Բարդ գծագրի վրա կետի գրաֆիկական ցուցադրում:

Դիտարկենք հետևյալ պատկերը.

Այն ցույց է տալիս y = x^3 - 3*x^2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Դիտարկենք x = 0 կետը պարունակող ինչ-որ ինտերվալ, օրինակ -1-ից 1: Նման միջակայքը կոչվում է նաև x = 0 կետի հարևանություն: Ինչպես տեսնում եք գրաֆիկի վրա, այս հարևանությամբ y = x^ ֆունկցիան է: 3 - 3*x^2 տանում է ամենաբարձր արժեքըհենց x = 0 կետում:

Գործառույթի առավելագույն և նվազագույնը

Այս դեպքում x = 0 կետը կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն կետ: Սրա համեմատությամբ x = 2 կետը կոչվում է y = x^3 - 3*x^2 ֆունկցիայի նվազագույն կետ։ Քանի որ կա այս կետի այնպիսի հարևանություն, որում արժեքը այս կետում նվազագույն կլինի այս հարևանության բոլոր մյուս արժեքների մեջ:

կետ առավելագույնը f(x) ֆունկցիան կոչվում է x0 կետ, պայմանով, որ x0 կետի հարևանություն լինի այնպես, որ բոլոր x-երի համար, որոնք հավասար չեն x0-ին այս հարևանությունից, անհավասարությունը f(x)< f(x0).

կետ նվազագույնը f(x) ֆունկցիան կոչվում է x0 կետ, պայմանով, որ x0 կետի հարևանություն լինի այնպես, որ բոլոր x-ի համար, որոնք հավասար չեն x0-ին այս հարևանությունից, f(x) > f(x0) անհավասարությունը բավարարվի:

Ֆունկցիաների առավելագույն և նվազագույն կետերում ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը հավասար է զրոյի։ Բայց դա բավարար պայման չէ առավելագույն կամ նվազագույն կետում ֆունկցիայի առկայության համար։

Օրինակ, y = x^3 ֆունկցիան x = 0 կետում ունի ածանցյալ, որը հավասար է զրոյի: Բայց x = 0 կետը ֆունկցիայի նվազագույն կամ առավելագույն կետը չէ: Ինչպես գիտեք, y = x^3 ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ իրական առանցքի վրա։

Այսպիսով, նվազագույն և առավելագույն միավորները միշտ կլինեն f'(x) = 0 հավասարման արմատների մեջ: Բայց այս հավասարման ոչ բոլոր արմատները կլինեն առավելագույն կամ նվազագույն միավորներ:

Ստացիոնար և կրիտիկական կետեր

Այն կետերը, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը հավասար է զրոյի, կոչվում են անշարժ կետեր: Կարող են լինել նաև առավելագույն կամ նվազագույն կետեր այն կետերում, որտեղ ֆունկցիայի ածանցյալն ընդհանրապես գոյություն չունի: Օրինակ՝ y = |x| կետում x = 0 ունի նվազագույնը, բայց ածանցյալն այս պահին գոյություն չունի: Այս կետը կլինի ֆունկցիայի կրիտիկական կետը:

Ֆունկցիայի կրիտիկական կետերն այն կետերն են, որոնցում ածանցյալը հավասար է զրոյի, կամ ածանցյալն այս կետում գոյություն չունի, այսինքն՝ այս կետի ֆունկցիան անտարբերելի է։ Գործառույթի առավելագույնը կամ նվազագույնը գտնելու համար պետք է բավարար պայման.

Թող f(x) լինի (a;b) միջակայքում տարբերվող ֆունկցիա: x0 կետը պատկանում է այս միջակայքին և f'(x0) = 0: Այնուհետև.

1. եթե անշարժ x0 կետով անցնելիս f (x) ֆունկցիան և նրա ածանցյալը փոխում են նշանը՝ «գումարած»-ից «մինուս», ապա x0 կետը ֆունկցիայի առավելագույն կետն է։

2. եթե անշարժ x0 կետով անցնելիս f (x) ֆունկցիան և նրա ածանցյալը փոխում են նշանը՝ «մինուս»-ից «պլյուս», ապա x0 կետը ֆունկցիայի նվազագույն կետն է։

Ողջույն բոլոր Հաբր մարդկանց: Ես ուզում եմ սիրելի ընթերցողներին ներկայացնել մի օրինակ, երբ մեր հասկացողությամբ չոր և կյանքից հեռու է բարձրագույն մաթեմատիկալավ գործնական արդյունք տվեց։

Նախ մի քանի հիշողություն

Դա այն ժամանակ էր, երբ 90-ականներին տեխնիկական բուհերից մեկի ուսանող էի, հավանաբար երկրորդ կուրսում։ Ես մի կերպ հասա ծրագրավորման օլիմպիադային։ Եվ հենց այս օլիմպիադայում խնդիր կար. սահմանել եռանկյան կոորդինատները, հարթության վրա փորձարկման կետ և որոշել, թե արդյոք այս կետը պատկանում է եռանկյունու տարածքին: Ընդհանրապես, չնչին խնդիր, բայց հետո ես այն չլուծեցի: Բայց հետո ես մտածեցի ավելի ընդհանուր առաջադրանքի մասին՝ պատկանել աղբավայրին։ Կրկնում եմ՝ 90-ականների կեսերն էին, ինտերնետ չկար, համակարգչային երկրաչափության գրքեր չկար, բայց աշտարակի վրա դասախոսություններ կային և 286 լաբորատորիա՝ տուրբո պասկալով։ Եվ այսպես, աստղերը համընկան, որ հենց այն պահին, երբ ես մտածում էի խնդրի մասին, նրանք աշտարակի վրա մեզ համար կարդում էին բարդ փոփոխականի տեսությունը: Եվ մի բանաձեւ (դրա մասին ստորեւ) ընկավ պարարտ հողի վրա. Ալգորիթմը հորինվել և ներդրվել է Պասկալում (ցավոք, իմ մեկուկես գիգաբայթանոց պտուտակը մեռավ և մոռացության տարավ այս ծածկագիրը և իմ պատանեկան մյուս զարգացումները): Ինստիտուտից հետո սկսեցի աշխատել մեկ գիտահետազոտական ինստիտուտում։ Այնտեղ ես պետք է զբաղվեի GIS-ի մշակմամբ՝ ինստիտուտի աշխատակիցների կարիքների համար, և իմ առաջադրանքներից մեկն այն էր, որ որոշեի, թե արդյոք առարկաներն ընկել են եզրագծի մեջ։ Ալգորիթմը վերաշարադրվել է C++-ով և ապացուցվել է, որ գերազանց է աշխատանքում:

Առաջադրանք ալգորիթմի համար

Տրված է.

Г - հարթության վրա փակ բազմագիծ (այսուհետ՝ բազմանկյուն), որը տրված է նրա գագաթների կոորդինատներով (xi, yi) և փորձարկման կետի կոորդինատներով (x0, y0).

Սահմանել.

արդյոք կետը պատկանում է բազմանկյունով սահմանափակված D տարածքին:

Ալգորիթմի հետագա գրման բանաձևերի ստացումը ոչ մի կերպ չի պնդում, որ մաթեմատիկորեն ամբողջական և ճշգրիտ է, այլ միայն ցույց է տալիս ինժեներական (սպառողական մոտեցում) գիտությունների բնագավառների թագուհուն:

Բացատրություն բանվոր-գյուղացիական ինժեներական տեսանկյունից.
- G սահմանը մեր տրված ուրվագիծն է,
- z0 - փորձարկված կետ
- f(z) - բարդ գործառույթբարդ փաստարկից ուրվագծում ոչ մի տեղ անսահմանություն չի գնում:

Այսինքն՝ պարզելու համար, թե արդյոք կետը պատկանում է եզրագծին, մենք պետք է հաշվարկենք ինտեգրալը և համեմատենք այն տվյալ կետի ֆունկցիայի արժեքի հետ։ Եթե դրանք համընկնում են, ապա կետը գտնվում է եզրագծի մեջ: Նշում. Քոշիի ինտեգրալ թեորեմն ասում է, որ եթե կետը չի գտնվում եզրագծի մեջ, ապա ինտեգրանդը երբեք չի գնում դեպի անսահմանություն, ապա ինտեգրալը զրո. Սա հեշտացնում է հարցը. պարզապես պետք է հաշվարկել ինտեգրալը և ստուգել այն զրոյի հավասարության համար. կետը զրոյի հավասար ուրվագիծը չէ, այլ այլ է, այն գտնվում է եզրագծի մեջ:
Կատարենք ինտեգրալի հաշվարկը։ f(z)-ի համար վերցնում ենք պարզ գործառույթ 1. Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք 0 կետը ընդունել որպես z0 (միշտ կարող եք տեղաշարժել կոորդինատները):

Մենք ազատվում ենք ինտեգրանդի հայտարարի երևակայական միավորից և ինտեգրալը բաժանում իրական և երևակայական մասերի.

Մենք ստացել ենք երկրորդ տեսակի երկու կորագիծ ինտեգրալներ։
Հաշվեք առաջինը

Կատարված է պայմանը, որ ինտեգրալը ուղուց կախված չէ, հետևաբար, առաջին ինտեգրալը հավասար է զրոյի և անհրաժեշտ չէ այն հաշվարկել։

Երևակայական մասի դեպքում այս հնարքը չի աշխատում։ Հիշեցնենք, որ մեր սահմանը բաղկացած է գծային հատվածներից, մենք ստանում ենք.

Որտեղ Гi հատվածն է (xi,yi)- (xi+1,y i+1)
Հաշվենք i-րդ ինտեգրալը։ Դրա համար մենք գրում ենք i-րդ հատվածի հավասարումը պարամետրային տեսքով

Փոխարինել ինտեգրալում

Իսկ ծանր ու հոգնեցուցիչ փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք հետևյալ հմայիչ բանաձևը.

Վերջապես մենք ստանում ենք

Ալգորիթմ C++-ում.

