평행 사변형 abcd의 면적을 찾는 공식. 평행사변형 영역

작업 4.

길이가 4√6인 평행사변형의 대각선 중 하나는 밑변과 60°의 각을 만들고 두 번째 대각선은 같은 밑변과 45°의 각을 만듭니다. 두 번째 대각선을 찾으십시오.

결정.

1. AO = 2√6.

2. 삼각형 AOD에 사인 정리를 적용합니다.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60o) / sin 45o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

답: 12.

작업 5.

변이 5√2와 7√2인 평행사변형의 경우 대각선 사이의 작은 각도는 평행사변형의 작은 각도와 같습니다. 대각선의 길이의 합을 구하십시오.

결정.

d 1, d 2 를 평행사변형의 대각선이라고 하고, 대각선과 평행사변형의 작은 각 사이의 각도를 φ라고 합니다.

1. 서로 다른 두 가지를 계산해 봅시다.
그 지역의 방법.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

우리는 평등을 얻습니다. 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f 또는

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. 평행 사변형의 변과 대각선 사이의 비율을 사용하여 평등을 씁니다.

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. 시스템을 만들어 봅시다.

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

시스템의 두 번째 방정식에 2를 곱하고 첫 번째 방정식에 더합니다.

우리는 (d 1 + d 2) 2 = 576을 얻습니다. 따라서 Id 1 + d 2 I = 24입니다.

d 1 , d 2 는 평행사변형의 대각선 길이이므로 d 1 + d 2 = 24입니다.

답: 24.

작업 6.

평행 사변형의 변은 4와 6입니다. 대각선 사이의 예각은 45o입니다. 평행 사변형의 면적을 찾으십시오.

결정.

1. 삼각형 AOB에서 코사인 정리를 사용하여 평행 사변형의 변과 대각선 사이의 관계를 씁니다.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. 마찬가지로 삼각형 AOD에 대한 관계를 작성합니다.

우리는 그것을 고려<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

방정식 d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144를 얻습니다.

3. 시스템이 있습니다.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

두 번째 방정식에서 첫 번째를 빼면 2d 1 d 2 √2 = 80 또는

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

메모:이 문제와 이전 문제에서는 이 문제에서 면적을 계산하기 위해 대각선의 곱이 필요함을 예상하고 시스템을 완전히 풀 필요가 없습니다.

답: 10.

작업 7.

평행 사변형의 면적은 96이고 변은 8과 15입니다. 작은 대각선의 정사각형을 찾으십시오.

결정.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. 수식에서 대입을 해보자.

우리는 96 = 8 15 sin VAD를 얻습니다. 따라서 sin VAD = 4/5입니다.

2. cos BAD를 찾으십시오. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

문제의 조건에 따라 더 작은 대각선의 길이를 찾습니다. 각도 BAD가 예각이면 대각선 BD가 더 작아집니다. 그런 다음 cos BAD = 3 / 5입니다.

3. 삼각형 ABD에서 코사인 정리를 사용하여 대각선 BD의 제곱을 찾습니다.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

답: 145.

질문있으세요? 기하학 문제를 푸는 방법을 모르십니까?
튜터의 도움을 받으려면 - 등록하십시오.
첫 수업은 무료입니다!

사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하려면 소스에 대한 링크가 필요합니다.

유클리드 기하학에서와 마찬가지로 점과 직선은 평면 이론의 주요 요소이므로 평행 사변형은 볼록 사변형의 핵심 인물 중 하나입니다. 그것에서 공의 실처럼 "직사각형", "사각형", "마름모" 및 기타 기하학적 양의 개념이 흐릅니다.

연락

평행사변형의 정의

볼록한 사각형,각 쌍이 평행한 선분으로 구성된 도형은 기하학에서 평행사변형으로 알려져 있습니다.

고전적인 평행사변형은 사변형 ABCD입니다. 변을 밑변(AB, BC, CD 및 AD)이라고 하고, 임의의 꼭짓점에서 이 꼭짓점의 반대쪽으로 그린 ​​수직선을 높이(BE 및 BF)라고 하고, AC 및 BD 선은 대각선입니다.

주목!정사각형, 마름모 및 직사각형은 평행사변형의 특수한 경우입니다.

측면 및 각도: 비율 기능

주요 속성은 대체로, 지정 자체에 의해 미리 결정된, 그들은 정리에 의해 증명됩니다. 이러한 특성은 다음과 같습니다.

