Skośny nazwany tego typu zginaniem, w którym wszystkie obciążenia zewnętrzne powodujące zginanie działają w jednej płaszczyźnie siły, która nie pokrywa się z żadną z głównych płaszczyzn.

Rozważmy pręt zaciśnięty na jednym końcu i obciążony siłą na wolnym końcu F(Rys. 11.3).

Ryż. 11.3. Schemat projektowania ukośnego zakrętu

Siła zewnętrzna F przyłożony pod kątem do osi tak. Rozłóżmy siłę F na elementy leżące w głównych płaszczyznach belki, a następnie:

Momenty zginające w dowolnym przekroju mierzone na odległość z od wolnego końca będzie równa:

W ten sposób w każdym odcinku belki działają jednocześnie dwa momenty zginające, które powodują zagięcie w głównych płaszczyznach. Dlatego zagięcie skośne można uznać za szczególny przypadek zagięcia przestrzennego.

Naprężenia normalne w przekroju belki z ukośnym zginaniem określa wzór

Aby znaleźć największe normalne naprężenia rozciągające i ściskające przy zginaniu ukośnym, konieczne jest wybranie niebezpiecznego odcinka belki.

Jeżeli momenty zginające | M x| i | Mój| osiągną swoje maksymalne wartości w określonej sekcji, to jest to sekcja niebezpieczna. W ten sposób,

Odcinki niebezpieczne obejmują również odcinki, w których momenty zginające | M x| i | Mój| osiągać jednocześnie wystarczająco duże wartości. Dlatego przy skośnym zginaniu może być kilka niebezpiecznych odcinków.

Ogólnie, kiedy - przekrój asymetryczny, tzn. oś neutralna nie jest prostopadła do płaszczyzny siły. W przypadku przekrojów symetrycznych zginanie ukośne nie jest możliwe.

11.3. Położenie osi neutralnej i punktów niebezpiecznych

w przekroju. Warunek wytrzymałości na zginanie ukośne.

Określanie wymiarów przekroju.

Ruchy w zginaniu ukośnym

Położenie osi neutralnej w zginaniu ukośnym określa wzór

gdzie jest kąt nachylenia osi neutralnej do osi x;

Kąt nachylenia płaszczyzny siły do ​​osi w(Rys. 11.3).

W niebezpiecznym odcinku belki (w osadzeniu, ryc. 11.3) naprężenia w punktach narożnych są określone wzorami:

Przy zginaniu ukośnym, a także przy zginaniu przestrzennym, oś neutralna dzieli przekrój belki na dwie strefy - strefę rozciągania i strefę ściskania. Dla przekroju prostokątnego strefy te pokazano na ryc. 11.4.

Ryż. 11.4. Schemat przekroju ściągniętej belki na ukośnym zakręcie

Do wyznaczenia ekstremalnych naprężeń rozciągających i ściskających konieczne jest poprowadzenie stycznych do przekroju w strefach rozciągania i ściskania równolegle do osi obojętnej (rys. 11.4).

Punkty styku najbardziej oddalone od osi neutralnej ALE I OD są niebezpiecznymi punktami odpowiednio w strefach ściskania i rozciągania.

W przypadku materiałów ciągliwych, gdy nośność obliczeniowa materiału belki przy rozciąganiu i ściskaniu są sobie równe, tj. [ σ p] = = [s c] = [σ ], w sekcji niebezpiecznej jest określany, a warunek wytrzymałości można przedstawić jako

Dla przekrojów symetrycznych (prostokąt, dwuteownik) warunek wytrzymałości ma postać:

Z warunku wytrzymałości wynikają trzy rodzaje obliczeń:

Kontrola;

Projekt - określenie wymiarów geometrycznych przekroju;

Wyznaczenie nośności belki (dopuszczalne obciążenie).

Jeśli znany jest związek między bokami przekroju, np. dla prostokąta h = 2b, to z warunku wytrzymałości ściągniętej belki można określić parametry b I h w następujący sposób:

lub

ostatecznie.

W podobny sposób ustalane są parametry każdego odcinka. Pełne przemieszczenie przekroju belki podczas zginania skośnego, z uwzględnieniem zasady niezależności działania sił, definiuje się jako sumę geometryczną przemieszczeń w płaszczyznach głównych.

Określ przemieszczenie swobodnego końca belki. Użyjmy metody Vereshchagin. Przemieszczenie pionowe znajdujemy mnożąc wykresy (rys. 11.5) według wzoru

Podobnie definiujemy przemieszczenie poziome:

Wtedy całkowite przemieszczenie określa się wzorem

Ryż. 11.5. Schemat wyznaczania pełnego przemieszczenia

na skośnym zakręcie

Kierunek pełnego ruchu jest określony przez kąt β (Rys. 11.6):

Otrzymany wzór jest identyczny ze wzorem na określenie położenia osi obojętnej przekroju belki. Pozwala to stwierdzić, że , tj. kierunek ugięcia jest prostopadły do ​​osi neutralnej. W konsekwencji płaszczyzna ugięcia nie pokrywa się z płaszczyzną obciążenia.

Ryż. 11.6. Schemat wyznaczania płaszczyzny ugięcia

na skośnym zakręcie

Kąt odchylenia płaszczyzny odchylenia od osi głównej tak będzie większa, im większe przemieszczenie. Dlatego dla belki o przekroju sprężystym, dla którego stosunek Jx/Jy duże, skośne zginanie jest niebezpieczne, ponieważ powoduje duże ugięcia i naprężenia w płaszczyźnie o najmniejszej sztywności. Do baru z Jx= Jy, całkowite ugięcie leży w płaszczyźnie siły, a ukośne zginanie jest niemożliwe.

11.4. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie belki. Normalna

naprężenia w przekrojach belki

Ekscentryczne napięcie (kompresja) to rodzaj odkształcenia, w którym siła rozciągająca (ściskająca) jest równoległa do osi podłużnej belki, ale punkt jej przyłożenia nie pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju.

Ten rodzaj problemu jest często stosowany w budownictwie przy obliczaniu słupów budowlanych. Rozważ mimośrodową kompresję belki. Oznaczamy współrzędne punktu przyłożenia siły F w poprzek x F I w F , i główne osie przekroju - przez x i y. Oś z kierować w taki sposób, aby współrzędne x F I w F były pozytywne (ryc. 11.7, a)

Jeśli przekażesz moc F równolegle do siebie z punktu OD do środka ciężkości przekroju, mimośrodowe ściskanie można przedstawić jako sumę trzech prostych odkształceń: ściskania i zginania w dwóch płaszczyznach (ryc. 11.7, b). Czyniąc to, mamy:

Naprężenia w dowolnym punkcie przekroju poddanego ściskaniu mimośrodowemu, leżącemu w pierwszej ćwiartce, o współrzędnych x i y można znaleźć w oparciu o zasadę niezależności działania sił:

kwadratowe promienie bezwładności przekroju, to

gdzie x I tak są współrzędnymi punktu przekroju, w którym określane jest naprężenie.

Przy wyznaczaniu naprężeń konieczne jest uwzględnienie znaków współrzędnych zarówno punktu przyłożenia siły zewnętrznej, jak i punktu wyznaczania naprężenia.

Ryż. 11.7. Schemat belki ze ściskaniem mimośrodowym

W przypadku mimośrodowego naprężenia belki w otrzymanym wzorze znak „minus” należy zastąpić znakiem „plus”.

Rozciąganie (kompresja)- jest to rodzaj obciążenia belki, w której w jej przekrojach powstaje tylko jeden współczynnik siły wewnętrznej - siła wzdłużna N.

Podczas rozciągania i ściskania siły zewnętrzne są przykładane wzdłuż osi podłużnej z (Rysunek 109).

Rysunek 109

Metodą przekrojów można wyznaczyć wartość VSF - siły wzdłużnej N pod obciążeniem prostym.

Siły wewnętrzne (naprężenia) powstające w dowolnym przekroju podczas rozciągania (ściskania) wyznacza się za pomocą przypuszczenia dotyczące płaskich przekrojów Bernoulliego:

Przekrój belki, płaski i prostopadły do ​​osi przed obciążeniem, pozostaje taki sam pod obciążeniem.

Wynika z tego, że włókna belki (Rysunek 110) są wydłużone o taką samą wielkość. Oznacza to, że siły wewnętrzne (tj. naprężenia) działające na każde włókno będą takie same i rozłożone równomiernie w przekroju.

Rysunek 110

Ponieważ N jest wypadkową sił wewnętrznych, to N \u003d σ · A oznacza normalne naprężenia σ przy rozciąganiu i ściskaniu są określone wzorem:

[N/mm2 = MPa], (72)

gdzie A jest polem przekroju.

Przykład 24. Dwa pręty: odcinek kołowy o średnicy d = 4 mm i odcinek kwadratowy o boku 5 mm rozciągane są tą samą siłą F = 1000 N. Który z prętów jest bardziej obciążony?

Dany: d = 4 mm; a = 5 mm; F = 1000 N.

Definiować: σ 1 i σ 2 - w prętach 1 i 2.

Rozwiązanie:

Przy rozciąganiu siła wzdłużna w prętach wynosi N = F = 1000 N.

Pola przekroju prętów:

; .

Naprężenia normalne w przekrojach prętów:

, .

Ponieważ σ 1 > σ 2, pierwszy okrągły pręt jest obciążony bardziej.

Przykład 25. Kabel skręcony z 80 drutów o średnicy 2 mm rozciągany jest siłą 5 kN. Określ naprężenie w przekroju.

Dany: k = 80; d = 2 mm; F = 5 kN.

Definiować: σ.

Rozwiązanie:

N = F = 5 kN, ,

następnie .

Tutaj A 1 to pole przekroju poprzecznego jednego przewodu.

Notatka: odcinek kabla nie jest kołem!

2.2.2 Wykresy sił wzdłużnych N i naprężeń normalnych σ na długości pręta

Aby obliczyć wytrzymałość i sztywność złożonej belki na rozciąganie i ściskanie, konieczne jest poznanie wartości N i σ w różnych przekrojach.

W tym celu budowane są diagramy: działka N i działka σ.

Diagram- jest to wykres zmian siły podłużnej N i naprężeń normalnych σ na długości belki.

Siła wzdłużna N w dowolnym przekroju belki jest równa algebraicznej sumie wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do pozostałej części, tj. jedna strona cięcia

Siły zewnętrzne F, rozciągające belkę i odwrócone od przekroju, są uważane za dodatnie.

Kolejność wykreślania N i σ

1 Przekroje dzielą belkę na sekcje, których granice to:

a) sekcje na końcach belki;

b) gdzie przyłożone są siły F;

c) gdzie zmienia się pole przekroju A.

2 Numerujemy sekcje, zaczynając od

wolny koniec.

3 Dla każdej działki, stosując metodę

przekroje wyznaczamy siłę wzdłużną N

i wykreśl działkę N w skali.

4 Wyznacz naprężenie normalne σ

na każdej stronie i wbudowuj

skala wykresu σ.

Przykład 26. Zbuduj wykresy N i σ wzdłuż długości pręta schodkowego (Rysunek 111).

Dany: F 1 \u003d 10 kN; F2 = 35 kN; 1 \u003d 1 cm 2; 2 \u003d 2 cm 2.

Rozwiązanie:

1) Belkę dzielimy na sekcje, których granicami są: sekcje na końcach belki, w których działają siły zewnętrzne F, gdzie zmienia się pole przekroju A - łącznie są 4 sekcje.

2) Numerujemy sekcje, zaczynając od wolnego końca:

od I do IV. Rysunek 111

3) Dla każdego przekroju metodą przekrojów wyznaczamy siłę wzdłużną N.

Siła podłużna N jest równa algebraicznej sumie wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do reszty belki. Ponadto siły zewnętrzne F rozciągające belkę są uważane za dodatnie.

Tabela 13

4) Na skali budujemy diagram N. Skala jest wskazywana tylko przez dodatnie wartości N, na schemacie znak plus lub minus (rozciągnięcie lub ściskanie) jest wskazany w kole w prostokącie diagramu. Dodatnie wartości N są wykreślone powyżej osi zerowej wykresu, ujemne - poniżej osi.

5) Weryfikacja (ustna): W odcinkach, w których działają siły zewnętrzne F, na wykresie N wystąpią pionowe skoki równe wielkości tym siłom.

6) Określamy naprężenia normalne w sekcjach każdej sekcji:

; ;

; .

Budujemy diagram σ na skali.

7) Badanie: Znaki N i σ są takie same.

Myśl i odpowiadaj na pytania

1) jest to niemożliwe; 2) jest możliwe.

53 Czy naprężenia rozciągające (ściskanie) prętów zależą od kształtu ich przekroju (kwadrat, prostokąt, koło itp.)?

1) zależeć; 2) nie zależą.

54 Czy wielkość naprężeń w przekroju zależy od materiału, z którego wykonany jest pręt?

1) zależy; 2) nie zależy.

55 Które punkty przekroju okrągłego pręta są bardziej obciążone?

1) na osi belki; 2) na powierzchni koła;

3) we wszystkich punktach przekroju naprężenia są takie same.

56 Pręty stalowe i drewniane o równym polu przekroju rozciągane są tymi samymi siłami. Czy naprężenia powstające w prętach będą równe?

1) w stali naprężenie jest większe;

2) w drewnie naprężenie jest większe;

3) w prętach pojawią się równe naprężenia.

57 Dla pręta (Rysunek 112) wykreśl wykresy N i σ, jeśli F 1 = 2 kN; F 2 \u003d 5 kN; 1 \u003d 1,2 cm 2; 2 \u003d 1,4 cm 2.

Obliczanie belki o przekroju okrągłym pod kątem wytrzymałości i sztywności skrętnej

Obliczanie belki o przekroju okrągłym pod kątem wytrzymałości i sztywności skrętnej

Celem obliczeń wytrzymałości i sztywności skrętnej jest określenie takich wymiarów przekroju belki, przy których naprężenia i przemieszczenia nie przekroczą określonych wartości przewidzianych warunkami pracy. Warunek wytrzymałości dla dopuszczalnych naprężeń ścinających jest ogólnie zapisywany jako Ten warunek oznacza, że ​​najwyższe naprężenia ścinające występujące w skręconej belce nie powinny przekraczać odpowiednich dopuszczalnych naprężeń dla materiału. Dopuszczalne naprężenie skręcające zależy od 0 ─ naprężenia odpowiadającego niebezpiecznemu stanowi materiału oraz przyjętego współczynnika bezpieczeństwa n: ─ granica plastyczności, nt jest współczynnikiem bezpieczeństwa dla tworzywa sztucznego; ─ wytrzymałość na rozciąganie, nв - współczynnik bezpieczeństwa dla materiału kruchego. Ze względu na to, że trudniej jest uzyskać wartości w eksperymentach skręcania niż w rozciąganiu (ściskaniu), wówczas najczęściej dopuszczalne naprężenia skręcające są przyjmowane w zależności od dopuszczalnych naprężeń rozciągających dla tego samego materiału. A więc dla stali [dla żeliwa. Przy obliczaniu wytrzymałości belek skręconych możliwe są trzy rodzaje zadań, różniące się formą wykorzystania warunków wytrzymałościowych: 1) sprawdzanie naprężeń (obliczanie testowe); 2) wybór przekroju (obliczenia projektowe); 3) określenie dopuszczalnego obciążenia. 1. Podczas sprawdzania naprężeń dla zadanych obciążeń i wymiarów belki wyznacza się największe naprężenia styczne w niej powstające i porównuje z podanymi wzorem (2.16). Jeśli warunek wytrzymałości nie jest spełniony, konieczne jest albo zwiększenie wymiarów przekroju poprzecznego, albo zmniejszenie obciążenia działającego na belkę, albo zastosowanie materiału o większej wytrzymałości. 2. Przy doborze przekroju dla danego obciążenia i zadanej wartości naprężenia dopuszczalnego z warunku wytrzymałości (2.16) wyznacza się wartość biegunowego momentu oporu przekroju poprzecznego belki. pierścieniowy przekrój belki znajduje się na podstawie wielkości biegunowego momentu oporu. 3. Przy wyznaczaniu dopuszczalnego obciążenia dla danego dopuszczalnego napięcia i momentu biegunowego rezystancji WP najpierw wyznacza się dopuszczalny moment MK na podstawie (3.16), a następnie na podstawie wykresu momentu ustala się połączenie między KM a zewnętrznym skręcaniem chwile. Obliczenie belki pod kątem wytrzymałości nie wyklucza możliwości odkształceń, które są niedopuszczalne podczas jego pracy. Duże kąty skręcenia pręta są bardzo niebezpieczne, ponieważ mogą prowadzić do naruszenia dokładności obróbki części, jeśli pręt ten jest elementem konstrukcyjnym obrabiarki, lub mogą wystąpić drgania skrętne, jeśli pręt przenosi zmienne w czasie momenty skręcające , więc pręt należy również obliczyć pod kątem sztywności. Warunek sztywności zapisany jest w postaci: gdzie ─ największy względny kąt skręcenia belki, wyznaczony z wyrażenia (2.10) lub (2.11). Wtedy warunek sztywności wału przyjmie postać. Wartość dopuszczalnego względnego kąta skręcenia jest określona przez normy i dla różnych elementów konstrukcyjnych i różnych rodzajów obciążeń waha się od 0,15° do 2° na 1 m długości belki. Zarówno w warunku wytrzymałości, jak i w warunku sztywności, wyznaczając max lub max , posługujemy się charakterystykami geometrycznymi: WP ─ biegunowy moment oporu i IP ─ biegunowy moment bezwładności. Oczywiście cechy te będą inne dla przekrojów okrągłych pełnych i pierścieniowych o tej samej powierzchni tych przekrojów. Po szczegółowych obliczeniach można zauważyć, że biegunowe momenty bezwładności i moment oporu dla przekroju pierścieniowego są znacznie większe niż dla okrągłego przekroju kołowego, ponieważ przekrój pierścieniowy nie ma obszarów zbliżonych do środka. Dlatego pręt o przekroju pierścieniowym przy skręcaniu jest bardziej ekonomiczny niż pręt o pełnym przekroju okrągłym, tj. wymaga mniejszego zużycia materiału. Jednak produkcja takiego pręta jest bardziej skomplikowana, a przez to droższa, i ta okoliczność musi być również uwzględniona przy projektowaniu prętów pracujących w skręcaniu. Na przykładzie zilustrujemy metodologię obliczania belki pod kątem wytrzymałości i sztywności skrętnej, a także wnioskowanie o sprawności. Przykład 2.2 Porównanie ciężarów dwóch wałów, których wymiary poprzeczne są dobrane dla tego samego momentu MK 600 Nm przy tych samych dopuszczalnych naprężeniach w poprzek włókien (na długości co najmniej 10 cm) [cm] 90 2,5 Rcm 90 3 Rozszczepianie wzdłuż włókien przy zginaniu [u] 2 Rck 2,4 Rozszczepianie wzdłuż włókien przy cięciu 1 Rck 1,2 - 2,4 włókna

Podczas rozciągania (ściskania) drewna w jego przekroje powstać tylko normalne naprężenia. Wypadkowa odpowiednich sił elementarnych o, dA - siła wzdłużna N- można znaleźć za pomocą metody przekroju. Aby móc wyznaczyć naprężenia normalne dla znanej wartości siły podłużnej, konieczne jest ustalenie prawa rozkładu na przekroju belki.

Ten problem jest rozwiązany na podstawie protezy płaskiego przekroju(hipotezy J. Bernoulliego), który brzmi:

sekcje belek, które są płaskie i prostopadłe do osi przed deformacją, pozostają płaskie i prostopadłe do osi nawet podczas deformacji.

Gdy belka jest rozciągnięta (wykonana na przykład dla większa widoczność wrażenia gumy), na powierzchni kogo zastosowano system rys podłużnych i poprzecznych (rys. 2.7, a), można upewnić się, że zagrożenia pozostają proste i wzajemnie prostopadłe, zmieniają się tylko

gdzie A jest polem przekroju belki. Pomijając indeks z, w końcu otrzymujemy

W przypadku naprężeń normalnych przyjmuje się tę samą zasadę znakowania, co w przypadku sił podłużnych, tj. po rozciągnięciu naprężenia są uważane za dodatnie.

W rzeczywistości rozkład naprężeń w odcinkach belek sąsiadujących z miejscem przyłożenia sił zewnętrznych zależy od sposobu przyłożenia obciążenia i może być nierównomierny. Badania eksperymentalne i teoretyczne pokazują, że to naruszenie równomierności rozkładu naprężeń jest lokalny charakter. W odcinkach belki, oddalonych od miejsca załadunku w odległości w przybliżeniu równej największemu z wymiarów poprzecznych belki, rozkład naprężeń można uznać za prawie równomierny (ryc. 2.9).

Rozważana sytuacja jest przypadkiem szczególnym zasada św. Venanta, które można sformułować w następujący sposób:

rozkład naprężeń zależy zasadniczo od sposobu przyłożenia sił zewnętrznych tylko w pobliżu miejsca obciążenia.

W częściach dostatecznie oddalonych od miejsca przyłożenia sił rozkład naprężeń zależy praktycznie tylko od statycznego równoważnika tych sił, a nie od sposobu ich przyłożenia.

Tak więc, stosując Zasada świętego Venanta i odchodząc od kwestii napięć lokalnych, mamy możliwość (zarówno w tym, jak iw kolejnych rozdziałach kursu) nie interesować się konkretnymi sposobami zastosowania sił zewnętrznych.

W miejscach gwałtownej zmiany kształtu i wymiarów przekroju belki powstają również lokalne naprężenia. Zjawisko to nazywa się koncentracja stresu, których nie będziemy rozważać w tym rozdziale.

W przypadkach, gdy naprężenia normalne w różnych przekrojach belki nie są takie same, wskazane jest pokazanie prawa ich zmiany na długości belki w postaci wykresu - wykresy naprężeń normalnych.

PRZYKŁAD 2.3. Dla belki o zmiennym skokowo przekroju (ryc. 2.10, a) wykreśl siły wzdłużne I normalne naprężenia.

Rozwiązanie. Dzielimy belkę na sekcje, zaczynając od darmowego posłańca. Granice przekrojów to miejsca, w których działają siły zewnętrzne i zmieniają się wymiary przekroju, tj. belka ma pięć przekrojów. Podczas kreślenia tylko diagramów n konieczne byłoby podzielenie belki tylko na trzy sekcje.

Metodą przekrojów określamy siły podłużne w przekrojach belki i budujemy odpowiedni wykres (ryc. 2.10.6). Konstrukcja diagramu And zasadniczo nie różni się od tej rozważanej w Przykładzie 2.1, więc pomijamy szczegóły tej konstrukcji.

Naprężenia normalne obliczamy za pomocą wzoru (2.1), zastępując wartości sił w niutonach, a powierzchnie - w metrach kwadratowych.

W każdej sekcji naprężenia są stałe, tj. mi. działka w tym obszarze jest linią prostą, równoległą do osi odciętej (ryc. 2.10, c). W obliczeniach wytrzymałościowych interesujące są przede wszystkim te odcinki, w których występują największe naprężenia. Znamienne jest, że w rozpatrywanym przypadku nie pokrywają się one z tymi odcinkami, w których siły wzdłużne są maksymalne.

W przypadkach, gdy przekrój belki na całej długości jest stały, wykres ale podobny do fabuły n i różni się od niego tylko skalą, dlatego oczywiście sensowne jest zbudowanie tylko jednego ze wskazanych diagramów.