կաղապար <դասՏ>
բուլ pt_in_polygon( հաստատ T &test,const std::վեկտոր &բազմանկյուն)
{
if (polygon.size()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();

T last_pt=polygon.back();

Last_pt.x-=test.x;
last_pt.y-=test.y;

կրկնակիգումար=0.0;

համար(
std::վեկտոր::const_iterator iter=polygon.begin();
iter!=վերջ;
++ կրկն
{
T cur_pt=*iter;
cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

կրկնակի del= last_pt.x*cur_pt.y-cur_pt.x*last_pt.y;
կրկնակի xy= cur_pt.x*last_pt.x+cur_pt.y*last_pt.y;

Գումար +=
աթան ((վերջին_պտ.x*վերջին_պտ.x+վերջին_pt.y*վերջին_pt.y - xy)/դել)+
աթան ((cur_pt.x*cur_pt.x+cur_pt.y*cur_pt.y-xy)/del)
);

last_pt=cur_pt;

վերադարձ fabs(sum)>eps;

T - կետի տեսակը, օրինակ.
կառուցվածքԿետ Դ
{
կրկնակի x,y;
};

Վերահսկում:
ձախ սեղմում - ավելացրեք նոր եզրագծային կետ
աջ կոճակ - փակել եզրագիծը
մնացել է Shift-ը պահելով - տեղափոխել փորձարկման կետը

Պարոնայք, ովքեր հետաքրքրված են, ես ավելի արագ ալգորիթմ եմ տալիս. Այլևս իմը չէ:
Հատուկ շնորհակալություն հոդվածի համար:
ձևանմուշ bool pt_in_polygon2(const T &test,const std::vector &polygon)
{

Static const int q_patt= ( (0,1), (3,2) );

If(polygon.size()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();
T pred_pt=polygon.back();
predict_pt.x-=test.x;
pred_pt.y-=test.y;

int pred_q=q_patt;

For(std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();iter!=վերջ;++iter)
{
T cur_pt = *iter;

Cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

int q=q_patt;

Անջատիչ (q-pred_q)
{
դեպք -3:++w;կոտրել;
դեպք 3:--w;կոտրել;
case -2:if(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x) ++w;break;
դեպք 2:if(!(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x)) --w;break;
}

Pred_pt = cur_pt;
կանխատեսել_ք = q;

Երկչափ տարածության մեջ երկու ուղիղները հատվում են միայն մեկ կետում՝ տրված կոորդինատներով (x, y): Քանի որ երկու ուղիղներն էլ անցնում են իրենց հատման կետով, կոորդինատները (x, y) պետք է բավարարեն այս ուղիղները նկարագրող երկու հավասարումները։ Որոշ առաջադեմ հմտություններով դուք կարող եք գտնել պարաբոլների և այլ քառակուսի կորերի հատման կետերը:

Քայլեր

Երկու ուղիղների հատման կետ

Գրե՛ք յուրաքանչյուր տողի հավասարումը` մեկուսացնելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող «y» փոփոխականը:Հավասարման այլ պայմաններ պետք է տեղադրվեն աջ կողմհավասարումներ։ Միգուցե «y»-ի փոխարեն ձեզ տրված հավասարումը պարունակի f (x) կամ g (x) փոփոխականը; այս դեպքում մեկուսացնել նման փոփոխականը: Փոփոխականը մեկուսացնելու համար կատարեք համապատասխանը մաթեմատիկական գործողություններհավասարման երկու կողմերում:

Եթե տողերի հավասարումները ձեզ չեն տրվում, ձեզ հայտնի տեղեկատվության հիման վրա:
Օրինակ. Տրված են ուղիղ գծեր, որոնք նկարագրված են հավասարումներով և y − 12 = − 2 x (\ցուցադրման ոճ y-12=-2x). Երկրորդ հավասարման «y»-ը մեկուսացնելու համար հավասարման երկու կողմերին ավելացրեք 12 թիվը.

