식을 동일하게 같음으로 변환하는 방법. ID, 정의, 표기법, 예

주제 "신분 증명» 7학년(KRO)

교과서 Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

수업 목표

교육적인:

"동일한 표현", "정체성", "동일한 변환"의 개념을 익히고 처음에 통합합니다.

신원을 증명하는 방법을 고려하고, 신원을 증명하는 기술 개발에 기여합니다.

다루는 자료의 학생들의 동화를 확인하고, 새로운 인식을 위해 공부한 내용을 적용하는 기술을 형성합니다.

개발 중:

학생들의 유능한 수학적 연설을 개발하십시오 (풍부하고 복잡하게 어휘특별한 수학 용어를 사용할 때),

생각을 발전시키고,

교육: 근면성, 정확성, 연습 문제 기록의 정확성을 배양합니다.

수업 유형: 새로운 자료 학습

수업 중

1 . 조직 시간.

숙제를 확인 중입니다.

숙제에 대한 질문.

게시판에서 보고합니다.

필요한 수학
그녀 없이는 불가능하다
우리는 가르치고, 가르친다, 친구,
우리는 아침에 무엇을 기억합니까?

2 . 운동을 하자.

덧셈 결과. (합집합)

당신은 몇 개의 숫자를 알고 있습니까? (십)

숫자의 100분의 1입니다. (퍼센트)

분할 결과? (사적인)

가장 작은 자연수? (하나)

분할시 가능한가요? 자연수제로를 얻습니까? (아니)

가장 큰 음의 정수는 무엇입니까? (-하나)

나눌 수 없는 수는? (0)

곱셈 결과? (일하다)

빼기의 결과입니다. (차이점)

덧셈의 ​​가환성. (단어의 자리를 재배열해도 합은 변하지 않는다)

곱셈의 가환성. (요소의 자리의 순열로 제품이 변하지 않음)

연구 새로운 주제(노트에 메모가 있는 정의)

x=5 및 y=4에서 표현식의 값 찾기

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

우리는 같은 결과를 얻었습니다. 일반적으로 변수의 모든 값에 대해 식 3(x + y) 및 3x + 3y의 값이 동일하다는 분포 속성이 따릅니다.

이제 표현식 2x + y 및 2xy를 고려하십시오. x=1 및 y=2의 경우 동일한 값을 사용합니다.

그러나 이러한 표현식의 값이 같지 않도록 x 및 y 값을 지정할 수 있습니다. 예를 들어 x=3, y=4인 경우

정의: 변수의 어떤 값에 대해서도 값이 동일한 두 표현식을 동일하게 같음이라고 합니다.

표현식 3(x+y) 및 3x+3y는 동일하지만 표현식 2x+y 및 2xy는 동일하지 않습니다.

등식 3(x + y) 및 3x + 3y는 x와 y의 모든 값에 대해 참입니다. 이러한 평등을 정체성이라고 합니다.

정의:변수의 모든 값에 대해 참인 평등을 항등성이라고 합니다.

실제 숫자 평등도 ID로 간주됩니다. 우리는 이미 정체성을 만났습니다. 정체성은 숫자에 대한 행동의 기본 속성을 표현하는 평등입니다(학생들은 각 속성을 발음하여 논평합니다).

a + b = b + a
ab=바
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

신원의 다른 예를 제시하십시오

정의: 한 표현을 동일하게 동일한 다른 표현으로 바꾸는 것을 동일 변환 또는 단순히 표현의 변환이라고 합니다.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 기반으로 수행됩니다.

식의 항등 변환은 식의 값을 계산하고 다른 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어 유사한 용어의 축소, 대괄호의 확장과 같은 몇 가지 동일한 변환을 이미 수행해야 했습니다.

5 . 691호, 692호(중괄호 여는 규칙 발음, 음수와 양수 곱하기)

합리적인 솔루션을 선택하기 위한 ID:(전면 작업)

6 . 수업을 요약합니다.

교사는 질문을 하고 학생들은 원하는 대로 대답합니다.

동일하게 동등하다고 하는 두 표현은 무엇입니까? 예를 들다.

어떤 평등을 정체성이라고 합니까? 예를 들어 주십시오.

어떤 동일한 변환을 알고 있습니까?

7. 숙제. 정의 배우기, 동일한 표현의 예(최소 5개) 제시, 노트에 쓰기

이 기사는 초기 정체성의 개념. 여기서 우리는 아이덴티티를 정의하고 사용된 표기법을 소개하며 물론 다양한 예신원

페이지 탐색.

정체성이란 무엇입니까?

다음으로 자료의 프레젠테이션을 시작하는 것이 논리적입니다. ID 정의. Yu. N. Makarychev의 교과서, 7개 클래스에 대한 대수학에서 정체성의 정의는 다음과 같이 주어집니다.

정의.

신원변수의 모든 값에 대해 참입니다. 모든 진정한 숫자 평등도 동일합니다.

동시에 저자는 미래에 이 정의가 명확해질 것이라고 즉시 명시합니다. 이 설명은 변수 및 ODZ의 허용 가능한 값 정의에 대해 알게 된 후 8 학년에서 발생합니다. 정의는 다음과 같습니다.

정의.

신원진정한 수치 평등과 그에 포함 된 변수의 모든 허용 가능한 값에 대해 참인 평등입니다.

그렇다면 왜 정체성을 정의할 때 7학년에서는 변수의 값에 대해 이야기하고 8학년에서는 DPV의 변수 값에 대해 이야기하기 시작합니까? 8 학년까지 작업은 정수 표현식 (특히 단항식 및 다항식)으로 독점적으로 수행되며 포함 된 변수의 모든 값에 대해 의미가 있습니다. 따라서 7학년에서는 항등식을 변수의 모든 값에 대해 참이라고 말합니다. 그리고 8 학년에서는 모든 변수 값이 아니라 ODZ 값에 대해서만 이미 의미가있는 표현이 나타납니다. 따라서 ID에 의해 변수의 모든 허용 가능한 값에 대해 참인 평등을 호출하기 시작합니다.

그래서 아이덴티티는 특별한 경우평등. 즉, 모든 정체성은 평등합니다. 그러나 모든 평등이 동일성은 아니지만 허용 가능한 값 범위의 모든 변수 값에 대해 참인 평등일 뿐입니다.

신원 표시

평등을 쓸 때 "="형식의 등호가 왼쪽과 오른쪽에 사용되는 것으로 알려져 있으며 그 왼쪽과 오른쪽에는 일부 숫자 또는 표현식이 있습니다. 이 기호에 수평선을 하나 더 추가하면 신분 표시"≡", 또는 등호.

정체성의 표시는 일반적으로 우리 앞에 평등뿐만 아니라 정확히 정체성이 있음을 강조해야 할 때만 사용됩니다. 다른 경우에는 정체성의 표현이 평등과 형태가 다르지 않습니다.

아이덴티티 예시

가져올 시간이야 신원의 예. 첫 번째 단락에 제공된 정체성의 정의는 이에 도움이 될 것입니다.

수치 평등 2=2는 항등식의 예입니다. 왜냐하면 이러한 등식은 참이고 모든 진정한 수치 평등은 정의에 따라 항등식이기 때문입니다. 2≡2 및 .

2+3=5 및 7−1=2·3 형식의 수치적 등식도 항등식입니다. 이러한 등식은 참이기 때문입니다. 즉, 2+3≡5 및 7−1≡2 3 입니다.

숫자뿐만 아니라 표기법에 변수도 포함하는 항등식의 예를 살펴보겠습니다.

3·(x+1)=3·x+3 등식을 고려하십시오. 변수 x의 모든 값에 대해 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성으로 인해 작성된 같음은 참이므로 원래 같음은 항등식의 한 예입니다. 다음은 ID의 또 다른 예입니다. y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, 여기에서 변수 x와 y에 대해 허용되는 값의 범위는 모든 쌍(x, y)입니다. 여기서 x와 y는 0을 제외한 모든 숫자입니다.

그러나 등식 x+1=x−1 및 a+2 b=b+2 a는 항등식이 아닙니다. 왜냐하면 이러한 평등이 올바르지 않을 변수의 값이 있기 때문입니다. 예를 들어, x=2의 경우 항등 x+1=x−1 은 잘못된 항등 2+1=2−1 로 바뀝니다. 더욱이, 평등 x+1=x−1은 변수 x의 어떤 값에 대해서도 전혀 달성되지 않습니다. 그리고 평등 a+2 b=b+2는 우리가 하나를 취하면 잘못된 평등으로 바뀝니다 다양한 의미변수 a 및 b . 예를 들어, a=0 및 b=1인 경우 잘못된 같음 0+2 1=1+2 0 이 됩니다. 같음 |x|=x , 여기서 |x| - 변수 x 는 에 대해 참이 아니기 때문에 항등성이 아닙니다. 음수 값 x .

가장 유명한 항등식의 예는 sin 2 α+cos 2 α=1 및 a log a b =b 입니다.

이 기사의 결론에서 나는 수학을 공부할 때 우리가 끊임없이 정체성을 만난다는 점에 주목하고 싶습니다. 숫자 동작 속성 레코드는 ID입니다(예: a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 및 a+(−a)=0 ). 또한 신분은

숫자의 덧셈과 곱셈의 기본 속성.

덧셈의 ​​가환성: 항을 재배열해도 합은 변하지 않는다. 모든 숫자와 b에 대해 평등은 참입니다.

덧셈의 ​​연관 속성: 두 수의 합에 세 번째 수를 더하기 위해 첫 번째 수에 두 번째와 세 번째 합을 더할 수 있습니다. 모든 숫자에 대해 b 및 c는 동일합니다.

곱셈의 교환 속성: 요소의 순열은 제품의 가치를 변경하지 않습니다. 모든 숫자, b 및 c에 대해 평등은 참입니다.

곱셈의 결합 속성: 두 숫자의 곱에 세 번째 숫자를 곱하기 위해 첫 번째 숫자에 두 번째와 세 번째 곱을 곱할 수 있습니다.

모든 숫자, b 및 c에 대해 평등은 참입니다.

분배 속성: 숫자에 합계를 곱하려면 해당 숫자에 각 항을 곱하고 결과를 더할 수 있습니다. 모든 숫자에 대해 b 및 c는 동일합니다.

덧셈의 ​​가환성 및 연관 속성에 따라 원하는 대로 항을 재배열하고 임의의 방식으로 그룹으로 결합할 수 있습니다.

예 1 합계 1.23+13.5+4.27을 계산해 보겠습니다.

이렇게하려면 첫 번째 항과 세 번째 항을 결합하는 것이 편리합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

곱셈의 가환 및 연관 속성에서 따릅니다. 모든 제품에서 어떤 방식으로든 요소를 ​​재배열하고 임의로 그룹으로 결합할 수 있습니다.

예 2 곱 1.8 0.25 64 0.5의 값을 구해 봅시다.

첫 번째 요소를 네 번째 요소와 결합하고 두 번째 요소를 세 번째 요소와 결합하면 다음이 됩니다.

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

분포 속성은 숫자에 세 개 이상의 항의 합을 곱한 경우에도 유효합니다.

예를 들어, 임의의 숫자 a, b, c 및 d에 대해 평등은 참입니다.

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

빼기를 빼기에 반대 숫자를 빼기에 더함으로써 빼기를 덧셈으로 대체할 수 있다는 것을 알고 있습니다.

이것은 숫자 표현을 허용합니다 AB형숫자 a와 -b의 합을 고려하고 a + b-c-d 형식의 숫자 표현을 숫자 a, b, -c, -d 등의 합으로 간주합니다. 고려된 동작 속성은 이러한 합에도 유효합니다.

예제 3 표현식 3.27-6.5-2.5+1.73의 값을 구해 봅시다.

이 표현식은 숫자 3.27, -6.5, -2.5 및 1.73의 합입니다. 더하기 속성을 적용하면 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4가 됩니다.

예 4 곱 36·()을 계산해 봅시다.

승수는 숫자와 -의 합으로 생각할 수 있습니다. 곱셈의 분배 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.

36()=36-36=9-10=-1.

신원

정의. 변수의 모든 값에 대해 해당 값이 동일한 두 표현식을 동일하게 같음이라고 합니다.

정의. 변수의 모든 값에 대해 참인 평등을 항등성이라고 합니다.

x=5, y=4에 대해 표현식 3(x+y) 및 3x+3y의 값을 찾아보겠습니다.

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

우리는 같은 결과를 얻었습니다. 일반적으로 변수의 모든 값에 대해 3(x+y) 및 3x+3y 식의 해당 값이 동일하다는 분포 속성이 따릅니다.

이제 2x+y 및 2xy 표현식을 고려하십시오. x=1, y=2의 경우 동일한 값을 사용합니다.

그러나 이러한 표현식의 값이 같지 않도록 x 및 y 값을 지정할 수 있습니다. 예를 들어 x=3, y=4인 경우

표현식 3(x+y) 및 3x+3y는 동일하지만 표현식 2x+y 및 2xy는 동일하지 않습니다.

등식 3(x+y)=x+3y는 x와 y의 모든 값에 대해 참이며 항등식입니다.

실제 숫자 평등도 ID로 간주됩니다.

따라서 ID는 숫자에 대한 작업의 주요 속성을 나타내는 평등입니다.

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

신원의 다른 예는 다음과 같습니다.

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

식의 항등 변환

한 식을 동일하게 동일한 다른 식으로 바꾸는 것을 동일 변환 또는 단순히 표현식의 변환이라고 합니다.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 기반으로 수행됩니다.

x, y, z 값이 주어지면 xy-xz 표현식의 값을 찾으려면 세 단계를 수행해야 합니다. 예를 들어 x=2.3, y=0.8, z=0.2일 때 다음을 얻습니다.

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

이 결과는 표현식 x(y-z)를 사용하여 두 단계로 얻을 수 있으며 이는 표현식 xy-xz와 동일합니다.

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

xy-xz 표현식을 동일한 표현식 x(y-z)로 교체하여 계산을 단순화했습니다.

식의 항등 변환은 식의 값을 계산하고 다른 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다. 유사한 용어의 축소, 괄호 열기와 같은 일부 동일한 변환이 이미 수행되었습니다. 이러한 변환을 수행하기 위한 규칙을 기억하십시오.

유사한 용어를 가져오려면 해당 계수를 추가하고 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다.

대괄호 앞에 더하기 기호가 있으면 대괄호로 묶인 각 용어의 기호를 유지하면서 대괄호를 생략할 수 있습니다.

대괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 대괄호로 묶인 각 용어의 부호를 변경하여 대괄호를 생략할 수 있습니다.

예제 1 합 5x+2x-3x에 같은 항을 추가해 봅시다.

다음과 같은 용어를 줄이는 규칙을 사용합니다.

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

이 변환은 곱셈의 분배 속성을 기반으로 합니다.

예 2 2a+(b-3c) 식에서 괄호를 확장해 보겠습니다.

더하기 기호가 앞에 오는 대괄호 여는 규칙 적용:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

수행된 변환은 덧셈의 연관 속성을 기반으로 합니다.

예 3 a-(4b-c) 표현식에서 괄호를 확장해 보겠습니다.

빼기 기호가 앞에 오는 확장 대괄호에 대한 규칙을 사용해 보겠습니다.

a-(4b-c)=a-4b+c.

수행된 변환은 곱셈의 분배 속성과 덧셈의 결합 속성을 기반으로 합니다. 보여줍시다. 이 식에서 두 번째 항 -(4b-c)를 곱(-1)(4b-c)으로 표현해 보겠습니다.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

이러한 작업 속성을 적용하면 다음을 얻습니다.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

대수학을 공부하는 과정에서 다항식(예: ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ 등) 및 대수 분수(예: $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ 등) 이러한 개념의 유사성은 다항식과 대수 분수 모두에서 변수와 숫자 값, 산술 연산: 더하기, 빼기, 곱하기, 지수. 이러한 개념의 차이점은 변수에 의한 나눗셈은 다항식에서 수행되지 않는 반면 변수에 의한 나눗셈은 대수 분수에서 수행될 수 있다는 것입니다.

다항식과 대수 분수는 모두 수학에서 합리적인 대수 표현이라고합니다. 그러나 다항식은 정수 유리 표현식이고 대수 분수는 다음과 같습니다. 부분적으로 합리적인표현.

분수에서 얻을 수 있습니다 --합리적 표현전부의 대수식이 경우 분수의 주요 속성이 될 동일한 변환을 사용하여 분수를 줄입니다. 실제로 확인해 보겠습니다.

실시예 1

변환:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

해결책:주어진 변환 분수 유리 방정식주요 속성을 사용하여 가능 분수 - 약어, 즉. 분자와 분모를 $0$가 아닌 동일한 숫자나 표현식으로 나누는 것.

이 분수는 즉시 줄일 수 없으며 분자를 변환해야 합니다.

분수의 분자로 표현을 변환합니다. 이를 위해 차이의 제곱에 대한 공식을 사용합니다. $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

분수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

이제 분자와 분모에 공통 요소가 있음을 알 수 있습니다. 이것은 $x-2$ 표현식으로 분수를 줄일 것입니다.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

축소 후, 우리는 원래 분수-합리식 $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$가 다항식 $x-2$, 즉 전체 합리적.

이제 $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ 및 $x-2\ $ 표현식이 변수의 모든 값에 대해 동일하지 않은 것으로 간주될 수 있다는 사실에 주목합시다. 분수-합리 식이 존재하고 다항식 $x-2$에 의한 감소가 가능하려면 분수의 분모가 $0$(또한 우리가 감소시키는 요인)과 같아야 합니다. 이 예분모와 승수는 같지만 항상 그런 것은 아닙니다.)

대수 분수가 존재할 변수 값을 유효한 변수 값이라고 합니다.

분수의 분모에 $x-2≠0$, $x≠2$ 조건을 둡니다.

따라서 $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ 및 $x-2$ 표현식은 $2$를 제외한 변수의 모든 값에 대해 동일합니다.

정의 1

똑같이 평등하다표현식은 변수의 가능한 모든 값에 대해 동일한 표현식입니다.

동일한 변환은 원래 표현식을 동일하게 동일한 표현식으로 대체하는 것입니다. 이러한 변환에는 더하기, 빼기, 곱하기, 괄호, 대수 분수공통 분모로, 대수 분수의 축소, 유사 용어의 축소 등 축소, 유사 용어 축소와 같은 여러 변환이 변수의 허용 가능한 값을 변경할 수 있음을 고려해야 합니다.

신원을 증명하는 데 사용되는 기술

항등 변환을 사용하여 항등의 왼쪽을 오른쪽으로 또는 그 반대로 변환

동일한 변환을 사용하여 두 부분을 동일한 표현식으로 축소

표현식의 한 부분에 있는 표현식을 다른 부분으로 옮기고 결과 차이가 $0$임을 증명하십시오.

주어진 신원을 증명하는 데 사용할 위의 방법은 원본 신원에 따라 다릅니다.

실시예 2

동일성 증명 $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

해결책:이 동일성을 증명하기 위해 위의 방법 중 첫 번째 방법을 사용합니다. 즉, 좌변이 우변과 같아질 때까지 좌변을 변환합니다.

항등식의 왼쪽을 고려하십시오: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- 이것은 두 다항식의 차입니다. 이 경우 첫 번째 다항식은 세 항의 합을 제곱한 것입니다. 여러 항의 합을 제곱하려면 다음 공식을 사용합니다.

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

이렇게 하려면 숫자에 다항식을 곱해야 합니다. 이를 위해 대괄호 외부의 공약수에 대괄호 안에 있는 다항식의 각 항을 곱해야 합니다. 그러면 다음을 얻습니다.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

이제 원래 다항식으로 돌아가서 다음과 같은 형식을 취합니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

브래킷 앞에 "-"기호가 있음을 유의하십시오. 이는 브래킷을 열 때 브래킷에 있던 모든 기호가 반전되었음을 의미합니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

유사한 용어를 가져오면 단항식 $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ 및 $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$가 서로 상쇄됩니다. 즉, 그들의 합계는 $0$와 같습니다.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

따라서 동일한 변환을 통해 다음을 얻습니다. 동일한 표현원래 ID의 왼쪽에

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

결과 표현식은 원래 ID가 true임을 보여줍니다.

원래 ID에서는 변수의 모든 값이 허용됩니다. 즉, 동일한 변환을 사용하여 ID를 증명했으며 변수의 허용된 모든 값에 대해 사실입니다.