Derivato in linguaggio semplice. Derivata di funzione

Componi il rapporto e calcola il limite.

Dove l'ha fatto tabella delle derivate e regole di differenziazione? Grazie a un unico limite. Sembra una magia, ma in realtà: giochi di prestigio e nessuna frode. Sulla lezione Cos'è un derivato? Ho iniziato a considerare esempi specifici, dove, usando la definizione, ho trovato le derivate di una funzione lineare e quadratica. Ai fini del riscaldamento cognitivo, continueremo a disturbare tavola derivata, perfezionando l'algoritmo e le soluzioni tecniche:

Esempio 1

Si richiede infatti di provare un caso particolare della derivata di una funzione di potenza, che normalmente compare nella tabella: .

Decisione tecnicamente formalizzato in due modi. Cominciamo con il primo approccio, già familiare: la scala inizia con una tavola e la funzione derivata inizia con una derivata in un punto.

Tenere conto alcuni punto (specifico) di appartenenza domini una funzione che ha una derivata. Impostare l'incremento a questo punto (ovviamente, non oltreo/o -IO) e componi il corrispondente incremento della funzione:

Calcoliamo il limite:

L'incertezza 0:0 viene eliminata da una tecnica standard considerata fin dal I secolo a.C. Moltiplica il numeratore e il denominatore per l'espressione aggiunta :

La tecnica per risolvere un tale limite è discussa in dettaglio nella lezione introduttiva. sui limiti delle funzioni.

Poiché QUALSIASI punto dell'intervallo può essere scelto come, quindi, sostituendo , otteniamo:

Risposta

Ancora una volta, rallegriamoci dei logaritmi:

Esempio 2

Trova la derivata della funzione usando la definizione della derivata

Decisione: consideriamo un approccio diverso alla promozione dello stesso compito. È esattamente lo stesso, ma più razionale in termini di design. L'idea è di eliminare il pedice all'inizio della soluzione e utilizzare la lettera invece della lettera.

Tenere conto arbitrario punto di appartenenza domini funzione (interval ) e impostarne l'incremento. E qui, tra l'altro, come nella maggior parte dei casi, puoi fare senza riserve, poiché la funzione logaritmica è differenziabile in qualsiasi punto del dominio di definizione.

Quindi l'incremento della funzione corrispondente è:

Troviamo la derivata:

La facilità di progettazione è bilanciata dalla confusione che possono vivere i principianti (e non solo). Dopotutto, siamo abituati al fatto che la lettera "X" cambia nel limite! Ma qui tutto è diverso: - una statua antica, e - un visitatore vivente, che cammina allegramente lungo il corridoio del museo. Cioè, "x" è "come una costante".

Commenterò passo dopo passo l'eliminazione dell'incertezza:

(1) Usa la proprietà del logaritmo .

(2) Tra parentesi, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine.

(3) Al denominatore, moltiplichiamo artificialmente e dividiamo per "x" per trarre vantaggio meraviglioso limite , mentre come infinitesimale spicca.

Risposta: per definizione di derivata:

O in breve:

Propongo di costruire indipendentemente altre due formule tabulari:

Esempio 3

In questo caso, l'incremento compilato è immediatamente conveniente da ridurre a un denominatore comune. Un esempio approssimativo del compito alla fine della lezione (il primo metodo).

Esempio 3:Decisione : considera un punto , rientranti nell'ambito della funzione . Impostare l'incremento a questo punto e componi il corrispondente incremento della funzione:

Troviamo la derivata in un punto :

Dal momento che come puoi scegliere qualsiasi punto ambito della funzione , poi e
Risposta : per definizione della derivata

Esempio 4

Trova la derivata per definizione

E qui tutto deve essere ridotto a meraviglioso limite. La soluzione è inquadrata nel secondo modo.

Allo stesso modo, un certo numero di altri derivate tabulari. Un elenco completo può essere trovato in un libro di testo scolastico o, ad esempio, nel 1° volume di Fichtenholtz. Non vedo molto senso riscrivere da libri e prove delle regole di differenziazione: sono anche generati dalla formula.

Esempio 4:Decisione , Di proprietà e impostarne un incremento

Troviamo la derivata:

Sfruttando il meraviglioso limite

Risposta : a priori

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione , utilizzando la definizione della derivata

Decisione: usa il primo stile visivo. Consideriamo un punto appartenente a , impostiamo l'incremento dell'argomento in esso. Quindi l'incremento della funzione corrispondente è:

Forse alcuni lettori non hanno ancora pienamente compreso il principio per cui si dovrebbe fare un incremento. Prendiamo un punto (numero) e troviamo il valore della funzione in esso: , cioè nella funzione invece di"x" dovrebbe essere sostituito. Ora prendiamo anche un numero molto specifico e lo sostituiamo anche nella funzione invece di"X": . Scriviamo la differenza, finché è necessario parentesi completamente.

Incremento della funzione composta è utile semplificare immediatamente. Per che cosa? Facilitare e abbreviare la soluzione dell'ulteriore limite.

Usiamo formule, apriamo parentesi e riduciamo tutto ciò che può essere ridotto:

Il tacchino è sventrato, nessun problema con l'arrosto:

Infine:

Poiché qualsiasi numero reale può essere scelto come qualità, facciamo la sostituzione e otteniamo .

Risposta: a priori.

A scopo di verifica, troviamo la derivata utilizzando regole e tabelle di differenziazione:

È sempre utile e piacevole conoscere in anticipo la risposta corretta, quindi è meglio differenziare mentalmente o su una bozza la funzione proposta in modo "rapido" proprio all'inizio della soluzione.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione mediante la definizione della derivata

Questo è un esempio fai da te. Il risultato è in superficie:

Esempio 6:Decisione : considera un punto , Di proprietà e impostare l'incremento dell'argomento in esso contenuto . Quindi l'incremento della funzione corrispondente è:

Calcoliamo la derivata:

Così:
Perché come qualsiasi numero reale può essere scelto e
Risposta : a priori.

Torniamo allo stile #2:

Esempio 7

Scopriamo subito cosa dovrebbe succedere. Di la regola di differenziazione di una funzione complessa:

Decisione: considera un punto arbitrario appartenente a , imposta l'incremento dell'argomento in esso contenuto e componi l'incremento della funzione:

Troviamo la derivata:

(1) Uso formula trigonometrica .

(2) Sotto il seno apriamo le parentesi, sotto il coseno presentiamo termini simili.

(3) Sotto il seno riduciamo i termini, sotto il coseno dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine.

(4) A causa della stranezza del seno, eliminiamo il "meno". Sotto il coseno indichiamo che il termine .

(5) Moltiplichiamo artificialmente il denominatore da utilizzare primo meraviglioso limite. Quindi, l'incertezza viene eliminata, pettiniamo il risultato.

Risposta: a priori

Come si può notare, la principale difficoltà del problema in esame risiede nella complessità del limite stesso + una leggera originalità dell'imballo. In pratica, si incontrano entrambi i metodi di progettazione, quindi descrivo entrambi gli approcci nel modo più dettagliato possibile. Sono equivalenti, ma comunque, secondo la mia impressione soggettiva, è più opportuno per i manichini attenersi alla prima opzione con "X zero".

Esempio 8

Usando la definizione, trova la derivata della funzione

Esempio 8:Decisione : considera un punto arbitrario , Di proprietà , impostiamo un incremento in esso e fare un incremento della funzione:

Troviamo la derivata:

Usiamo la formula trigonometrica e il primo limite notevole:

Risposta : a priori

Analizziamo una versione più rara del problema:

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione in un punto usando la definizione di derivata.

In primo luogo, quale dovrebbe essere la linea di fondo? Numero

Calcoliamo la risposta in modo standard:

Decisione: dal punto di vista della chiarezza, questo compito è molto più semplice, poiché la formula considera invece un valore specifico.

Impostiamo un incremento nel punto e componiamo il corrispondente incremento della funzione:

Calcola la derivata in un punto:

Usiamo una formula molto rara per la differenza di tangenti e ancora una volta ridurre la soluzione a primo meraviglioso limite:

Risposta: per definizione della derivata in un punto.

Il compito non è così difficile da risolvere e "in termini generali": è sufficiente sostituirlo o semplicemente, a seconda del metodo di progettazione. In questo caso, ovviamente, non ottieni un numero, ma una funzione derivata.

Esempio 10

Usando la definizione, trova la derivata della funzione in un punto (uno dei quali può risultare infinito), di cui ho già parlato in termini generali lezione teorica sulla derivata.

Alcune funzioni definite a tratti sono anche differenziabili nei punti di "giunzione" del grafico, ad esempio catdog ha una derivata comune e una tangente comune (ascissa) nel punto . Curva, si differenziabile per ! Chi lo desidera può verificarlo da sé sul modello dell'esempio appena risolto.

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Definizione. Sia definita la funzione $y = f(x) $ in un intervallo contenente il punto $x_0 $ all'interno. Incrementiamo $\Delta x $ all'argomento in modo da non lasciare questo intervallo. Trova l'incremento corrispondente della funzione $\Delta y $ (passando dal punto $x_0 $ al punto $x_0 + \Delta x $) e componi la relazione $\frac(\Delta y )(\Delta x) $. Se c'è un limite di questa relazione in $\Delta x \rightarrow 0 $, allora viene chiamato il limite indicato funzione derivata$y=f(x) $ nel punto $x_0 $ e denota $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Si noti che y" = f(x) è una nuova funzione, ma naturalmente associata alla funzione y = f(x), definita in tutti i punti x in cui esiste il limite sopra. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y \u003d f (x).

Il significato geometrico della derivataè costituito da quanto segue. Se una tangente che non è parallela all'asse y può essere disegnata sul grafico della funzione y \u003d f (x) in un punto con l'ascissa x \u003d a, allora f (a) esprime la pendenza della tangente:
$k = f"(a)$

Poiché $k = tg(a) $, l'uguaglianza $f"(a) = tg(a) $ è vera.

E ora interpretiamo la definizione della derivata in termini di uguaglianze approssimate. Lascia che la funzione $y = f(x) $ abbia una derivata in un punto particolare $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che vicino al punto x, l'uguaglianza approssimativa $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approssimativamente f"(x) $, ovvero $\Delta y \approssimativamente f"(x) \cdot \Delta$. Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa ottenuta è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in un dato punto x. Ad esempio, per la funzione $y = x^2 $ l'uguaglianza approssimativa $\Delta y \approssimativamente 2x \cdot \Delta x $ è vera. Se analizziamo attentamente la definizione della derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.

Formuliamolo.

Come trovare la derivata della funzione y \u003d f (x) ?

1. Correggi il valore $x $, trova $f(x) $
2. Incrementa $x $ argomento $\Delta x $, sposta in un nuovo punto $x+ \Delta x $, trova $f(x+ \Delta x) $
3. Trova la funzione incremento: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Componi la relazione $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione in x.

Se la funzione y = f(x) ha una derivata nel punto x, allora si dice derivabile nel punto x. Viene chiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y \u003d f (x). differenziazione funzioni y = f(x).

Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?

Sia la funzione y = f(x) derivabile nel punto x. Quindi si può tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M (x; f (x)) e, ricordiamo, la pendenza della tangente è uguale a f "(x). Un tale grafico non può "rompersi" in il punto M, cioè la funzione deve essere continua in x.

Era un ragionamento "sulle dita". Presentiamo un argomento più rigoroso. Se la funzione y = f(x) è derivabile nel punto x, allora l'uguaglianza approssimativa $\Delta y \approssimativamente f"(x) \cdot \Delta x $ vale zero, quindi \(\Delta y \ ) tenderà anche a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.

Così, se una funzione è derivabile in un punto x, allora è anche continua in quel punto.

Non è vero il contrario. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di giunzione” (0; 0) non esiste. Se a un certo punto è impossibile tracciare una tangente al grafico di una funzione, allora non c'è alcuna derivata a questo punto.

Un altro esempio. La funzione $y=\sqrt(x) $ è continua sull'intera retta dei numeri, compreso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, compreso nel punto x = 0 Ma a questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x \u003d 0. Non c'è pendenza per una tale retta, il che significa che \ ( f "(0) \) non esiste neanche

Quindi, abbiamo fatto conoscenza con una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può sapere se una funzione è differenziabile dal grafico di una funzione?

La risposta è effettivamente data sopra. Se a un certo punto è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse x, a questo punto la funzione è derivabile. Se a un certo punto la tangente al grafico della funzione non esiste o è perpendicolare all'asse x, allora a questo punto la funzione non è derivabile.

Regole di differenziazione

Viene chiamata l'operazione di ricerca della derivata differenziazione. Quando si esegue questa operazione, è spesso necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché con "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione della derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivata funzione composta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cpunto g"_x $$

Tabella delle derivate di alcune funzioni

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\testo(arco) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\testo(arco) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Data: 20/11/2014

Cos'è un derivato?

Tavola derivativa.

Il derivato è uno dei concetti principali della matematica superiore. In questa lezione introdurremo questo concetto. Facciamo conoscenza, senza rigorose formulazioni e dimostrazioni matematiche.

Questa introduzione ti permetterà di:

Comprendere l'essenza di compiti semplici con un derivato;

Risolvi con successo questi compiti molto semplici;

Preparati per lezioni derivate più serie.

Innanzitutto una piacevole sorpresa.

La definizione rigorosa della derivata si basa sulla teoria dei limiti, e la cosa è piuttosto complicata. È sconvolgente. Ma l'applicazione pratica del derivato, di regola, non richiede una conoscenza così ampia e profonda!

Per completare con successo la maggior parte dei compiti a scuola e all'università, è sufficiente sapere solo pochi termini- per capire il compito, e solo poche regole- per risolverlo. E questo è tutto. Questo mi rende felice.

Ci conosciamo?)

Termini e designazioni.

Ci sono molte operazioni matematiche nella matematica elementare. Addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, esponenti, logaritmi, ecc. Se a queste operazioni viene aggiunta un'altra operazione, la matematica elementare diventa più elevata. Questa nuova operazione viene chiamata differenziazione. La definizione e il significato di questa operazione saranno discussi in lezioni separate.

Qui è importante capire che la differenziazione è solo un'operazione matematica su una funzione. Prendiamo qualsiasi funzione e, secondo determinate regole, la trasformiamo. Il risultato è una nuova funzione. Questa nuova funzione si chiama: derivato.

Differenziazione- azione su una funzione.

Derivatoè il risultato di questa azione.

Proprio come, ad esempio, sommaè il risultato dell'addizione. O privatoè il risultato della divisione.

