Penjumlahan sinus dan cosinus. Rumus trigonometri

Saya tidak akan meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk lembar contekan pada trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa lembar contekan diperlukan dan bagaimana lembar contekan berguna. Dan di sini - informasi tentang bagaimana tidak belajar, tetapi untuk mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.

1. Rumus penambahan:

cosinus selalu "berpasangan": cosinus-cosinus, sinus-sinus. Dan satu hal lagi: cosinus "tidak memadai". Mereka "semuanya salah", jadi mereka mengubah tanda: "-" menjadi "+", dan sebaliknya.

Sinus - "campuran": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Rumus jumlah dan selisih:

kosinus selalu "berpasangan". Setelah menambahkan dua cosinus - "roti", kami mendapatkan sepasang cosinus - "kolobok". Dan dikurangi, kita pasti tidak akan mendapatkan kolobok. Kami mendapatkan beberapa sinus. Masih dengan minus di depan.

Sinus - "campuran" :

3. Rumus untuk mengubah produk menjadi jumlah dan selisih.

Kapan kita mendapatkan sepasang cosinus? Saat menambahkan kosinus. Jadi

Kapan kita mendapatkan sepasang sinus? Saat mengurangkan kosinus. Dari sini:

"Pencampuran" diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya ambil tambahan:

Dalam rumus pertama dan ketiga dalam tanda kurung - jumlahnya. Dari penataan ulang tempat istilah, jumlahnya tidak berubah. Urutannya penting hanya untuk formula kedua. Tapi, agar tidak bingung, untuk memudahkan mengingat, pada ketiga rumus di kurung pertama kita ambil selisihnya

dan kedua, jumlah

Seprai buaian di saku Anda memberikan ketenangan pikiran: jika Anda lupa formulanya, Anda dapat menghapusnya. Dan mereka memberi kepercayaan: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, rumusnya dapat dengan mudah diingat.

Kami melanjutkan percakapan kami tentang rumus yang paling sering digunakan dalam trigonometri. Yang paling penting dari mereka adalah formula tambahan.

Definisi 1

Rumus penjumlahan memungkinkan Anda untuk menyatakan fungsi selisih atau jumlah dua sudut menggunakan fungsi trigonometri sudut-sudut ini.

Untuk memulainya, kami akan menyajikan daftar lengkap rumus tambahan, maka kami akan membuktikannya dan menganalisis beberapa contoh ilustrasi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rumus penjumlahan dasar dalam trigonometri

Ada delapan rumus dasar: sinus jumlah dan sinus selisih dua sudut, cosinus jumlah dan selisih, masing-masing tangen dan kotangen dari jumlah dan selisih. Di bawah ini adalah formulasi dan perhitungan standar mereka.

1. Sinus jumlah dua sudut dapat diperoleh sebagai berikut:

Kami menghitung produk sinus sudut pertama dengan kosinus yang kedua;

Kalikan kosinus sudut pertama dengan sinus sudut pertama;

Tambahkan nilai yang dihasilkan.

Penulisan grafik dari rumus terlihat seperti ini: sin (α + ) = sin cos + cos sin

2. Sinus selisih dihitung dengan cara yang hampir sama, hanya produk yang dihasilkan tidak boleh dijumlahkan, melainkan dikurangkan. Jadi, kami menghitung produk sinus sudut pertama dengan kosinus kedua dan kosinus sudut pertama dengan sinus kedua dan menemukan perbedaannya. Rumusnya ditulis seperti ini: sin (α - ) = sin cos + sin sin

3. Cosinus dari jumlah. Untuk itu, kami menemukan produk dari cosinus sudut pertama dengan cosinus kedua dan sinus sudut pertama dengan sinus kedua, dan menemukan perbedaannya: cos (α + ) = cos cos - dosa dosa

4. Selisih kosinus: kita menghitung hasil kali sinus dan kosinus dari sudut-sudut yang diberikan, seperti sebelumnya, dan menjumlahkannya. Rumus: cos (α - ) = cos cos + sin sin

5. Tangen jumlah. Rumus ini dinyatakan sebagai pecahan, di mana pembilangnya adalah jumlah garis singgung dari sudut yang diinginkan, dan dalam penyebutnya adalah unit dari mana produk dari garis singgung dari sudut yang diinginkan dikurangkan. Semuanya jelas dari notasi grafiknya: t g (α + ) = t g + t g 1 - t g t g

6. Tangen perbedaan. Kami menghitung nilai perbedaan dan produk dari garis singgung dari sudut-sudut ini dan menanganinya dengan cara yang sama. Dalam penyebut, kami menambahkan satu, dan bukan sebaliknya: t g (α - ) = t g - t g 1 + t g t g

7. Kotangen dari jumlah. Untuk perhitungan menggunakan rumus ini, kita memerlukan produk dan jumlah kotangen dari sudut-sudut ini, yang dengannya kita lanjutkan sebagai berikut: c t g (α + ) = - 1 + c t g c t g β c t g + c t g

8. Kotangen perbedaan . Rumusnya mirip dengan yang sebelumnya, tetapi dalam pembilang dan penyebut - dikurangi, dan tidak ditambah c t g (α - ) = - 1 - c t g c t g c t g - c t g .

Anda mungkin memperhatikan bahwa rumus-rumus ini serupa berpasangan. Dengan menggunakan tanda ± (plus-minus) dan (minus-plus), kita dapat mengelompokkannya untuk memudahkan notasi:

sin (α ± β) = sin cos β ± cos sin cos (α ± ) = cos cos β sin sin t g (α ± ) = t g ± t g 1 t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g

Oleh karena itu, kami memiliki satu rumus pencatatan untuk jumlah dan perbedaan setiap nilai, hanya dalam satu kasus kami memperhatikan tanda atas, yang lain - ke yang lebih rendah.

Definisi 2

Kita dapat mengambil sembarang sudut dan , dan rumus penjumlahan untuk kosinus dan sinus akan bekerja untuknya. Jika kita dapat menentukan dengan benar nilai garis singgung dan kotangen dari sudut-sudut ini, maka rumus penambahan untuk garis singgung dan kotangen juga akan berlaku untuk mereka.

Seperti kebanyakan konsep dalam aljabar, rumus penjumlahan dapat dibuktikan. Rumus pertama yang akan kita buktikan adalah rumus selisih kosinus. Dari situ, Anda kemudian dapat dengan mudah menyimpulkan sisa bukti.

Mari kita perjelas konsep dasarnya. Kita membutuhkan lingkaran satuan. Ternyata jika kita mengambil titik A tertentu dan memutar di sekitar pusat (titik O) sudut dan . Maka sudut antara vektor O A 1 → dan O A → 2 akan sama dengan (α - ) + 2 z atau 2 - (α - ) + 2 z (z bilangan bulat apa saja). Vektor yang dihasilkan membentuk sudut yang sama dengan - atau 2 - (α - ) , atau mungkin berbeda dari nilai-nilai ini dengan jumlah putaran penuh bilangan bulat. Lihatlah gambarnya:

Kami menggunakan rumus reduksi dan mendapatkan hasil sebagai berikut:

cos ((α - ) + 2 z) = cos (α - ) cos (2 - (α - ) + 2 z) = cos (α - )

Intinya: cosinus sudut antara vektor O A 1 → dan O A 2 → sama dengan cosinus sudut - , oleh karena itu, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - ) .

Ingat definisi sinus dan kosinus: sinus adalah fungsi dari sudut yang sama dengan rasio kaki sudut yang berlawanan dengan sisi miring, kosinus adalah sinus dari sudut tambahan. Oleh karena itu, poin 1 dan A2 memiliki koordinat (cos , sin ) dan (cos , sin ) .

Kami mendapatkan yang berikut:

O A 1 → = (cos , sin ) dan O A 2 → = (cos , sin )

Jika kurang jelas, lihat koordinat titik-titik yang terletak di awal dan akhir vektor.

Panjang vektor sama dengan 1, karena kami memiliki satu lingkaran.

Mari kita analisis sekarang produk skalar vektor O A 1 → dan O A 2 → . Dalam koordinat terlihat seperti ini:

(O A 1 → , O A 2) → = cos cos + sin sin

Dari sini kita dapat menyimpulkan persamaan:

cos (α - ) = cos cos + sin sin

Dengan demikian, rumus untuk kosinus perbedaan terbukti.

Sekarang kita akan membuktikan rumus berikut - kosinus dari jumlah tersebut. Ini lebih mudah karena kita bisa menggunakan perhitungan sebelumnya. Ambil representasi + = - (- ) . Kita punya:

cos (α + β) = cos (α - (- )) = = cos cos (- ) + sin α sin (- ) = = cos cos + sin sin

Ini adalah bukti dari rumus cosinus dari jumlah tersebut. Baris terakhir menggunakan properti sinus dan cosinus sudut yang berlawanan.

Rumus sinus jumlah dapat diturunkan dari rumus cosinus selisihnya. Mari kita ambil rumus pengurangan untuk ini:

dalam bentuk sin (α + ) = cos (π 2 (α + )) . Jadi
sin (α + ) \u003d cos (π 2 (α + )) \u003d cos ((π 2 - ) - ) \u003d \u003d cos (π 2 - ) cos + sin (π 2 - ) sin = = sin cos + cos sin

Dan berikut adalah bukti dari rumus sinus selisihnya:

sin (α - ) = sin (α + (- )) = sin cos (- ) + cos sin (- ) = = sin α cos - cos sin β
Perhatikan penggunaan sifat sinus dan kosinus dari sudut yang berlawanan dalam perhitungan terakhir.

Selanjutnya, kita perlu bukti dari formula penambahan untuk tangen dan kotangen. Mari kita ingat kembali definisi dasar (tangen adalah rasio sinus terhadap cosinus, dan kotangen adalah sebaliknya) dan ambil rumus yang sudah diturunkan sebelumnya. Kita berhasil:

t g (α + ) = sin (α + ) cos (α + ) = sin cos + cos sin cos α cos - sin sin

Kami memiliki pecahan kompleks. Selanjutnya, kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan cos cos , mengingat cos 0 dan cos 0 , kita peroleh:
sin cos + cos α sin cos cos cos cos - sin sin cos cos = sin α cos cos cos + cos sin cos cos cos cos cos α cos - sin sin cos cos

Sekarang kita mengurangi pecahan dan mendapatkan rumus dengan bentuk berikut: sin cos + sin cos 1 - sin cos α s i n β cos = t g α + t g β 1 - t g t g .
Kami mendapatkan t g (α + ) = t g + t g 1 - t g · t g . Ini adalah bukti dari rumus penjumlahan tangen.

Rumus selanjutnya yang akan kita buktikan adalah rumus selisih tangen. Semuanya jelas ditunjukkan dalam perhitungan:

t g (α - β) = t g (α + (- )) = t g + t g (- ) 1 - t g α t g (- ) = t g - t g β 1 + t g t g β

Rumus untuk kotangen dibuktikan dengan cara yang sama:
c t g (α + β) = cos (α + ) sin (α + ) = cos cos β - sin α sin β sin α cos + cos sin = = cos cos - sin α sin β sin sin sin cos + cos sin sin sin = cos cos sin sin - 1 sin α cos sin sin + cos α sin sin sin = = - 1 + c t g c t g c t g + c t g
Lebih jauh:
c t g (α - ) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- ) c t g α + c t g (- ) = - 1 - c t g c t g β c t g - c t g β