Molti hanno sentito parlare di una progressione aritmetica, ma non tutti sanno bene di cosa si tratta. In questo articolo, daremo la definizione corrispondente e considereremo anche la domanda su come trovare la differenza di una progressione aritmetica e forniremo una serie di esempi.

Definizione matematica

Quindi, se stiamo parlando di una progressione aritmetica o algebrica (questi concetti definiscono la stessa cosa), significa che esiste una serie di numeri che soddisfa la seguente legge: ogni due numeri adiacenti nella serie differiscono per lo stesso valore. Matematicamente, questo è scritto in questo modo:

Qui n indica il numero dell'elemento a n nella sequenza, e il numero d è la differenza della progressione (il suo nome deriva dalla formula presentata).

Cosa significa conoscere la differenza d? A proposito di quanto sono distanti i numeri adiacenti. Tuttavia, la conoscenza di d è una condizione necessaria ma non sufficiente per determinare (ripristinare) l'intera progressione. Devi conoscere un altro numero, che può essere assolutamente qualsiasi elemento della serie in esame, ad esempio un 4, a10, ma, di regola, viene utilizzato il primo numero, ovvero un 1.

Formule per determinare gli elementi della progressione

In generale, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per passare alla risoluzione di problemi specifici. Tuttavia, prima di dare una progressione aritmetica, e sarà necessario trovarne la differenza, presentiamo un paio di formule utili, facilitando così il successivo processo di risoluzione dei problemi.

È facile mostrare che qualsiasi elemento della sequenza con numero n può essere trovato come segue:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Ognuno infatti può verificare questa formula con una semplice enumerazione: se si sostituisce n = 1 si ottiene il primo elemento, se si sostituisce n = 2 l'espressione dà la somma del primo numero e la differenza, e così via .

Le condizioni di molti problemi sono compilate in modo tale che per una coppia di numeri nota, i cui numeri sono riportati anche nella sequenza, è necessario ripristinare l'intera serie numerica (trovare la differenza e il primo elemento). Ora risolveremo questo problema in modo generale.

Quindi, diciamo che ci vengono dati due elementi con numeri n e m. Utilizzando la formula ottenuta sopra, possiamo comporre un sistema di due equazioni:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

un m = un 1 + (m - 1) * d

Per trovare quantità incognite, utilizziamo un noto metodo semplice per risolvere un tale sistema: sottraiamo le parti sinistra e destra a coppie, mentre l'uguaglianza rimane valida. Abbiamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

un n - un m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Quindi, abbiamo eliminato uno sconosciuto (a 1). Ora possiamo scrivere l'espressione finale per determinare d:

d = (un n - un m) / (n - m), dove n > m

Abbiamo ottenuto una formula molto semplice: per calcolare la differenza d in funzione delle condizioni del problema, è sufficiente prendere il rapporto tra le differenze tra gli elementi stessi ei loro numeri seriali. Occorre prestare attenzione a un punto importante: vengono prese le differenze tra i membri "senior" e "junior", cioè n> m ("senior" - significa stare più lontano dall'inizio della sequenza, il suo valore assoluto può essere elemento più o meno "più giovane").

L'espressione per la differenza d della progressione dovrebbe essere sostituita in una qualsiasi delle equazioni all'inizio della soluzione del problema per ottenere il valore del primo termine.

Nella nostra epoca di sviluppo della tecnologia informatica, molti scolari cercano di trovare soluzioni per i loro compiti su Internet, quindi spesso sorgono domande di questo tipo: trova la differenza di una progressione aritmetica online. A tale richiesta, il motore di ricerca visualizzerà un certo numero di pagine web, andando alle quali, dovrai inserire i dati noti dalla condizione (possono essere due membri della progressione o la somma di alcuni di essi) e ottieni subito una risposta. Tuttavia, un tale approccio alla risoluzione del problema è improduttivo in termini di sviluppo dello studente e comprensione dell'essenza del compito assegnatogli.

Soluzione senza utilizzare formule

Risolviamo il primo problema, mentre non useremo nessuna delle formule di cui sopra. Si diano gli elementi della serie: a6 = 3, a9 = 18. Trova la differenza della progressione aritmetica.

Gli elementi noti sono vicini l'uno all'altro in fila. Quante volte la differenza d deve essere aggiunta a quella più piccola per ottenere quella più grande? Tre volte (la prima volta aggiungendo d, otteniamo il 7° elemento, la seconda volta - l'ottavo, infine, la terza volta - il nono). Quale numero deve essere aggiunto a tre tre volte per ottenere 18? Questo è il numero cinque. Veramente:

Pertanto, la differenza incognita è d = 5.

Naturalmente, la soluzione potrebbe essere fatta utilizzando la formula appropriata, ma ciò non è stato fatto intenzionalmente. Una spiegazione dettagliata della soluzione del problema dovrebbe diventare un chiaro e vivido esempio di cosa sia una progressione aritmetica.

Un compito simile al precedente

Ora risolviamo un problema simile, ma cambiamo i dati di input. Quindi, dovresti trovare se a3 = 2, a9 = 19.

Certo, puoi ricorrere di nuovo al metodo di risoluzione "sulla fronte". Ma poiché gli elementi della serie sono dati, che sono relativamente distanti, un tale metodo diventa poco conveniente. Ma l'uso della formula risultante ci porterà rapidamente alla risposta:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Qui abbiamo arrotondato il numero finale. Quanto questo arrotondamento ha portato a un errore può essere giudicato controllando il risultato:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Questo risultato differisce solo dello 0,1% dal valore fornito nella condizione. Pertanto, l'arrotondamento ai centesimi utilizzati può essere considerato una buona scelta.

Attività per l'applicazione della formula per un membro

Consideriamo un classico esempio del problema della determinazione dell'incognita d: trova la differenza della progressione aritmetica se a1 = 12, a5 = 40.

Quando vengono dati due numeri di una sequenza algebrica sconosciuta e uno di essi è l'elemento a 1 , non è necessario pensare a lungo, ma è necessario applicare immediatamente la formula per il membro a n. In questo caso abbiamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Abbiamo ottenuto il numero esatto durante la divisione, quindi non ha senso controllare l'accuratezza del risultato calcolato, come è stato fatto nel paragrafo precedente.

Risolviamo un altro problema simile: dovremmo trovare la differenza della progressione aritmetica se a1 = 16, a8 = 37.

Usiamo un approccio simile al precedente e otteniamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Cos'altro dovresti sapere sulla progressione aritmetica

Oltre ai problemi di trovare una differenza sconosciuta o singoli elementi, è spesso necessario risolvere problemi di somma dei primi termini di una successione. La considerazione di questi problemi esula dallo scopo dell'argomento dell'articolo, tuttavia, per completezza di informazione, presentiamo una formula generale per la somma di n numeri della serie:

∑ n io = 1 (a io) = n * (a 1 + a n) / 2

Primo livello

Progressione aritmetica. Teoria dettagliata con esempi (2019)

Sequenza numerica

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere dei numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi (nel nostro caso, loro). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale di essi è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero di sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il -esimo numero) è sempre lo stesso.
Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

eccetera.
Tale sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progresso" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in senso lato come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" fu trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, in cui erano impegnati gli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ogni membro della quale è uguale al precedente, sommato con lo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è indicato.

Prova a determinare quali sequenze di numeri sono una progressione aritmetica e quali no:

un)
b)
c)
d)

Fatto? Confronta le nostre risposte:
È un progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo esimo membro. Esistere Due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo sommare al valore precedente il numero di progressione fino a raggiungere il esimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere, solo tre valori:

Quindi, il -esimo membro della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se dovessimo trovare il valore del esimo termine della progressione? La somma ci avrebbe impiegato più di un'ora, e non è un dato di fatto che non avremmo commesso errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente, i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Guarda da vicino l'immagine disegnata ... Sicuramente hai già notato un certo schema, ovvero:

Ad esempio, vediamo cosa compone il valore del -esimo membro di questa progressione aritmetica:


In altre parole:

Cerca di trovare autonomamente in questo modo il valore di un membro di questa progressione aritmetica.

Calcolato? Confronta le tue voci con la risposta:

Fai attenzione che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto successivamente i membri di una progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a "spersonalizzare" questa formula: la portiamo in una forma generale e otteniamo:

Equazione della progressione aritmetica.

Le progressioni aritmetiche sono in aumento o in diminuzione.

Crescente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è minore del precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Diamo un'occhiata in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri:

Da allora:

Quindi, eravamo convinti che la formula funziona sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare da solo il -esimo e -esimo membro di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà della progressione aritmetica

Complichiamo il compito: deriviamo la proprietà di una progressione aritmetica.
Supponiamo di avere la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
È facile, dici, e inizia a contare secondo la formula che già conosci:

Sia, a, allora:

Assolutamente giusto. Si scopre che prima lo troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, allora non c'è nulla di complicato, ma cosa succede se ci vengono dati dei numeri nella condizione? D'accordo, c'è la possibilità di commettere errori nei calcoli.
Ora pensa, è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio usando qualsiasi formula? Certo, sì, e cercheremo di tirarlo fuori ora.

Indichiamo il termine desiderato della progressione aritmetica poiché conosciamo la formula per trovarlo - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, poi:

• il membro precedente della progressione è:
• il prossimo termine della progressione è:

Sommiamo i membri precedenti e successivi della progressione:

Si scopre che la somma dei membri precedenti e successivi della progressione è il doppio del valore del membro della progressione che si trova tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un membro di progressione con valori noti precedenti e successivi, è necessario sommarli e dividerli per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Ripariamo il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, perché non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula, che, secondo la leggenda, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss, facilmente deducibile per se stesso ...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, l'insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, chiese a lezione il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da fino a (secondo altre fonti fino a) inclusi. " Qual è stata la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) dopo un minuto ha dato la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario dopo lunghi calcoli ha ricevuto il risultato sbagliato ...

Il giovane Carl Gauss ha notato uno schema che puoi facilmente notare.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -ti membri: dobbiamo trovare la somma dei membri dati della progressione aritmetica. Naturalmente, possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma se dovessimo trovare la somma dei suoi termini nell'attività, come stava cercando Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Osserva da vicino i numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.


Provato? Cosa hai notato? Correttamente! Le loro somme sono uguali

Ora rispondi, quante di queste coppie ci saranno nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e coppie uguali simili, otteniamo che la somma totale è uguale a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo il esimo termine, ma conosciamo la differenza di progressione. Prova a sostituire nella formula della somma la formula del esimo membro.
Cosa hai preso?

Ben fatto! Torniamo ora al problema che è stato posto a Carl Gauss: calcola tu stesso qual è la somma dei numeri a partire dal -esimo, e la somma dei numeri a partire dal -esimo.

Quanto hai preso?
Gauss ha scoperto che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È così che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei membri di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel 3° secolo, e durante tutto questo tempo persone argute usarono le proprietà di una progressione aritmetica con potenza e principale.
Ad esempio, immagina l'antico Egitto e il più grande cantiere dell'epoca: la costruzione di una piramide ... La figura ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui dici? Guarda attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ogni fila del muro della piramide.


Perché non una progressione aritmetica? Conta quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni del blocco sono posizionati nella base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto ciò che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione si presenta così:
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di membri di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (contiamo il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi anche calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi che sono nella nostra piramide. Era d'accordo? Ben fatto, hai imparato la somma dei th termini di una progressione aritmetica.
Certo, non puoi costruire una piramide dai blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Allenamento

Compiti:

1. Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat. Quante volte Masha si accovaccia in settimane se ha fatto gli squat al primo allenamento.
2. Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
3. Quando immagazzinano i tronchi, i taglialegna li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un tronco in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la base della muratura è in tronchi.

Risposte:

1. Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
   (settimane = giorni).

   Risposta: In due settimane, Masha dovrebbe accovacciarsi una volta al giorno.

2. Primo numero dispari, ultimo numero.
   Differenza di progressione aritmetica.
   Il numero di numeri dispari nella metà, tuttavia, verifica questo fatto usando la formula per trovare il -esimo membro di una progressione aritmetica:

   I numeri contengono numeri dispari.
   Sostituiamo i dati disponibili nella formula:

   Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti in è uguale a.

3. Richiama il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni livello superiore è ridotto di un log, ci sono solo un gruppo di livelli, cioè.
   Sostituisci i dati nella formula:

   Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumendo

1. - una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è uguale e uguale. Sta aumentando e diminuendo.
2. Trovare la formula Il membro di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
3. Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove - il numero di numeri nella progressione.
4. La somma dei membri di una progressione aritmetica si possono trovare in due modi:
   
   , dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO INTERMEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere dei numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi. Ma puoi sempre dire quale di loro è il primo, quale è il secondo, e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ad ogni numero può essere associato un certo numero naturale, e solo uno. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se il membro -esimo della sequenza può essere dato da una formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza). Oppure (, differenza).

formula all'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire il -esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, il esimo termine della progressione utilizzando tale formula, dobbiamo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascia. Quindi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga, aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Per quello? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più comodo ora, giusto? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Decisione:

Il primo membro è uguale. E qual è la differenza? Ed ecco cosa:

(in fondo si chiama differenza perché è uguale alla differenza dei membri successivi della progressione).

Quindi la formula è:

Allora il centesimo termine è:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, essendo un bambino di 9 anni, calcolò questa cifra in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è la stessa, la somma del terzo e del 3° dalla fine è la stessa, e così via. Quante sono queste coppie? Esatto, esattamente la metà del numero di tutti i numeri, cioè. Così,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.

Decisione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni successivo si ottiene sommando un numero al precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

La formula per il esimo termine per questa progressione è:

Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto facile: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

1. Ogni giorno l'atleta corre 1 metro in più rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri percorrerà in settimane se percorresse km m il primo giorno?
2. Un ciclista percorre più miglia ogni giorno rispetto al precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni deve guidare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà l'ultimo giorno di viaggio?
3. Il prezzo di un frigorifero nel negozio viene ridotto dello stesso importo ogni anno. Determina quanto il prezzo di un frigorifero è diminuito ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

1. La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). Devi determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
   .
   Risposta:
2. Qui è dato:, è necessario trovare.
   Ovviamente, devi usare la stessa formula di somma del problema precedente:
   .
   Sostituisci i valori:

   La radice ovviamente non si adatta, quindi la risposta.
   Calcoliamo la distanza percorsa nell'ultimo giorno utilizzando la formula del -esimo termine:
   (km).
   Risposta:

3. Dato: . Trovare: .
   Non è più facile:
   (strofinare).
   Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. IN BREVE SUL PRINCIPALE

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica è crescente () e decrescente ().

Per esempio:

La formula per trovare l'n-esimo membro di una progressione aritmetica

è scritto come una formula, dove è il numero di numeri nella progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Se si conoscono i membri vicini, è facile trovare un membro della progressione, dov'è il numero di numeri nella progressione.

La somma dei membri di una progressione aritmetica

Ci sono due modi per trovare la somma:

Dove è il numero di valori.

Dove è il numero di valori.

L'argomento "progressione aritmetica" è studiato nel corso generale di algebra nelle scuole del 9° grado. Questo argomento è importante per ulteriori approfondimenti sulla matematica delle serie numeriche. In questo articolo, conosceremo la progressione aritmetica, la sua differenza e i compiti tipici che gli scolari possono affrontare.

Il concetto di progressione algebrica

Una progressione numerica è una sequenza di numeri in cui ogni elemento successivo può essere ottenuto dal precedente se viene applicata una qualche legge matematica. Esistono due semplici tipi di progressione: geometrica e aritmetica, detta anche algebrica. Soffermiamoci su di esso in modo più dettagliato.

Immagina un numero razionale, indichiamolo con il simbolo a 1 , dove l'indice indica il suo numero ordinale nella serie in esame. Aggiungiamo qualche altro numero a un 1, indichiamolo d. Allora il secondo elemento della serie può essere riflesso come segue: a 2 = a 1 + d. Ora aggiungi ancora d, otteniamo: a 3 = a 2 + d. Continuando questa operazione matematica, puoi ottenere un'intera serie di numeri, che verrà chiamata progressione aritmetica.

Come si può intuire da quanto sopra, per trovare l'n-esimo elemento di questa sequenza, è necessario utilizzare la formula: a n = a 1 + (n-1) * d. Infatti, sostituendo n=1 nell'espressione, otteniamo a 1 = a 1, se n = 2, allora la formula implica: a 2 = a 1 + 1*d, e così via.

Ad esempio, se la differenza della progressione aritmetica è 5 e a 1 = 1, significa che la serie numerica del tipo in questione ha la forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... Come si può vedere, ciascuno dei suoi membri è 5 in più del precedente.

Formule di differenza di progressione aritmetica

Dalla definizione di cui sopra della serie di numeri in esame, ne consegue che per determinarla è necessario conoscere due numeri: a 1 e d. Quest'ultimo è chiamato la differenza di questa progressione. Determina in modo univoco il comportamento dell'intera serie. Infatti, se d è positivo, allora la serie numerica aumenterà costantemente, al contrario, nel caso di d negativo, i numeri della serie aumenteranno solo modulo, mentre il loro valore assoluto diminuirà all'aumentare del numero n.

Qual è la differenza tra una progressione aritmetica? Considera le due formule principali che vengono utilizzate per calcolare questo valore:

1. d = a n+1 -a n , questa formula segue direttamente dalla definizione della serie di numeri considerata.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), questa espressione si ottiene esprimendo d dalla formula data nel paragrafo precedente dell'articolo. Si noti che questa espressione diventa indeterminata (0/0) se n=1. Ciò è dovuto al fatto che è necessario conoscere almeno 2 elementi della serie per determinarne la differenza.

Queste due formule di base vengono utilizzate per risolvere qualsiasi problema di trovare la differenza di progressione. Tuttavia, c'è un'altra formula che devi anche conoscere.

Somma dei primi elementi

La formula, che può essere utilizzata per determinare la somma di un numero qualsiasi di membri di una progressione algebrica, secondo l'evidenza storica, fu ottenuta per la prima volta dal "principe" della matematica del XVIII secolo, Carl Gauss. Uno scienziato tedesco, ancora ragazzo alle elementari di una scuola di paese, ha notato che per sommare i numeri naturali nelle serie da 1 a 100 bisogna sommare prima il primo elemento e l'ultimo (il valore risultante sarà uguale alla somma del penultimo e del secondo, del penultimo e del terzo elemento, e così via), e poi questo numero va moltiplicato per il numero di queste somme, cioè per 50.

La formula che riflette il risultato dichiarato su un particolare esempio può essere generalizzata a un caso arbitrario. Sembrerà: S n = n/2*(a n + a 1). Si noti che per trovare il valore specificato, la conoscenza della differenza d non è richiesta se sono noti due membri della progressione (a n e a 1).

Esempio 1. Determina la differenza, conoscendo i due termini della serie a1 e an

Mostreremo come applicare le formule sopra indicate nell'articolo. Facciamo un semplice esempio: la differenza della progressione aritmetica è sconosciuta, è necessario determinare a cosa sarà uguale se a 13 \u003d -5.6 e a 1 \u003d -12.1.

Poiché conosciamo i valori di due elementi della sequenza numerica e uno di essi è il primo numero, possiamo utilizzare la formula n. 2 per determinare la differenza d. Abbiamo: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Nell'espressione abbiamo utilizzato il valore n=13, poiché il membro con questo numero ordinale è noto.

La differenza risultante indica che la progressione è in aumento, nonostante gli elementi dati nella condizione del problema abbiano un valore negativo. Si può notare che a 13 >a 1 , sebbene |a 13 |<|a 1 |.

Esempio #2. Termini di progressione positiva nell'esempio #1

Usiamo il risultato ottenuto nell'esempio precedente per risolvere un nuovo problema. È formulato come segue: da quale numero ordinale gli elementi della progressione nell'esempio n. 1 iniziano ad assumere valori positivi?

Come è stato mostrato, la progressione in cui a 1 = -12.1 e d = 0.54167 è crescente, quindi da un certo numero i numeri assumeranno solo valori positivi. Per determinare questo numero n, è necessario risolvere una semplice disuguaglianza, che matematicamente si scrive come segue: a n>0 oppure, usando l'apposita formula, riscriviamo la disuguaglianza: a 1 + (n-1)*d>0. È necessario trovare l'incognita n, esprimiamola: n>-1*a 1 /d + 1. Ora resta da sostituire i valori noti della differenza e il primo membro della sequenza. Otteniamo: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 o n>23.338. Poiché n può assumere solo valori interi, dalla disuguaglianza ottenuta segue che tutti i termini della serie che hanno un numero maggiore di 23 saranno positivi.

Controlliamo la nostra risposta usando la formula sopra per calcolare il 23° e il 24° elemento di questa progressione aritmetica. Abbiamo: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (numero negativo); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (valore positivo). Quindi il risultato ottenuto è corretto: a partire da n=24, tutti i membri della serie numerica saranno maggiori di zero.

Esempio #3. Quanti registri si adatteranno?

Ecco un problema interessante: durante la registrazione, è stato deciso di impilare i tronchi segati uno sopra l'altro come mostrato nella figura seguente. Quanti registri possono essere impilati in questo modo, sapendo che 10 righe si adatteranno in totale?

In questo modo di piegare i log si può notare una cosa interessante: ogni riga successiva conterrà un log in meno del precedente, cioè c'è una progressione algebrica la cui differenza è d=1. Supponendo che il numero di log in ogni riga sia un membro di questa progressione, e tenendo anche conto che a 1 = 1 (solo un log andrà bene in cima), troviamo il numero a 10 . Abbiamo: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Cioè, nella decima riga, che giace a terra, ci saranno 10 registri.

L'importo totale di questa costruzione "piramidale" può essere ottenuto utilizzando la formula di Gauss. Otteniamo: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 registri.