Conoscendo i termini, puoi almeno capire i compiti.) La formulazione è la seguente: trova la derivata di una funzione; prendi la derivata; differenziare la funzione; calcolare la derivata eccetera. È tutto stesso. Naturalmente, ci sono compiti più complessi, in cui trovare la derivata (differenziazione) sarà solo uno dei passaggi per risolvere il compito.

La derivata è indicata da un trattino in alto a destra sopra la funzione. Come questo: si" o f"(x) o S"(t) eccetera.

leggere y corsa, ef corsa da x, es corsa da te, beh, hai capito...)

Un primo può anche denotare la derivata di una particolare funzione, ad esempio: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" eccetera. Spesso la derivata viene indicata usando differenziali, ma non considereremo tale notazione in questa lezione.

Supponiamo di aver imparato a capire i compiti. Non c'è più niente - per imparare a risolverli.) Lascia che te lo ricordi ancora: trovare la derivata è trasformazione di una funzione secondo determinate regole. Queste regole sono sorprendentemente poche.

Per trovare la derivata di una funzione, devi solo sapere tre cose. Tre pilastri su cui poggia tutta la differenziazione. Ecco le tre balene:

1. Tabella delle derivate (formule di differenziazione).

3. Derivata di una funzione complessa.

Cominciamo con ordine. In questa lezione considereremo la tabella delle derivate.

Tavola derivativa.

Il mondo ha un numero infinito di funzioni. Tra questo set ci sono funzioni che sono più importanti per l'applicazione pratica. Queste funzioni risiedono in tutte le leggi della natura. Da queste funzioni, come dai mattoni, puoi costruire tutte le altre. Questa classe di funzioni viene chiamata funzioni elementari. Sono queste funzioni che vengono studiate a scuola: lineare, quadratica, iperbole, ecc.

Differenziazione delle funzioni "da zero", ad es. basato sulla definizione della derivata e sulla teoria dei limiti - una cosa piuttosto dispendiosa in termini di tempo. E anche i matematici sono persone, sì, sì!) Così hanno semplificato la loro vita (e noi). Hanno calcolato le derivate di funzioni elementari prima di noi. Il risultato è una tabella delle derivate, dove tutto è pronto.)

Eccolo, questo piatto per le funzioni più richieste. Sinistra - funzione elementare, destra - sua derivata.

	Funzione y	Derivata della funzione y si"
1	C (costante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n è un numero qualsiasi)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	peccato x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - peccato x
	tg x
	ctg x
5	arcoseno x
	archi x
	arco x
	arco x
4	un X
4	e X
5	tronco d'albero un X
5	ln x ( a = e)

Raccomando di prestare attenzione al terzo gruppo di funzioni in questa tabella delle derivate. La derivata di una funzione di potenza è una delle formule più comuni, se non la più comune! Il suggerimento è chiaro?) Sì, è opportuno conoscere a memoria la tabella dei derivati. A proposito, questo non è così difficile come potrebbe sembrare. Prova a risolvere più esempi, la tabella stessa verrà ricordata!)

Trovare il valore tabulare della derivata, come capisci, non è il compito più difficile. Pertanto, molto spesso in tali attività ci sono chip aggiuntivi. O nella formulazione del compito, o nella funzione originaria, che non sembra essere nella tabella...

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

1. Trova la derivata della funzione y = x 3

Non esiste una tale funzione nella tabella. Ma esiste una derivata generale della funzione di potenza (terzo gruppo). Nel nostro caso, n=3. Quindi sostituiamo la tripla invece di n e annotiamo attentamente il risultato:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Questo è tutto ciò che c'è da fare.

Risposta: y" = 3x 2

2. Trova il valore della derivata della funzione y = sinx nel punto x = 0.

Questa attività significa che devi prima trovare la derivata del seno e quindi sostituire il valore x = 0 a questa stessa derivata. È in quest'ordine! Altrimenti succede che sostituiscono immediatamente zero nella funzione originale ... Ci viene chiesto di trovare non il valore della funzione originale, ma il valore il suo derivato. La derivata, vi ricordo, è già una nuova funzione.

Sulla piastra troviamo il seno e la relativa derivata:

y" = (sinx)" = cosx

Sostituisci zero nella derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Questa sarà la risposta.

3. Differenziare la funzione:

Cosa ispira?) Non c'è nemmeno vicino una tale funzione nella tabella delle derivate.

Lascia che ti ricordi che differenziare una funzione è semplicemente trovare la derivata di questa funzione. Se dimentichi la trigonometria elementare, trovare la derivata della nostra funzione è piuttosto problematico. Il tavolo non aiuta...

Ma se vediamo che la nostra funzione è coseno di un doppio angolo, allora tutto migliora subito!

Si si! Ricorda che la trasformazione della funzione originale prima della differenziazione abbastanza accettabile! E succede per rendere la vita molto più facile. Secondo la formula per il coseno di un doppio angolo:

Quelli. la nostra funzione complicata non è altro che y = cox. E questa è una funzione di tabella. Otteniamo subito:

Risposta: y" = - peccato x.

Esempio per laureati e studenti avanzati:

4. Trova la derivata di una funzione:

Non esiste una tale funzione nella tabella delle derivate, ovviamente. Ma se ricordi la matematica elementare, le azioni con poteri... Allora è del tutto possibile semplificare questa funzione. Come questo:

E x alla potenza di un decimo è già una funzione tabulare! Il terzo gruppo, n=1/10. Direttamente secondo la formula e scrivi:

È tutto. Questa sarà la risposta.

Spero che con la prima balena della differenziazione - la tavola delle derivate - sia tutto chiaro. Resta da affrontare le due balene rimaste. Nella prossima lezione impareremo le regole di differenziazione.

Primo livello

Derivata di funzione. Guida completa (2019)

Immagina una strada dritta che attraversa una zona collinare. Cioè, va su e giù, ma non gira a destra oa sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea stradale sarà molto simile al grafico di alcune funzioni continue:

L'asse è un certo livello di altezza zero, nella vita usiamo il livello del mare come tale.

Andando avanti lungo una tale strada, ci stiamo anche muovendo su o giù. Possiamo anche dire: quando l'argomento cambia (spostandosi lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostandosi lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la "pendenza" della nostra strada? Quale potrebbe essere questo valore? Molto semplice: quanto cambierà l'altezza andando avanti di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, andando avanti (lungo l'ascissa) di un chilometro, si salirà o scenderà di un numero diverso di metri rispetto al livello del mare (lungo l'ordinata).

Indichiamo il progresso in avanti (leggi "delta x").

La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento di grandezza, - un cambiamento; allora che cos'è? Esatto, un cambio di taglia.

Importante: l'espressione è una singola entità, una variabile. Non dovresti mai strappare il "delta" dalla "x" o da qualsiasi altra lettera! Cioè, per esempio, .

Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, avanti. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico di una funzione, come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, quando andiamo avanti saliamo più in alto.

Il valore è facile da calcolare: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati eravamo in quota, allora. Se il punto finale risulta essere inferiore al punto iniziale, sarà negativo, ciò significa che non stiamo ascendendo, ma discendendo.

Torna a "ripidezza": questo è un valore che indica di quanto (ripidamente) l'altezza aumenta quando ci si sposta in avanti per unità di distanza:

Supponiamo che in qualche tratto del sentiero, avanzando di km, la strada salga di km. Quindi la pendenza in questo posto è uguale. E se la strada, avanzando di m, affondasse di km? Quindi la pendenza è uguale.

Consideriamo ora la cima di una collina. Se prendi l'inizio della sezione mezzo chilometro verso l'alto e la fine - mezzo chilometro dopo, puoi vedere che l'altezza è quasi la stessa.

Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Molto può cambiare a poche miglia di distanza. È necessario considerare aree più piccole per una stima più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se si misura la variazione di altezza quando ci si sposta di un metro, il risultato sarà molto più accurato. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi - dopotutto, se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente scivolarci attraverso. Quale distanza scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!

Nella vita reale, misurare la distanza al millimetro più vicino è più che sufficiente. Ma i matematici cercano sempre la perfezione. Pertanto, il concetto era infinitesimale, ovvero il valore del modulo è minore di qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. Eccetera. Se vogliamo scrivere che il valore è infinitamente piccolo, scriviamo così: (si legge “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è uguale a zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che può essere suddiviso in.

Il concetto opposto a infinitamente piccolo è infinitamente grande (). Probabilmente l'hai già incontrato quando stavi lavorando sulle disuguaglianze: questo numero è maggiore in modulo di qualsiasi numero tu possa pensare. Se ottieni il numero più grande possibile, moltiplicalo per due e otterrai ancora di più. E l'infinito è anche più di ciò che accade. Infatti, infinitamente grande e infinitamente piccolo sono tra loro inversi, cioè at, e viceversa: at.

Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitamente piccolo del percorso, ovvero:

Noto che con uno spostamento infinitamente piccolo, anche la variazione di altezza sarà infinitamente piccola. Ma lasciate che vi ricordi che infinitamente piccolo non significa uguale a zero. Se dividi i numeri infinitesimi l'uno per l'altro, puoi ottenere un numero completamente ordinario, ad esempio. Cioè, un piccolo valore può essere esattamente il doppio di un altro.

Perché tutto questo? La strada, la pendenza... Non stiamo andando a fare un rally, ma stiamo imparando la matematica. E in matematica tutto è esattamente lo stesso, solo chiamato in modo diverso.

Il concetto di derivato

La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimo dell'argomento.

Incremento in matematica si chiama cambiamento. Viene chiamato quanto l'argomento () è cambiato quando ci si sposta lungo l'asse incremento dell'argomento e denotato da Quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza viene chiamata incremento della funzione ed è segnato.

Quindi, la derivata di una funzione è la relazione con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un tratto in alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula derivata usando queste notazioni:

Come nell'analogia con la strada, qui, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva, e quando diminuisce, è negativa.

Ma la derivata è uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale pianeggiante, la pendenza è zero. In effetti, l'altezza non cambia affatto. Quindi con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:

poiché l'incremento di tale funzione è zero per qualsiasi.

Prendiamo l'esempio in cima alla collina. Si è scoperto che era possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità risulti essere la stessa, cioè il segmento è parallelo all'asse:

Ma segmenti di grandi dimensioni sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.

Alla fine, quando siamo infinitamente vicini alla cima, la lunghezza del segmento diventerà infinitamente piccola. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè la differenza di altezza alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata

Questo può essere inteso come segue: quando siamo in piedi in cima, un piccolo spostamento a sinistra oa destra cambia la nostra altezza in modo trascurabile.

C'è anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra in alto la funzione aumenta ea destra diminuisce. Come abbiamo già scoperto in precedenza, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva e quando diminuisce, è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (perché la strada non cambia bruscamente pendenza da nessuna parte). Pertanto, ci devono essere tra valori negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce, nel punto del vertice.

Lo stesso vale per la valle (l'area in cui la funzione diminuisce a sinistra e aumenta a destra):

Un po' di più sugli incrementi.

Quindi cambiamo l'argomento in un valore. Cambiamo da quale valore? Che cosa è diventato (argomento) ora? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora balleremo da esso.

Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione al suo interno è uguale. Quindi facciamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è l'argomento adesso? Molto facile: . Qual è il valore della funzione ora? Dove va l'argomento, la funzione va lì: . E per quanto riguarda l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:

Esercitati a trovare incrementi:

Trova l'incremento della funzione in un punto con un incremento dell'argomento uguale a.
Lo stesso per una funzione in un punto.

Soluzioni:

In punti diversi, con lo stesso incremento dell'argomento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto ha la sua (ne abbiamo discusso all'inizio: la pendenza della strada in diversi punti è diversa). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare a che punto:

Funzione di alimentazione.

Una funzione di potenza è chiamata funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).

E - in qualsiasi misura: .

Il caso più semplice è quando l'esponente è:

Troviamo la sua derivata in un punto. Ricorda la definizione di derivata:

Quindi l'argomento cambia da a. Qual è l'incremento della funzione?

L'incremento è. Ma la funzione in qualsiasi punto è uguale al suo argomento. Così:

La derivata è:

La derivata di è:

b) Consideriamo ora la funzione quadratica (): .

Ora ricordiamolo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitamente piccolo, e quindi insignificante sullo sfondo di un altro termine:

Quindi, abbiamo un'altra regola:

c) Continuiamo la serie logica: .

Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: apri la prima parentesi usando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure scomponi l'intera espressione in fattori usando la formula per la differenza dei cubi. Prova a farlo da solo in uno dei modi suggeriti.

Quindi, ho ottenuto quanto segue:

E ricordiamolo ancora. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini contenenti:

Noi abbiamo: .

d) Regole simili si possono ottenere per le grandi potenze:

e) Si scopre che questa regola può essere generalizzata per una funzione di potenza con un esponente arbitrario, nemmeno un intero:

(2)

Puoi formulare la regola con le parole: “il grado viene anticipato come coefficiente, quindi decresce di”.

Dimostreremo questa regola più avanti (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:

(in due modi: con la formula e utilizzando la definizione della derivata - contando l'incremento della funzione);

. Che ci crediate o no, questa è una funzione di alimentazione. Se hai domande come "Com'è? E dov'è la laurea? ”, Ricordate l'argomento“ ”!
Sì, sì, anche la radice è un grado, solo frazionario:.
Quindi la nostra radice quadrata è solo una potenza con un esponente:
.
Cerchiamo la derivata usando la formula appresa di recente:
Se a questo punto è diventato di nuovo poco chiaro, ripeti l'argomento "" !!! (circa un grado con indicatore negativo)
. Ora l'esponente:
E ora attraverso la definizione (avete già dimenticato?):
;
.
Ora, come al solito, trascuriamo il termine contenente:
.
. Combinazione di casi precedenti: .

funzioni trigonometriche.

Qui useremo un fatto della matematica superiore:

Quando l'espressione.

Imparerai la prova al primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'esame). Ora lo mostrerò solo graficamente:

Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico viene perforato. Ma più vicino al valore, più vicina è la funzione.Questo è il vero "sforzo".

Inoltre, puoi controllare questa regola con una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame.

Dunque proviamo: ;

Non dimenticare di impostare la calcolatrice in modalità Radianti!

eccetera. Vediamo che più piccolo, più vicino è il valore del rapporto a.

a) Considera una funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:

Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, utilizziamo la formula (ricorda l'argomento ""):.

Ora la derivata:

Facciamo una sostituzione: . Allora, per infinitamente piccolo, è anche infinitamente piccolo: . L'espressione per assume la forma:

E ora lo ricordiamo con l'espressione. E inoltre, cosa succede se un valore infinitamente piccolo può essere trascurato nella somma (cioè at).

Quindi otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:

Questi sono derivati di base ("tabella"). Eccoli in un elenco:

Successivamente ne aggiungeremo altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.

Pratica:

Trova la derivata di una funzione in un punto;
Trova la derivata della funzione.

Soluzioni:

Innanzitutto, troviamo la derivata in una forma generale, quindi sostituiamo invece il suo valore:
;
.
Qui abbiamo qualcosa di simile a una funzione di potenza. Proviamo a portarla a
vista normale:
.
Ok, ora puoi usare la formula:
.
.
. Eeeeeee….. Che c'è????

Ok, hai ragione, non sappiamo ancora come trovare tali derivati. Qui abbiamo una combinazione di diversi tipi di funzioni. Per lavorare con loro, devi imparare alcune regole in più:

Esponente e logaritmo naturale.

Esiste una tale funzione in matematica, la cui derivata per any è uguale al valore della funzione stessa per la stessa. Si chiama "esponente" ed è una funzione esponenziale

La base di questa funzione - una costante - è una frazione decimale infinita, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama "numero di Eulero", motivo per cui è indicato da una lettera.

Quindi la regola è:

È molto facile da ricordare.

Bene, non andremo lontano, considereremo subito la funzione inversa. Qual è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è un numero:

Un tale logaritmo (cioè un logaritmo con una base) è chiamato "naturale", e per esso usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

a cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

Trova la derivata della funzione.
Qual è la derivata della funzione?

Risposte: L'esponente e il logaritmo naturale sono funzioni che sono unicamente semplici in termini di derivata. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo in seguito, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Quali regole? Un altro nuovo termine, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Solo e tutto. Qual è un'altra parola per questo processo? Non proizvodnovanie... Il differenziale della matematica è chiamato l'incremento stesso della funzione a. Questo termine deriva dal latino differenzia - differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola funziona anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia, o più facile.

Esempi.

Trova le derivate di funzioni:

al punto;
al punto;
al punto;
al punto.

Soluzioni:

(la derivata è la stessa in tutti i punti, dato che è una funzione lineare, ricordi?);

Derivato di un prodotto

Tutto è simile qui: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

Trova derivate di funzioni e;
Trova la derivata di una funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo l'esponente (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è un numero.

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:

Per fare ciò, utilizziamo una semplice regola: . Quindi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Qui, controlla te stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata dell'esponente: così com'era, rimane, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate di funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, nella risposta è lasciato in questa forma.

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un arbitrario dal logaritmo con una base diversa, ad esempio, :

Dobbiamo portare questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ti ricordi questa formula:

Solo ora invece di scriveremo:

Il denominatore si è rivelato essere solo una costante (un numero costante, senza una variabile). La derivata è molto semplice:

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'esame, ma non sarà superfluo conoscerle.

Derivata di una funzione complessa.

Che cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e non un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se il logaritmo ti sembra difficile, leggi l'argomento "Logaritmi" e tutto funzionerà), ma in termini di matematica, la parola "complesso" non significa "difficile".

Immagina un piccolo trasportatore: due persone sono sedute e fanno delle azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo lo lega con un nastro. Si scopre un oggetto così composito: una barretta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi opposti in ordine inverso.

Creiamo una pipeline matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi al quadrato il numero risultante. Quindi, ci danno un numero (cioccolato), io trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho (legalo con un nastro). Cosa è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, facciamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi un'altra seconda azione con ciò che è successo a seguito della prima.

Potremmo anche fare gli stessi passaggi in ordine inverso: prima fai il quadrato, quindi cerco il coseno del numero risultante:. È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

In altre parole, Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il primo esempio, .

Secondo esempio: (uguale). .

L'ultima azione che faremo verrà chiamata funzione "esterna"., e l'azione eseguita per prima, rispettivamente funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, nella funzione

Quale azione intraprenderemo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo eleviamo a un cubo. Quindi è una funzione interna, non esterna.
E la funzione originaria è la loro composizione: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .

cambiamo variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estrarremo il nostro cioccolato - cerca il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Per l'esempio originale, si presenta così:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Tutto sembra essere semplice, giusto?

Controlliamo con esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(basta non provare a ridurre ormai! Non viene tolto nulla da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È immediatamente chiaro che qui esiste una funzione complessa a tre livelli: dopotutto, questa è già una funzione complessa in sé e ne estraiamo ancora la radice, ovvero eseguiamo la terza azione (metti il cioccolato in un involucro e con un nastro in una valigetta). Ma non c'è motivo di avere paura: comunque, “scompatteremo” questa funzione nello stesso ordine del solito: dalla fine.

Cioè, prima distinguiamo la radice, poi il coseno e solo allora l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo tutto.

In questi casi, è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata a un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più "esterna" sarà la funzione corrispondente. La sequenza di azioni - come prima:

Qui la nidificazione è generalmente a 4 livelli. Determiniamo la linea di condotta.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. IN BREVE SUL PRINCIPALE

Derivata di funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene sottratta dal segno della derivata:

Derivata di somma:

Prodotto derivato:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Definiamo la funzione "interna", troviamo la sua derivata.
Definiamo la funzione "esterna", troviamo la sua derivata.
Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Derivata di una funzione di una variabile.

Introduzione.

Questi sviluppi metodologici sono destinati agli studenti della Facoltà di Ingegneria Industriale e Civile. Sono compilati in relazione al programma del corso di matematica nella sezione "Calcolo differenziale delle funzioni di una variabile".

Gli sviluppi rappresentano un'unica guida metodologica, che comprende: brevi informazioni teoriche; compiti ed esercizi "tipici" con soluzioni dettagliate e spiegazioni per queste soluzioni; opzioni di controllo.

Esercizi aggiuntivi alla fine di ogni paragrafo. Una tale struttura di sviluppi li rende adatti per la padronanza indipendente della sezione con la minima assistenza dell'insegnante.

§uno. Definizione di derivato.

Significato meccanico e geometrico

derivato.

Il concetto di derivato è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica, nato già nel XVII secolo. La formazione del concetto di derivata è storicamente associata a due problemi: il problema della velocità del moto variabile e il problema della tangente ad una curva.

Questi compiti, nonostante il loro diverso contenuto, portano alla stessa operazione matematica che deve essere eseguita su una funzione, operazione che in matematica ha ricevuto un nome speciale. Si chiama operazione di differenziazione di una funzione. Il risultato di un'operazione di differenziazione è chiamato derivata.

Quindi, la derivata della funzione y=f(x) nel punto x0 è il limite (se esiste) del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento
A
.

La derivata è generalmente indicata come segue:
.

Quindi per definizione

I simboli sono usati anche per denotare la derivata
.

Il significato meccanico della derivata.

Se s=s(t) è la legge del moto rettilineo di un punto materiale, allora
è la velocità di questo punto al tempo t.

Il significato geometrico della derivata.

Se la funzione y=f(x) ha una derivata in un punto , quindi la pendenza della tangente al grafico della funzione nel punto
è uguale a
.

Esempio.

Trova la derivata di una funzione
al punto =2:

1) Diamo un punto =2 incrementi
. Notare che.

2) Trovare l'incremento della funzione nel punto =2:

3) Componi il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento:

Troviamo il limite della relazione in
:

Così,
.

§ 2. Derivati di alcuni

le funzioni più semplici.

Lo studente deve imparare a calcolare le derivate di funzioni specifiche: y=x,y= e in generale y= .

Trova la derivata della funzione y=x.

quelli. (x)′=1.

Troviamo la derivata della funzione

Derivato

Lascia stare
poi

È facile notare uno schema nelle espressioni per le derivate di una funzione di potenza
a n=1,2,3.

Quindi,

. (1)

Questa formula è valida per qualsiasi n.

In particolare, utilizzando la formula (1), abbiamo:

;

Esempio.

Trova la derivata di una funzione

Questa funzione è un caso speciale di una funzione del modulo

A
.

Usando la formula (1), abbiamo

Derivati di funzioni y=sin x e y=cos x.

Sia y=sinx.

Dividiamo per ∆x, otteniamo

Passando al limite come ∆x→0, abbiamo

Sia y=cosx .

Passando al limite per ∆x→0, otteniamo

;
. (2)

§3. Regole di base della differenziazione.

Considera le regole di differenziazione.

Teorema1 . Se le funzioni u=u(x) e v=v(x) sono differenziabili in un dato punto x, allora anche la loro somma è derivabile a questo punto, e la derivata della somma è uguale alla somma dei termini derivati: (u+v)"=u"+v".(3 )

Dimostrazione: considera la funzione y=f(x)=u(x)+v(x).

L'incremento ∆x dell'argomento x corrisponde agli incrementi ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) delle funzioni u e v. Quindi la funzione y verrà incrementata

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Quindi,

Quindi, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Se le funzioni u=u(x) e v=v(x) sono differenziabili in un dato punto x, allora anche il loro prodotto è derivabile nello stesso punto.In questo caso la derivata del prodotto si trova con la seguente formula : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Dim.: Sia y=uv, dove u e v sono alcune funzioni differenziabili di x. Sia x incrementato di ∆x; allora u sarà incrementato di ∆u, v sarà incrementato di ∆v e y sarà incrementato di ∆y.

Abbiamo y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), o

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Pertanto, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Da qui

Passando al limite per ∆x→0 e tenendo conto che u e v non dipendono da ∆x, abbiamo

Teorema 3. La derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui denominatore è uguale al quadrato del divisore e il numeratore è la differenza tra il prodotto della derivata del dividendo per il divisore e il prodotto del dividendo dal derivato del divisore, cioè

Se un
poi
(5)