Integralas ir jo praktinis pritaikymas. Kursinis integralo taikymas

Tyrimo tema

Integralinio skaičiavimo taikymas planuojant šeimos išlaidas

Problemos aktualumas

Vis dažniau socialiniuose ir ekonominės sferos skaičiuojant pajamų paskirstymo nelygybės laipsnį, naudojama matematika, o būtent integralinis skaičiavimas. studijuojant praktinis naudojimas gauname integralą:

Kaip integralas ir ploto apskaičiavimas naudojant integralą padeda paskirstyti medžiagų sąnaudas?

Kaip integralas padės sutaupyti pinigų atostogoms.

Tikslas

planuoti šeimos išlaidas naudojant integralinį skaičiavimą

Užduotys

Naršyti geometrine prasme integralinis.
Apsvarstykite integracijos į socialinę ir ekonominę gyvenimo sferas būdus.
Sudarykite šeimos materialinių išlaidų prognozę remontuodami butą naudodami integralą.
Apskaičiuokite šeimos energijos suvartojimą metams, atsižvelgdami į integralinį skaičiavimą.
Apskaičiuokite taupomojo indėlio „Sberbank“ atostogoms sumą.

Hipotezė

integralinis skaičiavimas padeda atlikti ekonominius skaičiavimus planuojant šeimos pajamas ir išlaidas.

Tyrimo etapai

Mes tyrinėjome integralo geometrinę reikšmę ir integracijos būdus socialinėje ir ekonominėje gyvenimo srityse.
Buto remontui reikalingas medžiagų sąnaudas apskaičiavome integralu.
Skaičiavome, kiek bute sunaudoja elektros energijos ir kiek šeimai kainuos elektra metams.
Mes apsvarstėme vieną iš galimybių rinkti šeimos pajamas per indėlius „Sberbank“ naudojant integralą.

Tyrimo objektas

integralinis skaičiavimas socialinėje ir ekonominėje gyvenimo srityse.

Metodai

Literatūros tema „Integralių skaičiavimo praktinis taikymas“ analizė
Integravimo metodų tyrimas sprendžiant figūrų plotų ir tūrių skaičiavimo uždavinius naudojant integralą.
Šeimos išlaidų ir pajamų analizė integraliniu skaičiavimu.

Darbo procesas

Literatūros apžvalga tema „Praktinis integralinio skaičiavimo taikymas“
Figūrų plotų ir tūrių skaičiavimo, naudojant integralą, uždavinių sistemos sprendimas.
Šeimos išlaidų ir pajamų apskaičiavimas naudojant integruotą skaičiavimą: kambario renovacija, elektros kiekis, indėliai Sberbank atostogoms.

Mūsų rezultatai

Kaip integralas ir tūrio apskaičiavimas integralo pagalba padeda numatyti elektros suvartojimo apimtis?

išvadų

Ekonominis reikalingų lėšų buto remontui paskaičiavimas gali būti atliktas greičiau ir tiksliau naudojant integralinį skaičiavimą.

Paprasčiau ir greičiau suskaičiuoti šeimos suvartojamą elektros energiją integraliniu skaičiavimu ir Microsoft Office Excel, o tai reiškia prognozuoti šeimos išlaidas elektrai metams.

Pelną iš indėlių taupomajame banke galima apskaičiuoti integraliniu skaičiavimu, o tai reiškia, kad planuojate šeimos atostogas.

Išteklių sąrašas

Spausdinti leidimai:

Vadovėlis. Algebra ir analizės pradžia 10-11 kl. A.G. Mordkovičius. Mnemosyne. M: 2007 m
Vadovėlis. Algebra ir analizės pradžia 10-11 kl. A. Kolmogorovas Apšvietos. M: 2007 m
Matematika sociologams ir ekonomistams. Achtyamovas A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
Integralinis skaičiavimas, žinynas Aukštoji matematika M. Ya. Vygodskis, Švietimas, 2000 m

Ivanovas Sergejus, studentas gr.14-EOP-33D

Darbą galima panaudoti apibendrinančioje pamokoje temomis „Išvestinė“, „Integralus“.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite paskyrą ( sąskaitą) Google ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

GBPOU KNT juos. B. I. Kornilova Tyrimas tema: „Išvestinių ir integralų naudojimas fizikoje, matematikoje ir elektrotechnikoje“. Studentas gr. 2014-eop-33d Ivanovas Sergejus.

1. Darinio atsiradimo istorija. XVII amžiaus pabaigoje didysis anglų mokslininkas Isaacas Newtonas įrodė, kad kelias ir greitis yra tarpusavyje susiję formule: V (t) \u003d S '(t) ir toks ryšys egzistuoja tarp pačių įvairiausių kiekybinių charakteristikų. tiriami procesai: fizika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , impulsas P = mV = mx ' , kinetinis E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), chemija, biologija ir inžinerija. Šis Niutono atradimas buvo lūžis gamtos mokslų istorijoje.

1. Darinio atsiradimo istorija. Garbė atrasti pagrindinius dėsnius matematinė analizė kartu su Niutonu priklauso vokiečių matematikui Gotfrydui Vilhelmui Leibnicui. Leibnicas prie šių dėsnių priėjo spręsdamas savavališkos kreivės liestinės nubrėžimo uždavinį, t.y. suformulavo geometrinę vedinio reikšmę, kad išvestinės reikšmė sąlyčio taške yra nuolydis liestinė arba tg liestinės polinkio kampas su teigiama O X ašies kryptimi. Terminą vedinys ir šiuolaikinius pavadinimus y ’ , f ’ įvedė J. Lagrange’as 1797 m.

2. Integralo atsiradimo istorija. Integralo ir integralinio skaičiavimo samprata atsirado dėl poreikio apskaičiuoti bet kokių figūrų plotą (kvadratavimą) ir savavališkų kūnų tūrius (kubatūrą). Integralinio skaičiavimo priešistorė siekia antiką. Pirmasis žinomas integralų skaičiavimo metodas yra kreivinių figūrų ploto arba tūrio tyrimo metodas – Eudoxus išsekimo metodas (Eudoxus of Cnidus (apie 408 m. pr. Kr. – apie 355 m. pr. Kr.) – senovės graikų matematikas, mechanikas ir astronomas), kuris buvo pasiūlytas apie 370 m. e. Šio metodo esmė tokia: figūra, kurios plotą ar tūrį bandyta surasti, buvo padalinta į begalinį skaičių dalių, kurių plotas arba tūris jau žinomas.

„Išsekimo metodas“ Tarkime, kad turime apskaičiuoti turinčios citrinos tūrį netaisyklingos formos, todėl taikyti bet kurį žinoma formulė apimtis neįmanoma. Naudojant svėrimą, taip pat sunku nustatyti tūrį, nes citrinos tankis skirtingos dalys jos skirtinga. Tęskime taip. Citriną supjaustykite plonais griežinėliais. Kiekvieną gabalą galima apytiksliai laikyti cilindru, pagrindo spindulį, kurį galima išmatuoti. Tokio cilindro tūrį galima nesunkiai apskaičiuoti iš baigta formulė. Sudėjus mažų cilindrų tūrius, gauname apytikslę visos citrinos tūrio reikšmę. Apytikslė bus tuo tikslesnė, plonesnėmis dalimis citriną pjaustysime.

2. Integralo atsiradimo istorija. Po Eudokso „išsekimo“ metodą ir jo variantus tūriams ir plotams apskaičiuoti naudojo senovės mokslininkas Archimedas. Sėkmingai plėtodamas savo pirmtakų idėjas, jis nustatė perimetrą, apskritimo plotą, rutulio tūrį ir paviršių. Jis parodė, kad sferos, elipsoido, hiperboloido ir apsisukimo paraboloido tūrių nustatymas sumažinamas iki cilindro tūrio nustatymo.

Diferencialinių lygčių teorijos pagrindas buvo Leibnizo ir Niutono sukurtas diferencialinis skaičiavimas. Patį terminą „diferencialinė lygtis“ 1676 m. pasiūlė Leibnicas. 3. Diferencialinių lygčių atsiradimo istorija. Iš pradžių diferencialinės lygtys atsirado iš mechanikos problemų, kuriose reikėjo nustatyti kūnų koordinates, jų greičius ir pagreičius, laikomus laiko funkcijomis, veikiant įvairiems poveikiams. Kai kurios tuo metu svarstytos geometrinės problemos taip pat lėmė diferencialines lygtis.

3. Diferencialinių lygčių atsiradimo istorija. Iš daugybės XVII amžiaus darbų apie diferencialines lygtis išsiskiria Eulerio (1707–1783) ir Lagrange’o (1736–1813) darbai. Šiuose darbuose pirmiausia buvo sukurta mažų virpesių teorija, taigi ir teorija. tiesinės sistemos diferencialinės lygtys; pakeliui atsirado pagrindinės tiesinės algebros sąvokos ( savąsias reikšmes o vektoriai n-mačio atveju). Sekdami Newtonu, Laplasas ir Lagranžas, o vėliau Gaussas (1777–1855), taip pat sukūrė perturbacijos teorijos metodus.

4. Išvestinės ir integralo taikymas matematikoje: Matematikoje išvestinė plačiai naudojama sprendžiant daugelį uždavinių, lygčių, nelygybių, taip pat ir funkcijos tyrimo procese. Pavyzdys: Ekstremo funkcijos tyrimo algoritmas: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 ir išspręskite lygtį. 3) O.O.F. suskaidykite jį į intervalus. 4) Kiekviename intervale nustatome išvestinės ženklą. Jei f ′(x)>0, tai funkcija didėja. Jei f'(x)

4. Išvestinės ir integralo taikymas matematikoje: Integralas (apibrėžtasis integralas) naudojamas matematikoje (geometrijoje) kreivinės trapecijos plotui rasti. Pavyzdys: Algoritmas plokščios figūros plotui rasti naudojant apibrėžtąjį integralą: 1) Sudarome nurodytų funkcijų grafiką. 2) Nurodykite figūrą, kurią riboja šios linijos. 3) Raskite integravimo ribas, užrašykite apibrėžtąjį integralą ir jį apskaičiuokite.

5. Išvestinės ir integralo taikymas fizikoje. Fizikoje išvestinė daugiausia naudojama problemoms spręsti, pavyzdžiui: bet kokių kūnų greičio ar pagreičio paieškai. Pavyzdys: 1) Taško judėjimo išilgai tiesės dėsnis pateikiamas formule s(t)= 10t^2 , kur t yra laikas (sekundėmis), s(t) yra taško nuokrypis ties laikas t (metrais) nuo pradinės padėties. Raskite greitį ir pagreitį momentu t, jei: t=1,5 s. 2) Materialusis taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)= 2+20t+5t2. Raskite greitį ir pagreitį momentu t=2s (x – taško koordinatė metrais, t – laikas sekundėmis).

Fizinis dydis Vidutinė vertė Momentinė vertė Greitis Pagreitis Kampinis greitis Srovės stiprumas Galia

5. Išvestinės ir integralo taikymas fizikoje. Integralas taip pat naudojamas sprendžiant tokias problemas kaip greičio ar atstumo paieška. Kūnas juda greičiu v(t) = t + 2 (m/s). Raskite kelią, kurį kūnas įeis per 2 sekundes nuo judėjimo pradžios. Pavyzdys:

6. Išvestinės ir integralo taikymas elektrotechnikoje. Darinys taip pat buvo pritaikytas elektrotechnikoje. Grandinėje elektros srovė elektros krūvis kinta laikui bėgant pagal dėsnį q=q (t). Srovė I yra krūvio q išvestinė laiko atžvilgiu. I=q ′(t) Pavyzdys: 1) Laidininku tekantis krūvis kinta pagal dėsnį q=sin(2t-10) Raskite srovės stiprumą momentu t=5 sek. Integralas elektrotechnikoje gali būti naudojamas sprendžiant atvirkštines problemas, t.y. elektros krūvio radimas žinant srovės stiprumą ir kt. 2) Elektros krūvis, tekantis laidininku, pradedant nuo momento t \u003d 0, apskaičiuojamas pagal formulę q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Raskite srovės stiprumą momentu t \u003d 3 s. Integralas elektrotechnikoje gali būti naudojamas sprendžiant atvirkštines problemas, t.y. elektros krūvio radimas žinant srovės stiprumą ir kt.

Integralo sąvoka plačiai taikoma gyvenime. Integralai naudojami įvairiose mokslo ir technologijų srityse. Pagrindinės užduotys, apskaičiuotos naudojant integralus, yra užduotys, skirtos:

1. Kūno tūrio radimas

2. Kūno masės centro radimas.

Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau. Čia ir toliau, norėdami pažymėti apibrėžtą funkcijos f(x) integralą su integravimo ribomis nuo a iki b, naudosime šią žymą ∫ a b f(x).

