Funcțiile unei variabile complexe.
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Acest articol deschide o serie de lecții în care voi privi sarcini tipice asociat cu teoria funcţiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să ai cunostinte de baza despre numerele complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, este suficient să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilități de găsit derivate parțiale de ordinul doi. Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins cât de des apar...

Tema pe care începem să o analizăm nu este deosebit de dificilă, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, care este derivată de mine empiric. Citește mai departe!

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile:

Funcția unei variabile este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și o singură valoare a funcției . Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este dată în mod similar:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe este regula ca toata lumea cuprinzător valoarea variabilei independente (din domeniu) corespunde uneia si numai una cuprinzător valoarea functiei. În teorie, sunt luate în considerare și funcții multivalorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate, mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este funcția unei variabile complexe?

Principala diferență este că numerele sunt complexe. Nu sunt ironic. Dintre astfel de întrebări cad adesea într-o stupoare, la finalul articolului voi spune o poveste mișto. La lecție Numere complexe pentru manechini am considerat un număr complex sub forma . De acum litera „Z” a devenit variabil, atunci o vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valabil valorile. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Din Acest lucru Următorul punct urmează logic:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală functii .
Funcția este numită parte imaginară functii .

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica în sfârșit totul, să ne uităm la exemple practice:

Exemplul 1

Decizie: Variabila independentă „z”, după cum vă amintiți, este scrisă ca , prin urmare:

(1) Înlocuit în funcția originală.

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de multiplicare redusă. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: prima rescrie a termenilor , în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii, unde există (al doilea grup). Trebuie remarcat faptul că nu este necesar să amestecați termenii și această etapă poate fi sărit (de fapt, făcând-o verbal).

(5) Al doilea grup este scos din paranteze.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
este partea reală a funcției.
este partea imaginară a funcției.

Care sunt aceste funcții? Cele mai obișnuite funcții ale două variabile din care se pot găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă - vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul problemei rezolvate poate fi scris astfel: înlocuim în funcția originală, efectuăm simplificări și împărțim toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară).

Exemplul 2

Găsiți partea reală și imaginară a unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Înainte să te arunci în luptă pe planul complex cu curenți de aer, lasă-mă să-ți ofer cel mai mult sfat important pe această temă:

AI GRIJA! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii atent mai mult ca oricând! Amintiți-vă că, extindeți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea semnului. Nu te grabi!

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Acum cub. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează foarte mult procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu unul bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată exact în același mod ca și în cazul unei funcții a unei variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții ale unei variabile complexe, nu există nicio derivată și trebuie să vă dați seama este diferențiabilă o funcție sau alta. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Considerăm o funcție a unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă, este necesar și suficient ca:

1) Pentru a exista derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcției unei variabile complexe, se folosește în mod tradițional o altă versiune a notației: .

2) Pentru a efectua așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Exemplul 3

Decizie descompuse în trei etape succesive:

1) Găsiți părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost analizată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

Prin urmare:

este partea imaginară a funcției.

Mă opresc la încă una punct tehnic: în ce ordine scrieți termeni în părți reale și imaginare? Da, practic nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , și imaginar - așa: .

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Fără îndoială, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă.

3) Aflați derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară în diferențiere este considerată o constantă.

Răspuns: - parte reală este partea imaginară.
Sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, .

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt, desigur, folosite mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum se află funcția unei variabile complexe?

Derivatul poate fi găsit folosind formula:

În acest caz:

Prin urmare

Este necesar să rezolvați problema inversă - în expresia rezultată, trebuie să izolați . Pentru a face acest lucru, este necesar în termeni și pentru a scoate din paranteze:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de efectuat; pentru verificare, este întotdeauna mai bine să luați expresia și pe ciornă sau să deschideți verbal parantezele înapoi, asigurându-vă că iese exact.

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , De aceea:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

Soluție rapidăși eșantion exemplar finisaje la sfârșitul lecției.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? Teoretic, de cele mai multe ori nu sunt îndeplinite decât sunt. Dar în exemple practice Nu-mi amintesc un caz în care nu au fost îndeplinite =) Astfel, dacă derivatele tale parțiale „nu au convergit”, atunci cu o probabilitate foarte mare putem spune că ai greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. calculati

Decizie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la sfârșit se adaugă un nou mod: găsirea derivatei într-un punct. Pentru cub, formula necesară a fost deja derivată:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atentie si iar atentie!

De atunci:


Prin urmare:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Verificarea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă:

Calculați valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, deci un exemplu de consolidat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calculati .

Decizie și eșantion de finisare la sfârșitul lecției.

În teoria analizei complexe sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponențial, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și este cu adevărat interesant! Chiar vreau să vă spun, dar aici, tocmai s-a întâmplat, nu o carte de referință sau un manual, ci o soluție, așa că voi lua în considerare aceeași sarcină cu câteva funcții comune.

În primul rând despre așa-numitul Formule Euler:

Pentru oricine valabil numere, sunt valabile următoarele formule:

De asemenea, îl puteți copia în caiet ca referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, scriu și ei caz special cu un indicator minus. Parametrul nu trebuie să fie o singură literă, poate fi o expresie complexă, o funcție, important este doar să ia numai valabil valorile. De fapt, o vom vedea chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivată.

Decizie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se evidențieze părțile reale și imaginare ale funcției. Voi oferi o soluție detaliată și voi comenta fiecare pas de mai jos:

De atunci:

(1) Înlocuiește „z”.

(2) După înlocuire, este necesară separarea părților reale și imaginare primul ca exponent expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, scoțând unitatea imaginară dintre paranteze.

(4) Utilizare actiune scolara cu grade.

(5) Pentru multiplicator, folosim formula Euler , în timp ce .

(6) Deschidem parantezele, ca rezultat:

este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Alte acțiuni sunt standard, să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Așa să fie, nu vom găsi derivata.

Decizie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există foarte Puncte importante, De aceea Primul stagiu Voi comenta din nou pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuim în loc de „z”.

(2) În primul rând, selectați părțile reale și imaginare în interiorul sinusului. În acest scop, deschideți parantezele.

(3) Folosim formula , în timp ce .

(4) Utilizare paritatea cosinusului hiperbolic: și ciudăţenie hiperbolice: . Hiperbolice, deși nu din această lume, dar în multe privințe seamănă cu funcții trigonometrice similare.

În cele din urmă:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și în niciun caz nu trebuie să o pierdem! Pentru o ilustrare vizuală, rezultatul obținut mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Cu cosinus, doamnelor și domnilor, înțelegem singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am luat în mod deliberat exemple mai complicate, pentru că toată lumea se poate descurca cu ceva de genul alunelor decojite. În același timp, antrenează-ți atenția! Spărgătorul de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi lua în considerare încă unul exemplu interesant când argumentul complex este la numitor. Ne-am întâlnit de câteva ori în practică, să analizăm ceva simplu. Oh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Decizie: Din nou, este necesar să se separe părțile reale și imaginare ale funcției.
Daca atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „Z” este la numitor?

Totul este simplu - standardul va ajuta metodă de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechini. Să ne amintim formula școlii. La numitor avem deja , deci expresia conjugată va fi . Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu: