Wzór na maksymalną siłę prądu w obwodzie oscylacyjnym. Obwód oscylacyjny

Pole elektromagnetyczne może również istnieć przy braku ładunków elektrycznych lub prądów: to właśnie takie „samopodtrzymujące się” pola elektryczne i magnetyczne reprezentują fale elektromagnetyczne które obejmują światło widzialne, podczerwień, ultrafiolet i promieniowanie rentgenowskie, fale radiowe itp.

§ 25. Obwód oscylacyjny

Najprostszym układem, w którym możliwe są naturalne oscylacje elektromagnetyczne, jest tak zwany obwód oscylacyjny, składający się z kondensatora i cewki indukcyjnej połączonych ze sobą (ryc. 157). Podobnie jak w przypadku mechanicznego oscylatora, takiego jak masywny korpus na elastycznej sprężynie, naturalnym drganiom w obwodzie towarzyszą przemiany energetyczne.

Ryż. 157. Obwód oscylacyjny

Analogia między oscylacjami mechanicznymi i elektromagnetycznymi. W przypadku obwodu oscylacyjnego analogiem energii potencjalnej oscylatora mechanicznego (na przykład energia sprężystości odkształconej sprężyny) jest energia pola elektrycznego w kondensatorze. Analogiem energii kinetycznej poruszającego się ciała jest energia pole magnetyczne w cewce indukcyjnej. Rzeczywiście, energia sprężyny jest proporcjonalna do kwadratu przesunięcia z położenia równowagi, a energia kondensatora jest proporcjonalna do kwadratu ładunku Energia kinetyczna ciała jest proporcjonalna do kwadratu jego prędkości, a energia pola magnetycznego w cewce jest proporcjonalna do kwadratu prądu.

Całkowita energia mechaniczna oscylatora sprężynowego E jest równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej:

Energia wibracji. Podobnie całkowita energia elektromagnetyczna obwodu oscylacyjnego jest równa sumie energii pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce:

Z porównania wzorów (1) i (2) wynika, że analogiem sztywności k oscylatora sprężynowego w obwodzie oscylacyjnym jest odwrotność wartości pojemności C, a analogiem masy jest indukcyjność cewki

Przypomnijmy, że w układzie mechanicznym, którego energię wyraża wyrażenie (1), mogą wystąpić własne, nietłumione oscylacje harmoniczne. Kwadrat częstości takich oscylacji jest równy stosunkowi współczynników w kwadratach przemieszczenia i prędkości w wyrażeniu na energię:

Własna częstotliwość. W obwodzie oscylacyjnym, którego energia elektromagnetyczna jest dana wzorem (2), mogą wystąpić własne, nietłumione oscylacje harmoniczne, których kwadrat częstotliwości jest oczywiście równy stosunkowi odpowiednich współczynników (tj. współczynników w kwadratach ładunku i natężenia prądu):

Z (4) wynika wyrażenie na okres oscylacji, zwane wzorem Thomsona:

W przypadku oscylacji mechanicznych zależność przemieszczenia x od czasu określa funkcja cosinus, której argument nazywa się fazą oscylacji:

Amplituda i faza początkowa. Amplituda A i faza początkowa a są określone przez warunki początkowe, czyli wartości przemieszczenia i prędkości przy

Podobnie w przypadku naturalnych oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie ładunek kondensatora zgodnie z prawem zależy od czasu

gdzie częstotliwość jest określona, zgodnie z (4), tylko właściwościami samego obwodu, a amplituda drgań ładunku i faza początkowa a, jak w przypadku oscylatora mechanicznego, są określane

warunki początkowe, tj. wartości ładunku kondensatora i natężenia prądu przy Tak więc częstotliwość drgań własnych nie zależy od metody wzbudzenia oscylacji, natomiast amplituda i faza początkowa są dokładnie określone przez warunki wzbudzenia .

Transformacje energetyczne. Rozważmy bardziej szczegółowo przemiany energii podczas oscylacji mechanicznych i elektromagnetycznych. Na ryc. 158 przedstawia schematycznie stany oscylatorów mechanicznych i elektromagnetycznych w odstępach czasu ćwierć okresu

Ryż. 158. Przemiany energii podczas drgań mechanicznych i elektromagnetycznych

Dwa razy w okresie oscylacji energia jest przekształcana z jednej formy w drugą i odwrotnie. Całkowita energia obwodu oscylacyjnego, podobnie jak całkowita energia oscylatora mechanicznego, pozostaje niezmieniona w przypadku braku rozpraszania. Aby to zweryfikować, konieczne jest zastąpienie wyrażenia (6) dla i wyrażenia dla aktualnej siły we wzorze (2)

Korzystając ze wzoru (4) otrzymujemy

Ryż. 159. Wykresy energii pola elektrycznego kondensatora i energii pola magnetycznego w cewce w funkcji czasu ładowania kondensatora

Stała energia całkowita pokrywa się z energią potencjalną w momentach, gdy ładunek kondensatora jest maksymalny i pokrywa się z energią pola magnetycznego cewki - energią „kinetyczną” - w chwilach zaniku ładunku kondensatora i prąd jest maksymalny. Podczas wzajemnych przemian dwa rodzaje energii wytwarzają oscylacje harmoniczne o tej samej amplitudzie w przeciwfazie względem siebie iz częstotliwością w stosunku do ich wartości średniej. Łatwo to zweryfikować jak na ryc. 158 i za pomocą formuł funkcje trygonometryczne pół argumentu:

Wykresy zależności energii pola elektrycznego i energii pola magnetycznego od czasu ładowania kondensatora przedstawiono na ryc. 159 dla początkowej fazy

Prawidłowości ilościowe naturalnych oscylacji elektromagnetycznych można ustalić bezpośrednio na podstawie praw dla prądów quasi-stacjonarnych, bez odwoływania się do analogii z oscylacjami mechanicznymi.

Równanie oscylacji w obwodzie. Rozważ najprostszy obwód oscylacyjny pokazany na ryc. 157. Podczas bocznikowania obwodu, na przykład w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, suma napięć na cewce indukcyjnej i kondensatorze w takim zamkniętym obwodzie szeregowym wynosi zero:

Napięcie na kondensatorze jest związane z ładunkiem płytki i pojemności Z zależnością Napięcie na indukcyjności w dowolnym momencie jest równe w wartości bezwzględnej i ma przeciwny znak Samoindukcja EMF, więc prąd w obwodzie jest równy szybkości zmiany ładunku kondensatora:

Otrzymujemy teraz wyrażenie (10) przyjmuje postać

Zapiszmy to równanie inaczej, wprowadzając z definicji:

Równanie (12) pokrywa się z równaniem drgania harmoniczne oscylator mechaniczny o częstotliwości własnej. Rozwiązanie takiego równania podaje harmoniczna (sinusoidalna) funkcja czasu (6) o dowolnych wartościach amplitudy i fazy początkowej a. Z tego wynika wszystkie powyższe wyniki dotyczące oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie.

Tłumienie oscylacji elektromagnetycznych. Do tej pory omówiliśmy oscylacje własne w wyidealizowanym systemie mechanicznym i wyidealizowanym obwodzie LC. Idealizacja polegała na pominięciu tarcia w oscylatorze i oporności elektrycznej w obwodzie. Tylko w tym przypadku system będzie zachowawczy, a energia drgań zachowana.

Ryż. 160. Obwód oscylacyjny z rezystancją

Uwzględnienie rozproszenia energii drgań w obwodzie można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku oscylatora mechanicznego z tarciem. Obecność oporu elektrycznego cewki i przewodów łączących jest nieuchronnie związana z wydzielaniem ciepła Joule'a. Tak jak poprzednio, ten opór można postrzegać jako niezależny element w schemat połączeń obwód oscylacyjny, uznając cewkę i przewody za idealne (ryc. 160). Rozpatrując prąd quasi-stacjonarny w takim obwodzie, w równaniu (10) należy dodać napięcie na rezystancji

Zastępując w dostajemy

Przedstawiamy notację

przepisujemy równanie (14) w postaci

Równanie (16) na ma dokładnie taką samą postać jak równanie na drgania oscylatora mechanicznego z

tarcie proporcjonalne do prędkości (tarcie lepkie). Dlatego w obecności oporności elektrycznej w obwodzie oscylacje elektromagnetyczne występują zgodnie z tym samym prawem, co oscylacje mechaniczne oscylatora z tarciem lepkim.

Rozpraszanie energii drgań. Podobnie jak w przypadku drgań mechanicznych, można ustalić prawo zmniejszania się energii drgań własnych w czasie, stosując prawo Joule-Lenza do obliczenia wydzielanego ciepła:

W efekcie, w przypadku małego tłumienia dla przedziałów czasowych znacznie dłuższych niż okres drgań, tempo spadku energii drgań okazuje się proporcjonalne do samej energii:

Rozwiązanie równania (18) ma postać

Energia naturalnych oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie z rezystancją maleje wykładniczo.

Energia oscylacji jest proporcjonalna do kwadratu ich amplitudy. W przypadku oscylacji elektromagnetycznych wynika to na przykład z (8). Dlatego amplituda drgań tłumionych zgodnie z (19) maleje zgodnie z prawem

Żywotność oscylacji. Jak widać z (20), amplituda oscylacji zmniejsza się o czynnik 1 w czasie równym, niezależnie od początkowej wartości amplitudy.Ten czas x nazywany jest czasem życia oscylacji, chociaż, jak można widać z (20), oscylacje formalnie trwają w nieskończoność. W rzeczywistości oczywiście ma sens mówienie o drganiach tylko wtedy, gdy ich amplituda przekracza charakterystyczną wartość poziomu szumu cieplnego w danym obwodzie. Dlatego w rzeczywistości oscylacje w obwodzie „żyją” przez skończony czas, który jednak może być kilkakrotnie większy niż czas życia x wprowadzony powyżej.

Często ważne jest, aby znać nie sam czas życia oscylacji x, ale liczbę pełnych oscylacji, które wystąpią w obwodzie w tym czasie x. Ta liczba pomnożona przez nazywana jest współczynnikiem jakości obwodu.

Ściśle mówiąc, drgania tłumione nie są okresowe. Przy niewielkim tłumieniu możemy warunkowo mówić o okresie, rozumianym jako odstęp czasu między dwoma

kolejne maksymalne wartości ładunku kondensatora (o tej samej polaryzacji) lub maksymalne wartości prądu (w jednym kierunku).

Tłumienie oscylacji wpływa na okres, prowadząc do jego wzrostu w porównaniu z wyidealizowanym przypadkiem braku tłumienia. Przy niskim tłumieniu wzrost okresu oscylacji jest bardzo mały. Jednak przy silnym tłumieniu oscylacje mogą w ogóle nie występować: naładowany kondensator rozładowuje się nieokresowo, tj. bez zmiany kierunku prądu w obwodzie. Tak będzie z np. z

Dokładne rozwiązanie. Sformułowane powyżej wzory drgań tłumionych wynikają z dokładnego rozwiązania równania różniczkowego (16). Poprzez bezpośrednie podstawienie można zweryfikować, że ma postać

gdzie są arbitralne stałe, których wartości są określane na podstawie warunków początkowych. W przypadku niskiego tłumienia mnożnik cosinus może być postrzegany jako wolno zmieniająca się amplituda oscylacji.

Zadanie

Ładowanie kondensatorów przez cewkę indukcyjną. W obwodzie, którego schemat pokazano na ryc. 161, ładunek górnego kondensatora jest równy, a dolny nie jest naładowany. W tej chwili klucz jest zamknięty. Znajdź zależność czasową ładunku górnego kondensatora od prądu w cewce.

Ryż. 161. W początkowym momencie ładowany jest tylko jeden kondensator

Ryż. 162. Ładunki kondensatorów i prąd w obwodzie po zamknięciu kluczyka

Ryż. 163. Analogia mechaniczna dla obwodu elektrycznego pokazanego na ryc. 162

Decyzja. Po zamknięciu klucza w obwodzie pojawiają się oscylacje: górny kondensator zaczyna rozładowywać się przez cewkę, ładując dolny; wtedy wszystko dzieje się w przeciwnym kierunku. Niech na przykład w , górna płyta kondensatora będzie naładowana dodatnio. Następnie

po krótkim czasie znaki ładunku płyt kondensatora i kierunek prądu będą takie, jak pokazano na ryc. 162. Oznaczmy ładunkami tych płytek kondensatora górnego i dolnego, które są połączone cewką indukcyjną. Na podstawie prawa konserwatorskiego ładunek elektryczny

Suma naprężeń na wszystkich elementach obwodu zamkniętego w każdym momencie czasu jest równa zeru:

Znak napięcia na kondensatorze odpowiada rozkładowi ładunków na ryc. 162. i wskazany kierunek prądu. Wyrażenie na prąd przepływający przez cewkę można zapisać w jednej z dwóch postaci:

Wykluczmy z równania korzystając z relacji (22) i (24):

Przedstawiamy notację

przepisujemy (25) w następującej formie:

Jeśli zamiast wprowadzać funkcję

i weź pod uwagę, że (27) przybiera formę

Jest to zwykłe równanie nietłumionych oscylacji harmonicznych, które ma rozwiązanie

gdzie i są arbitralnymi stałymi.

Wracając z funkcji otrzymujemy następujące wyrażenie na zależność od czasu ładowania kondensatora górnego:

Aby określić stałe i a, bierzemy pod uwagę, że w momencie początkowym ładuje prąd Dla siły prądu z (24) i (31) mamy

Ponieważ stąd wynika, że Zastępując teraz i biorąc pod uwagę, że otrzymujemy

Tak więc wyrażenia określające ładunek i siłę prądu to

Charakter oscylacji ładunku i prądu jest szczególnie widoczny, gdy te same wartości pojemności kondensatorów. W tym przypadku

Ładunek górnego kondensatora oscyluje z amplitudą około średniej wartości równej połowie okresu oscylacji, zmniejsza się od wartości maksymalnej w momencie początkowym do zera, gdy cały ładunek znajduje się na dolnym kondensatorze.

Wyrażenie (26) na częstotliwość drgań można oczywiście zapisać od razu, ponieważ w rozważanym obwodzie kondensatory są połączone szeregowo. Bezpośrednie zapisywanie wyrażeń (34) jest jednak trudne, ponieważ w takich warunkach początkowych nie jest możliwe zastąpienie kondensatorów wchodzących w skład układu jednym równoważnym.

Wizualną reprezentację zachodzących tu procesów podaje mechaniczny analog tego obwodu elektrycznego, pokazany na ryc. 163. Identyczne sprężyny odpowiadają przypadkom kondensatorów o tej samej pojemności. W momencie początkowym lewa sprężyna jest ściśnięta, co odpowiada naładowanemu kondensatorowi, a prawa jest w stanie nieodkształconym, ponieważ stopień odkształcenia sprężyny służy jako analog ładunku kondensatora. Przy przejściu przez położenie środkowe obie sprężyny są częściowo ściśnięte, a w skrajnym prawym położeniu lewa sprężyna nie ulega odkształceniu, a prawa jest ściskana w taki sam sposób jak lewa w momencie początkowym, co odpowiada całkowity przepływ ładunku z jednego kondensatora do drugiego. Chociaż kulka wykonuje zwykłe drgania harmoniczne wokół położenia równowagi, odkształcenie każdej ze sprężyn jest opisane funkcją, której średnia wartość jest różna od zera.

W przeciwieństwie do obwodu oscylacyjnego z pojedynczym kondensatorem, w którym podczas oscylacji następuje jego powtarzalne pełne doładowanie, w rozważanym układzie początkowo naładowany kondensator nie jest doładowywany całkowicie. Na przykład, gdy jego ładunek spadnie do zera, a następnie zostanie ponownie przywrócony w tej samej polaryzacji. W przeciwnym razie oscylacje te nie różnią się od oscylacji harmonicznych w konwencjonalnym obwodzie. Energia tych oscylacji jest zachowana, jeśli oczywiście można pominąć rezystancję cewki i przewodów łączących.

Wyjaśnij, dlaczego z porównania wzorów (1) i (2) na energię mechaniczną i elektromagnetyczną wywnioskowano, że analogiem sztywności k jest, a analogiem masy, jest indukcyjność, a nie odwrotnie.

Uzasadnij wyprowadzenie wyrażenia (4) na częstotliwość drgań własnych w obwodzie z analogii z mechanicznym oscylatorem sprężynowym.

Oscylacje harmoniczne w obwodzie charakteryzują się amplitudą, częstotliwością, okresem, fazą drgań, fazą początkową. Które z tych wielkości są określone przez właściwości samego obwodu oscylacyjnego, a które zależą od metody wzbudzenia oscylacji?

Wykazać, że średnie wartości energii elektrycznej i magnetycznej podczas drgań naturalnych w obwodzie są sobie równe i stanowią połowę całkowitej energii elektromagnetycznej drgań.

Jak zastosować prawa zjawisk quasi-stacjonarnych w obwodzie elektrycznym do wyprowadzenia równania różniczkowego (12) dla oscylacji harmonicznych w obwodzie -obwodu?

Jakie równanie różniczkowe spełnia prąd w obwodzie LC?

Wyprowadź równanie na tempo spadku energii drgań przy niskim tłumieniu w taki sam sposób jak dla oscylatora mechanicznego o tarciu proporcjonalnym do prędkości i wykaż, że dla przedziałów czasowych znacznie przekraczających okres oscylacji spadek ten występuje zgodnie z prawem wykładniczym. Jakie znaczenie ma tu użyty termin „małe tłumienie”?

Pokaż, że funkcja podana wzorem (21) spełnia równanie (16) dla dowolnych wartości i a.

Rozważ układ mechaniczny pokazany na ryc. 163 i znajdź zależność od czasu odkształcenia lewej sprężyny i prędkości masywnego ciała.

Pętla bez oporu z nieuniknionymi stratami. W rozważanym powyżej zagadnieniu, pomimo nie do końca typowych warunków początkowych dla ładunków na kondensatorach, można było zastosować zwykłe równania dla obwodów elektrycznych, ponieważ tam były spełnione warunki quasi-stacjonarności zachodzących procesów. Ale w obwodzie, którego schemat pokazano na ryc. 164, z formalnym zewnętrznym podobieństwem do schematu na ryc. 162, warunki quasi-stacjonarności nie są spełnione, jeżeli w chwili początkowej jeden kondensator jest ładowany, a drugi nie.

Omówmy bardziej szczegółowo przyczyny naruszenia warunków quasi-stacjonarności. Natychmiast po zamknięciu

Ryż. 164. Obwód elektryczny, dla którego nie są spełnione warunki quasi-stacjonarności

Kluczem jest to, że wszystkie procesy odbywają się tylko w połączonych kondensatorach, ponieważ wzrost prądu przez cewkę indukcyjną jest stosunkowo powolny i początkowo można pominąć rozgałęzienie prądu do cewki.

Gdy klucz jest zamknięty, w obwodzie składającym się z kondensatorów i łączących je przewodów pojawiają się szybkie, tłumione oscylacje. Okres takich oscylacji jest bardzo mały, ponieważ indukcyjność przewodów łączących jest niewielka. W wyniku tych oscylacji ładunek na płytach kondensatora ulega redystrybucji, po czym oba kondensatory można uznać za jeden. Ale w pierwszej chwili nie można tego zrobić, ponieważ wraz z redystrybucją ładunków następuje również redystrybucja energii, której część przechodzi w ciepło.

Po wytłumieniu drgań szybkich w układzie występują drgania, jak w układzie z jednym kondensatorem pojemnościowym, którego ładunek w chwili początkowej jest równy początkowemu ładowaniu kondensatora.Warunkiem słuszności powyższego rozumowania jest mała indukcyjność przewodów łączących w porównaniu z indukcyjnością cewki.

Podobnie jak w rozważanym zagadnieniu, również tutaj przydatna jest analogia mechaniczna. Jeśli tam dwie sprężyny odpowiadające kondensatorom znajdowały się po obu stronach masywnego korpusu, tutaj muszą być umieszczone po jednej jego stronie, aby drgania jednej z nich mogły być przenoszone na drugą, gdy korpus jest nieruchomy. Zamiast dwóch sprężyn można wziąć jedną, ale tylko w początkowym momencie powinna być odkształcona niejednorodnie.

Chwytamy sprężynę za środek i rozciągamy jej lewą połowę na pewną odległość.Druga połowa sprężyny pozostanie w stanie nieodkształconym, tak aby obciążenie w momencie początkowym zostało przesunięte z położenia równowagi w prawo o odległość i odpoczywa. W takim razie zwolnijmy wiosnę. Jakie cechy będą wynikać z faktu, że w początkowym momencie sprężyna jest odkształcona niejednorodnie? bo, jak łatwo zauważyć, sztywność „połówki” sprężyny jest mniejsza. Jeżeli masa sprężyny jest mała w porównaniu z masą kulki, częstotliwość drgań własnych sprężyny jako układu rozciągniętego jest znacznie większa niż częstotliwość kulki na sprężynie. Te „szybkie” oscylacje wygasną w czasie, który stanowi niewielką część okresu oscylacji kuli. Po wytłumieniu szybkich oscylacji napięcie sprężyny ulega redystrybucji, a przemieszczenie ładunku pozostaje praktycznie takie samo, ponieważ w tym czasie ładunek nie ma czasu na zauważalne ruchy. Odkształcenie sprężyny staje się równomierne, a energia układu jest równa

Tym samym rola szybkich oscylacji sprężyny została sprowadzona do tego, że zapas energii układu obniżył się do wartości odpowiadającej równomiernemu odkształceniu początkowemu sprężyny. Widać wyraźnie, że dalsze procesy w układzie nie różnią się od przypadku jednorodnej deformacji początkowej. Zależność przemieszczenia obciążenia od czasu wyraża się tym samym wzorem (36).

W rozważanym przykładzie w wyniku gwałtownych wahań przekształciło się to w: energia wewnętrzna(w ciepło) połowa początkowej dostawy energii mechanicznej. Oczywiste jest, że poddając początkowe odkształcenie nie połowie, ale dowolnej części sprężyny, każdy ułamek początkowej energii mechanicznej może zostać zamieniony na energię wewnętrzną. Ale we wszystkich przypadkach energia drgań obciążenia sprężyny odpowiada zapasowi energii dla tej samej jednorodnej początkowej deformacji sprężyny.

W obwodzie elektrycznym, w wyniku tłumionych szybkich oscylacji, energia naładowanego kondensatora jest częściowo uwalniana w postaci ciepła Joule'a w przewodach łączących. Przy równych pojemnościach będzie to połowa początkowej rezerwy energii. Druga połowa pozostaje w postaci energii stosunkowo wolnych oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie składającym się z cewki i dwóch kondensatorów C połączonych równolegle, oraz

Zatem w tym systemie idealizacja jest zasadniczo niedopuszczalna, w której pomija się rozpraszanie energii oscylacji. Powodem tego jest to, że możliwe są tutaj gwałtowne oscylacje, bez wpływu na cewki indukcyjne lub masywny korpus w podobnym układzie mechanicznym.

Obwód oscylacyjny z elementami nieliniowymi. Badając wibracje mechaniczne, zauważyliśmy, że wibracje nie zawsze są harmoniczne. Wibracje harmoniczne są charakterystyczna właściwość systemy liniowe, w którym

siła przywracająca jest proporcjonalna do odchylenia od położenia równowagi, a energia potencjalna jest proporcjonalna do kwadratu odchylenia. Rzeczywiste układy mechaniczne z reguły nie posiadają tych właściwości, a oscylacje w nich można uznać za harmoniczne tylko dla niewielkich odchyleń od położenia równowagi.

W przypadku oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie można odnieść wrażenie, że mamy do czynienia z układami idealnymi, w których oscylacje są ściśle harmoniczne. Jest to jednak prawdą tylko tak długo, jak pojemność kondensatora i indukcyjność cewki można uznać za stałą, tj. niezależną od ładunku i prądu. Kondensator z dielektrykiem i cewka z rdzeniem to w zasadzie elementy nieliniowe. Gdy kondensator jest wypełniony ferroelektrykiem, czyli substancją, której stała dielektryczna silnie zależy od przyłożonego pola elektrycznego, pojemność kondensatora nie może być dłużej uważana za stałą. Podobnie indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym zależy od natężenia prądu, ponieważ ferromagnes ma właściwość nasycenia magnetycznego.

Jeśli w mechanicznych układach oscylacyjnych masę z reguły można uznać za stałą, a nieliniowość powstaje tylko z powodu nieliniowości działającej siły, to w elektromagnetycznym obwodzie oscylacyjnym nieliniowość może wystąpić zarówno z powodu kondensatora (analogicznie do sprężystego sprężyna) i dzięki induktorowi (analog masy).

Dlaczego idealizacja nie ma zastosowania do obwodu oscylacyjnego z dwoma równoległymi kondensatorami (ryc. 164), w którym układ jest uważany za konserwatywny?

Dlaczego szybkie oscylacje prowadzą do rozproszenia energii oscylacji w obwodzie na ryc. 164 nie wystąpił w układzie z dwoma kondensatorami szeregowymi pokazanymi na ryc. 162?

