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도는 예각 삼각형을 의미합니다. 삼각형의 종류: 직각, 예각, 둔각

일반적으로 두 개의 삼각형은 크기가 다르거나 회전하거나 거꾸로 되어 있어도 모양이 같으면 유사한 것으로 간주됩니다.

그림에 표시된 두 개의 유사한 삼각형 A 1 B 1 C 1 및 A 2 B 2 C 2의 수학적 표현은 다음과 같이 작성됩니다.

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

두 삼각형은 다음과 같은 경우 유사합니다.

1. 한 삼각형의 각 각은 다른 삼각형의 해당 각과 같습니다.
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2그리고 ∠C1 = ∠C2

2. 한 삼각형의 변과 다른 삼각형의 해당 변의 비율은 서로 같습니다.
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. 관계 양측한 삼각형의 다른 삼각형의 대응하는 변에 대한 길이는 서로 같고 동시에
이 변 사이의 각도는 같습니다.
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ 및 $\angle A_1 = \angle A_2$
또는
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ 및 $\angle B_1 = \angle B_2$
또는
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ 및 $\angle C_1 = \angle C_2$

유사한 삼각형을 이등삼각형과 혼동해서는 안 됩니다. 합동 삼각형은 대응하는 변의 길이를 가지고 있습니다. 따라서 등삼각형의 경우:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

이로부터 모든 이등삼각형은 유사하다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 유사한 삼각형이 모두 같은 것은 아닙니다.

위의 표기법은 두 삼각형이 유사한지 여부를 알아내기 위해서는 세 각의 값이나 각 삼각형의 세 변의 길이를 알아야 유사한 삼각형의 문제를 해결할 필요가 있음을 보여주지만, 각 삼각형에 대해 위의 세 가지 값을 알면 충분합니다. 이 값은 다양한 조합이 될 수 있습니다.

1) 각 삼각형의 세 각(삼각형의 변의 길이는 알 필요가 없음).

또는 한 삼각형의 적어도 두 각은 다른 삼각형의 두 각과 같아야 합니다.
2개의 각도가 같으면 세 번째 각도도 같으므로(세 번째 각도의 값은 180 - angle1 - angle2)

2) 각 삼각형의 변의 길이(각도를 알 필요 없음)

3) 두 변의 길이와 그 사이의 각도.

다음으로, 유사한 삼각형에 대한 몇 가지 문제의 솔루션을 고려합니다. 먼저 위의 규칙을 직접 적용하여 풀 수 있는 문제를 살펴본 후, 유사한 삼각형 방법을 사용하여 풀 수 있는 실용적인 문제에 대해 알아보겠습니다.

유사한 삼각형의 실제 문제

예 #1: 아래 그림에서 두 삼각형이 비슷함을 보여주세요.

해결책:
두 삼각형의 변의 길이를 알고 있으므로 여기에 두 번째 규칙을 적용할 수 있습니다.

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

예 #2: 주어진 두 삼각형이 비슷함을 보여주고 변의 길이를 구하십시오. PQ그리고 홍보.

해결책:
∠A = ∠P그리고 ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(∠C = 180 - ∠A - ∠B 및 ∠R = 180 - ∠P - ∠Q이기 때문에)

이로부터 삼각형 ∆ABC와 ∆PQR이 유사하다는 것을 알 수 있습니다. 따라서:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \오른쪽 화살표 PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ 및
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \오른쪽 화살표 PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

예 #3: 길이 결정 AB이 삼각형에서.

해결책:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED그리고 ∠A공통 => 삼각형 △ABC그리고 ΔADE비슷하다.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \오른쪽 화살표 2\times AB = AB + 4 \오른쪽 화살표 AB = 4$

예 #4: 길이 결정 AD(x)그림의 기하학적 그림입니다.

삼각형 ∆ABC와 ∆CDE는 AB || DE와 그들은 공통점이 있습니다 상단 모서리씨.
우리는 한 삼각형이 다른 삼각형의 축척 버전임을 알 수 있습니다. 그러나 수학적으로 증명해야 합니다.

AB || 드, CD || AC와 BC || 유럽 ​​연합
∠BAC = ∠EDC 및 ∠ABC = ∠DEC

전술한 내용을 바탕으로 공통된 각도의 존재를 고려하여 씨, 삼각형 ∆ABC와 ∆CDE는 유사하다고 말할 수 있습니다.

따라서:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \오른쪽 화살표 CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23.57
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

실제 사례

예 #5: 공장에서는 그림과 같이 경사 컨베이어 벨트를 사용하여 레벨 1에서 레벨 2(레벨 1보다 3미터 높이)로 제품을 운송합니다. 경사 컨베이어는 한쪽 끝에서 레벨 1로, 다른 쪽 끝에서 레벨 1 작동 지점에서 8m 떨어진 워크스테이션으로 서비스됩니다.

공장에서는 컨베이어 각도를 유지하면서 레벨 1보다 9m 높은 새 레벨에 액세스할 수 있도록 컨베이어를 업그레이드하려고 합니다.

컨베이어가 레벨 2의 새 끝에서 작동하도록 새 워크 스테이션을 설정해야 하는 거리를 결정하십시오. 또한 새 레벨로 이동할 때 제품이 이동할 추가 거리를 계산하십시오.

해결책:

먼저 그림과 같이 각 교차점에 특정 문자로 레이블을 지정합니다.

위의 예에서 주어진 추론을 기반으로 삼각형 ∆ABC와 ∆ADE가 유사하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \오른쪽 화살표 AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 2400만 달러
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16m

따라서 새 지점은 기존 지점에서 16m 떨어진 곳에 설치해야 합니다.

그리고 구조가 직각 삼각형으로 구성되어 있으므로 제품 이동 거리를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54m$

마찬가지로 $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63m$
제품이 이동하는 거리입니다. 이 순간기존 레벨에 진입할 때.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09m
이것은 제품이 새로운 수준에 도달하기 위해 이동해야 하는 추가 거리입니다.

예 #6: Steve는 최근 이사한 친구를 방문하고 싶어합니다. 새 집. Steve와 그의 친구의 집까지 가는 로드맵과 Steve가 알고 있는 거리가 그림에 나와 있습니다. 스티브가 친구의 집에 가장 빨리 갈 수 있도록 도와주세요.

해결책:

로드맵은 그림과 같이 기하학적으로 다음과 같은 형태로 표현될 수 있습니다.

삼각형 ∆ABC와 ∆CDE는 유사하므로 다음과 같습니다.
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

작업 설명에는 다음과 같이 나와 있습니다.

AB = 15km, AC = 13.13km, CD = 4.41km 및 DE = 5km

이 정보를 사용하여 다음 거리를 계산할 수 있습니다.

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38km$

Steve는 다음 경로를 사용하여 친구의 집에 갈 수 있습니다.

A -> B -> C -> E -> G, 총 거리는 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61km입니다.

F -> B -> C -> D -> G, 총 거리는 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64km입니다.

F -> A -> C -> E -> G, 총 거리는 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51km입니다.

F -> A -> C -> D -> G, 총 거리는 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54km입니다.

따라서 루트 #3이 가장 짧고 Steve에게 제공될 수 있습니다.

예 7:
Trisha는 집의 높이를 측정하고 싶지만 측정할 수 없습니다. 올바른 도구. 그녀는 집 앞에서 나무가 자라는 것을 보고 학교에서 받은 지략과 기하학 지식을 사용하여 건물의 높이를 결정하기로 결정했습니다. 그녀는 나무에서 집까지의 거리를 측정한 결과 30m였습니다. 그런 다음 그녀는 나무 앞에 서서 건물의 꼭대기 가장자리가 나무 꼭대기 위로 보일 때까지 뒤로 물러서기 시작했습니다. 트리샤는 그 지점을 표시하고 그 지점에서 나무까지의 거리를 측정했습니다. 이 거리는 5m였다.

나무의 높이는 2.8m이고 트리샤의 눈 높이는 1.6m입니다. 트리샤가 건물의 높이를 결정하도록 도와주세요.

해결책:

문제의 기하학적 표현이 그림에 나와 있습니다.

먼저 삼각형 ∆ABC와 ∆ADE의 유사도를 사용합니다.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \오른쪽 화살표 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \times AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \오른쪽 화살표 AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

그런 다음 삼각형 ∆ACB와 ∆AFG 또는 ∆ADE와 ∆AFG의 유사성을 사용할 수 있습니다. 첫 번째 옵션을 선택합시다.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \오른쪽 화살표 H = \frac(1.6 )(0.16) = 10m$

두 삼각형은 겹칠 수 있으면 합동이라고 합니다. 그림 1은 등삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1을 보여줍니다. 이 삼각형 각각은 완전히 호환되도록 다른 삼각형 위에 겹쳐질 수 있습니다. 즉, 정점과 변이 함께 쌍을 이룹니다. 이 경우 이러한 삼각형의 각도가 쌍으로 결합될 것이 분명합니다.

따라서 두 삼각형이 같다면 한 삼각형의 요소(즉, 변과 각)는 다른 삼각형의 요소와 각각 같습니다. 참고 각각의 동일한 변에 대해 동일한 삼각형에서(즉, 겹쳤을 때 겹침) 같은 각도로 거짓말그리고 뒤로: 대응하는 동일한 각도의 반대는 동일한 측면에 있습니다.

예를 들어, 그림 1에 표시된 등각 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1에서 같은 변 AB와 A 1 B 1의 반대편에는 각각 같은 각도 C와 C 1이 있습니다. 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1의 평등은 다음과 같이 표시됩니다. Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. 두 삼각형의 평등은 요소 중 일부를 비교하여 설정할 수 있습니다.

정리 1. 삼각형의 평등의 첫 번째 신호.한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 그러한 삼각형은 같습니다(그림 2).

증거. AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1인 삼각형 ABC 및 A 1 B 1 C 1을 고려하십시오(그림 2 참조). Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 임을 증명합시다.

∠ A \u003d ∠ A 1이므로 삼각형 ABC는 삼각형 A 1 B 1 C 1에 겹쳐서 정점 A가 정점 A 1과 정렬되고 변 AB와 AC가 각각 겹쳐집니다. 광선 A 1 B 1 및 A 1 C one . AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 이후 AB면은 A 1B 1면과 결합되고 AC면은 A 1 C 1면과 결합됩니다. 특히, 점 B와 B 1 , C 와 C 1 은 일치할 것입니다. 따라서 측면 BC와 B 1 C 1이 정렬됩니다. 따라서 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1은 완전히 호환 가능하므로 동일합니다.

정리 2는 중첩 방법에 의해 유사하게 증명됩니다.

정리 2. 삼각형의 평등의 두 번째 기호.한 삼각형의 변과 그것에 인접한 두 각이 다른 삼각형의 변과 그것에 인접한 두 각과 각각 같으면 그러한 삼각형은 같습니다(그림 34).

논평. 정리 2를 기반으로 정리 3이 설정됩니다.

정리 3. 삼각형의 두 내각의 합은 180°보다 작습니다.

정리 4는 마지막 정리에서 이어집니다.

정리 4. 삼각형의 외각은 그 어떤 것보다 크다 안쪽 모서리, 인접하지 않습니다.

정리 5. 삼각형의 평등의 세 번째 기호.한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 각각 같으면 그러한 삼각형은 같습니다().

실시예 1삼각형 ABC 및 DEF에서(그림 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20cm, AC = 18cm, DE = 18cm, EF = 20cm 삼각형 ABC와 DEF를 비교하십시오. 삼각형 DEF에서 각 B와 같은 각은?

해결책. 이 삼각형은 첫 번째 기호에서 동일합니다. 삼각형 DEF의 각 F는 삼각형 ABC의 각 B와 같습니다. 이 각은 각각 동일한 변 DE와 AC의 반대편에 있기 때문입니다.

실시예 2선분 AB와 CD(그림 5)는 각각의 중간점인 점 O에서 교차합니다. 세그먼트 AC가 6m인 경우 세그먼트 BD는 무엇입니까?

해결책. 삼각형 AOC와 BOD는 동일합니다(첫 번째 기준에 따름): ∠ AOC = ∠ BOD(수직), AO = OB, CO = OD(조건에 따라).
이 삼각형의 평등에서 변의 평등, 즉 AC = BD가 따릅니다. 그러나 조건에 따라 AC = 6m, BD = 6m이므로.

표준 표기

꼭짓점이 있는 삼각형 ㅏ, 비그리고 씨(그림 참조)로 표시됩니다. 삼각형에는 세 변이 있습니다.

삼각형의 변의 길이는 소문자로 표시 라틴 문자로(알파벳):

삼각형에는 다음과 같은 각도가 있습니다.

해당 꼭짓점의 각도 값은 전통적으로 다음과 같이 표시됩니다. 그리스 문자 (α, β, γ).

삼각형의 평등 표시

유클리드 평면의 삼각형은 다음과 같은 기본 요소의 삼중항으로 고유하게 정의될 수 있습니다.

  1. a, b, γ(양쪽의 평등과 그 사이의 각도);
  2. a, β, γ(변과 두 개의 인접한 각의 등식);
  3. a, b, c(삼면의 평등).

직각 삼각형의 평등 표시 :

  1. 다리와 빗변을 따라;
  2. 두 다리에;
  3. 다리와 예각을 따라;
  4. 빗변과 예각.

삼각형의 일부 점은 "쌍"입니다. 예를 들어, 60° 각도 또는 120° 각도에서 모든 면을 볼 수 있는 두 개의 점이 있습니다. 그들은 불려 도트 토리첼리. 또한 측면의 돌출부가 정삼각형의 꼭짓점에 있는 두 점이 있습니다. 이 - 아폴로니우스의 포인트. 라고 불리는 점 등 브로카드 포인트.

직접

모든 삼각형에서 무게 중심, 직교 중심 및 외접 원의 중심은 동일한 직선 위에 있습니다. 오일러 라인.

외접원의 중심과 르모안 점을 지나는 선을 브로카의 축. Apollonius 포인트는 그것에 놓여 있습니다. Torricelli point와 Lemoine point도 같은 직선상에 있다. 삼각형의 각의 외이등분선의 밑변은 같은 직선 위에 있습니다. 외부 이등분선의 축. 직각삼각형의 변을 포함하는 선과 삼각형의 변을 포함하는 선의 교차점도 같은 선에 있습니다. 이 라인은 직교 축, 오일러 선에 수직입니다.

우리가 삼각형의 외접 원에서 한 점을 취하면 삼각형의 측면에 대한 투영은 하나의 직선에 놓일 것입니다. 심슨의 직선주어진 점. 정반대 점의 Simson 선은 수직입니다.

삼각형

  • 주어진 점을 지나는 세비안의 밑변에 꼭짓점이 있는 삼각형을 세비안 삼각형이 점.
  • 주어진 점을 측면에 투영하는 꼭짓점이 있는 삼각형을 삼각형이라고 합니다. 피부 아래또는 페달 삼각형이 점.
  • 꼭짓점을 지나는 선의 두 번째 교점에 꼭짓점이 있고 외접원이 있는 주어진 점을 갖는 삼각형을 삼각형이라고 합니다. 세비안 삼각형. 세비안 삼각형은 피하 삼각형과 유사합니다.

서클

  • 내접원삼각형의 세 변에 접하는 원입니다. 그녀는 유일한 사람입니다. 내접원의 중심을 이라고 합니다. 내심.
  • 외접원- 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원. 외접원도 독특합니다.
  • 동그라미- 삼각형의 한 변에 접하는 원과 다른 두 변의 연장선. 삼각형에는 이러한 원이 세 개 있습니다. 그들의 근본적인 중심은 중위 삼각형의 내접원의 중심입니다. 스피커의 요점.

삼각형의 세 변의 중점, 세 고도의 밑변, 그리고 꼭짓점을 직교 중심에 연결하는 세 선분의 중점은 아홉 점의 원또는 오일러 원. 9점 원의 중심은 오일러 선에 있습니다. 9개의 점으로 이루어진 원이 내접원과 3개의 원과 접합니다. 내접원과 아홉 점의 원 사이의 접촉점을 포이에르바흐 포인트. 각 꼭짓점에서 변을 포함하는 직선에 삼각형을 배치하고 반대 변과 길이가 같은 직교를 배치하면 결과 6개의 점이 하나의 원에 놓입니다. 콘웨이 서클. 모든 삼각형에서 세 개의 원이 삼각형의 두 변과 다른 두 개의 원에 닿도록 내접할 수 있습니다. 이러한 원을 말파티 서클. 삼각형을 중선으로 나눈 6개의 삼각형의 외접원의 중심은 하나의 원 위에 있으며, 이를 중선이라고 합니다. 라문 서클.

삼각형에는 삼각형과 외접원의 두 변에 접하는 3개의 원이 있습니다. 이러한 원을 반각인또는 베리에 서클. Verrier 원과 외접원의 접촉점을 연결하는 선분은 한 점에서 교차합니다. 베리에 포인트. 그것은 외접 원을 내원으로 가져 오는 동질성의 중심 역할을합니다. Verrier 원의 변과 접하는 점은 내접원의 중심을 통과하는 직선에 있습니다.

내접원의 접선점과 꼭짓점을 연결하는 선분은 한 점에서 교차합니다. 게르곤 포인트, 그리고 꼭짓점을 외원의 접촉점과 연결하는 세그먼트 -에서 나겔 포인트.

타원, 포물선 및 쌍곡선

내접원추(타원)와 그 원근법

무한한 수의 원뿔형(타원, 포물선 또는 쌍곡선)을 삼각형에 내접할 수 있습니다. 임의의 원뿔을 삼각형에 내접하고 접촉점을 반대 정점과 연결하면 결과 선이 한 점에서 교차합니다. 관점원뿔 측면이나 연장선에 있지 않은 평면의 모든 지점에는 해당 지점에 원근법이 있는 내접 원추형이 있습니다.

외접하는 슈타이너 타원과 그 초점을 통과하는 세비안

타원은 중간점에서 측면과 접하는 삼각형에 내접할 수 있습니다. 이러한 타원은 슈타이너 새겨진 타원(원근은 삼각형의 중심이 됩니다). 측면에 평행한 꼭짓점을 통과하는 선에 접하는 설명된 타원을 슈타이너 타원으로 둘러싸인. 아핀 변환("비뚤어짐")이 삼각형을 일반 삼각형으로 변환하면 내접 및 외접 슈타이너 타원이 내접 및 외접 원으로 이동합니다. 설명된 슈타이너 타원(Skutin 점)의 초점을 통해 그린 세비안은 동일합니다(Skutin의 정리). 외접하는 모든 타원 중에서 외접 슈타이너 타원은 가장 작은 영역, 모든 내접 타원 중에서 슈타이너 내접 타원의 면적이 가장 큽니다.

Brocard의 타원과 그 관찰자 - Lemoine 점

Brokar의 점에 초점이 있는 타원을 브로카드 타원. 그 원근법은 Lemoine 점입니다.

내접 포물선의 속성

키퍼트 포물선

내접 포물선의 원근법은 외접 슈타이너 타원에 있습니다. 내접포물선의 초점은 외접원에 있으며, 직각선은 직교중심을 통과합니다. 방향이 오일러 선인 삼각형에 새겨진 포물선을 키퍼트의 포물선. 그 원근법은 외접원과 외접 슈타이너 타원의 교차점인 네 번째 점입니다. 슈타이너 포인트.

사이퍼트의 과장법

설명된 쌍곡선이 높이의 교차점을 통과하면 등변입니다(즉, 점근선이 수직임). 등변 쌍곡선의 점근선의 교점은 9개의 점으로 이루어진 원 위에 있습니다.

변환

꼭짓점을 통과하는 선과 측면에 있지 않은 점과 그 확장이 해당 이등분선에 대해 반영되면 이미지도 한 점에서 교차합니다. 등각 켤레원래 것(점이 외접 원 위에 있으면 결과 선은 평행이 됩니다). 주목할만한 점의 많은 쌍은 등각 켤레입니다. 외접원의 중심과 직교 중심, 중심과 Lemoine 점, Brocard 점. Apollonius 점은 Torricelli 점에 등각적으로 켤레이며 내원의 중심은 자체에 등각으로 켤레입니다. 등각 켤레의 작용에 따라 직선은 외접 원뿔로, 외접 원뿔은 직선으로 이동합니다. 따라서 Kiepert 쌍곡선과 Brocard 축, Enzhabek 쌍곡선과 오일러 선, Feuerbach 쌍곡선 및 내접원의 중심선은 등각 켤레입니다. 등각 켤레 점의 피하 삼각형의 외접 원은 일치합니다. 내접 타원의 초점은 등각 켤레입니다.

대칭 cevian 대신에 밑면이 원래의 밑면과 같이 측면 중앙에서 멀리 떨어져 있는 cevian을 취하면 그러한 cevian도 한 점에서 교차합니다. 결과 변환은 동위원소 결합. 또한 외접 원뿔에 선을 매핑합니다. Gergonne 및 Nagel 점은 등위 적으로 켤레입니다. 아핀 변환에서 isotomically conjugate point는 isotomically conjugate point로 전달됩니다. isotomy conjugation에서 설명된 Steiner 타원은 직선으로 무한대로 전달됩니다.

외접원에서 삼각형의 변에 의해 잘린 선분에 어떤 점을 지나는 세비안의 밑변에 접하는 원이 내접되면 이 원의 접촉점이 외접에 연결된다. 반대 정점이있는 원, 그런 선은 한 점에서 교차합니다. 원래 점을 결과 점과 일치시키는 평면의 변환을 호출합니다. 등원 변형. isogonal 및 isotomic conjugations의 구성은 그 자체로 isocircular 변환의 구성입니다. 이 구성은 삼각형의 변을 제자리에 두고 외부 이등분선의 축을 무한대의 직선으로 변환하는 투영 변환입니다.

어떤 점의 Cevian 삼각형의 변을 계속하고 해당 변과 교차점을 취하면 결과 교차점이 하나의 직선에 놓일 것입니다. 삼선극출발점. 직교 축 - 직교 중심의 삼선극; 내접원 중심의 삼선극은 외부 이등분선의 축입니다. 외접 원뿔에 있는 점의 삼선극은 한 점에서 교차합니다(외접 원의 경우 이것은 르모인 점이고 외접 슈타이너 타원의 경우 중심입니다). isogonal (또는 isotomic) conjugation과 trilinear polar의 구성은 이중성 변환입니다. 점에 대한 켤레는 점의 삼선형 극점에 있음).

큐브

삼각형의 관계

메모:이 섹션에서 , , 는 삼각형의 세 변의 길이이고, , 는 이 세 변에 각각 마주보는 각도(반대 각도)입니다.

삼각형 부등식

비축퇴삼각형에서는 두 변의 길이의 합이 세 번째 변의 길이보다 크고, 퇴화 삼각형에서는 그 길이가 같습니다. 즉, 삼각형의 변의 길이는 다음 부등식과 관련이 있습니다.

삼각형 부등식은 메트릭의 공리 중 하나입니다.

삼각형의 각도 합 정리

사인 정리

,

여기서 R은 삼각형 주위에 외접하는 원의 반지름입니다. 정리에 따르면 다음과 같습니다.< b < c, то α < β < γ.

코사인 정리

접선 정리

기타 비율

삼각형의 미터법 비율은 다음에 대해 제공됩니다.

삼각형 풀기

알려진 삼각형을 기반으로 삼각형의 알려지지 않은 변과 각도를 계산하는 것은 역사적으로 "삼각형 솔루션"이라고 불렸습니다. 이 경우 위의 일반 삼각법 정리가 사용됩니다.

삼각형의 면적

특별한 경우 표기법

다음과 같은 불평등이 해당 지역에 적용됩니다.

벡터를 사용하여 공간에서 삼각형의 면적 계산

삼각형의 꼭짓점을 점 , , .

면적 벡터를 소개하겠습니다. 이 벡터의 길이는 삼각형의 면적과 같으며 삼각형 평면의 법선을 따라 향합니다.

여기서 , 는 좌표 평면에 대한 삼각형의 투영입니다. 어디에서

그리고 마찬가지로

삼각형의 넓이는 입니다.

대안은 (피타고라스 정리를 사용하여) 변의 길이를 계산한 다음 헤론 공식을 사용하는 것입니다.

삼각형 정리

데자르그 정리: 두 삼각형이 원근법(삼각형의 해당 꼭짓점을 지나는 선이 한 점에서 교차함)이면 각 변이 하나의 직선에서 교차합니다.

손드의 정리: 두 삼각형이 원근 및 직교인 경우(한 삼각형의 꼭짓점에서 삼각형의 해당 꼭짓점과 반대되는 변으로 수직선을 떨어뜨림), 두 정사각 중심(이 수직선의 교차점)과 원근감 중심 원근법 축에 수직인 하나의 직선 위에 놓여 있습니다(Desargues 정리의 직선).

오늘은 기하학의 나라로 가보겠습니다. 다양한 유형삼각형.

고려하다 기하학적 인물그리고 그 중에서 "추가"를 찾으십시오(그림 1).

쌀. 1. 예를 들어 그림

숫자 1, 2, 3, 5가 사각형임을 알 수 있습니다. 그들 각각에는 고유 한 이름이 있습니다 (그림 2).

쌀. 2. 사각형

이것은 "추가" 도형이 삼각형임을 의미합니다(그림 3).

쌀. 3. 예를 들어 그림

삼각형은 같은 직선 위에 있지 않은 세 점과 이 두 점을 쌍으로 연결하는 세 개의 선분으로 구성된 도형입니다.

포인트라고 합니다 삼각형 꼭짓점, 세그먼트 - 그의 파티. 삼각형 모양의 측면 삼각형의 꼭짓점에는 세 개의 각이 있습니다.

삼각형의 주요 특징은 다음과 같습니다. 세 변과 세 모서리.삼각형은 각도에 따라 분류됩니다. 예각, 직사각형 및 둔각.

삼각형은 세 각도가 모두 예각, 즉 90 ° 미만인 경우 예각이라고합니다 (그림 4).

쌀. 4. 예각삼각형

각 중 하나가 90°이면 삼각형을 직각이라고 합니다(그림 5).

쌀. 5. 직각 삼각형

삼각형의 각도 중 하나가 둔각인 경우, 즉 90°보다 큰 삼각형을 둔각이라고 합니다(그림 6).

쌀. 6. 둔각 삼각형

등변의 수에 따라 삼각형은 등변, 이등변, 부등변입니다.

이등변 삼각형은 두 변이 같은 삼각형입니다(그림 7).

쌀. 7. 이등변 삼각형

이러한 측면을 옆쪽, 세 번째 측면 - 기초. 이등변 삼각형에서 밑변의 각은 같습니다.

이등변 삼각형은 예리하고 둔하다(그림 8) .

쌀. 8. 예각 및 둔각 이등변 삼각형

세 변이 모두 동일한 정삼각형이 호출됩니다(그림 9).

쌀. 9. 정삼각형

정삼각형에서 모든 각도가 같다. 정삼각형언제나 예각.

삼각형은 세 변의 길이가 모두 다른 다용도라고 합니다(그림 10).

쌀. 10. 비늘 삼각형

작업을 완료합니다. 이 삼각형을 세 그룹으로 나눕니다(그림 11).

쌀. 11. 작업에 대한 그림

먼저 앵글의 크기에 따라 분배해 봅시다.

예각 삼각형: 1번, 3번.

직각 삼각형: #2, #6.

둔각 삼각형: #4, #5.

이 삼각형은 같은 변의 수에 따라 그룹으로 나뉩니다.

비늘 삼각형: 4번, 6번.

이등변 삼각형: 2번, 3번, 5번.

정삼각형: 1번.

도면을 검토합니다.

각 삼각형이 어떤 철사로 만들어졌는지 생각해 보십시오(그림 12).

쌀. 12. 작업에 대한 그림

이렇게 주장할 수 있습니다.

첫 번째 와이어 조각은 3등분하여 정삼각형을 만들 수 있습니다. 그림에서 세 번째로 표시됩니다.

두 번째 와이어 조각은 세 개의 다른 부분으로 나누어져 있어 이를 이용하여 부등식 삼각형을 만들 수 있습니다. 그것은 그림에서 먼저 표시됩니다.

세 번째 와이어 조각은 세 부분으로 나뉘며 두 부분의 길이가 같으므로 이등변 삼각형을 만들 수 있습니다. 그림에서 두 번째로 표시됩니다.

오늘 수업에서 우리는 다양한 유형의 삼각형에 대해 알게되었습니다.

서지

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숙제

1. 문장을 완성하세요.

a) 삼각형은 ...로 구성된 도형으로, 같은 직선 위에 있지 않고 ...이 두 점을 쌍으로 연결합니다.

b) 포인트는 … , 세그먼트 - 그의 … . 삼각형의 변은 삼각형의 꼭짓점에서 형성됩니다 ….

c) 각의 크기에 따라 삼각형은 ..., ..., ....

d) 등변의 수에 따라 삼각형은 ..., ..., ....

2. 무승부

가) 직각 삼각형

b) 예각 삼각형;

c) 둔각 삼각형;

d) 정삼각형

e) 축척 삼각형;

e) 이등변 삼각형.

3. 동지들을 위해 수업 주제에 대한 작업을 만드십시오.

기하학의 과학은 삼각형, 정사각형, 정육면체가 무엇인지 알려줍니다. 입력 현대 세계그것은 예외 없이 모두에 의해 학교에서 공부됩니다. 또한 삼각형이 무엇인지, 어떤 성질을 가지고 있는지를 직접 연구하는 학문이 삼각법입니다. 그녀는 데이터와 관련된 모든 현상을 자세히 탐구하며 오늘 기사에서 삼각형이 무엇인지에 대해 이야기할 것입니다. 이들의 유형과 그에 관련된 몇 가지 정리가 아래에 설명되어 있습니다.

삼각형이란 무엇입니까? 정의

이것은 평평한 다각형입니다. 이름에서 알 수 있는 세 개의 모서리가 있습니다. 또한 3개의 면과 3개의 정점이 있으며, 첫 번째는 세그먼트이고 두 번째는 점입니다. 두 각이 같은지 알면 숫자 180에서 처음 두 각의 합을 빼서 세 번째 각을 찾을 수 있습니다.

삼각형이란 무엇입니까?

다양한 기준에 따라 분류할 수 있습니다.

먼저 예각, 둔각 및 직사각형으로 나뉩니다. 첫 번째는 예각, 즉 90도 미만입니다. 둔각에서 각 중 하나는 둔각입니다. 즉, 하나는 90도 이상이고 다른 두 개는 예각입니다. 예각 삼각형에는 정삼각형도 포함됩니다. 이러한 삼각형은 모든 변과 각도가 동일합니다. 그것들은 모두 60도와 같으며 모든 각도의 합(180)을 3으로 나누어 쉽게 계산할 수 있습니다.

정삼각형

직각 삼각형이 무엇인지 이야기하지 않는 것은 불가능합니다.

이러한 그림은 한 각도가 90도(직선), 즉 두 변이 수직입니다. 다른 두 각도는 예각입니다. 그들은 같을 수 있으며, 그러면 이등변이 됩니다. 피타고라스 정리는 직각 삼각형과 관련이 있습니다. 그것의 도움으로 처음 두 가지를 알고 세 번째면을 찾을 수 있습니다. 이 정리에 따르면 한 다리의 제곱을 다른 다리의 제곱에 더하면 빗변의 제곱을 얻을 수 있습니다. 다리의 제곱은 빗변의 제곱에서 알려진 다리의 제곱을 빼서 계산할 수 있습니다. 삼각형이 무엇인지 말하면 이등변을 기억할 수 있습니다. 이것은 두 변의 크기가 같고 두 각의 크기도 같은 경우입니다.

다리와 빗변은 무엇입니까?

다리는 90도 각도를 이루는 삼각형의 변 중 하나입니다. 빗변은 반대쪽의 나머지 변입니다. 직각. 그것에서 수직선을 다리로 낮출 수 있습니다. 빗변에 대한 인접한 다리의 비율을 코사인이라고 하고 반대를 사인이라고 합니다.

- 그 기능은 무엇입니까?

직사각형입니다. 다리는 세 개와 네 개이고 빗변은 다섯 개입니다. 이 삼각형의 다리가 3과 4와 같다는 것을 알았다면 빗변이 5와 같을 것임을 확신할 수 있습니다. 또한 이 원리에 따르면 두 번째가 4이고 빗변이 5인 경우 다리가 3과 같다고 쉽게 결정할 수 있습니다. 이 진술을 증명하기 위해 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다. 두 다리가 3과 4이면 9 + 16 \u003d 25이고 25의 근은 5, 즉 빗변은 5입니다. 또한 이집트 삼각형은 직각 삼각형이라고 불리며, 그 변은 6, 8, 10입니다. ; 9, 12 및 15 및 3:4:5 비율의 기타 숫자.

삼각형이 또 무엇이 있을까요?

삼각형도 내접하고 외접할 수 있습니다. 원이 설명되는 그림을 내접이라고하며 모든 정점은 원 위에 놓인 점입니다. 외접 삼각형은 원이 내접하는 삼각형입니다. 모든 측면이 특정 지점에서 접촉합니다.

어때

모든 그림의 면적은 다음과 같이 측정됩니다. 제곱 단위(제곱미터, 제곱밀리미터, 제곱센티미터, 제곱데시미터 등) 이 값은 삼각형의 종류에 따라 다양한 방법으로 계산할 수 있습니다. 각도가있는 그림의 면적은 측면에 수직선을 곱하여 찾을 수 있습니다. 반대편 코너, 그리고 이 수치를 2로 나눕니다. 두 변을 곱하여 이 값을 찾을 수도 있습니다. 그런 다음 이 숫자에 이 변 사이의 각도 사인을 곱하고 이를 2로 나눕니다. 삼각형의 모든 변을 알지만 각을 모르면 다른 방법으로 면적을 찾을 수 있습니다. 이렇게하려면 둘레의 절반을 찾아야합니다. 그런 다음이 숫자에서 다른면을 번갈아 가며 얻은 4 개의 값을 곱하십시오. 다음으로, 나온 번호를 찾으십시오. 내접 삼각형의 면적은 모든 변을 곱하고 그 주위에 외접하는 결과 숫자를 4로 나눔으로써 찾을 수 있습니다.

설명 된 삼각형의 면적은 이런 식으로 발견됩니다. 둘레의 절반에 그 안에 새겨진 원의 반지름을 곱합니다. 그렇다면 그 면적은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. 우리는 측면을 제곱하고 결과 그림에 3의 루트를 곱한 다음 이 숫자를 4로 나눕니다. 마찬가지로, 모든 변이 동일한 삼각형의 높이를 계산할 수 있습니다. 이를 위해서는 그 중 하나에 3의 루트를 곱한 다음 이 숫자를 2로 나누어야 합니다.

삼각형 정리

이 그림과 관련된 주요 정리는 위에서 설명한 피타고라스 정리와 코사인입니다. 두 번째(사인)는 임의의 변을 반대 각도의 사인으로 나누면 주위에 설명된 원의 반지름에 2를 곱한 값을 얻을 수 있다는 것입니다. 세 번째(코사인)는 두 변의 제곱의 합을 곱에서 빼고 두 변과 그 사이에 위치한 각도의 코사인을 곱하면 세 번째 변의 제곱이 구해진다는 것입니다.

달리 삼각형 - 무엇입니까?

이 개념에 직면한 많은 사람들은 처음에 이것이 기하학의 일종의 정의라고 생각하지만 전혀 그렇지 않습니다. 달리 삼각지대는 일반 이름유명한 예술가의 삶과 밀접하게 연결된 세 곳. 그 "꼭대기"는 살바도르 달리가 살았던 집, 그가 아내에게 준 성, 초현실주의 회화 박물관입니다. 이 장소를 여행하는 동안 많은 것을 배울 수 있습니다. 흥미로운 사실전 세계적으로 알려진 이 독특한 크리에이티브 아티스트에 대해.

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