모든 공식과 속성을 평행 사변형. 연구 프로젝트 "평행사변형과 그 속성"

평행사변형의 개념

정의 1

평행사변형는 마주보는 변이 서로 평행한 사각형입니다(그림 1).

그림 1.

평행 사변형에는 두 가지 주요 속성이 있습니다. 증거없이 고려합시다.

속성 1: 평행사변형의 대변과 각은 각각 서로 같습니다.

속성 2: 평행 사변형으로 그려진 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다.

평행사변형 기능

평행 사변형의 세 가지 특징을 고려하고 정리의 형태로 제시하십시오.

정리 1

사변형의 두 변이 서로 같고 평행하면 이 사변형은 평행사변형이 됩니다.

증거.

사변형 $ABCD$가 주어집니다. 여기서 $AB||CD$ 및 $AB=CD$ 대각선 $AC$를 그립니다(그림 2).

그림 2.

평행선 $AB$ 및 $CD$와 이들의 시컨트 $AC$를 고려하십시오. 그 다음에

\[\각도 CAB=\각도 DCA\]

십자형 모서리처럼.

삼각형의 평등에 대한 $I$ 기준에 따르면,

$AC$는 공통 측면이고 $AB=CD$는 가정하기 때문입니다. 수단

\[\각도 DAC=\각도 ACB\]

$AD$ 및 $CB$ 선과 이들의 시컨트 $AC$를 고려하면 교차 각도의 마지막 등식에 의해 $AD||CB$를 얻습니다. 따라서 $1$의 정의에 의해 이 사변형은 평행사변형.

정리가 증명되었습니다.

정리 2

사변형의 마주보는 변의 길이가 같으면 평행사변형입니다.

증거.

사변형 $ABCD$가 주어집니다. $AD=BC$ 및 $AB=CD$입니다. 대각선 $AC$를 그립니다(그림 3).

그림 3

$AD=BC$, $AB=CD$, $AC$는 공통변이므로 $III$ 삼각형 동등성 검정에 의해,

\[\삼각형 DAC=\삼각형 ACB\]

\[\각도 DAC=\각도 ACB\]

$AD$ 및 $CB$ 선과 이들의 시컨트 $AC$를 고려하여 교차 각도의 마지막 등식에 의해 $AD||CB$를 얻습니다. 따라서 $1$의 정의에 따르면 이 사변형은 평행사변형입니다.

\[\각도 DCA=\각도 CAB\]

$AB$ 및 $CD$ 선과 이들의 시컨트 $AC$를 고려하여 교차 각도의 마지막 등식에 의해 $AB||CD$를 얻습니다. 따라서 정의 1에 따르면 이 사변형은 평행사변형입니다.

정리가 증명되었습니다.

정리 3

사변형에 그려진 대각선을 교점에 의해 두 개의 동일한 부분으로 나누면 이 사변형은 평행 사변형입니다.

증거.

사변형 $ABCD$가 주어집니다. 그 안에 대각선 $AC$와 $BD$를 그려봅시다. $O$ 지점에서 교차하도록 합니다(그림 4).

그림 4

$BO=OD,\ AO=OC$ 조건에 의해 각 $\angle COB=\angle DOA$는 수직이므로 $I$ 삼각형 동등성 검정에 의해,

\[\삼각형 BOC=\삼각형 AOD\]

\[\각도 DBC=\각도 BDA\]

$BC$ 및 $AD$ 선과 이들의 시컨트 $BD$를 고려하여 교차 각도의 마지막 등식으로 $BC||AD$를 얻습니다. 또한 $BC=AD$입니다. 따라서 정리 $1$에 의해 이 사변형은 평행사변형입니다.

1. 평행사변형의 정의.

한 쌍의 평행선을 다른 한 쌍의 평행선과 교차하면 반대쪽이 쌍으로 평행한 사변형을 얻습니다.

사변형 ABDC 및 EFNM에서(그림 224) BD || AC와 AB || CD;

에프 || 미네소타와 EM || F.N.

마주보는 변이 쌍으로 평행한 사각형을 평행사변형이라고 합니다.

2. 평행사변형의 속성.

정리. 평행사변형의 대각선은 그것을 둘로 나눕니다 등삼각형.

AB || CD와 AC || BD.

대각선이 그것을 두 개의 동일한 삼각형으로 나누는 것을 증명해야합니다.

평행 사변형 ABDC에 대각선 CB를 그려 봅시다. $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ임을 증명합시다.