Jakie przyczyny mogą prowadzić do niesinusoidalności oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie?

Elektryczny obwód oscylacyjny to system wzbudzania i utrzymywania oscylacji elektromagnetycznych. W najprostszej postaci jest to obwód składający się z cewki o indukcyjności L, kondensatora o pojemności C i rezystora o rezystancji R połączonych szeregowo (ryc. 129). Gdy przełącznik P jest ustawiony w pozycji 1, kondensator C jest ładowany do napięcia U t. W tym przypadku między płytkami kondensatora powstaje pole elektryczne, którego maksymalna energia jest równa

Po przesunięciu przełącznika do pozycji 2 obwód zamyka się i zachodzą w nim następujące procesy. Kondensator zaczyna się rozładowywać i przez obwód płynie prąd i, którego wartość wzrasta od zera do wartości maksymalnej a następnie zmniejsza się z powrotem do zera. Ponieważ w obwodzie płynie prąd przemienny, w cewce indukowana jest siła elektromotoryczna, która zapobiega rozładowaniu kondensatora. Dlatego proces rozładowywania kondensatora nie następuje natychmiast, ale stopniowo. W wyniku pojawienia się prądu w cewce powstaje pole magnetyczne, którego energia wynosi
osiąga maksymalną wartość przy prądzie równym . Maksymalna energia pola magnetycznego będzie równa

Po osiągnięciu maksymalnej wartości prąd w obwodzie zacznie się zmniejszać. W takim przypadku kondensator zostanie doładowany, energia pola magnetycznego w cewce zmniejszy się, a energia pola elektrycznego w kondensatorze wzrośnie. Po osiągnięciu maksymalnej wartości. Proces zacznie się powtarzać, aw obwodzie pojawią się oscylacje pól elektrycznych i magnetycznych. Jeśli założymy, że opór
(tzn. nie zużywa się energii na ogrzewanie), to zgodnie z zasadą zachowania energii energia całkowita W pozostaje stała

oraz
;
.

Obwód, w którym nie ma strat energii, nazywa się idealnym. Napięcie i prąd w obwodzie zmieniają się zgodnie z prawem harmonicznym

;

gdzie - częstotliwość drgań kołowych (cyklicznych)
.

Częstotliwość kołowa jest powiązana z częstotliwością oscylacji i okresy wahań współczynnika T.

H i ryc. 130 przedstawia wykresy napięcia U i prądu I w cewce idealnego obwodu oscylacyjnego. Widać, że siła prądu opóźnia się w fazie z napięciem o .

;
;
- Wzór Thomsona.

W przypadku, gdy opór
, wzór Thomsona przyjmuje postać

Podstawy teorii Maxwella

Teoria Maxwella to teoria pojedynczego pola elektromagnetycznego wytworzonego przez dowolny układ ładunków i prądów. Teoretycznie rozwiązany jest główny problem elektrodynamiki - zgodnie z danym rozkładem ładunków i prądów znajduje się charakterystyka wytworzonych przez nie pól elektrycznych i magnetycznych. Teoria Maxwella jest uogólnieniem najważniejszych praw opisujących zjawiska elektryczne i elektromagnetyczne - twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pól elektrycznych i magnetycznych, prawo prądu całkowitego, prawo Indukcja elektromagnetyczna oraz twierdzenia o obiegu wektora natężenia pola elektrycznego. Teoria Maxwella ma charakter fenomenologiczny, tj. nie uwzględnia wewnętrznego mechanizmu zjawisk zachodzących w środowisku oraz powodując wygląd pola elektryczne i magnetyczne. W teorii Maxwella ośrodek opisuje się trzema charakterystykami - przepuszczalnością dielektryczną ε i magnetyczną μ ośrodka oraz przewodnością elektryczną γ.

Drgania elektryczne rozumiane są jako okresowe zmiany ładunku, prądu i napięcia. Najprostszym układem, w którym możliwe są swobodne oscylacje elektryczne, jest tak zwany obwód oscylacyjny. To urządzenie składające się z kondensatora i cewki połączonych ze sobą. Założymy, że nie ma aktywnej rezystancji cewki, w tym przypadku obwód nazywamy idealnym. Kiedy energia jest przekazywana do tego systemu, wystąpią w nim nietłumione oscylacje harmoniczne ładunku na kondensatorze, napięciu i prądzie.

Możliwe jest poinformowanie oscylacyjnego obwodu energii różne sposoby. Na przykład ładując kondensator ze źródła prąd stały lub prąd wzbudzenia w cewce. W pierwszym przypadku pole elektryczne między płytkami kondensatora ma energię. W drugim energia zawarta jest w polu magnetycznym prądu płynącego przez obwód.

§1 Równanie oscylacji w obwodzie

Udowodnijmy, że gdy do obwodu zostanie przekazana energia, wystąpią w nim nietłumione oscylacje harmoniczne. Aby to zrobić, konieczne jest uzyskanie równania różniczkowego oscylacji harmonicznych postaci .

Załóżmy, że kondensator jest naładowany i zamknięty w cewce. Kondensator zacznie się rozładowywać, przez cewkę popłynie prąd. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa suma spadków napięcia w obwodzie zamkniętym jest równa sumie pola elektromagnetycznego w tym obwodzie .

W naszym przypadku spadek napięcia wynika z idealnego obwodu. Kondensator w obwodzie zachowuje się jak źródło prądu, różnica potencjałów między płytami kondensatora działa jak pole elektromagnetyczne, gdzie jest ładunkiem na kondensatorze, jest pojemnością kondensatora. Ponadto, gdy przez cewkę przepływa zmienny prąd, powstaje w niej SEM samoindukcji, gdzie jest indukcyjność cewki, to szybkość zmiany prądu w cewce. Ponieważ EMF samoindukcji zapobiega procesowi rozładowania kondensatora, drugie prawo Kirchhoffa przyjmuje postać

Ale prąd w obwodzie jest zatem prądem rozładowywania lub ładowania kondensatora. Następnie

Równanie różniczkowe jest przekształcane do postaci

Wprowadzając notację otrzymujemy znane równanie różniczkowe oscylacji harmonicznych.

Oznacza to, że ładunek na kondensatorze w obwodzie oscylacyjnym będzie się zmieniał zgodnie z prawem harmonicznym

gdzie to maksymalna wartość ładunku na kondensatorze, to częstotliwość cykliczna, to początkowa faza oscylacji.

Okres oscylacji ładowania . To wyrażenie nazywa się formułą Thompsona.

Napięcie kondensatora

Prąd obwodu

Widzimy, że oprócz ładunku na kondensatorze, zgodnie z prawem harmonicznym, zmieni się również prąd w obwodzie i napięcie na kondensatorze. Napięcie oscyluje w fazie z ładunkiem, a prąd wyprzedza ładunek in

faza włączona .

Energia pola elektrycznego kondensatora

Energia prądu pola magnetycznego

Tak więc energie pól elektrycznych i magnetycznych również zmieniają się zgodnie z prawem harmonicznym, ale z podwojoną częstotliwością.

Podsumować

Przez drgania elektryczne należy rozumieć okresowe zmiany ładunku, napięcia, natężenia prądu, energii pola elektrycznego, energii pola magnetycznego. Drgania te, podobnie jak mechaniczne, mogą być zarówno swobodne, jak i wymuszone, harmoniczne i nieharmoniczne. Oscylacje elektryczne swobodnej harmonicznej są możliwe w idealnym obwodzie oscylacyjnym.

§2 Procesy zachodzące w obwodzie oscylacyjnym

Udowodniliśmy matematycznie istnienie swobodnych oscylacji harmonicznych w obwodzie oscylacyjnym. Nie wiadomo jednak, dlaczego taki proces jest możliwy. Co powoduje oscylacje w obwodzie?

W przypadku swobodnych drgań mechanicznych znaleziono taką przyczynę – jest to wewnętrzna siła, który powstaje, gdy system jest wytrącony z równowagi. Siła ta w każdym momencie jest skierowana do położenia równowagi i jest proporcjonalna do współrzędnej ciała (ze znakiem minus). Spróbujmy znaleźć podobny powód występowania oscylacji w obwodzie oscylacyjnym.

Niech oscylacje w obwodzie wzbudzą się, ładując kondensator i zamykając go na cewce.

W początkowym momencie ładunek kondensatora jest maksymalny. W konsekwencji napięcie i energia pola elektrycznego kondensatora są również maksymalne.

W obwodzie nie ma prądu, energia pola magnetycznego prądu wynosi zero.

Pierwszy kwartał okresu- rozładowanie kondensatora.

Płyty kondensatora o różnych potencjałach są połączone przewodem, dzięki czemu kondensator zaczyna się rozładowywać przez cewkę. Zmniejsza się ładunek, napięcie na kondensatorze i energia pola elektrycznego.

Prąd pojawiający się w obwodzie wzrasta, jednak jego wzrostowi zapobiega samoindukcyjne pole elektromagnetyczne występujące w cewce. Energia pola magnetycznego prądu wzrasta.

Minęła kwadrans- kondensator jest rozładowany.

Kondensator rozładowany, napięcie na nim stało się równe zeru. Energia pola elektrycznego w tym momencie jest również równa zeru. Zgodnie z prawem zachowania energii nie mogło zniknąć. Energia pola kondensatora całkowicie zamieniła się w energię pola magnetycznego cewki, która w tym momencie osiąga swoją maksymalną wartość. Maksymalny prąd w obwodzie.

Wydawałoby się, że w tym momencie prąd w obwodzie powinien się zatrzymać, ponieważ zniknęła przyczyna prądu, czyli pole elektryczne. Jednak zanikowi prądu ponownie zapobiega pole elektromagnetyczne samoindukcji w cewce. Teraz będzie utrzymywał malejący prąd i będzie płynął w tym samym kierunku, ładując kondensator. Rozpoczyna się drugi kwartał okresu.

Drugi kwartał okresu - Ładowanie kondensatora.

Prąd wspierany przez samoindukcyjne pole elektromagnetyczne nadal płynie w tym samym kierunku, stopniowo malejąc. Prąd ten ładuje kondensator w przeciwnej polaryzacji. Wzrasta ładunek i napięcie na kondensatorze.

Zmniejszająca się energia pola magnetycznego prądu przechodzi w energię pola elektrycznego kondensatora.

Minął drugi kwartał tego okresu - kondensator się naładował.

Kondensator ładuje się tak długo, jak jest prąd. Dlatego w momencie, gdy prąd ustaje, ładunek i napięcie na kondensatorze przyjmują wartość maksymalną.

Energia pola magnetycznego w tym momencie całkowicie zamieniła się w energię pola elektrycznego kondensatora.

Sytuacja w obwodzie w tej chwili jest równoważna z pierwotną. Procesy w obwodzie będą się powtarzać, ale w przeciwnym kierunku. Jedna pełna oscylacja w obwodzie, trwająca przez pewien okres, zakończy się, gdy układ powróci do swojego pierwotnego stanu, to znaczy, gdy kondensator zostanie ponownie naładowany do pierwotnej biegunowości.

Łatwo zauważyć, że przyczyną oscylacji w obwodzie jest zjawisko samoindukcji. EMF samoindukcji zapobiega zmianie prądu: nie pozwala na natychmiastowy wzrost i natychmiastowe zniknięcie.

Nawiasem mówiąc, nie byłoby zbyteczne porównywanie wyrażeń do obliczania siły quasi-sprężystej w mechanicznym układzie oscylacyjnym i pola elektromagnetycznego samoindukcji w obwodzie:

Wcześniej uzyskano równania różniczkowe dla mechanicznych i elektrycznych układów oscylacyjnych:

Mimo podstawowe różnice procesy fizyczne dla mechanicznych i elektrycznych układów oscylacyjnych wyraźnie widoczna jest matematyczna identyczność równań opisujących procesy zachodzące w tych układach. Należy to omówić bardziej szczegółowo.

§3 Analogia między wibracjami elektrycznymi i mechanicznymi

Dokładna analiza równań różniczkowych dla wahadła sprężynowego i obwodu oscylacyjnego oraz wzorów dotyczących wielkości charakteryzujących procesy w tych układach pozwala określić, które wielkości zachowują się w ten sam sposób (tab. 2).

Wahadło sprężynowe	Obwód oscylacyjny
Współrzędne ciała ()	Ładowanie na kondensatorze ()
prędkość ciała	Prąd pętli
Energia potencjalna sprężyny odkształconej sprężyście	Energia pola elektrycznego kondensatora
Energia kinetyczna ładunku	Energia pola magnetycznego cewki z prądem
Odwrotność sztywności sprężyny	Pojemność kondensatora
Waga obciążenia	Indukcyjność cewki
Siła sprężystości	SEM samoindukcji, równa napięciu na kondensatorze

Tabela 2

Ważne jest nie tylko formalne podobieństwo między wielkościami opisującymi procesy oscylacji wahadła a procesami w obwodzie. Same procesy są identyczne!

Skrajne pozycje wahadła odpowiadają stanowi obwodu, gdy ładunek na kondensatorze jest maksymalny.

Pozycja równowagi wahadła jest równoważna stanowi obwodu, gdy kondensator jest rozładowany. W tym momencie siła sprężystości zanika, a na kondensatorze w obwodzie nie ma napięcia. Prędkość wahadła i prąd w obwodzie są maksymalne. Energia potencjalna odkształcenia sprężystego sprężyny i energia pola elektrycznego kondensatora są równe zeru. Na energię układu składa się energia kinetyczna ładunku lub energia pola magnetycznego prądu.

Rozładowanie kondensatora przebiega podobnie do ruchu wahadła od skrajna pozycja do pozycji równowagi. Proces ładowania kondensatora jest identyczny z procesem przenoszenia obciążenia z położenia równowagi do położenia skrajnego.

Całkowita energia układu oscylacyjnego lub pozostaje niezmieniony w czasie.

Podobną analogię można znaleźć nie tylko między wahadłem sprężynowym a obwodem oscylacyjnym. Ogólne wzory swobodnych oscylacji dowolnej natury! Te wzorce, zilustrowane na przykładzie dwóch układów oscylacyjnych (wahadła sprężynowego i obwodu oscylacyjnego), są nie tylko możliwe, ale musisz zobaczyć w wibracjach dowolnego systemu.

W zasadzie możliwe jest rozwiązanie problemu dowolnego procesu oscylacyjnego poprzez zastąpienie go drganiami wahadła. Aby to zrobić, wystarczy umiejętnie zbudować równoważny układ mechaniczny, rozwiązać problem mechaniczny i zmienić wartości w wyniku końcowym. Na przykład musisz znaleźć okres drgań w obwodzie zawierającym kondensator i dwie cewki połączone równolegle.

Obwód oscylacyjny zawiera jeden kondensator i dwie cewki. Ponieważ cewka zachowuje się jak ciężar wahadła sprężynowego, a kondensator zachowuje się jak sprężyna, równoważny układ mechaniczny musi zawierać jedną sprężynę i dwa ciężarki. Cały problem polega na tym, jak obciążniki są przymocowane do sprężyny. Możliwe są dwa przypadki: jeden koniec sprężyny jest zamocowany, a jeden obciążnik jest przymocowany do wolnego końca, drugi do pierwszego lub obciążniki są przymocowane do różnych końców sprężyny.

Na połączenie równoległe cewki o różnych prądach indukcyjnych przepływają przez nie różnie. W konsekwencji prędkości obciążeń w identycznym układzie mechanicznym również muszą być różne. Oczywiście jest to możliwe tylko w drugim przypadku.

Znaleźliśmy już okres tego systemu oscylacyjnego. On jest równy . Zastępując masy odważników indukcyjnością cewek i odwrotnością sztywności sprężyny pojemnością kondensatora otrzymujemy .

§4 Obwód oscylacyjny ze źródłem prądu stałego

Rozważ obwód oscylacyjny zawierający źródło prądu stałego. Niech kondensator będzie początkowo rozładowany. Co się stanie w systemie po zamknięciu klucza K? Czy w tym przypadku będą obserwowane oscylacje i jaka jest ich częstotliwość i amplituda?

Oczywiście po zamknięciu klucza kondensator zacznie się ładować. Piszemy drugie prawo Kirchhoffa:

Prąd w obwodzie jest zatem prądem ładowania kondensatora. Następnie . Równanie różniczkowe jest przekształcane do postaci

*Rozwiąż równanie przez zmianę zmiennych.

Oznaczmy . Zróżnicować dwukrotnie i biorąc pod uwagę to , otrzymujemy . Równanie różniczkowe przyjmuje postać

Jest to równanie różniczkowe oscylacji harmonicznych, jego rozwiązaniem jest funkcja

gdzie to częstotliwość cykliczna, stałe całkowania i znajdują się w warunkach początkowych.