Kūno tūrio nustatymas

Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą. Tarkime, kad yra koks nors kūnas, kurio tūris lygus V. Taip pat yra tokia tiesė, kad paėmus tam tikrą plokštumą, statmeną šiai tiesei, bus žinomas šio kūno skerspjūvio plotas S pagal šią plokštumą.

Kiekviena tokia plokštuma bus statmena x ašiai, todėl susikirs su ja tam tikrame taške x. Tai reiškia, kad kiekvienam segmento taškui x bus priskirtas skaičius S (x) - kūno, plokštumos, einančios per šį tašką, skerspjūvio plotas.

Pasirodo, atkarpoje bus suteikta kokia nors funkcija S(x). Jei ši funkcija yra ištisinė šiame segmente, galios ši formulė:

V = ∫ a b S(x)dx.

Šio teiginio įrodymas nepatenka į mokyklos mokymo programą.

Kūno masės centro apskaičiavimas

Masės centras dažniausiai naudojamas fizikoje. Pavyzdžiui, yra kūnas, kuris juda bet kokiu greičiu. Tačiau nepatogu laikyti didelį kūną, todėl fizikoje šis kūnas laikomas taško judėjimu, darant prielaidą, kad šio taško masė yra tokia pati kaip viso kūno.

Ir šiuo klausimu pagrindinė užduotis yra apskaičiuoti kūno masės centrą. Kadangi kūnas yra didelis, o kurį tašką reikia laikyti masės centru? Galbūt tas, kuris yra kūno viduryje? O gal artimiausias taškas priekinio krašto? Čia atsiranda integracija.

Masės centrui rasti naudojamos šios dvi taisyklės:

1. Kai kurios materialių taškų sistemos A1, A2, A3, … An masės centro koordinatė x', kurios masės atitinkamai m1, m2, m3, … mn, esančios tiesėje taškuose, kurių koordinatės x1, x2, x3, … xn randamas pagal šią formulę:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Skaičiuojant masės centro koordinates, bet kuri nagrinėjamos figūros dalis gali būti pakeista materialus taškas, pastatydami jį šios atskiros figūros dalies masės centre, ir paimkite masę, lygią šios figūros dalies masei.

Pavyzdžiui, jei masė, kurios tankis yra p(x), pasiskirsto išilgai strypo – Ox ašies segmento, kur p(x) yra ištisinė funkcija, tai masės centro x' koordinatė bus lygi.

Įsivaizduokite, kad mes turime tam tikrą priklausomybės funkciją nuo kažko.

Pavyzdžiui, taip galite apytiksliai pavaizduoti mano darbo greitį priklausomai nuo paros laiko diagramoje:

Aš matuoju greitį kodo eilutėmis per minutę, in Tikras gyvenimas Esu kompiuterių programuotojas.

Darbo kiekis yra darbo norma, padauginta iš laiko. Tai jei rašau 3 eilutes per minutę, tai per valandą gaunu 180. Jei turime tokį grafiką, galite sužinoti, kiek aš nudirbau per dieną: tai yra sritis pagal grafiką. Bet kaip jį apskaičiuoti?

Padalinkime grafiką į vienodo pločio stulpelius, kiekvieną valandą. O šių stulpelių aukštį prilyginsime darbo greičiui šios valandos viduryje.

Kiekvieno stulpelio plotą atskirai apskaičiuoti nesunku, jo plotį reikia padauginti iš aukščio. Pasirodo, kiekvienos stulpelio plotas yra apytikslis, kiek darbo padariau per valandą. O jei susumuosite visus stulpelius, gautumėte apytikslį mano dienos darbą.

Problema ta, kad rezultatas bus apytikslis, bet mums reikia tikslus skaičius. Pusvalandžiui suskaidykime diagramą į stulpelius:

Nuotraukoje matyti, kad tai jau daug arčiau to, ko ieškome.

Taigi galite sumažinti grafiko segmentus iki begalybės ir kiekvieną kartą vis labiau priartėsime prie ploto po grafiku. Ir kai stulpelių plotis linkęs į nulį, tada jų plotų suma bus linkusi į plotą po grafiku. Tai vadinama integralu ir žymima taip:

Šioje formulėje f(x) reiškia funkciją, kuri priklauso nuo x reikšmės, o raidės a ir b yra atkarpa, kurioje norime rasti integralą.

Kam to reikia?

Mokslininkai visus fizikinius reiškinius bando išreikšti matematine formule. Kai turime formulę, galime ją naudoti norėdami apskaičiuoti bet ką. O integralas yra vienas pagrindinių darbo su funkcijomis įrankių.

Pavyzdžiui, jei turime apskritimo formulę, galime naudoti integralą jo plotui apskaičiuoti. Jei turime sferos formulę, galime apskaičiuoti jos tūrį. Integracijos pagalba randama energija, darbas, slėgis, masė, elektros krūvis ir daug kitų dydžių.

Ne, kam man to reikia?

Taip, nieko – tiesiog taip, iš smalsumo. Tiesą sakant, integralai yra įtraukti net į mokyklos mokymo programa, tačiau mažai kas aplinkui prisimena, kas tai yra.

Spustelėję mygtuką „Atsisiųsti archyvą“, jums reikiamą failą atsisiųsite nemokamai.
Prieš atsisiųsdami šį failą, prisiminkite tuos gerus esė, kontrolinius, kursinius darbus, tezės, straipsniai ir kiti dokumentai, kurie jūsų kompiuteryje guli nepareikšti. Tai jūsų darbas, jis turėtų dalyvauti visuomenės raidoje ir būti naudingas žmonėms. Raskite šiuos darbus ir nusiųskite juos į žinių bazę.
Mes ir visi studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, būsime Jums labai dėkingi.

Norėdami atsisiųsti archyvą su dokumentu, žemiau esančiame laukelyje įveskite penkių skaitmenų skaičių ir spustelėkite mygtuką „Atsisiųsti archyvą“

Panašūs dokumentai

Susipažinimas su integralo sąvokos istorija. Integralinio skaičiavimo pasiskirstymas, Niutono-Leibnizo formulės atradimas. Sumos simbolis; sumos sąvokos išplėtimas. Poreikio visus fizikinius reiškinius išreikšti matematinės formulės forma.

pristatymas, pridėtas 2015-01-26

Integralinio skaičiavimo idėjos senovės matematikų darbuose. Išsekimo metodo ypatybės. Keplerio toro tūrio formulės radimo istorija. Integralinio skaičiavimo principo (Cavalieri principas) teorinis pagrindimas. Apibrėžtinio integralo sąvoka.

pristatymas, pridėtas 2016-07-05

Integralinio skaičiavimo istorija. Dvigubo integralo apibrėžimas ir savybės. Jo geometrinis aiškinimas, skaičiavimas Dekarto ir polinėmis koordinatėmis, redukavimas į kartotines. Taikymas ekonomikoje ir geometrijoje tūriams ir plotams apskaičiuoti.

Kursinis darbas, pridėtas 2013-10-16

Kreivinio integralo virš koordinačių apibrėžimas, pagrindinės jo savybės ir skaičiavimas. Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integracijos kelio sąlyga. Figūrų plotų apskaičiavimas naudojant dvigubą integralą. Naudojant Green formulę.

testas, pridėtas 2011-02-23

Apibrėžtinio integralo egzistavimo sąlygos. Integralinio skaičiavimo taikymas. Integralinis skaičiavimas geometrijoje. Mechaninis apibrėžtojo integralo taikymas. Integralinis skaičiavimas biologijoje. Integralinis skaičiavimas ekonomikoje.

Kursinis darbas, pridėtas 2008-01-21

Integralinio ir diferencialinio skaičiavimo istorija. Apibrėžtinio integralo taikymai kai kurių mechanikos ir fizikos problemų sprendimui. Plokštumos kreivių masių momentai ir centrai, Guldeno teorema. Diferencialinės lygtys. Problemų sprendimo MatLab pavyzdžiai.

santrauka, pridėta 2009-09-07

Stieltjes integralo samprata. Bendros sąvokos Stieltjes integralo egzistavimas, jo egzistavimo atvejų klasės ir perėjimas iki ribos po jo ženklu. Stieltjes integralo sumažinimas iki Riemann integralo. Taikymas tikimybių teorijoje ir kvantinėje mechanikoje.

baigiamasis darbas, pridėtas 2009-07-20