NE 쪽은 이러한 삼각형에 공통적입니다. ∠ABC = ∠BCD, 평행한 AB와 CD, 시컨트 CB가 있는 내부 십자형; ∠ACB = ∠CBD, AC와 BD가 평행하고 시컨트 CB가 있는 내부 십자형과 동일합니다.

따라서 $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

같은 방식으로 대각선 AD가 평행사변형을 두 개의 동일한 삼각형 ACD와 ABD로 나누는 것을 증명할 수 있습니다.

결과:

1 . 평행 사변형의 반대 각도는 같습니다.

∠A = ∠D, 이것은 삼각형 CAB와 CDB의 동등성에서 비롯됩니다.

유사하게, ∠C = ∠B.

2. 평행 사변형의 반대쪽은 동일합니다.

AB \u003d CD 및 AC \u003d BD, 이는 동일한 삼각형의 변이고 반대 방향의 동일한 각도에 있기 때문입니다.

정리 2. 평행 사변형의 대각선은 교차점에서 이등분됩니다.

BC와 AD를 평행사변형 ABDC의 대각선이라고 하자(그림 226). AO = OD 및 CO = OB임을 증명합시다.

이를 수행하기 위해 반대 삼각형 쌍(예: $\Delta$AOB 및 $\Delta$COD)을 비교하겠습니다.

이 삼각형 AB = CD에서 평행 사변형의 반대 측면으로;

∠1 = ∠2, 평행 AB 및 CD 및 할선 AD에 십자형으로 놓인 내각;

∠3 = ∠4, AB || CD와 CB는 시컨트입니다.

$\Delta$AOB = $\Delta$COD를 따릅니다. 그리고 등각삼각형에서 대향하는 등각은 등변입니다. 따라서 AO = OD 및 CO = OB입니다.

정리 3. 평행 사변형의 한 변에 인접한 각도의 합은 다음과 같습니다. 180°.

평행 사변형 ABCD에 대각선 AC를 그리고 두 개의 삼각형 ABC와 ADC를 얻습니다.

삼각형은 ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3(평행선의 교차 각도)이고 변 AC가 공통이므로 합동입니다.
같음 $\Delta$ABC = $\Delta$ADC는 AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D임을 의미합니다.

한 변에 인접한 각의 합, 예를 들어 각 A와 D는 평행선이 있는 일변으로 180°와 같습니다.

평행사변형은 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사변형입니다. 다음 그림은 평행사변형 ABCD. 측면 AB는 측면 CD와 평행하고 측면 BC는 측면 AD와 평행합니다.

짐작할 수 있듯이 평행사변형은 볼록한 사변형입니다. 평행 사변형의 기본 속성을 고려하십시오.

평행사변형 속성

1. 평행사변형에서 반대쪽 모서리그리고 반대면은 동일합니다. 이 속성을 증명해 봅시다 - 다음 그림에 표시된 평행 사변형을 고려하십시오.

대각선 BD는 두 개의 동일한 삼각형인 ABD와 CBD로 나눕니다. BD의 시컨트에 있는 각이 각각 평행선 BC와 AD, AB와 CD이기 때문에 변 BD와 변 BD에 인접한 두 각은 같습니다. 따라서 AB = CD 및
BC=AD. 그리고 각 1, 2,3, 4의 등식으로부터 각 A = 각1 + 각3 = 각2 + 각4 = 각 C를 따릅니다.

2. 평행 사변형의 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다. 점 O를 평행사변형 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교점이라고 하자.

그런 다음 삼각형 AOB와 삼각형 COD는 측면과 인접한 두 각도를 따라 서로 같습니다. (AB=CD는 평행사변형의 반대쪽이기 때문에. 그리고 angle1 = angle2 및 angle3 = angle4는 선 AB와 CD의 교차점에서 각각 할선 AC와 BD에 의해 교차하는 각도입니다.) 따라서 AO = OC 및 OB = OD, 이는 입증되어야 하고 입증되어야 합니다.

모든 주요 속성은 다음 세 그림에 나와 있습니다.

평행사변형은 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사변형입니다. 평행 사변형의 나머지 속성이 이 정의를 따르고 정리의 형태로 증명되기 때문에 이 정의는 이미 충분합니다.

평행 사변형의 주요 속성은 다음과 같습니다.

평행 사변형은 볼록한 사변형입니다.
평행 사변형은 쌍으로 동일한 반대면을 가지고 있습니다.
평행 사변형은 쌍으로 동일한 반대 각도를 가지고 있습니다.
평행 사변형의 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다.

평행사변형 - 볼록한 사변형

라는 정리를 먼저 증명하자. 평행 사변형은 볼록한 사변형입니다.. 다각형의 변이 직선으로 확장되면 다각형의 다른 모든 변이 이 직선의 같은 변에 있을 때 다각형이 볼록합니다.

평행사변형 ABCD가 주어졌을 때 AB는 CD의 반대면이고 BC는 AD의 반대면입니다. 그런 다음 평행사변형의 정의에서 AB || CD, BC || 기원 후.

평행 세그먼트에는 공통점이 없으며 교차하지 않습니다. 이것은 CD가 AB의 한쪽에 있음을 의미합니다. 선분 BC는 선분 AB의 점 B와 선분 CD의 점 C를 연결하고 선분 AD는 다른 점 AB와 CD를 연결하므로 선분 BC와 AD도 선 AB의 같은 면에 있으며 여기서 CD가 있습니다. 따라서 CD, BC, AD의 세 변은 모두 AB의 같은 면에 있습니다.

유사하게, 평행 사변형의 다른 변에 대해 다른 세 변이 같은 변에 있음이 증명됩니다.

마주보는 변과 각도가 같다

평행사변형의 속성 중 하나는 평행사변형에서 마주보는 변과 마주보는 각은 같다. 예를 들어 평행사변형 ABCD가 주어지면 AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D입니다. 이 정리는 다음과 같이 증명됩니다.

평행 사변형은 사각형입니다. 따라서 두 개의 대각선이 있습니다. 평행 사변형은 볼록한 사변형이므로 그 중 어느 것이나 그것을 두 개의 삼각형으로 나눕니다. 대각선 AC를 그려서 얻은 평행 사변형 ABCD의 삼각형 ABC와 ADC를 고려하십시오.

이 삼각형에는 AC라는 공통점이 있습니다. 각도 BCA는 각도 CAD와 같으며 평행 BC와 AD가 있는 수직선도 마찬가지입니다. 각도 BAC와 ACD도 동일하며 AB와 CD가 평행할 때 수직 각도도 같습니다. 따라서 ∆ABC = ∆ADC는 두 각과 그 사이의 변입니다.

이 삼각형에서 변 AB는 변 CD에 해당하고 변 BC는 AD에 해당합니다. 따라서 AB = CD 및 BC = AD입니다.

각도 B는 각도 D, 즉 ∠B = ∠D에 해당합니다. 평행사변형의 각 A는 두 각(∠BAC 및 ∠CAD)의 합입니다. 각도 C는 ∠BCA와 ∠ACD로 구성됩니다. 각 쌍이 서로 같으므로 ∠A = ∠C입니다.

따라서 평행 사변형에서 대변과 각도가 동일하다는 것이 증명되었습니다.

반으로 자른 대각선

평행 사변형은 볼록한 사변형이므로 두 개의 대각선이 있고 교차합니다. 평행 사변형 ABCD가 주어지고 대각선 AC와 BD가 점 E에서 교차합니다. 삼각형 ABE와 CDE가 이루는 삼각형을 고려하십시오.

이 삼각형의 변 AB와 CD는 평행 사변형의 반대 변과 같습니다. 각도 ABE는 평행선 AB와 CD를 가로질러 놓이기 때문에 각도 CDE와 같습니다. 같은 이유로 ∠BAE = ∠DCE. 따라서 ∆ABE = ∆CDE 두 각과 그 사이의 변에 대해.

또한 각 AEB와 CED가 수직이므로 서로 같다는 것을 알 수 있습니다.

삼각형 ABE와 CDE는 서로 동일하므로 해당하는 모든 요소도 동일합니다. 첫 번째 삼각형의 변 AE는 두 번째 삼각형의 변 CE에 해당하므로 AE = CE입니다. 유사하게, BE = DE. 동일한 세그먼트의 각 쌍은 평행 사변형의 대각선을 구성합니다. 따라서 다음이 증명된다. 평행 사변형의 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다..

오늘 수업에서는 평행사변형의 주요 속성을 반복한 다음 평행사변형의 처음 두 가지 특징에 대한 고려 사항에 주의를 기울이고 증명할 것입니다. 증명 과정에서 우리가 작년에 공부하고 첫 번째 수업에서 반복했던 삼각형의 평등 기호의 적용을 상기해 봅시다. 마지막으로 평행사변형의 연구된 특징의 적용에 대한 예가 주어질 것입니다.

주제: 사각형

Lesson: 평행사변형의 부호

평행 사변형의 정의를 상기하면서 시작하겠습니다.

정의. 평행사변형- 마주보는 두 변이 모두 평행한 사각형(그림 1 참조).