Դուք փնտրում եք երկու ուղիղների հատման կետը, այսինքն՝ այն կետը, որի (x, y) կոորդինատները բավարարում են երկու հավասարումներին։ Քանի որ «y» փոփոխականը յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում է, յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել: Գրի՛ր նոր հավասարում.
- Օրինակ. Ինչպես y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)և y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), ապա կարող ենք գրել հետևյալ հավասարությունը.
Գտե՛ք «x» փոփոխականի արժեքը։Նոր հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական «x»: «x»-ը գտնելու համար մեկուսացրեք այս փոփոխականը հավասարման ձախ կողմում՝ կատարելով համապատասխան մաթեմատիկա հավասարման երկու կողմերում: Դուք պետք է ավարտեք x = __ նման հավասարում (եթե չեք կարող դա անել, տես այս բաժինը):
- Օրինակ. x + 3 = 12 − 2 x (\ցուցադրման ոճ x+3=12-2x)
- Ավելացնել 2x (\displaystyle 2x)հավասարման յուրաքանչյուր կողմում.
- 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- Հավասարման յուրաքանչյուր կողմից հանեք 3.
- 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
- Հավասարման յուրաքանչյուր կողմը բաժանեք 3-ի.
- x = 3 (\displaystyle x=3).
Օգտագործեք «x» փոփոխականի գտնված արժեքը «y» փոփոխականի արժեքը հաշվարկելու համար։Դա անելու համար փոխարինեք գտնված «x» արժեքը հավասարման մեջ (ցանկացած) ուղիղ գծում:
- Օրինակ. x = 3 (\displaystyle x=3)և y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
- y=6 (\displaystyle y=6)
Ստուգեք պատասխանը։Դա անելու համար փոխարինեք «x» արժեքը մեկ այլ ուղիղ գծի հավասարման մեջ և գտեք «y» արժեքը: Եթե դուք ստանում եք տարբեր իմաստ«y», ստուգեք ձեր հաշվարկների ճիշտությունը։
- Օրինակ: x = 3 (\displaystyle x=3)և y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12 − 2 (3) (\ցուցադրման ոճ y=12-2(3))
- y = 12 - 6 (\displaystyle y=12-6)
- y=6 (\displaystyle y=6)
- Դուք ստացել եք նույն «y» արժեքը, այնպես որ ձեր հաշվարկներում սխալներ չկան:
Գրե՛ք կոորդինատները (x, y):Հաշվարկելով «x» և «y» արժեքները, դուք գտել եք երկու տողերի հատման կետի կոորդինատները: Գրի՛ր հատման կետի կոորդինատները (x, y) ձևով։
- Օրինակ. x = 3 (\displaystyle x=3)և y=6 (\displaystyle y=6)
- Այսպիսով, երկու ուղիղները հատվում են մի կետում կոորդինատներով (3,6):
Հաշվարկներ հատուկ դեպքերում.Որոշ դեպքերում «x» փոփոխականի արժեքը հնարավոր չէ գտնել: Բայց դա չի նշանակում, որ դուք սխալվել եք: Հատուկ դեպք է տեղի ունենում, երբ բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.
- Եթե երկու ուղիղները զուգահեռ են, դրանք չեն հատվում։ Այս դեպքում «x» փոփոխականը պարզապես կկրճատվի, և ձեր հավասարումը կվերածվի անիմաստ հավասարության (օրինակ. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)): Այս դեպքում ձեր պատասխանում գրեք, որ գծերը չեն հատվում կամ լուծում չկա։
- Եթե երկու հավասարումներն էլ նկարագրում են մեկ ուղիղ գիծ, ապա կլինեն անսահման թվով հատման կետեր: Այս դեպքում «x» փոփոխականը պարզապես կկրճատվի, և ձեր հավասարումը կվերածվի խիստ հավասարության (օրինակ. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)): Այս դեպքում ձեր պատասխանում գրեք, որ երկու տողերը համընկնում են։
Քառակուսային ֆունկցիաների հետ կապված խնդիրներ
1. Քառակուսային ֆունկցիայի սահմանում.Քառակուսային ֆունկցիայի մեջ մեկ կամ մի քանի փոփոխականներ ունեն երկրորդ աստիճան (բայց ոչ ավելի բարձր), օրինակ. x 2 (\displaystyle x^(2))կամ y 2 (\displaystyle y^(2)). Քառակուսային ֆունկցիաների գրաֆիկները կորեր են, որոնք չեն կարող հատվել կամ հատվել մեկ կամ երկու կետերում: Այս բաժնում մենք ձեզ կպատմենք, թե ինչպես գտնել քառակուսի կորերի հատման կետը կամ կետերը:
2. Վերաշարադրեք յուրաքանչյուր հավասարում` մեկուսացնելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող «y» փոփոխականը:Հավասարման այլ տերմիններ պետք է տեղադրվեն հավասարման աջ կողմում:
  - Օրինակ. Գտե՛ք գրաֆիկների հատման կետ(ներ): x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)և
  - Մեկուսացրեք «y» փոփոխականը հավասարման ձախ կողմում.
  - և y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - Այս օրինակում ձեզ տրվում է մեկ քառակուսի և մեկ գծային ֆունկցիա: Հիշեք, որ եթե ձեզ տրվի երկու քառակուսի ֆունկցիաներ, հաշվարկները նման են ստորև ներկայացված քայլերին։
3. Հավասարեցրեք յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի արտահայտությունները:Քանի որ «y» փոփոխականը յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում է, յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել:
  - Օրինակ. y = x 2 + 2 x + 1 (\ցուցադրման ոճ y=x^(2)+2x+1)և y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Ստացված հավասարման բոլոր պայմանները փոխանցիր ձախ կողմում, իսկ աջ կողմում գրիր 0:Դա անելու համար կատարեք հիմնական մաթեմատիկական գործողություններ: Սա թույլ կտա լուծել ստացված հավասարումը:
  - Օրինակ. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+2x+1=x+7)
  - Հավասարման երկու կողմերից հանել «x».
  - x 2 + x + 1 = 7 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+x+1=7)
  - Հավասարման երկու կողմերից հանել 7.
5. Որոշեք քառակուսային հավասարում. Հավասարման բոլոր տերմինները փոխանցելով նրա ձախ կողմում, դուք ստանում եք քառակուսի հավասարում: Այն կարելի է լուծել երեք եղանակով՝ օգտագործելով հատուկ բանաձեւ, և.
  - Օրինակ. x 2 + x − 6 = 0 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+x-6=0)
  - Հավասարումը գործոնավորելիս ստացվում է երկու երկանդամ, որոնք բազմապատկելով տալիս են սկզբնական հավասարումը։ Մեր օրինակում առաջին անդամը x 2 (\displaystyle x^(2))կարող է քայքայվել x*x-ի։ Կատարեք հետևյալ գրառումը՝ (x)(x) = 0
  - Մեր օրինակում -6-ը կարող է գործոնավորվել հետևյալ կերպ. − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - Մեր օրինակում երկրորդ անդամը x է (կամ 1x): Ավելացրե՛ք կտրման գործակիցների յուրաքանչյուր զույգ (մեր օրինակում՝ -6), մինչև ստանաք 1: Մեր օրինակում ընդհատման գործակիցների ճիշտ զույգը -2 և 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), ինչպես − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Լրացրե՛ք բացերը գտնված թվերի զույգով.
6. Մի մոռացեք երկու գրաֆիկների հատման երկրորդ կետի մասին:Եթե խնդիրը լուծեք արագ և ոչ շատ ուշադիր, կարող եք մոռանալ երկրորդ հատման կետի մասին: Ահա թե ինչպես կարելի է գտնել երկու հատման կետերի «x» կոորդինատները.
  - Օրինակ (ֆակտորինգ). Եթե հավասարման մեջ (x − 2) (x + 3) = 0 (\ցուցադրման ոճ (x-2) (x+3)=0)Փակագծերում տրված արտահայտություններից մեկը հավասար կլինի 0-ի, այնուհետև ամբողջ հավասարումը հավասար կլինի 0-ի: Հետևաբար, այն կարող ենք գրել այսպես. x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) և x + 3 = 0 (\ցուցադրման ոճ x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (այսինքն, դուք գտել եք հավասարման երկու արմատ):
  - Օրինակ (օգտագործել բանաձև կամ ամբողջական քառակուսի). Եթե դուք օգտագործում եք այս մեթոդներից մեկը, լուծումը ցույց կտա Քառակուսի արմատ. Օրինակ, մեր օրինակի հավասարումը կընդունի ձևը x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Հիշեք, որ քառակուսի արմատ վերցնելիս դուք կստանաք երկու լուծում. Մեր դեպքում. 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), և 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Այսպիսով, գրեք երկու հավասարումներ և գտեք երկու x արժեք:
7. Գրաֆիկները հատվում են մի կետում կամ ընդհանրապես չեն հատվում:Նման իրավիճակներ են առաջանում, երբ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.
  - Եթե գրաֆիկները հատվում են մի կետում, ապա քառակուսի հավասարումը բաժանվում է հավասար գործոնների, օրինակ՝ (x-1) (x-1) = 0, և 0-ի քառակուսի արմատը հայտնվում է բանաձևում ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))): Այս դեպքում հավասարումը ունի միայն մեկ լուծում.
  - Եթե գրաֆիկներն ընդհանրապես չեն հատվում, ապա հավասարումը չի ֆակտորիզացվում, և բացասական թվի քառակուսի արմատը հայտնվում է բանաձևում (օրինակ. − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))): Այս դեպքում պատասխանում գրեք, որ լուծում չկա։

