Derivat în limbaj simplu. Derivată de funcție

Compuneți raportul și calculați limita.

Unde a făcut tabel de derivate și reguli de diferențiere? Datorită unei singure limită. Pare a fi magie, dar în realitate - delectare și nicio fraudă. La lecție Ce este un derivat? Am început să iau în considerare exemple specifice, în care, folosind definiția, am găsit derivatele unei funcții liniare și pătratice. În scopul încălzirii cognitive, vom continua să deranjăm tabel de derivate, perfecționând algoritmul și soluțiile tehnice:

Exemplul 1

De fapt, se cere să se dovedească un caz special al derivatei unei funcții de putere, care apare de obicei în tabel: .

Decizie formalizat tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu o derivată într-un punct.

Considera niste(specific) punct aparținând domenii o funcție care are o derivată. Setați incrementul în acest moment (desigur, nu dincoloo/o -I)și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm limita:

Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard considerată încă din secolul I î.Hr. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia adjunctă :

Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.

Deoarece ORICE punct al intervalului poate fi ales ca, atunci, prin înlocuirea , obținem:

Răspuns

Încă o dată, să ne bucurăm de logaritmi:

Exemplul 2

Găsiți derivata funcției folosind definiția derivatei

Decizie: să luăm în considerare o abordare diferită a promovării aceleiași sarcini. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de indicele de la începutul soluției și să folosești litera în loc de litera .

Considera arbitrar punct aparținând domenii funcția (interval) și setați incrementul în ea. Și aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.

Apoi, incrementul corespunzător funcției este:

Să găsim derivata:

Ușurința de proiectare este echilibrată de confuzia pe care o pot experimenta începătorii (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator viu, care se plimbă vesel pe coridorul muzeului. Adică, „x” este „ca o constantă”.

Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:

(1) Utilizați proprietatea logaritmului .

(2) În paranteze, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) La numitor, înmulțim artificial și împărțim cu „x” pentru a profita de el limita minunata , în timp ce ca infinitezimal iese în evidență.

Răspuns: prin definiția derivatului:

Sau pe scurt:

Îmi propun să construim independent încă două formule tabelare:

Exemplul 3

În acest caz, incrementul compilat este imediat convenabil pentru a se reduce la un numitor comun. Un eșantion aproximativ al temei la sfârșitul lecției (prima metodă).

Exemplul 3:Decizie : luați în considerare un punct , aparținând domeniului funcției . Setați incrementul în acest moment și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să găsim derivata într-un punct :

Din moment ce poti alege orice punct domeniul de aplicare al funcției , apoi și
Răspuns : prin definiţia derivatului

Exemplul 4

Găsiți derivată prin definiție

Și aici totul trebuie redus la limita minunata. Soluția este încadrată în a doua modalitate.

În mod similar, o serie de altele derivate tabulare. O listă completă poate fi găsită într-un manual școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtenholtz. Nu văd prea mult rost în rescrierea din cărți și dovezi ale regulilor de diferențiere - sunt generate și de formulă.

Exemplul 4:Decizie , Deținut , și setați un increment în el

Să găsim derivata:

Folosind limita minunată

Răspuns : a-prioriu

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții , folosind definiția derivatei

Decizie: Utilizați primul stil vizual. Să luăm în considerare un punct care aparține lui , să setăm incrementul argumentului în el. Apoi, incrementul corespunzător funcției este:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care ar trebui făcută o creștere. Luăm un punct (număr) și găsim valoarea funcției din el: , adică în funcție în loc de„x” trebuie înlocuit. Acum luăm și un număr foarte specific și, de asemenea, îl înlocuim în funcție în loc de"X": . Notăm diferența, în timp ce este necesar parantezezi complet.

Creșterea funcției compuse este benefic să simplificăm imediat. Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția limitei ulterioare.

Folosim formule, deschidem paranteze și reducem tot ce poate fi redus:

Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:

În cele din urmă:

Deoarece orice număr real poate fi ales ca calitate, facem înlocuirea și obținem .

Răspuns: a-prioriu.

