bisektrik är platsen för punkter på samma avstånd från sidorna av en vinkel" kommer att bevisas!

Varför är 1 sant?

Låt oss ta vilken punkt som helst på bisektrisen och kalla den .

Låt oss släppa vinkelräta från denna punkt till vinkelns sidor.

Och nu ... gör dig redo att komma ihåg tecknen på likhet i räta trianglar! Om du har glömt dem, ta en titt på avsnittet.

Så...två räta trianglar: och. De har:

Allmän hypotenusa.
(eftersom det är en bisektor!)

Detta betyder - med vinkel och hypotenusa. Därför är motsvarande ben i dessa trianglar lika! Det är.

Vi bevisade att punkten är lika (eller lika) långt från vinkelns sidor. Punkt 1 behandlas. Låt oss nu gå vidare till punkt 2.

Varför är 2 sant?

Och låt oss koppla ihop prickarna och.

Det betyder att den ligger på bisektrisen!

Det är allt!

Hur kan allt detta tillämpas när man löser problem? Till exempel, i problem finns det ofta följande fras: "En cirkel berör sidorna av en vinkel...". Tja, du måste hitta något.

Då inser man det snabbt

Och du kan använda jämlikhet.

3. Tre bisektrar i en triangel skär varandra i en punkt

Från egenskapen för en bisektrik att vara platsen för punkter på samma avstånd från sidorna av en vinkel, följer följande uttalande:

Hur exakt kommer det ut? Men titta: två bisektorer kommer definitivt att skära varandra, eller hur?

Och den tredje bisektorn kunde se ut så här:

Men i verkligheten är allt mycket bättre!

Låt oss titta på skärningspunkten för två bisektrar. Låt oss kalla det .

Vad använde vi här båda gångerna? Ja paragraf 1, självklart! Om en punkt ligger på en bisektrik är den lika långt från vinkelns sidor.

Och så blev det.

Men titta noga på dessa två likheter! Det följer ju av dem att och därför .

Och nu ska det spela in punkt 2: om avstånden till vinkelns sidor är lika, så ligger punkten på bisektrisen...vilken vinkel? Titta på bilden igen:

och är avstånden till vinkelns sidor, och de är lika, vilket betyder att punkten ligger på vinkelns bisektrik. Den tredje bisektorn passerade genom samma punkt! Alla tre halvledarna skär varandra vid en punkt! Och som en extra present -

Radier inskrivet cirklar.

(För att vara säker, titta på ett annat ämne).

Nåväl, nu kommer du aldrig att glömma:

Skärningspunkten mellan halvledarna i en triangel är mitten av cirkeln som är inskriven i den.

Låt oss gå vidare till nästa fastighet... Oj, bisektorn har många egenskaper, eller hur? Och detta är bra, för ju fler egenskaper, desto fler verktyg för att lösa bisektorproblem.

4. Bisektris och parallellitet, bisektris av intilliggande vinklar

Att bisektrisen delar vinkeln på mitten leder i vissa fall till helt oväntade resultat. Till exempel,

Fall 1

Bra, eller hur? Låt oss förstå varför det är så.

Å ena sidan ritar vi en bisektor!

Men å andra sidan finns det vinklar som ligger på tvären (kom ihåg temat).

Och nu visar det sig att; kasta ut mitten: ! - likbent!

Fall 2

Föreställ dig en triangel (eller titta på bilden)

Låt oss fortsätta sidan bortom punkten. Nu har vi två vinklar:

- inre hörn
- det yttre hörnet är utanför, eller hur?

Så, och nu ville någon rita inte en, utan två bisektorer på en gång: både för och för. Vad kommer att hända?

Kommer det att lösa sig? rektangulär!

Överraskande nog är det precis så.

Låt oss ta reda på det.

Vad tror du beloppet är?

Naturligtvis, - trots allt gör de alla tillsammans en sådan vinkel att det visar sig vara en rak linje.

Kom nu ihåg att och är bisektorer och se att inuti vinkeln finns det exakt halv från summan av alla fyra vinklarna: och - - det vill säga exakt. Du kan också skriva det som en ekvation:

Så otroligt men sant:

Vinkeln mellan halvledarna för de inre och yttre vinklarna i en triangel är lika.

Fall 3

Ser du att allt är detsamma här som för de inre och yttre hörnen?

Eller låt oss tänka igen varför detta händer?

Återigen, vad gäller angränsande hörn,

(som motsvarar parallella baser).

Och återigen gör de upp exakt hälften från summan

Slutsats: Om problemet innehåller bisektorer intilliggande vinklar eller bisektorer relevant vinklar av ett parallellogram eller trapets, då i detta problem säkert en rätvinklig triangel är inblandad, eller kanske till och med en hel rektangel.

5. Bisektor och motsatt sida

Det visar sig att halveringslinjen för en vinkel i en triangel delar den motsatta sidan inte bara på något sätt, utan på ett speciellt och mycket intressant sätt:

Det är:

Ett fantastiskt faktum, eller hur?

Nu ska vi bevisa detta faktum, men gör dig redo: det kommer att bli lite svårare än tidigare.

Återigen - utgång till "rymden" - ytterligare formation!

Låt oss gå direkt.

För vad? Vi får se nu.

Låt oss fortsätta med bisektrisen tills den skär linjen.

Är detta en bekant bild? Ja, ja, ja, exakt samma som i punkt 4, fall 1 - det visar sig att (- bisektris)

Ligger på tvären

Så det också.

Låt oss nu titta på trianglarna och.

Vad kan du säga om dem?

De är lika. Tja, ja, deras vinklar är lika med vertikala. Så i två hörn.

Nu har vi rätt att skriva de berörda parternas relationer.

Och nu kortfattat:

åh! Påminner mig om något, eller hur? Var det inte det vi ville bevisa? Ja, ja, precis det!

Du ser hur stor "rymdpromenaden" visade sig vara - konstruktionen av en ytterligare rak linje - utan den hade ingenting hänt! Och så har vi bevisat det

Nu kan du säkert använda den! Låt oss titta på ytterligare en egenskap hos bisektrarna för vinklarna i en triangel - var inte orolig, nu är den svåraste delen över - det kommer att bli lättare.

Det förstår vi

Sats 1:

Sats 2:

Sats 3:

Sats 4:

Sats 5:

Sats 6:

Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!

Nu det viktigaste.

Du har förstått teorin om detta ämne. Och jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För att du har klarat Unified State Examen, för att du gick in på college med en budget och, VIKTIGAST, för livet.

Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?

FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.

Du kommer behöva lösa problem mot tiden.

Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.

Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.

För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln -
Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - Köp en lärobok - 899 RUR

Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under HELA webbplatsens liv.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Stanna bara inte vid teorin.

"Förstå" och "Jag kan lösa" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös dem!

Bisektor av en triangel – ett segment av halveringslinjen för en vinkel i en triangel, inneslutet mellan triangelns spets och den motsatta sidan.

Egenskaper hos bisektorn

1. Halvled i en triangel halverar vinkeln.

2. Halslinjen för en vinkel i en triangel delar den motsatta sidan i ett förhållande som är lika med förhållandet mellan de två intilliggande sidorna ()

3. Halvledspunkterna för en vinkel i en triangel är lika långt från sidorna av den vinkeln.

4. Bisektorerna för de inre vinklarna i en triangel skär varandra i en punkt - mitten av cirkeln inskriven i denna triangel.

Några formler relaterade till bisektrisen i en triangel

(bevis på formel – )
, Var
- längden på bisektrisen dragen åt sidan,
- sidorna av triangeln är motsatta hörnen, respektive,
- längden på segmenten i vilka bisektrisen delar sidan,

Jag inbjuder dig att titta video tutorial, vilket visar tillämpningen av alla ovanstående egenskaper hos bisekturen.

Uppgifter som tas upp i videon:
1. I triangel ABC med sidor AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, ritas en bisektrik VM. Hitta längden på segmenten AM och MC
2. Bisektrisen för den inre vinkeln vid spets A och bisektrisen av den yttre vinkeln vid spetsen C i triangeln ABC skär i punkten M. Hitta vinkeln BMC om vinkeln B är 40 grader, vinkeln C är 80 grader
3. Hitta radien för en cirkel inskriven i en triangel, med tanke på sidorna av kvadratiska celler lika med 1