Սա հաշվողական երկրաչափությանը նվիրված իմ հոդվածի երկրորդ մասն է։ Կարծում եմ՝ այս հոդվածն ավելի հետաքրքիր կլինի, քան նախորդը, քանի որ գլուխկոտրուկները մի փոքր ավելի բարդ կլինեն։

Սկսենք նրանից հարաբերական դիրքգծի, ճառագայթի և հատվածի համեմատ կետերը:

Առաջադրանք թիվ 1

Որոշե՛ք կետի և ուղիղի հարաբերական դիրքը՝ ընկած է գծի վերևում, գծի վրա, գծի տակ։

Որոշում
Հասկանալի է, որ եթե ուղիղ գիծը տրված է իր հավասարմամբ ax + by + c = 0, ապա այստեղ լուծելու բան չկա։ Բավական է կետի կոորդինատները փոխարինել ուղիղ գծի հավասարման մեջ և ստուգել, թե ինչին է այն հավասար։ Եթե այն զրոյից մեծ է, ապա կետը գտնվում է վերին կիսահարթության մեջ, եթե հավասար է զրոյի, ապա կետը գտնվում է գծի վրա, իսկ եթե զրոյից փոքր է, ապա կետը գտնվում է ստորին կիսահարթության մեջ։ Ավելի հետաքրքիր է այն դեպքը, երբ ուղիղը տրված է՝ տրված երկու կետերի կոորդինատներով, դրանք անվանենք P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2)։ Այս դեպքում կարելի է ապահով կերպով գտնել a, b և c գործակիցները և կիրառել նախորդ պատճառաբանությունը։ Բայց նախ պետք է մտածել՝ մեզ դա պե՞տք է։ Իհարկե ոչ! Ինչպես ասացի, թեքված արտադրանքը պարզապես հաշվողական երկրաչափության գոհար է: Եկեք կիրառենք այն: Հայտնի է, որ երկու վեկտորների թեք արտադրյալը դրական է, եթե առաջին վեկտորից երկրորդի պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է, հավասար է զրոյի, եթե վեկտորները համակողմանի են և բացասական, եթե պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է։ Ուստի բավական է, որ մենք հաշվարկենք P 1 P 2 և P 1 M վեկտորների թեք արտադրյալը և դրա նշանի հիման վրա եզրակացություն անենք։

Առաջադրանք թիվ 2

Որոշեք, արդյոք կետը պատկանում է ճառագայթին:

Որոշում
Հիշենք, թե ինչ է ճառագայթը. ճառագայթը ուղիղ գիծ է, որը մի կողմից սահմանափակված է մի կետով, իսկ մյուս կողմից՝ անսահման: Այսինքն, ճառագայթը տրվում է ինչ-որ մեկնարկային կետով և դրա վրա ընկած ցանկացած կետով: Թող P 1 (x 1, y 1) կետը լինի ճառագայթի սկիզբը, իսկ P 2 (x 2, y 2)՝ ճառագայթին պատկանող ցանկացած կետ։ Հասկանալի է, որ եթե կետը պատկանում է ճառագայթին, ապա այն նույնպես պատկանում է այս կետերով անցնող ուղիղին, բայց ոչ հակառակը։ Ուստի, գծին պատկանելը անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայման է ճառագայթին պատկանելու համար։ Հետևաբար, մենք չենք կարող խուսափել թեքված արտադրանքի ստուգումից: Բավարար պայմանի համար անհրաժեշտ է նաև հաշվարկել նույն վեկտորների սկալյար արտադրյալը։ Եթե այն զրոյից փոքր է, ապա կետը չի պատկանում ճառագայթին, եթե բացասական չէ, ապա կետը գտնվում է ճառագայթի վրա: Ինչո՞ւ է այդպես։ Եկեք նայենք գծագրությանը.

Այսպիսով, որպեսզի M(x, y) կետը ընկնի ճառագայթի վրա P 1 (x 1, y 1) սկզբնական կետով, որտեղ P 2 (x 2, y 2) ընկած է ճառագայթի վրա, անհրաժեշտ է. և բավարար է երկու պայմանի կատարման համար.

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0-ը սկալյար արտադրյալն է (կետը գտնվում է ճառագայթի վրա)

Առաջադրանք թիվ 3

Որոշեք, արդյոք կետը պատկանում է հատվածին:

Որոշում
Թող P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) կետերը լինեն տվյալ հատվածի ծայրերը։ Կրկին անհրաժեշտ պայմանկետի պատկանելությունը հատվածին դա նրա պատկանելությունն է P 1, P 2 միջով անցնող ուղիղ գծին: Հաջորդը, մենք պետք է որոշենք, թե արդյոք կետը գտնվում է P 1 և P 2 կետերի միջև, դրա համար մեզ օգնում է վեկտորների սկալյար արտադրյալը միայն այս անգամ մյուսները. (MP 1, MP 2): Եթե այն փոքր է կամ հավասար է զրոյին, ապա կետը գտնվում է հատվածի վրա, հակառակ դեպքում այն գտնվում է հատվածից դուրս: Ինչո՞ւ է այդպես։ Եկեք նայենք նկարին։

Այսպիսով, որպեսզի M(x, y) կետը ընկած լինի P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) ծայրերով հատվածի վրա, անհրաժեշտ և բավարար է կատարել պայմանները.
1. \u003d 0 - շեղված արտադրանք (կետը գտնվում է գծի վրա)
2. (MP 1, MP 2) ≤ 0 – կետային արտադրանք (կետը գտնվում է P 1-ի և P 2-ի միջև)

Առաջադրանք թիվ 4

Երկու կետերի հարաբերական դիրքը ուղիղ գծի նկատմամբ:

Որոշում
Այս խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է որոշել երկու կետ ուղիղ գծի մեկ կամ հակառակ կողմերում:

Եթե կետերը գտնվում են ուղիղ գծի հակառակ կողմերում, ապա թեքված արտադրանքներն ունեն տարբեր նշաններ, ուստի նրանց արտադրանքը բացասական է: Եթե ուղիղ գծի նկատմամբ կետերը գտնվում են նույն կողմում, ապա թեքված արտադրանքների նշանները համընկնում են, ինչը նշանակում է, որ դրանց արդյունքը դրական է:
Այսպիսով.
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – կետերը գտնվում են նույն կողմում:
3. * = 0 - կետերից մեկը (կամ երկուսը) գտնվում է ուղիղ գծի վրա:

Ի դեպ, ճիշտ նույն կերպ է լուծվում գծի և հատվածի հատման կետի առկայությունը որոշելու խնդիրը։ Ավելի ճիշտ, սա նույն խնդիրն է. հատվածը և ուղիղը հատվում են, երբ հատվածի ծայրերը տարբեր կողմերում են ուղիղ գծի համեմատ կամ երբ հատվածի ծայրերը գտնվում են ուղիղ գծի վրա, այսինքն՝ անհրաժեշտ է. պահանջել * ≤ 0:

Առաջադրանք թիվ 5

Որոշեք, արդյոք երկու ուղիղները հատվում են:

Որոշում
Մենք կենթադրենք, որ տողերը չեն համընկնում։ Պարզ է, որ ուղիղները չեն հատվում միայն այն դեպքում, եթե դրանք զուգահեռ են։ Հետևաբար, գտնելով զուգահեռության պայմանը, կարող ենք որոշել, թե արդյոք ուղիղները հատվում են:
Ենթադրենք, որ ուղիղները տրված են իրենց հավասարումներով a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 և a 2 x + b 2 y + c 2 = 0: Ապա զուգահեռ ուղիղների պայմանն այն է, որ a 1 b 2 - a 2 b. 1 = 0:
Եթե տողերը տրված են P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4) կետերով, ապա պայմանը. քանի որ դրանց զուգահեռությունը P 1 P 2 և M 1 M 2 վեկտորների թեք արտադրյալը ստուգելու մեջ է. եթե այն հավասար է զրոյի, ապա ուղիղները զուգահեռ են:

Ընդհանուր առմամբ, երբ ուղիղները տրվում են իրենց հավասարումներով, մենք ստուգում ենք նաև վեկտորների (-b 1, a 1), (-b 2, a 2) թեք արտադրյալը, որոնք կոչվում են ուղղության վեկտորներ։

Առաջադրանք թիվ 6

Որոշեք, արդյոք երկու ուղիղ հատված հատվում են:

Որոշում
Սա այն խնդիրն է, որն ինձ շատ է դուր գալիս: Հատվածները հատվում են, երբ յուրաքանչյուր հատվածի ծայրերը գտնվում են մյուս հատվածի հակառակ կողմերում: Եկեք նայենք նկարին.