În scopuri de verificare, găsim derivata folosind reguli și tabele de diferențiere:

Este întotdeauna util și plăcut să cunoști în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiezi mental sau pe o schiță funcția propusă într-un mod „rapid” chiar la începutul soluției.

Exemplul 6

Găsiți derivata unei funcții după definiția derivatei

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rezultatul se află la suprafață:

Exemplul 6:Decizie : luați în considerare un punct , Deținut , și setați incrementul argumentului din acesta . Apoi, incrementul corespunzător funcției este:

Să calculăm derivata:

Prin urmare:
Pentru că ca orice număr real poate fi ales și
Răspuns : a-prioriu.

Să revenim la stilul #2:

Exemplul 7

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Decizie: luați în considerare un punct arbitrar aparținând lui , setați incrementul argumentului în el și compuneți incrementul funcției:

Să găsim derivata:

(1) Utilizare formula trigonometrică .

(2) Sub sinus deschidem parantezele, sub cosinus prezentăm termeni similari.

(3) Sub sinus reducem termenii, sub cosinus împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Din cauza ciudățeniei sinusului, scoatem „minus”. Sub cosinus, indicăm că termenul .

(5) Înmulțim artificial numitorul de utilizat prima limită minunată. Astfel, incertitudinea este eliminată, pieptănăm rezultatul.

Răspuns: a-prioriu

După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe complexitatea limitei în sine + o ușoară originalitate a ambalajului. În practică, ambele metode de proiectare sunt întâlnite, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Ele sunt echivalente, dar totuși, în impresia mea subiectivă, este mai convenabil pentru manechini să rămână la prima opțiune cu „X zero”.

Exemplul 8

Folosind definiția, găsiți derivata funcției

Exemplul 8:Decizie : luați în considerare un punct arbitrar , Deținut , să setăm un increment în el și faceți o creștere a funcției:

Să găsim derivata:

Folosim formula trigonometrică și prima limită remarcabilă:

Răspuns : a-prioriu

Să analizăm o versiune mai rară a problemei:

Exemplul 9

Găsiți derivata unei funcții într-un punct folosind definiția unei derivate.

În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr

Să calculăm răspunsul în modul standard:

Decizie: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai simplă, deoarece formula consideră în schimb o anumită valoare.

Setăm un increment la punct și compunem incrementul corespunzător al funcției:

Calculați derivata într-un punct:

Folosim o formulă foarte rară pentru diferența de tangente si inca o data reduceti solutia la prima limită minunată:

Răspuns: prin definiţia derivatei la un punct.

Sarcina nu este atât de dificil de rezolvat și „în termeni generali” - este suficient să o înlocuiți cu sau pur și simplu, în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, desigur, nu obțineți un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10

Folosind definiția, găsiți derivata funcției la un punct (dintre care unul se poate dovedi infinit), despre care am vorbit deja în termeni generali despre lectie teoretica despre derivata.

Unele funcții definite în bucăți sunt, de asemenea, diferențiabile în punctele de „joncțiune” ale graficului, de exemplu, catdog are o derivată comună și o tangentă comună (abscisă) în punctul . Curbă, da diferențiabilă prin ! Cei care doresc pot verifica singuri acest lucru pe modelul exemplului tocmai rezolvat.

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-06-11

Definiție. Fie definită funcția $y = f(x) $ într-un interval care conține punctul $x_0 $ în interior. Să incrementăm $\Delta x $ la argument pentru a nu părăsi acest interval. Găsiți incrementul corespunzător al funcției $\Delta y $ (când treceți de la punctul $x_0 $ la punctul $x_0 + \Delta x $) și compuneți relația $\frac(\Delta y )(\Delta x) $. Dacă există o limită a acestei relații la $\Delta x \rightarrow 0 $, atunci limita indicată se numește funcţie derivată$y=f(x) $ în punctul $x_0 $ și notăm $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolul y este adesea folosit pentru a desemna derivata. Rețineți că y" = f(x) este o funcție nouă, dar asociată în mod natural cu funcția y = f(x), definită în toate punctele x în care există limita de mai sus. Această funcție se numește astfel: derivată a funcției y \u003d f (x).

Sensul geometric al derivatului constă din următoarele. Dacă o tangentă care nu este paralelă cu axa y poate fi desenată pe graficul funcției y \u003d f (x) într-un punct cu abscisa x \u003d a, atunci f (a) exprimă panta tangentei:
$k = f"(a)$

Deoarece $k = tg(a) $, egalitatea $f"(a) = tg(a) $ este adevărată.

Și acum interpretăm definiția derivatei în termeni de egalități aproximative. Fie funcția $y = f(x) $ să aibă o derivată într-un anumit punct $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Aceasta înseamnă că lângă punctul x, egalitatea aproximativă $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, adică $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Semnificația semnificativă a egalității aproximative obținute este următoarea: creșterea funcției este „aproape proporțională” cu creșterea argumentului, iar coeficientul de proporționalitate este valoarea derivatei la un punct dat x. De exemplu, pentru funcția $y = x^2 $ egalitatea aproximativă $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ este adevărată. Dacă analizăm cu atenție definiția derivatei, vom constata că aceasta conține un algoritm pentru găsirea acesteia.

Să o formulăm.

Cum să găsiți derivata funcției y \u003d f (x)?

1. Fixați valoarea $x $, găsiți $f(x) $
2. Incrementați argumentul $x $ $\Delta x $, mutați la un nou punct $x+ \Delta x $, găsiți $f(x+ \Delta x) $
3. Găsiți incrementul funcției: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Compuneți relația $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Calculați $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Această limită este derivata funcției la x.

Dacă funcția y = f(x) are o derivată în punctul x, atunci se numește derivabilă în punctul x. Se numește procedura de găsire a derivatei funcției y \u003d f (x). diferenţiere funcțiile y = f(x).

Să discutăm următoarea întrebare: cum sunt legate continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții într-un punct?

Fie funcția y = f(x) diferențiabilă în punctul x. Atunci o tangentă poate fi trasă la graficul funcției în punctul M (x; f (x)) și, reamintim, panta tangentei este egală cu f "(x). Un astfel de grafic nu se poate "rupe" la punctul M, adică funcția trebuie să fie continuă la x.

Era raționament „pe degete”. Să prezentăm un argument mai riguros. Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punctul x, atunci egalitatea aproximativă $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ este valabilă. zero, atunci \(\Delta y \ ) va tinde, de asemenea, spre zero, iar aceasta este condiția pentru continuitatea funcției într-un punct.

Asa de, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este și continuă în acel punct.

Reversul nu este adevărat. De exemplu: funcția y = |x| este continuă peste tot, în special în punctul x = 0, dar tangenta la graficul funcției la „punctul de îmbinare” (0; 0) nu există. Dacă la un moment dat este imposibil să desenezi o tangentă la graficul unei funcții, atunci nu există nicio derivată în acest punct.

Încă un exemplu. Funcția $y=\sqrt(x) $ este continuă pe întreaga dreaptă numerică, inclusiv în punctul x = 0. Și tangenta la graficul funcției există în orice punct, inclusiv în punctul x = 0. . Dar în acest moment tangenta coincide cu axa y, adică este perpendiculară pe axa absciselor, ecuația sa are forma x \u003d 0. Nu există nicio pantă pentru o astfel de linie dreaptă, ceea ce înseamnă că \ ( f „(0) \) nici nu există

Deci, ne-am familiarizat cu o nouă proprietate a unei funcții - diferențiabilitatea. Cum poți spune dacă o funcție este diferențiabilă de graficul unei funcții?

Răspunsul este de fapt dat mai sus. Dacă la un moment dat o tangentă poate fi desenată la graficul unei funcții care nu este perpendiculară pe axa x, atunci în acest moment funcția este diferențiabilă. Dacă la un moment dat tangenta la graficul funcției nu există sau este perpendiculară pe axa x, atunci în acest moment funcția nu este diferențiabilă.

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere. Atunci când efectuați această operație, de multe ori trebuie să lucrați cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și cu „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care facilitează această muncă. Dacă C este un număr constant și f=f(x), g=g(x) sunt unele funcții diferențiabile, atunci următoarele sunt adevărate reguli de diferențiere:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivată funcție compusă:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel de derivate ale unor funcții

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Data: 20.11.2014

Ce este un derivat?

Tabel de derivate.

Derivata este unul dintre conceptele principale ale matematicii superioare. În această lecție, vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.

Această introducere vă va permite să:

Înțelegeți esența sarcinilor simple cu o derivată;

Rezolvați cu succes aceste sarcini foarte simple;

Pregătiți-vă pentru lecții derivate mai serioase.

În primul rând, o surpriză plăcută.

Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor, iar treaba este destul de complicată. Este supărător. Dar aplicarea practică a derivatului, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!

Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar cativa termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Si asta e. Asta ma face fericit.

Să ne cunoaștem?)

Termeni și denumiri.

Există multe operații matematice în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă la aceste operații se adaugă încă o operație, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.

Aici este important să înțelegem că diferențierea este doar o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul este o nouă funcție. Această nouă funcție se numește: derivat.

Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.

Derivat este rezultatul acestei acțiuni.

La fel ca, de exemplu, sumă este rezultatul adunării. Sau privat este rezultatul diviziunii.

Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formularea este următoarea: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivata etc. E tot la fel. Desigur, există sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea sarcinii.

Derivata este notată printr-o liniuță în dreapta sus, deasupra funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf) etc.

citit y stroke, ef stroke din x, es stroke din te, bine ai inteles...)

Un prim poate desemna, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivata este notă folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.

Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Nu a mai rămas nimic - să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc din nou: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli. Aceste reguli sunt surprinzător de puține.

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știi doar trei lucruri. Trei piloni pe care se sprijină toată diferențierea. Iată cele trei balene:

1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).

3. Derivata unei functii complexe.

Să începem în ordine. În această lecție, vom lua în considerare tabelul derivatelor.

Tabel de derivate.

Lumea are un număr infinit de funcții. Printre acest set există funcții care sunt cele mai importante pentru aplicarea practică. Aceste funcții se află în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca și din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor - un lucru destul de consumator de timp. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața (și pe noi). Ei au calculat derivate ale funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)

Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. Stânga - funcție elementară, dreapta - derivata ei.

	Funcţie y	Derivată a funcției y y"
1	C (constant)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n este orice număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	sin x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	A X
4	e X
5	Buturuga A X
5	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Indicația este clară?) Da, este de dorit să cunoașteți pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)

Găsirea valorii tabelare a derivatei, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Aflați derivata funcției y = x 3

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată generală a funcției de putere (al treilea grup). În cazul nostru, n=3. Deci înlocuim triplul în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Cam despre asta e.

Răspuns: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0 la acest derivat. E in ordinea asta!În caz contrar, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției inițiale, ci valoarea derivatul său. Derivatul, permiteți-mi să vă reamintesc, este deja o funcție nouă.

Pe placă găsim sinusul și derivata corespunzătoare:

y" = (sinx)" = cosx

Înlocuiește zero în derivată:

y"(0) = cos 0 = 1

Acesta va fi răspunsul.

3. Diferențiați funcția:

Ce inspiră?) Nu există nici măcar aproape o asemenea funcție în tabelul derivatelor.

Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, găsirea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...

Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinus al unui unghi dublu, atunci totul devine imediat mai bine!

Da Da! Amintiți-vă că transformarea funcției originale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Conform formulei pentru cosinusul unui unghi dublu:

Acestea. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cox. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:

Răspuns: y" = - sin x.

Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:

4. Găsiți derivata unei funcții:

Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, acțiunile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:

Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Direct după formula și scrieți:

Asta e tot. Acesta va fi răspunsul.

Sper că odată cu prima balenă a diferențierii - tabelul derivatelor - totul este clar. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare, vom învăța regulile de diferențiere.

Primul nivel

Derivată de funcție. Ghid cuprinzător (2019)

Imaginează-ți un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de înălțime zero, în viață folosim nivelul mării.

Înaintând pe un astfel de drum, ne mișcăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasarea de-a lungul axei absciselor), valoarea funcției se modifică (deplasarea de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Care ar putea fi această valoare? Foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea la deplasarea înainte pe o anumită distanță. Într-adevăr, pe diferite tronsoane de drum, înaintând (de-a lungul abscisei) cu un kilometru, vom urca sau coborî un număr diferit de metri față de nivelul mării (de-a lungul ordonatei).

Indică progresul înainte (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare de amploare, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de dimensiune.

Important: expresia este o singură entitate, o variabilă. Nu ar trebui să rupeți niciodată „delta” din „x” sau din orice altă literă! Adică, de exemplu, .

Deci, am mers înainte, pe orizontală, mai departe. Dacă comparăm linia drumului cu graficul unei funcții, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, atunci când mergem înainte, ne ridicăm mai sus.

Este ușor de calculat valoarea: dacă la început eram la înălțime, iar după mișcare eram la înălțime, atunci. Dacă punctul final s-a dovedit a fi mai jos decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Înapoi la „abrupte”: aceasta este o valoare care indică cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când se avansează pe unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de potecă, la înaintarea cu km, drumul urcă cu km. Atunci abruptul în acest loc este egal. Și dacă drumul, la înaintarea cu m, s-a scufundat cu km? Atunci panta este egală.

Acum luați în considerare vârful unui deal. Dacă luați începutul secțiunii la jumătate de kilometru până în vârf, iar sfârșitul - o jumătate de kilometru după ea, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Multe se pot schimba la doar câteva mile distanță. Zonele mai mici trebuie luate în considerare pentru o estimare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii când vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, ne putem strecura pur și simplu prin el. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin este mai bine!

În viața reală, măsurarea distanței la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost infinitezimal, adică valoarea modulo este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. etc. Dacă vrem să scriem că valoarea este infinit de mică, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este egal cu zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că poate fi împărțit în.

Conceptul opus infinitului mic este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este mai mare ca modul decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și obțineți și mai mult. Iar infinitul este chiar mai mult decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinit de mare și infinit de mici sunt inverse unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum înapoi la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinit de mic al traseului, adică:

Observ că, cu o deplasare infinit de mică, modificarea înălțimii va fi, de asemenea, infinit de mică. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinit mic nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu. Adică, o valoare mică poate fi exact de două ori mai mare decât alta.

De ce toate astea? Drumul, abruptul... Nu mergem într-un miting, dar învățăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la o creștere infinitezimală a argumentului.

Creştereîn matematică se numește schimbare. Cât de mult s-a schimbat argumentul () la deplasarea de-a lungul axei se numește increment de argumentși notat cu Cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) la deplasarea înainte de-a lungul axei cu o distanță se numește creșterea funcției si este marcat.

Deci, derivata unei funcții este relația cu când. Derivata o notăm cu aceeași literă ca și funcția, doar cu o contur din dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici, când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Dar derivata este egală cu zero? Cu siguranță. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Într-adevăr, înălțimea nu se schimbă deloc. Deci, cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este zero pentru oricare.

Să luăm exemplul din vârful dealului. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe laturile opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În final, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinit de mică. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală cu). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles după cum urmează: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: în stânga vârfului, funcția crește, iar în dreapta, scade. După cum am aflat deja mai devreme, atunci când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (pentru că drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, trebuie să existe între valori negative și pozitive. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru vale (zona în care funcția scade în stânga și crește în dreapta):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul într-o valoare. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit el (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, funcția merge acolo: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care s-a schimbat funcția:

Exersați găsirea incrementelor:

Găsiți incrementul funcției într-un punct cu un increment al argumentului egal cu.
Același lucru pentru o funcție într-un punct.

Solutii:

În puncte diferite, cu același increment al argumentului, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata din fiecare punct are propria lui (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului în diferite puncte este diferit). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere se numește o funcție în care argumentul este într-o oarecare măsură (logic, nu?).

Și - în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Amintiți-vă definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Creșterea este. Dar funcția în orice punct este egală cu argumentul său. Asa de:

Derivata este:

Derivata lui este:

b) Acum considerăm funcția pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea creșterii poate fi neglijată, deoarece este infinit de mică și, prin urmare, nesemnificativă pe fundalul unui alt termen:

Deci, avem o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula pentru înmulțirea prescurtată a cubului sumei sau descompuneți întreaga expresie în factori folosind formula pentru diferența de cuburi. Încercați să o faceți singur în oricare dintre modurile sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și să ne amintim asta din nou. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

(2)

Puteți formula regula cu cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient, apoi scade cu”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

(în două moduri: prin formula și folosind definiția derivatei - prin numărarea incrementului funcției);

. Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este? Și unde este gradul? ”, Ține minte subiectul“ ”!
Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar unul fracționar:.
Deci rădăcina noastră pătrată este doar o putere cu un exponent:
.
Căutăm derivata folosind formula recent învățată:
Dacă în acest moment a devenit din nou neclar, repetați subiectul „” !!! (aproximativ un grad cu un indicator negativ)
. Acum exponentul:
Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
;
.
Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
.
. Combinație de cazuri anterioare: .

funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Când expresia.

Dovada o vei invata in primul an de institut (si pentru a ajunge acolo trebuie sa treci bine examenul). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este perforat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă cu un calculator. Da, da, nu te sfii, ia un calculator, încă nu suntem la examen.

Deci să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât este mai mic, cu atât valoarea raportului este mai aproape de.

a) Luați în considerare o funcție. Ca de obicei, găsim creșterea acestuia:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (amintiți-vă de subiectul „”):.

Acum derivata:

Să facem o înlocuire: . Apoi, pentru infinit de mic, este și infinit de mic: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o valoare infinit de mică poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci obținem următoarea regulă: derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabel”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practică:

Aflați derivata unei funcții într-un punct;
Aflați derivata funcției.

Solutii:

În primul rând, găsim derivata într-o formă generală și apoi îi înlocuim valoarea:
;
.
Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
vedere normala:
.
Ok, acum poți folosi formula:
.
.
. Eeeeeee….. Ce este????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o astfel de funcție în matematică, a cărei derivată pentru oricare este egală cu valoarea funcției în sine pentru aceeași. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții - o constantă - este o fracție zecimală infinită, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci regula este:

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, nu vom merge departe, vom lua în considerare imediat funcția inversă. Care este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește unul „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

Aflați derivata funcției.
Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții care sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatei.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Găsiți derivate ale funcțiilor:

la punct;
la punct;
la punct;
la punct.

Solutii:

(derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al unui produs

Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

Găsiți derivate ale funcțiilor și;
Aflați derivata unei funcții într-un punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).

Deci unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, folosim o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, în răspuns este lăsat în această formă.

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum în loc de vom scrie:

Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în materie de matematică, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul înfășoară un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii opuși în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.

S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (la fel). .

Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție

Ce măsură vom lua mai întâi? Mai întâi calculăm sinusul și abia apoi îl ridicăm la un cub. Deci este o funcție internă, nu una externă.
Iar funcția inițială este compoziția lor: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .
Intern: ; extern: .
Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Totul pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nu se scoate nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aici există o funcție complexă cu trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și încă extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolată într-un ambalaj și cu o panglică într-o servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca și înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sinusul. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este scoasă din semnul derivatei:

Derivată a sumei:

Produs derivat:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Derivată a unei funcții a unei variabile.

Introducere.

Aceste dezvoltări metodologice sunt destinate studenților Facultății de Inginerie Industrială și Civilă. Ele sunt compilate în raport cu programul cursului de matematică în secțiunea „Calcul diferențial al funcțiilor unei variabile”.

Dezvoltarile reprezinta un singur ghid metodologic, care cuprinde: scurte informatii teoretice; sarcini și exerciții „tipice” cu soluții detaliate și explicații pentru aceste soluții; opțiunile de control.

Exerciții suplimentare la sfârșitul fiecărui paragraf. O astfel de structură de dezvoltări le face potrivite pentru stăpânirea independentă a secțiunii cu cea mai minimă asistență din partea profesorului.

§unu. Definiția unui derivat.

Semnificație mecanică și geometrică

derivat.

Conceptul de derivată este unul dintre cele mai importante concepte din analiza matematică.A apărut încă din secolul al XVII-lea. Formarea conceptului de derivată este asociată istoric cu două probleme: problema vitezei mișcării variabile și problema tangentei la o curbă.

Aceste sarcini, în ciuda conținutului lor diferit, duc la aceeași operație matematică care trebuie efectuată asupra unei funcții.Această operație a primit o denumire specială în matematică. Se numește operația de diferențiere a unei funcții. Rezultatul unei operații de diferențiere se numește derivată.

Deci, derivata funcției y=f(x) în punctul x0 este limita (dacă există) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului
la
.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:
.

Deci prin definiție

Simbolurile sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna derivata
.

Sensul mecanic al derivatului.

Dacă s=s(t) este legea mișcării rectilinie a unui punct material, atunci
este viteza acestui punct la momentul t.

Sensul geometric al derivatului.

Dacă funcția y=f(x) are o derivată într-un punct , apoi panta tangentei la graficul funcției în punct
egală
.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții
la punct =2:

1) Să dăm un punct =2 increment
. Observa asta.

2) Găsiți incrementul funcției în punct =2:

3) Compuneți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

Să găsim limita relației la
:

Prin urmare,
.

§ 2. Derivate ale unora

cele mai simple funcții.

Elevul trebuie să învețe cum să calculeze derivatele unor funcții specifice: y=x,y= iar în general y= .

Aflați derivata funcției y=x.

acestea. (x)′=1.

Să găsim derivata funcției

Derivat

Lasa
apoi

Este ușor de observat un model în expresiile pentru derivatele unei funcții de putere
la n=1,2,3.

Prin urmare,

. (1)

Această formulă este valabilă pentru orice n real.

În special, folosind formula (1), avem:

;

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții

Această funcție este un caz special al unei funcții de formă

la
.

Folosind formula (1), avem

Derivate ale funcțiilor y=sin x și y=cos x.

Fie y=sinx.

Împărțiți cu ∆x, obținem

Trecând la limită ca ∆x→0, avem

Fie y=cosx .

Trecând la limită ca ∆x→0, obținem

;
. (2)

§3. Reguli de bază de diferențiere.

Luați în considerare regulile de diferențiere.

Teorema1 . Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile într-un punct dat x, atunci suma lor este și ea diferențiabilă în acest punct, iar derivata sumei este egală cu suma termenilor derivați: (u+v)"=u"+v".(3)

Demonstrație: se consideră funcția y=f(x)=u(x)+v(x).

Creșterea ∆x a argumentului x corespunde incrementelor ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ale funcțiilor u și v. Apoi funcția y va fi incrementată

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Prin urmare,

Deci, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile într-un punct dat x, atunci produsul lor este și el diferențiabil în același punct.În acest caz, derivata produsului se găsește prin următoarea formulă : (uv) „=u” v + uv „. ( 4)

Demonstrație: Fie y=uv, unde u și v sunt câteva funcții diferențiabile ale lui x. Fie x incrementat cu ∆x, apoi u va fi incrementat cu ∆u, v va fi incrementat cu ∆v, iar y va fi incrementat cu ∆y.

Avem y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), sau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Prin urmare, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

De aici

Trecând la limită ca ∆x→0 și ținând cont că u și v nu depind de ∆x, avem

Teorema 3. Derivată a unui cât de două funcții este egală cu o fracție, al cărei numitor este egal cu pătratul divizorului, iar numărătorul este diferența dintre produsul derivatului dividendului de către divizor și produsul lui. dividend prin derivata divizorului, i.e.

În cazul în care un
apoi
(5)