1. 마주보는 면은 쌍으로 동일합니다.
2. 서로 반대되는 각은 쌍으로 동일합니다.

증명: 사변형 ABCD를 AC 선으로 나누어 얻은 ∆ABC와 ∆ADC를 고려하십시오. ∠BCA=∠CAD 및 ∠BAC=∠ACD, AC는 공통이므로(각각 BC||AD 및 AB||CD에 대한 수직각). ∆ABC = ∆ADC(삼각형 평등에 대한 두 번째 기준).

∆ABC의 세그먼트 AB와 BC는 ∆ADC의 라인 CD와 AD에 쌍으로 대응합니다. 즉, AB = CD, BC = AD가 동일합니다. 따라서 ∠B는 ∠D에 해당하며 동일합니다. ∠A=∠BAC+∠CAD이므로 쌍으로도 동일한 ∠C=∠BCA+∠ACD이므로 ∠A = ∠C입니다. 속성이 입증되었습니다.

그림의 대각선 특성

주요 특징이 평행사변형 선: 교차점이 이 선을 이등분합니다.

증명: m.E를 그림 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교차점이라고 하자. 그것들은 ∆ABE와 ∆CDE라는 두 개의 상응하는 삼각형을 형성합니다.

AB=CD는 반대이므로 반대입니다. 선과 시컨트에 따르면 ∠ABE = ∠CDE 및 ∠BAE = ∠DCE입니다.

등식의 두 번째 기호에 따르면 ∆ABE = ∆CDE입니다. 이는 ∆ABE 및 ∆CDE 요소가 AE = CE, BE = DE이고 또한 AC 및 BD의 상응하는 부분임을 의미합니다. 속성이 입증되었습니다.

인접한 모서리의 특징

인접한 변에서 각의 합은 180°입니다., 평행선과 시컨트의 같은 쪽에 있기 때문입니다. 사변형 ABCD의 경우:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

이등분선 속성:

1. , 한쪽으로 떨어뜨리면 수직입니다.
2. 반대 정점은 평행 이등분선을 가집니다.
3. 이등분선을 그려 얻은 삼각형은 이등변이됩니다.

정리에 의한 평행 사변형의 특성 결정

이 그림의 특징은 다음과 같은 주요 정리를 따릅니다. 사변형은 평행 사변형으로 간주됩니다.대각선이 교차하는 경우 이 점이 동일한 세그먼트로 나눕니다.

증명: 사변형 ABCD의 선 AC와 BD가 t.E에서 교차한다고 하자. ∠AED = ∠BEC이고 AE+CE=AC BE+DE=BD이므로 ∆AED = ∆BEC(삼각형 등식의 첫 번째 부호에 의해). 즉, ∠EAD = ∠ECB입니다. 또한 선 AD 및 BC에 대한 할선 AC의 내부 교차 각도입니다. 따라서 병렬 처리의 정의에 의해 - AD || 기원전. BC 및 CD 선의 유사한 속성도 파생됩니다. 정리가 증명되었습니다.

그림의 면적 계산

이 그림의 면적 여러 가지 방법으로 발견가장 간단한 것 중 하나는 높이와 그것이 그려지는 밑면을 곱하는 것입니다.

증명: 꼭짓점 B와 C에서 수직선 BE와 CF를 그립니다. AB = CD 및 BE = CF이므로 ∆ABE와 ∆DCF는 같습니다. ABCD는 S ABE 및 S EBCD와 S DCF 및 S EBCD와 같은 비례 숫자로 구성되기 때문에 직사각형 EBCF와 같습니다. 이 기하학적 도형의 면적은 직사각형의 면적과 같습니다.

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

평행 사변형의 면적에 대한 일반 공식을 결정하기 위해 높이를 다음과 같이 표시합니다. hb, 그리고 측면 비. 각기:

지역을 찾는 다른 방법

면적 계산 평행 사변형과 각도의 측면을 통해, 그들이 형성하는 두 번째 알려진 방법입니다.

,

Spr-ma - 지역;

및 b는 측면입니다.

α - 세그먼트 a와 b 사이의 각도.

이 방법은 실질적으로 첫 번째 방법을 기반으로 하지만 알 수 없는 경우에 대비합니다. 삼각법 항등식에 의해 매개변수가 발견되는 직각 삼각형을 항상 잘라냅니다. 비율을 변환하면 . 첫 번째 방법의 방정식에서 우리는 높이를 이 곱으로 대치하고 이 공식의 유효성에 대한 증거를 얻습니다.

평행 사변형과 각의 대각선을 통해,그들이 교차 할 때 생성하는 영역을 찾을 수도 있습니다.

증명: AC 및 BD 교차는 ABE, BEC, CDE 및 AED의 4개 삼각형을 형성합니다. 그들의 합은이 사변형의 면적과 같습니다.

이들 ∆ 각각의 면적은 a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB인 식에서 찾을 수 있습니다. , 사인의 단일 값이 계산에 사용됩니다. 즉 . AE+CE=AC= d 1 및 BE+DE=BD= d 2 이므로 면적 공식은 다음과 같이 줄어듭니다.

.

벡터 대수학에서의 응용

이 사변형의 구성 부분의 기능은 벡터 대수학, 즉 두 벡터의 추가에서 응용 프로그램을 찾았습니다. 평행 사변형 규칙은 다음과 같이 말합니다. 벡터가 주어진 경우그리고~ 아니다동일선상에 있으면 그 합은 이 그림의 대각선과 같으며 그 밑은 이러한 벡터에 해당합니다.

증거: 임의로 선택한 시작에서 - 즉. - 우리는 벡터를 만들고 . 다음으로, 선분 OA와 OB가 변인 평행사변형 OASV를 만듭니다. 따라서 OS는 벡터 또는 합계에 있습니다.

평행 사변형의 매개 변수 계산 공식

ID는 다음 조건에서 제공됩니다.

1. a와 b, α - 변과 그 사이의 각도;
2. d 1 및 d 2 , γ - 대각선 및 교차점;
3. h 및 h b - 측면과 b로 낮아진 높이;

매개변수	공식
측면 찾기
대각선과 그들 사이의 각도의 코사인을 따라
대각선과 옆으로
높이와 반대 정점을 통해
대각선의 길이 구하기
측면과 그들 사이의 상단 크기

기하학적 영역- 이 그림의 크기를 나타내는 기하학적 그림의 수치적 특성(이 그림의 닫힌 윤곽으로 둘러싸인 표면의 일부). 면적의 크기는 그 안에 포함된 제곱 단위의 수로 표시됩니다.

삼각형 면적 공식

1. 측면과 높이에 대한 삼각형 면적 공식
   삼각형의 면적삼각형의 한 변의 길이와 이 변에 그린 고도의 길이를 곱한 값의 절반
   
2. 세 변과 외접원의 반지름이 주어진 삼각형의 넓이 공식
   
3. 세 변과 내접원의 반지름이 주어진 삼각형의 넓이 공식
   삼각형의 면적삼각형의 반 둘레와 내접원의 반지름의 곱과 같습니다.
   
여기서 S는 삼각형의 면적이고,
- 삼각형의 변의 길이,
- 삼각형의 높이,
- 측면 사이의 각도 및,
- 내접원의 반지름,
R - 외접원의 반경,

정사각형 면적 공식

1. 한 변의 길이가 주어진 정사각형의 넓이 공식
   정사각형 영역한 변의 길이의 제곱과 같습니다.
2. 대각선의 길이가 주어진 정사각형의 면적 공식
   정사각형 영역대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.
   

   에스=	1	2
   	2

여기서 S는 정사각형의 면적이고,
는 정사각형의 한 변의 길이이고,
정사각형의 대각선 길이입니다.

직사각형 면적 공식

직사각형 영역인접한 두 변의 길이를 곱한 값과 같습니다.

여기서 S는 직사각형의 면적이고,
직사각형의 변의 길이입니다.

평행 사변형의 면적 공식

1. 한 변의 길이와 높이에 대한 평행사변형 면적 공식
   평행사변형 영역
2. 두 변과 그 사이의 각도가 주어진 평행 사변형의 면적 공식
   평행사변형 영역변의 길이에 두 변 사이의 각도 사인을 곱한 값과 같습니다.
   

   b sinα

여기서 S는 평행 사변형의 면적이고,
평행사변형의 변의 길이,
는 평행 사변형의 높이,
평행사변형의 변 사이의 각도입니다.

마름모의 면적에 대한 공식

1. 변의 길이와 높이가 주어진 마름모 면적 공식
   마름모 영역한 변의 길이와 이 변으로 내렸던 높이의 길이를 곱한 값과 같습니다.
2. 변의 길이와 각도가 주어진 마름모의 면적 공식
   마름모 영역그것은 그 변의 길이의 제곱과 마름모의 변 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다.
3. 대각선 길이의 마름모 면적 공식
   마름모 영역대각선 길이의 곱의 절반과 같습니다.
여기서 S는 마름모의 면적이고,
- 마름모의 변의 길이,
- 마름모 높이의 길이,
- 마름모의 측면 사이의 각도,
1, 2 - 대각선의 길이.

사다리꼴 면적 공식

1. 사다리꼴에 대한 헤론의 공식

   여기서 S는 사다리꼴의 면적이고,
   - 사다리꼴 밑변의 길이,
   - 사다리꼴의 변의 길이,
   

평행 사변형은 마주보는 변이 쌍으로 평행하고 쌍으로 동일한 사각형 그림입니다. 그 반대 각도도 같고 평행 사변형의 대각선의 교차점이 도형의 대칭 중심이되면서 그들을 반으로 나눕니다. 평행 사변형의 특별한 경우는 정사각형, 직사각형 및 마름모와 같은 기하학적 모양입니다. 평행 사변형의 영역은 문제의 공식화에 수반되는 초기 데이터에 따라 다양한 방식으로 찾을 수 있습니다.

1. 가장 간단한 경우 평행 사변형의 면적은 밑변과 높이의 곱으로 정의됩니다.
   

   S = DC ∙ 시간

   
   

   여기서 S는 평행 사변형의 면적입니다.
   a-베이스;
   h는 주어진 밑면에 그려진 높이입니다.

   이 공식은 다음 그림을 보면 매우 이해하고 기억하기 쉽습니다.

   

   이 이미지에서 볼 수 있듯이 평행사변형의 왼쪽에 있는 가상의 삼각형을 잘라 오른쪽에 붙이면 결과적으로 직사각형이 됩니다. 아시다시피 직사각형의 면적은 길이에 높이를 곱하여 구합니다. 평행사변형의 경우에만 길이가 밑변이 되고 직사각형의 높이는 이 쪽으로 내린 평행사변형의 높이가 됩니다.

2. 평행 사변형의 면적은 두 개의 인접한 밑면의 길이와 그 사이의 각도 사인을 곱하여 찾을 수도 있습니다.
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   여기서 AD, AB는 교차점과 그들 사이의 각도를 형성하는 인접한 밑면입니다.
   α는 밑변 AD와 AB 사이의 각도입니다.

   

3. 또한 평행 사변형의 면적은 평행 사변형 대각선 길이의 곱을 그 사이 각도의 사인으로 나누어 찾을 수 있습니다.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   여기서 AC, BD는 평행 사변형의 대각선입니다.
   β는 대각선 사이의 각도입니다.

   

4. 평행 사변형의 면적을 내접하는 원의 반지름으로 구하는 공식도 있습니다. 다음과 같이 작성됩니다.

비디오 과정 "Get A"에는 수학 시험을 60-65점으로 성공적으로 통과하는 데 필요한 모든 주제가 포함되어 있습니다. 수학에서 프로필 사용의 모든 작업 1-13을 완전히 수행하십시오. 수학에서 기본 USE를 통과하는 데에도 적합합니다. 90~100점으로 시험에 합격하고 싶다면 1부를 30분 안에 실수 없이 풀어야 한다!

10-11학년 및 교사를 위한 시험 준비 과정입니다. 수학 시험의 파트 1(처음 12개 문제)과 문제 13(삼각법)을 푸는 데 필요한 모든 것. 그리고 이것은 통합 국가 시험에서 70 점 이상이며 백 점 학생도 인본주의자도 그들 없이는 할 수 없습니다.

필요한 모든 이론. 시험의 빠른 솔루션, 함정 및 비밀. Bank of FIPI 작업에서 파트 1의 모든 관련 작업이 분석되었습니다. 이 과정은 USE-2018의 요구 사항을 완전히 준수합니다.

이 과정은 각각 2.5시간씩 5개의 큰 주제를 포함합니다. 각 주제는 처음부터 간단하고 명확하게 제공됩니다.

수백 가지의 시험 과제. 텍스트 문제와 확률 이론. 간단하고 기억하기 쉬운 문제 해결 알고리즘. 기하학. 이론, 참고 자료, 모든 유형의 USE 작업 분석. 입체 측정법. 해결을 위한 교활한 트릭, 유용한 치트 시트, 공간적 상상력 개발. 처음부터 삼각법 - 작업 13. 벼락치기 대신 이해하기. 복잡한 개념의 시각적 설명. 대수학. 근, 거듭제곱 및 로그, 함수 및 미분. 시험 2부의 복잡한 문제를 풀기 위한 기초.