Այսպիսով, մենք պետք է ստուգենք, որ հատվածներից յուրաքանչյուրի ծայրերը գտնվում են մյուս հատվածի հարաբերական ծայրերի հակառակ կողմերում: Մենք օգտագործում ենք վեկտորների թեք արտադրյալը: Նայեք առաջին նկարին՝ > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Հետևաբար, մենք պետք է ևս մեկ ստուգում կատարենք, այն է՝ արդյոք յուրաքանչյուր հատվածի գոնե մի ծայրը պատկանում է մյուսին (պատկանում է հատվածի մի կետին): Մենք արդեն լուծել ենք այս խնդիրը։

Այսպիսով, որպեսզի հատվածներն ունենան ընդհանուր կետեր, անհրաժեշտ է և բավարար.
1. Հատվածների ծայրերը ընկած են տարբեր կողմերում մեկ այլ հատվածի համեմատ:
2. Մի հատվածի ծայրերից առնվազն մեկը պատկանում է մեկ այլ հատվածի:

Առաջադրանք թիվ 7

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Որոշում
Թող ուղիղը տրվի երկու կետերով P 1 (x 1, y 1) և P 2 (x 2, y 2):

Նախորդ հոդվածում մենք խոսեցինք այն մասին, որ երկրաչափական թեքված արտադրանքը զուգահեռագծի կողմնորոշված տարածքն է, ուստի S P 1 P 2 M = 0,5 *: Մյուս կողմից, յուրաքանչյուր ուսանող գիտի եռանկյունու մակերեսը գտնելու բանաձևը՝ հիմքի կեսը բարձրության վրա:
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2:
Հավասարեցնելով այս տարածքները՝ մենք գտնում ենք

Modulo-ն վերցվել է, քանի որ առաջին տարածքը կողմնորոշված է:

Եթե ուղիղը տրված է ax + հավասարմամբ + c = 0-ով, ապա տվյալ ուղղին ուղղահայաց M կետով անցնող ուղիղի հավասարումը հետևյալն է՝ a (y - y 0) - b (x - x 0) =. 0. Այժմ դուք կարող եք հեշտությամբ լուծել համակարգը ստացված հավասարումներից, գտնել դրանց հատման կետը և հաշվարկել հեռավորությունը մեկնարկային կետից մինչև գտնվածը. այն կլինի ճշգրիտ ρ = (ax 0 + 0 + c) / √ (a. 2 + բ 2).

Առաջադրանք թիվ 8

Հեռավորությունը կետից մինչև ճառագայթ:

Որոշում
Այս խնդիրը նախորդից տարբերվում է նրանով, որ այս դեպքում կարող է պատահել, որպեսզի կետից ուղղահայացը ոչ թե ընկնի ճառագայթի վրա, այլ ընկնի դրա շարունակության վրա։

Այն դեպքում, երբ ուղղահայացը չի ընկնում ճառագայթի վրա, անհրաժեշտ է գտնել հեռավորությունը կետից մինչև ճառագայթի սկիզբը, սա կլինի խնդրի պատասխանը:

Ինչպե՞ս որոշել՝ ուղղահայացն ընկնում է ճառագայթի վրա, թե ոչ։ Եթե ուղղահայացը չի ընկնում ճառագայթի վրա, ապա MP 1 P 2 անկյունը բութ է, հակառակ դեպքում՝ սուր (ուղիղ): Հետևաբար, վեկտորների սկալյար արտադրյալի նշանով մենք կարող ենք որոշել՝ ուղղահայացն ընկնում է ճառագայթի վրա, թե ոչ.
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 ուղղահայացը հարվածում է ճառագայթին

Առաջադրանք թիվ 9

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Որոշում
Մենք վիճում ենք նախորդ խնդրի նման. Եթե ուղղահայացը չի ընկնում հատվածի վրա, ապա պատասխանը տրված կետից մինչև հատվածի ծայրերը հեռավորությունների նվազագույնն է։

Որոշելու համար, թե արդյոք ուղղահայացն ընկնում է հատվածի վրա, անհրաժեշտ է նախորդ առաջադրանքի համեմատությամբ օգտագործել վեկտորների սկալյար արտադրյալը։ Եթե ուղղահայացը չի ընկնում հատվածի վրա, ապա կամ MP 1 P 2 անկյունը կամ MP 2 P 1 անկյունը բութ կլինի: Հետեւաբար, ըստ նշանի սկալյար արտադրանքմենք կարող ենք որոշել՝ ուղղահայացն ընկնում է հատվածի վրա, թե ոչ.
Եթե (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Առաջադրանք թիվ 10

Որոշի՛ր գծի և շրջանագծի կետերի քանակը։

Որոշում
Ուղղը և շրջանագիծը կարող են ունենալ զրո, մեկ կամ երկու հատման կետ: Դիտարկենք նկարները.

Այստեղ, գծագրերից, ամեն ինչ պարզ է. Մենք ունենք երկու հատման կետ, եթե շրջանագծի կենտրոնից դեպի գիծ հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավղից։ Շփման մեկ կետ, եթե կենտրոնից մինչև գիծ հեռավորությունը հավասար է շառավղին: Եվ վերջապես, ոչ մի հատման կետ, եթե շրջանագծի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը մեծ է շրջանագծի շառավղից: Քանի որ կետից ուղիղ հեռավորությունը գտնելու խնդիրն արդեն մեր կողմից լուծված է, այս խնդիրը նույնպես լուծված է։

Առաջադրանք թիվ 11

Երկու շրջանակների փոխադարձ դասավորություն.