Ładunek na kondensatorze zmienia się zgodnie z prawem

Natychmiast po zamknięciu przełącznika ładunek na kondensatorze zero i nie ma prądu w obwodzie . Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy układ równań:

Rozwiązując system otrzymujemy i . Po zamknięciu klucza ładunek na kondensatorze zmienia się zgodnie z prawem.

Łatwo zauważyć, że w obwodzie występują oscylacje harmoniczne. Obecność źródła prądu stałego w obwodzie nie wpłynęła na częstotliwość drgań, pozostała jednakowa. Zmieniła się „pozycja równowagi” - w momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, kondensator jest ładowany. Amplituda oscylacji ładunku na kondensatorze jest równa Cε.

Ten sam wynik można uzyskać w prostszy sposób, używając analogii między drganiami w obwodzie a drganiami wahadła sprężynowego. Źródło DC jest równoważne DC pole siłowe, w którym umieszczone jest wahadło sprężynowe np. pole grawitacyjne. Brak ładunku na kondensatorze w momencie zamknięcia obwodu jest identyczny z brakiem odkształcenia sprężyny w momencie wprowadzenia wahadła w ruch oscylacyjny.

W stałym polu sił okres drgań wahadła sprężynowego nie ulega zmianie. Okres oscylacji w obwodzie zachowuje się w ten sam sposób - pozostaje niezmieniony po wprowadzeniu do obwodu źródła prądu stałego.

W położeniu równowagi, gdy prędkość obciążenia jest maksymalna, sprężyna ulega odkształceniu:

Gdy prąd w obwodzie oscylacyjnym jest maksymalny . Drugie prawo Kirchhoffa jest napisane w następujący sposób:

W tej chwili ładunek na kondensatorze jest równy. Ten sam wynik można uzyskać na podstawie wyrażenia (*) zastępując

§5 Przykłady rozwiązywania problemów

Zadanie 1 Prawo zachowania energii

L\u003d 0,5 μH i kondensator o pojemności Z= Występują oscylacje elektryczne 20 pF. Jakie jest maksymalne napięcie na kondensatorze, jeśli amplituda prądu w obwodzie wynosi 1 mA? Czynna rezystancja cewki jest znikoma.

Decyzja:

(1)

2 W chwili, gdy napięcie na kondensatorze jest maksymalne (maksymalne ładowanie na kondensatorze), w obwodzie nie ma prądu. Całkowita energia układu składa się tylko z energii pola elektrycznego kondensatora

(2)

3 W momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, kondensator jest całkowicie rozładowany. Całkowita energia układu składa się tylko z energii pola magnetycznego cewki

(3)

4 Na podstawie wyrażeń (1), (2), (3) otrzymujemy równość . Maksymalne napięcie na kondensatorze wynosi

Zadanie 2 Prawo zachowania energii

W obwodzie oscylacyjnym składającym się z cewki indukcyjnej L i kondensator Z, oscylacje elektryczne występują z okresem T = 1 μs. Maksymalna wartość ładowania . Jaki jest prąd w obwodzie w momencie, gdy ładunek na kondensatorze jest równy? Czynna rezystancja cewki jest znikoma.

Decyzja:

1 Ponieważ rezystancję czynną cewki można pominąć, całkowita energia układu, składająca się z energii pola elektrycznego kondensatora i energii pola magnetycznego cewki, pozostaje niezmieniona w czasie:

(1)

2 W momencie, gdy ładunek na kondensatorze jest maksymalny, w obwodzie nie ma prądu. Całkowita energia układu składa się tylko z energii pola elektrycznego kondensatora

(2)

3 Na podstawie (1) i (2) otrzymujemy równość . Prąd w obwodzie wynosi .

4 Okres oscylacji w obwodzie określa wzór Thomsona. Stąd. Następnie dla prądu w obwodzie otrzymujemy

Zadanie 3 Obwód oscylacyjny z dwoma kondensatorami połączonymi równolegle

W obwodzie oscylacyjnym składającym się z cewki indukcyjnej L i kondensator Z, oscylacje elektryczne występują z amplitudą ładunku. W momencie, gdy ładunek na kondensatorze jest maksymalny, klucz K jest zamknięty.Jaki będzie okres drgań w obwodzie po zamknięciu klucza? Jaka jest amplituda prądu w obwodzie po zamknięciu przełącznika? Zignoruj rezystancję omową obwodu.

Decyzja:

1 Zamknięcie kluczyka powoduje pojawienie się w obwodzie kolejnego kondensatora połączonego równolegle z pierwszym. Całkowita pojemność dwóch kondensatorów połączonych równolegle wynosi .

Okres oscylacji w obwodzie zależy tylko od jego parametrów i nie zależy od tego, w jaki sposób oscylacje zostały wzbudzone w układzie i jaka energia została do tego przekazana układowi. Zgodnie z formułą Thomsona.

2 Aby znaleźć amplitudę prądu, dowiedzmy się, jakie procesy zachodzą w obwodzie po zamknięciu klucza.

Drugi kondensator został podłączony w momencie, gdy ładunek na pierwszym kondensatorze był maksymalny, dlatego w obwodzie nie było prądu.

Kondensator pętli powinien zacząć się rozładowywać. Prąd rozładowania po dotarciu do węzła należy podzielić na dwie części. Natomiast w odgałęzieniu z cewką występuje SEM samoindukcji, co zapobiega wzrostowi prądu rozładowania. Z tego powodu cały prąd rozładowania popłynie do gałęzi z kondensatorem, którego rezystancja wynosi zero. Prąd zatrzyma się, gdy tylko napięcia na kondensatorach się wyrównają, podczas gdy początkowy ładunek kondensatora zostanie ponownie rozprowadzony między dwoma kondensatorami. Czas redystrybucji ładunku pomiędzy dwoma kondensatorami jest pomijalny ze względu na brak rezystancji omowej w gałęziach kondensatora. W tym czasie prąd w gałęzi z cewką nie zdąży się pojawić. wahania w nowy system kontynuować po ponownym rozłożeniu ładunku między kondensatorami.

Ważne jest, aby zrozumieć, że w procesie redystrybucji ładunku między dwoma kondensatorami energia systemu nie jest zachowywana! Przed zamknięciem klucza jeden kondensator, kondensator pętli, miał energię:

Po redystrybucji ładunku bateria kondensatorów posiada energię:

Łatwo zauważyć, że energia systemu spadła!

3 Wyznaczamy nową amplitudę prądu korzystając z prawa zachowania energii. W procesie oscylacji energia baterii kondensatorów zamieniana jest na energię pola magnetycznego prądu:

Należy pamiętać, że prawo zachowania energii zaczyna „działać” dopiero po zakończeniu redystrybucji ładunku między kondensatorami.

Zadanie 4 Obwód oscylacyjny z dwoma kondensatorami połączonymi szeregowo

Obwód oscylacyjny składa się z cewki o indukcyjności L oraz dwóch kondensatorów C i 4C połączonych szeregowo. Kondensator o pojemności C jest ładowany do napięcia, kondensator o pojemności 4C nie jest ładowany. Po zamknięciu klucza w obwodzie zaczynają się oscylacje. Jaki jest okres tych oscylacji? Określ amplitudę prądu, maksymalne i minimalne wartości napięcia na każdym kondensatorze.

Decyzja:

1 W momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, w cewce nie ma samoindukcji sem . Zapisujemy na ten moment drugie prawo Kirchhoffa

Widzimy, że w momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, kondensatory są ładowane do tego samego napięcia, ale w przeciwnej polaryzacji:

2 Przed zamknięciem klucza na całkowitą energię układu składała się tylko energia pola elektrycznego kondensatora C:

W momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, energia układu jest sumą energii pola magnetycznego prądu i energii dwóch kondensatorów naładowanych tym samym napięciem:

Zgodnie z prawem zachowania energii

Aby znaleźć napięcie na kondensatorach, korzystamy z zasady zachowania ładunku - ładunek dolnej płytki kondensatora C został częściowo przeniesiony na górną płytkę kondensatora 4C:

Znalezioną wartość napięcia podstawiamy do prawa zachowania energii i znajdujemy amplitudę prądu w obwodzie:

3 Znajdźmy granice, w których napięcie na kondensatorach zmienia się podczas procesu oscylacji.

Oczywiste jest, że w momencie zamknięcia obwodu na kondensatorze C było maksymalne napięcie. Kondensator 4C nie był naładowany, dlatego .

Po zamknięciu przełącznika kondensator C zaczyna się rozładowywać, a kondensator o pojemności 4C zaczyna się ładować. Proces rozładowywania pierwszego i ładowania drugiego kondensatora kończy się z chwilą ustania prądu w obwodzie. Stanie się to za pół okresu. Zgodnie z prawami zachowania energii i ładunku elektrycznego:

Rozwiązując system, znajdujemy:

Znak minus oznacza, że po upływie pół okresu pojemność C jest ładowana w odwrotnej polaryzacji oryginału.

Zadanie 5 Obwód oscylacyjny z dwiema cewkami połączonymi szeregowo

Obwód oscylacyjny składa się z kondensatora o pojemności C i dwóch cewek o indukcyjności L1 oraz L2. W momencie, gdy prąd w obwodzie osiąga maksymalną wartość, do pierwszej cewki szybko wprowadza się żelazny rdzeń (w porównaniu z okresem oscylacji), co prowadzi do zwiększenia jego indukcyjności o μ razy. Jaka jest amplituda napięcia w procesie dalszych oscylacji w obwodzie?

Decyzja:

1 Wraz z szybkim wprowadzeniem rdzenia do cewki, strumień magnetyczny(zjawisko indukcji elektromagnetycznej). Dlatego gwałtowna zmiana indukcyjności jednej z cewek spowoduje szybką zmianę prądu w obwodzie.

2 Podczas wprowadzania rdzenia do cewki ładunek na kondensatorze nie miał czasu na zmianę, pozostał nienaładowany (rdzeń został wprowadzony w momencie, gdy prąd w obwodzie był maksymalny). Po jednej czwartej okresu energia pola magnetycznego prądu zamieni się w energię naładowanego kondensatora:

Zastąp w otrzymanym wyrażeniu wartość prądu I i znajdź amplitudę napięcia na kondensatorze:

Zadanie 6 Obwód oscylacyjny z dwiema cewkami połączonymi równolegle

Cewki indukcyjne L 1 i L 2 są połączone za pomocą kluczy K1 i K2 z kondensatorem o pojemności C. W początkowej chwili oba klucze są otwarte, a kondensator jest naładowany do różnicy potencjałów. Po pierwsze, klucz K1 jest zamknięty, a gdy napięcie na kondensatorze staje się równe zeru, K2 jest zamknięty. Określ maksymalne napięcie na kondensatorze po zamknięciu K2. Zignoruj rezystancje cewki.

Decyzja:

1 Gdy klucz K2 jest otwarty, w obwodzie składającym się z kondensatora i pierwszej cewki występują oscylacje. Do czasu zamknięcia K2 energia kondensatora przekształciła się w energię pola magnetycznego prądu w pierwszej cewce:

2 Po zamknięciu K2 w obwodzie oscylacyjnym pojawiają się dwie cewki połączone równolegle.

Prąd w pierwszej cewce nie może się zatrzymać ze względu na zjawisko samoindukcji. W węźle dzieli się: jedna część prądu trafia do drugiej cewki, a druga część ładuje kondensator.

3 Napięcie na kondensatorze stanie się maksymalne, gdy prąd się zatrzyma I kondensator ładowania. Jest oczywiste, że w tym momencie prądy w cewkach będą równe.

: Obciążniki podlegają temu samemu modułowi siły - oba obciążniki są przymocowane do sprężyny Natychmiast po zamknięciu K2 w pierwszej cewce pojawił się prąd W początkowym momencie pierwszy ładunek miał prędkość Zaraz po zamknięciu K2 nie było prądu w drugiej cewce W początkowym momencie drugi ładunek był w spoczynku Jakie jest maksymalne napięcie na kondensatorze? Jaka jest maksymalna siła sprężystości występująca w sprężynie podczas oscylacji?

Wahadło porusza się do przodu z prędkością środka masy i oscyluje wokół środka masy.

Siła sprężystości jest maksymalna w momencie maksymalnego odkształcenia sprężyny. Oczywiście w tym momencie względna prędkość ciężarków staje się równa zeru, a względem stołu ciężarki poruszają się z prędkością środka masy. Zapisujemy prawo zachowania energii:

Rozwiązując system, znajdujemy

Dokonujemy wymiany

i weź maksymalne napięcie wcześniej znaleziona wartość

§6 Zadania do samodzielnego rozwiązania

Ćwiczenie 1 Obliczanie okresu i częstotliwości drgań własnych

1 Obwód oscylacyjny zawiera cewkę o zmiennej indukcyjności, zmieniającej się w granicach L1= 0,5 µH do L2\u003d 10 μH i kondensator, którego pojemność może się różnić od Od 1= 10 pF do

Od 2\u003d 500 pF. Jaki zakres częstotliwości można pokryć dostrajając ten obwód?

2 Ile razy zmieni się częstotliwość drgań własnych w obwodzie, jeśli jego indukcyjność wzrośnie 10-krotnie, a pojemność zmniejszy się 2,5-krotnie?

3 Obwód oscylacyjny z kondensatorem 1 uF jest dostrojony do częstotliwości 400 Hz. Jeśli podłączysz do niego równolegle drugi kondensator, częstotliwość oscylacji w obwodzie stanie się równa 200 Hz. Określ pojemność drugiego kondensatora.

4 Obwód oscylacyjny składa się z cewki i kondensatora. Ile razy zmieni się częstotliwość drgań własnych w obwodzie, jeśli w obwód zostanie włączony szeregowo drugi kondensator, którego pojemność jest 3 razy mniejsza od pojemności pierwszego?

5 Określić okres drgań obwodu, który zawiera cewkę (bez rdzenia) o długości w= 50 cm m powierzchni przekroju

S\u003d 3 cm 2, mając N\u003d 1000 zwojów i kondensator pojemnościowy Z= 0,5 uF.

6 Obwód oscylacyjny zawiera cewkę indukcyjną L\u003d 1,0 μH i kondensator powietrzny, którego obszary płytek S\u003d 100 cm2. Obwód jest dostrojony do częstotliwości 30 MHz. Określ odległość między płytami. Czynna rezystancja obwodu jest znikoma.

OSCYLACJE I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

§1 Obwód oscylacyjny.

Drgania naturalne w obwodzie oscylacyjnym.

Wzór Thomsona.

Drgania tłumione i wymuszone w c.c.

Wibracje swobodne w c.c.

Obwód oscylacyjny (cc) to obwód składający się z kondensatora i cewki indukcyjnej. Pod pewnymi warunkami w c.c. Mogą wystąpić fluktuacje elektromagnetyczne ładunku, prądu, napięcia i energii.

Rozważ obwód pokazany na rysunku 2. Jeśli umieścisz klucz w pozycji 1, kondensator zostanie naładowany, a na jego płytkach pojawi się ładunekQ i napięcie U C. Jeśli następnie przekręcisz kluczyk w pozycję 2, to kondensator zacznie się rozładowywać, w obwodzie popłynie prąd, natomiast energia pola elektrycznego zamkniętego między płytkami kondensatora zostanie zamieniona na energię pola magnetycznego skoncentrowaną w cewce indukcyjnejL. Obecność cewki indukcyjnej prowadzi do tego, że prąd w obwodzie nie wzrasta natychmiast, ale stopniowo ze względu na zjawisko samoindukcji. Gdy kondensator się rozładowuje, ładunek na jego płytkach zmniejszy się, prąd w obwodzie wzrośnie. Maksymalna wartość prądu pętli osiągnie, gdy ładunek na płytkach będzie równy zero. Od tego momentu prąd pętli zacznie się zmniejszać, ale ze względu na zjawisko samoindukcji będzie utrzymywany przez pole magnetyczne cewki indukcyjnej, tj. gdy kondensator zostanie całkowicie rozładowany, energia pola magnetycznego zmagazynowana w cewce zacznie zamieniać się w energię pola elektrycznego. Z powodu prądu pętli kondensator zacznie się ładować, a na jego płytkach zacznie gromadzić się ładunek przeciwny do pierwotnego. Kondensator będzie ładowany, dopóki cała energia pola magnetycznego cewki indukcyjnej nie zostanie zamieniona na energię pola elektrycznego kondensatora. Następnie proces zostanie powtórzony w przeciwnym kierunku, a tym samym w obwodzie wystąpią oscylacje elektromagnetyczne.

Zapiszmy drugie prawo Kirchhoffa dla rozważanego k.k.,

Równanie różniczkowe k.k.

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe dla oscylacji ładunku w prądzie stałym. Równanie to jest podobne do równania różniczkowego opisującego ruch ciała pod działaniem siły quasi-sprężystej. Dlatego rozwiązanie tego równania zostanie napisane podobnie

Równanie fluktuacji ładunku w c.c.

Równanie wahań napięcia na płytkach kondensatora w układzie c.c.

Równanie wahań prądu w k.k.

Tłumione oscylacje w QC

Rozważmy CC zawierający pojemność, indukcyjność i rezystancję. Drugie prawo Kirchhoffa w tym przypadku zostanie zapisane w postaci

- współczynnik tłumienia,

Własna częstotliwość cykliczna.

- - równanie różniczkowe drgań tłumionych w układzie c.c.

Równanie tłumionych oscylacji ładunku w prądzie oscylacyjnym.

Prawo zmiany amplitudy ładunku podczas drgań tłumionych w o.c.;

Okres drgań tłumionych.

Spadek tłumienia.

- logarytmiczny dekrement tłumienia.

Dobro obwodu.

Jeśli tłumienie jest słabe, to T T 0

Badamy zmianę napięcia na płytkach kondensatora.

Zmiana prądu jest przesunięta w fazie o φ od napięcia.

at - możliwe drgania tłumione,

w - sytuacja krytyczna

krawat. R > RW celu- nie występują wahania (nieokresowe rozładowanie kondensatora).

Wibracje elektromagnetyczne czy okresowe zmiany w czasie w elektryce i wielkości magnetyczne w obwodzie elektrycznym.

Wolny nazywają się takimi wahania, które powstają w układzie zamkniętym na skutek odchylenia tego układu od stanu równowagi stabilnej.

Podczas oscylacji zachodzi ciągły proces przekształcania energii układu z jednej postaci w drugą. W przypadku wahania pole elektromagnetyczne wymiana może mieć miejsce tylko między elektrycznymi i magnetycznymi składnikami tego pola. Najprostszym systemem, w którym może odbywać się ten proces, jest obwód oscylacyjny.

Idealny obwód oscylacyjny (Obwód LC) - obwód elektryczny składający się z cewki indukcyjnej L i kondensator C.

W przeciwieństwie do prawdziwego obwodu oscylacyjnego, który ma opór elektryczny R, opór elektryczny idealny kontur jest zawsze zerowy. Dlatego idealny obwód oscylacyjny jest uproszczonym modelem rzeczywistego obwodu.

Rysunek 1 przedstawia schemat idealnego obwodu oscylacyjnego.

Energia obwodu

Całkowita energia obwodu oscylacyjnego

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Gdzie My- energia pola elektrycznego obwodu oscylacyjnego w ten moment czas Z to pojemność kondensatora, ty- wartość napięcia na kondensatorze w danym czasie, q- wartość ładunku kondensatora w danym czasie, Wm- energia pola magnetycznego obwodu oscylacyjnego w danym czasie, L- indukcyjność cewki, i- wartość prądu w cewce w danym czasie.

Procesy w obwodzie oscylacyjnym

Rozważ procesy zachodzące w obwodzie oscylacyjnym.

Aby usunąć obwód z położenia równowagi, ładujemy kondensator tak, aby na jego płytach był ładunek Qm(rys. 2, pozycja 1 ). Biorąc pod uwagę równanie \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) znajdujemy wartość napięcia na kondensatorze. W tym momencie w obwodzie nie ma prądu, tj. i = 0.

Po zamknięciu klucza, pod działaniem pola elektrycznego kondensatora w obwodzie, Elektryczność, aktualna siła i które z czasem wzrośnie. Kondensator w tym czasie zacznie się rozładowywać, ponieważ. elektrony, które wytwarzają prąd (przypominam, że kierunek ruchu ładunków dodatnich jest uważany za kierunek prądu) opuszczają ujemną płytkę kondensatora i dochodzą do dodatniej (patrz rys. 2, pozycja 2 ). Wraz z opłatą q napięcie zmniejszy się ty\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Wraz ze wzrostem natężenia prądu przez cewkę pojawi się emf samoindukcyjny, który zapobiega zmianie natężenia prądu. W rezultacie natężenie prądu w obwodzie oscylacyjnym wzrośnie od zera do określonej wartości maksymalnej nie natychmiast, ale przez pewien czas, określony przez indukcyjność cewki.

Ładowanie kondensatora q maleje i w pewnym momencie staje się równa zeru ( q = 0, ty= 0), prąd w cewce osiągnie określoną wartość Jestem(patrz rys. 2, pozycja 3 ).

Bez pola elektrycznego kondensatora (i rezystancji) elektrony, które wytwarzają prąd, poruszają się bezwładnie. W tym przypadku elektrony docierające do neutralnej płytki kondensatora dają mu ładunek ujemny, a elektrony opuszczające neutralną płytkę nadają mu ładunek dodatni. Kondensator zaczyna się ładować q(i napięcie) ty), ale znaku przeciwnego, tj. kondensator jest ładowany. Teraz nowe pole elektryczne kondensatora zapobiega przemieszczaniu się elektronów, więc prąd i zaczyna się zmniejszać (patrz rys. 2, pozycja 4 ). Ponownie, nie dzieje się to natychmiast, ponieważ teraz samoindukcyjne pole elektromagnetyczne stara się zrekompensować spadek prądu i „wspiera” go. A wartość prądu Jestem(w ciąży 3 ) okazało się maksymalny prąd w konturze.

I znowu, pod działaniem pola elektrycznego kondensatora, w obwodzie pojawi się prąd elektryczny, ale skierowany w przeciwnym kierunku, siła prądu i które z czasem wzrośnie. W tym czasie kondensator zostanie rozładowany (patrz rys. 2, pozycja 6 ) do zera (patrz rys. 2, pozycja 7 ). Itp.

Ponieważ ładunek na kondensatorze q(i napięcie) ty) określa jego energię pola elektrycznego My\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) i prąd w cewce i- energia pola magnetycznego wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) to wraz ze zmianami ładunku, napięcia i natężenia prądu zmienią się również energie.

Oznaczenia w tabeli:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Całkowita energia idealnego obwodu oscylacyjnego jest zachowana w czasie, ponieważ występuje w nim strata energii (brak oporu). Następnie

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Tak więc idealnie LC- w obwodzie występują okresowe zmiany wartości natężenia prądu i, opłata q i stres ty, a całkowita energia obwodu pozostanie stała. W tym przypadku mówimy, że istnieją swobodne oscylacje elektromagnetyczne.

Swobodne oscylacje elektromagnetyczne w obwodzie - są to okresowe zmiany ładunku na płytkach kondensatora, natężenia prądu i napięcia w obwodzie, zachodzące bez zużywania energii ze źródeł zewnętrznych.

Tak więc występowanie w obwodzie swobodnych oscylacji elektromagnetycznych wynika z doładowania kondensatora i wystąpienia w cewce samoindukcyjnego pola elektromagnetycznego, które „zapewnia” to ładowanie. Zauważ, że ładunek na kondensatorze q a prąd w cewce i osiągnąć swoje maksymalne wartości Qm oraz Jestem w różnych momentach.

Swobodne oscylacje elektromagnetyczne w obwodzie występują zgodnie z prawem harmonicznym:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Najmniejszy okres czasu, w którym LC- obwód powraca do stanu pierwotnego (do początkowej wartości ładunku tej okładziny), nazywany jest okresem swobodnych (naturalnych) oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie.

Okres swobodnych oscylacji elektromagnetycznych w LC-kontur określa wzór Thomsona:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Z punktu widzenia analogii mechanicznej wahadło sprężynowe bez tarcia odpowiada idealnemu obwodowi oscylacyjnemu, a rzeczywistemu - z tarciem. Ze względu na działanie sił tarcia drgania wahadła sprężynowego tłumią się z czasem.

*Wyprowadzenie wzoru Thomsona

Ponieważ całkowita energia ideału LC-kontur, równy sumie energii pole elektrostatyczne kondensator i pole magnetyczne cewki jest zachowane, wtedy w każdej chwili równość

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Otrzymujemy równanie oscylacji w LC-obwodowy, wykorzystujący zasadę zachowania energii. Zróżnicowanie wyrażenia dla jego całkowitej energii względem czasu, biorąc pod uwagę fakt, że

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

otrzymujemy równanie opisujące swobodne drgania w idealnym obwodzie:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Przepisując to jako:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

zauważ, że jest to równanie oscylacji harmonicznych o częstotliwości cyklicznej

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

W związku z tym okres rozważanych oscylacji

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Literatura

Żyłko, W.W. Fizyka: podręcznik. dodatek do klasy 11 kształcenia ogólnego. szkoła z rosyjskiego język. szkolenie / V.V. Żiłko, LG Markowicz. - Mińsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.