Որոշում
Շրջանակների դասավորության հնարավոր դեպքեր՝ հատել, շոշափել, չհատվել։

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ շրջանները հատվում են և գտնում դրանց հատման տարածքը: Ես շատ եմ սիրում այս խնդիրը, քանի որ ես բավականին ժամանակ եմ ծախսել դրա լուծման վրա (դա վաղուց էր՝ առաջին տարում):

Հիմա հիշենք, թե ինչ է ոլորտն ու հատվածը։

Շրջանակների խաչմերուկը բաղկացած է երկու հատվածներից՝ O 1 AB և O 2 AB:

Թվում է, թե պետք է գումարել այս հատվածների տարածքները և վերջ։ Այնուամենայնիվ, ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ. Անհրաժեշտ է նաև որոշել, թե արդյոք այս բանաձևերը միշտ ճշմարիտ են: Պարզվում է՝ ոչ։

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ O 2 երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է C կետի հետ: Այս դեպքում d 2 = 0, և α-ի արժեքի համար վերցնում ենք α = π: Այս դեպքում մենք ունենք կիսաշրջան 1/2 πR 2 2 մակերեսով:

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ O 2 երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է O 1 և C կետերի միջև: Այս դեպքում մենք ստանում ենք d 2 բացասական արժեք: d 2-ի բացասական արժեքի օգտագործումը հանգեցնում է բացասական արժեքա. Այս դեպքում ճիշտ պատասխանի համար α-ին անհրաժեշտ է ավելացնել 2π։

Եզրակացություն

վերջ։ Մենք դիտարկել ենք ոչ բոլորը, այլ հաշվողական երկրաչափության ամենատարածված խնդիրները՝ կապված օբյեկտների հարաբերական դիրքի հետ:

Հուսով եմ ձեզ դուր եկավ:

Խնդիրը լուծելու համար մենք այն բաժանում ենք հետևյալ փուլերի.

Խնդրի դիտարկումը բազմաչափ տարածության կողմից:
Խնդրի դիտարկումը երկչափ տարածության կողմից:
հատման կետերի քանակի հաշվարկ.

Խնդրի դիտարկումը բազմաչափ տարածության կողմից

Ենթադրենք, գծերը գտնվում են եռաչափ տարածության մեջ, ապա հարթություններից մեկում նրանք կարող են միմյանց զուգահեռ չլինել և մյուս հարթությունում միմյանցից բաժանվել։ Սա նշանակում է, որ նման ուղիղները կլինեն զույգ-զույգ ոչ զուգահեռ և չեն ունենա հատման կետեր:

Խնդրի դիտարկումը երկչափ տարածության կողմից

Երկչափ տարածությունում (հարթությունում) երկու ուղիղները զուգահեռ չեն, ինչը նշանակում է, որ նրանք անպայմանորեն ունեն մեկ և միայն մեկ հատման կետ։ Ըստ պայմանի, ուղիղները չեն անցնում մեկ (ընդհանուր) հատման կետով, հետևաբար, քանի որ գծերը զույգ-զույգ զուգահեռ չեն, նրանցից յուրաքանչյուրը անպայման հատում է մնացածները։

հատման կետերի քանակի հաշվարկ

Հարթությանը նոր ոչ զուգահեռ գիծ ավելացնելիս կավելացվեն հատման կետեր այն ուղիղների հետ, որոնք արդեն գծագրված են հարթության վրա։ Այսպիսով, երկու ուղիղները տալիս են 1 հատման կետ: Երրորդ գիծ ավելացնելով՝ մենք ստանում ենք ևս 2 հատ հատման կետ արդեն գծված երկու գծերի հետ. Չորրորդ ուղիղ գիծը ավելացնելով, մենք ստանում ենք ևս 3 հատման կետ. հինգերորդ - ևս 4 հատ խաչմերուկ: Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ մենք ստանում ենք.

1 + 2 + 3 + 4 = 10 հատման կետեր

Պատասխան՝ 1) բազմաչափ տարածություն - 0 հատման կետ; 2) երկչափ տարածություն՝ հատման 10 կետ.

Երկու ուղիղներն ունեն մեկ հատման կետ: Դրանց գումարելով ևս մեկ տող՝ այս երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրի հետ ստանում ենք ևս 2 հատ հատման կետ։ Եվս մեկ տող ավելացնելով, այն լրացուցիչ կտա հատման այնքան կետեր, որքան արդեն եղել են ուղիղներ, այսինքն. Եվս 3 Եվ այսպես շարունակ: Յուրաքանչյուր n-րդ ուղիղ տալիս է լրացուցիչ (n-1) հատման կետեր (n-1) ուղիղների հետ:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Վերոհիշյալ բոլորը ճշմարիտ են, եթե 3 տողերից ոչ մեկը չունի 1 ընդհանուր հատման կետ:

Եթե, այնուամենայնիվ, ուղիղները կարող են հատվել մի կետում, բայց ոչ միանգամից, ապա աստղի հետ 4 ուղիղ տեղադրելով մենք ունենք դրանց հատման կետերից 1-ը, իսկ 5-րդ տողն ավելացնելով՝ ստանում ենք ևս 4 կետ։ Այս դեպքում 5 տողերը կունենան 5 հատման ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ 5 ոչ զուգահեռ ուղիղներով կկազմեն հատման 10 կետ, երբ մի կետում 2-ից ավելի ուղիղներ չեն հատվում։ Կամ 5 հատման կետ, եթե մեկ կետում կարող են հատվել երկուից ավելի ուղիղներ: