Pitagorin teorem je izravan. Različiti načini dokazivanja Pitagorinog teorema

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim znanostima, ostavljajući prirodoslovnu analizu, praktični pristup i suhoparni jezik formula i brojeva. Matematika se ne može svrstati u humanistički predmet. Ali bez kreativnosti u "kraljici svih znanosti" nećete ići daleko - ljudi o tome znaju već dugo vremena. Od Pitagorinog vremena npr.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo trpati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove temeljne principe. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um od klišeja i elementarnih istina – samo u takvim uvjetima rađaju se sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju i ono koje danas poznajemo kao Pitagorin teorem. Uz nju ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, nego i treba biti zabavna. I da ova avantura nije prikladna samo za štrebere u debelim naočalama, već za sve koji su jaki umom i jaki duhom.

Iz povijesti problema

Strogo govoreći, iako se teorem zove "Pitagorin teorem", sam Pitagora ga nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dvije polarne točke gledišta o ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je prvi pronašao potpuni dokaz teorema. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti tko je u pravu, a tko u krivu. Poznato je samo da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da bi poznati dokaz iz Euklidovih Elementa mogao pripadati Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi oko pravokutnog trokuta nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemheta I., na babilonskim glinenim pločama iz vremena vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi Sulva Sutra i starokineskom djelu Zhou -bi suan jin.

Kao što vidite, Pitagorin teorem zaokuplja umove matematičara od davnina. Otprilike 367 različitih dokaza koji danas postoje služe kao potvrda. Niti jedan drugi teorem ne može mu konkurirati u tom pogledu. Značajni autori dokaza su Leonardo da Vinci i 20. predsjednik Sjedinjenih Država, James Garfield. Sve to govori o iznimnoj važnosti ovog teorema za matematiku: većina teorema geometrije proizlazi iz njega ili je, na ovaj ili onaj način, povezana s njim.

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali bit teorema je u geometriji, pa prije svega razmotrimo one dokaze poznatog teorema koji se temelje na ovoj znanosti.

Dokaz 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorinog teorema za pravokutni trokut, trebate postaviti idealne uvjete: neka trokut bude ne samo pravokutni, već i jednakokračan. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari izvorno smatrali upravo takav trokut.

Izjava "kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim nogama" može se ilustrirati sljedećim crtežom:

Pogledajte jednakokračni pravokutni trokut ABC: Na hipotenuzi AC možete izgraditi kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka izvornom ABC. I na nogama AB i BC izgrađene na kvadratu, od kojih svaki sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj je crtež bio temelj brojnih anegdota i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Možda je najpoznatiji "Pitagorejske hlače su jednake u svim smjerovima":

Dokaz 2

Ova metoda kombinira algebru i geometriju i može se promatrati kao varijanta drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruiraj pravokutni trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim napravite dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju duljina dviju nogu - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije, kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri ista trokuta kao na slici 1. Kao rezultat, dobiju se dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu četiri slična konstruirana trokuta tvore kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbroj površina konstruiranih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruirali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površina kvadrata na Sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem površina četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranom (a+b).

Ako sve ovo spustimo, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Proširite zagrade, izvršite sve potrebne algebarske izračune i dobijete to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Istovremeno, područje upisanog na sl.3. kvadrat se također može izračunati pomoću tradicionalne formule S=c2. Oni. a2+b2=c2 Dokazali ste Pitagorin teorem.

Dokaz 3

Isti drevni indijski dokaz opisan je u 12. stoljeću u raspravi "Kruna znanja" ("Siddhanta Shiromani"), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkim talentima i moćima zapažanja učenika i sljedbenici: “Pogledaj!”.

Ali ovaj ćemo dokaz detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata napravite četiri pravokutna trokuta kao što je prikazano na crtežu. Označava se stranica velikog kvadrata, koja je ujedno i hipotenuza iz. Nazovimo noge trokuta ali I b. Prema crtežu, stranica unutarnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu kvadratne površine S=c2 za izračunavanje površine vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost zbrajanjem površine unutarnjeg kvadrata i površine četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I to vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja dobit ćete formulu Pitagorinog teorema c2=a2+b2. Teorem je dokazan.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi se crtežom koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutarnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u gore danom drevnom indijskom dokazu.

Ako mentalno odrežete dva zelena pravokutna trokuta s crteža na slici 1, premjestite ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i pričvrstite hipotenuze na hipotenuze lila trokuta, dobit ćete lik koji se zove "nevjestina stolica” (slika 2). Radi jasnoće, isto možete učiniti s papirnatim kvadratima i trokutima. Vidjet ćete da je "nevjestina stolica" formirana od dva kvadrata: malih sa stranom b i velika sa stranom a.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama koji smo ih pratili da dođemo do zaključka da c2=a2+b2.

Dokaz 5

Ovo je još jedan način za pronalaženje rješenja za Pitagorin teorem na temelju geometrije. Zove se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokutni trokut ABC. Moramo to dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i izgraditi segment CD, što je jednako kraku AB. Donja okomica OGLAS odjeljak ED. Segmenti ED I AC su jednaki. spoji točke E I U, kao i E I IZ i dobijete crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovno pribjegavamo metodi koju smo već testirali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedan s drugim.

Pronađite površinu poligona KREVET može se učiniti dodavanjem površina triju trokuta koji ga tvore. I jedan od njih ERU, nije samo pravokutna, već i jednakokračna. Ne zaboravimo i to AB=CD, AC=ED I prije Krista=CE- to će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. Tako, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Pritom je očito da KREVET je trapez. Stoga izračunavamo njegovu površinu pomoću formule: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše je izračune prikladnije i jasnije predstaviti segment OGLAS kao zbroj segmenata AC I CD.

Napišimo oba načina za izračunavanje površine figure stavljanjem znaka jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koji su nam već poznati i gore opisani kako bismo pojednostavili desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. A sada otvaramo zagrade i transformiramo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobivamo točno ono što nam treba: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Teorem smo dokazali.

Naravno, ovaj popis dokaza daleko je od potpune. Pitagorin teorem se također može dokazati pomoću vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se, na primjer, tekućina ulije u kvadratne i trokutaste volumene slične onima prikazanim na crtežima. Ulijevanjem tekućine moguće je dokazati jednakost površina i sam teorem kao rezultat.

Nekoliko riječi o pitagorejskim trojkama

Ovo pitanje se malo ili ne proučava u školskom kurikulumu. U međuvremenu, vrlo je zanimljiv i od velike je važnosti u geometriji. Pitagorine trojke se koriste za rješavanje mnogih matematičkih problema. Ideja o njima može vam biti od koristi u daljnjem školovanju.

Dakle, što su pitagorejske trojke? Takozvani prirodni brojevi, skupljeni u troje, od kojih je zbroj kvadrata dva jednak trećem broju na kvadrat.

Pitagorejske trojke mogu biti:

• primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
• neprimitivan (ako se svaki broj trojke pomnoži s istim brojem, dobiva se nova trojka koja nije primitivna).

Još prije naše ere, stari Egipćani bili su fascinirani manijom za brojevima pitagorejskih trojki: u zadacima su smatrali pravokutni trokut sa stranicama od 3,4 i 5 jedinica. Usput, svaki trokut čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke je prema zadanim postavkama pravokutan.

Primjeri pitagorejskih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teorema

Pitagorin teorem nalazi primjenu ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorin se teorem u njemu naširoko koristi u problemima različitih razina složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se polumjer velikog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Polumjer manjih polukrugova također se može izraziti u terminima b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima radijus unutarnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorin teorem baš dobro dođe za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen isprekidanom linijom. Hipotenuza trokuta sastoji se od dva polumjera: b/4+str. Jedna noga je polumjer b/4, drugi b/2-str. Koristeći Pitagorin teorem, pišemo: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Pretvorimo ovaj izraz u bp/2=b2/4-bp. A onda sve pojmove podijelimo na b, dajemo slične dobiti 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je trebalo.

Koristeći teorem, možete izračunati duljinu rogova za zabatni krov. Odredite koliko je visok mobilni toranj potreban da bi signal stigao do određenog naselja. Pa čak i postojano instalirajte božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ovaj teorem ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često koristan u stvarnom životu.

Što se književnosti tiče, Pitagorina teorema nadahnjivala je pisce od antike i nastavlja to činiti i danas. Na primjer, njemačkog književnika iz devetnaestog stoljeća Adelberta von Chamissoa inspirirala je da napiše sonet:

Svjetlo istine neće se brzo raspršiti,
Ali, nakon što je zasjao, malo je vjerojatno da će se raspršiti
I, kao prije nekoliko tisuća godina,
Neće izazvati sumnje i sporove.

Najmudriji kad dotakne oko
Svjetlo istine, hvala bogovima;
I sto bikova, izbodenih, lažu -
Povratni dar sretnika Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbudio pleme bikova
ovdje spomenuti događaj.

Misle da je krajnje vrijeme
I opet će biti žrtvovani
Neki sjajni teorem.

(preveo Viktor Toporov)

A u dvadesetom stoljeću, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov u svojoj knjizi "Avanture elektronike" posvetio je cijelo jedno poglavlje dokazima Pitagorinog teorema. I pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorin teorem postao temeljni zakon, pa čak i religija za jedan svijet. U njemu bi bilo puno lakše živjeti, ali i mnogo dosadnije: na primjer, tamo nitko ne razumije značenje riječi "okruglo" i "puhasto".

A u knjizi “Avanture elektronike” autor, ustima učitelja matematike Taratare, kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, novih ideja.” Upravo taj kreativni let misli generira Pitagorin teorem - nije uzalud što ima toliko raznolikih dokaza. Pomaže ići dalje od uobičajenog i gledati na poznate stvari na nov način.

Zaključak

Ovaj je članak stvoren kako biste mogli pogledati dalje od školskog kurikuluma iz matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7-11 ” (AV Pogorelov), ali i druge znatiželjne načine dokazivanja poznatog teorema. I također pogledajte primjere kako se Pitagorin teorem može primijeniti u svakodnevnom životu.

Kao prvo, ove informacije će vam omogućiti da ostvarite veće rezultate na satovima matematike - informacije o toj temi iz dodatnih izvora uvijek su visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo vam pomoći da steknete dojam koliko je matematika zanimljiva. Da se na konkretnim primjerima uvjeri da u tome uvijek ima mjesta za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorin teorem i ovaj članak potaknuti na vlastita istraživanja i uzbudljiva otkrića u matematici i drugim znanostima.

Recite nam u komentarima jesu li vam dokazi predstavljeni u članku zanimljivi. Jesu li vam ove informacije bile korisne u vašem studiranju? Recite nam što mislite o Pitagorinom teoremu i ovom članku – o svemu ćemo to rado razgovarati s vama.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Dom

Načini dokazivanja Pitagorinog teorema.

G. Glaser,
Akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

O Pitagorinom teoremu i kako ga dokazati

Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima...

Ovo je jedan od najpoznatijih geometrijskih teorema antike, nazvan Pitagorin teorem. Još uvijek je poznata gotovo svima koji su ikada studirali planimetriju. Čini mi se da ako želimo dati do znanja izvanzemaljskim civilizacijama postojanje inteligentnog života na Zemlji, onda bismo trebali poslati sliku Pitagorejskog lika u svemir. Mislim da ako misleća bića mogu prihvatiti ovu informaciju, razumjet će bez složenog dekodiranja signala da na Zemlji postoji prilično razvijena civilizacija.

Poznati grčki filozof i matematičar Pitagora sa Samosa, po kojem je teorem nazvan, živio je prije oko 2,5 tisuće godina. Biografski podaci o Pitagori koji su došli do nas su fragmentarni i daleko od pouzdanih. Uz njegovo ime vežu se mnoge legende. Autentično je poznato da je Pitagora mnogo putovao po zemljama Istoka, posjećivao Egipat i Babilon. U jednoj od grčkih kolonija južne Italije osnovao je poznatu "pitagorejsku školu", koja je imala važnu ulogu u znanstvenom i političkom životu antičke Grčke. Pitagora je taj koji je zaslužan za dokazivanje dobro poznatog geometrijskog teorema. Na temelju legendi koje su širili poznati matematičari (Proklo, Plutarh itd.), dugo se vjerovalo da ovaj teorem nije bio poznat prije Pitagore, pa otuda i naziv - Pitagorin teorem.

Međutim, nema sumnje da je ovaj teorem bio poznat mnogo godina prije Pitagore. Dakle, 1500 godina prije Pitagore, stari Egipćani su znali da je trokut sa stranicama 3, 4 i 5 pravokutan i koristili su ovo svojstvo (tj. inverzni Pitagorin teorem) za konstruiranje pravih kutova prilikom planiranja zemljišnih parcela i konstrukcija zgrada. I danas seoski graditelji i stolari, postavljajući temelje kolibe, izrađujući njezine detalje, crtaju ovaj trokut kako bi dobili pravi kut. Ista stvar je učinjena prije tisućama godina u izgradnji veličanstvenih hramova u Egiptu, Babilonu, Kini, a vjerojatno i u Meksiku. U najstarijem kineskom matematičkom i astronomskom djelu koje je do nas došlo, Zhou-bi, napisanom oko 600 godina prije Pitagore, između ostalih prijedloga vezanih za pravokutni trokut, sadržan je i Pitagorin teorem. Još ranije ovaj je teorem bio poznat hindusima. Dakle, Pitagora nije otkrio ovo svojstvo pravokutnog trokuta, on ga je vjerojatno bio prvi koji ga je generalizirao i dokazao te ga je tako iz područja prakse prenio u područje znanosti. Ne znamo kako mu je to uspjelo. Neki povjesničari matematike pretpostavljaju da, ipak, Pitagorin dokaz nije bio temeljni, već samo potvrda, provjera ovog svojstva na nizu određenih vrsta trokuta, počevši od jednakokračnog pravokutnog trokuta, za što očito proizlazi iz sl. jedan.

IZ Od davnih vremena matematičari su pronalazili sve više i više dokaza Pitagorinog teorema, sve više ideja za njegove dokaze. Poznato je više od sto i pol takvih dokaza - manje-više rigoroznih, manje-više vizualnih - ali je sačuvana želja da se njihov broj poveća. Mislim da će samostalno "otkriće" dokaza Pitagorinog teorema biti korisno suvremenim školarcima.

Razmotrimo neke primjere dokaza koji bi mogli sugerirati smjer takvih pretraživanja.

Pitagorin dokaz

"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim nogama." Najjednostavniji dokaz teorema dobiva se u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Vjerojatno je teorem počeo s njim. Doista, dovoljno je samo pogledati pločice jednakokračnih pravokutnih trokuta da vidimo da je teorem istinit. Na primjer, za DABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AU, sadrži 4 početna trokuta i kvadrate izgrađene na nogama po dva. Teorem je dokazan.

Dokazi temeljeni na korištenju koncepta jednake površine figura.

Istodobno, možemo razmotriti dokaze u kojima je kvadrat izgrađen na hipotenuzi zadanog pravokutnog trokuta "sastavljen" od istih figura kao i kvadrati izgrađeni na nogama. Možemo razmotriti i takve dokaze u kojima se koristi permutacija pojmova likova i uzimaju u obzir brojne nove ideje.

Na sl. 2 prikazana su dva jednaka kvadrata. Duljina stranica svakog kvadrata je a + b. Svaki od kvadrata podijeljen je na dijelove koji se sastoje od kvadrata i pravokutnih trokuta. Jasno je da ako od kvadratne površine oduzmemo četverostruku površinu pravokutnog trokuta s kracima a, b, tada ostaju jednake površine, tj. c 2 \u003d a 2 + b 2. Međutim, drevni hindusi, kojima ovo razmišljanje pripada, obično ga nisu zapisivali, već su crtež popratili samo jednom riječju: "pogledaj!" Sasvim je moguće da je Pitagora ponudio isti dokaz.

aditivni dokazi.

Ovi se dokazi temelje na rastavljanju kvadrata izgrađenih na katetama na figure iz kojih je moguće dodati kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

Ovdje: ABC je pravokutni trokut s pravim kutom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Dokažite sami parnu jednakost trokuta dobivenih cijepanjem kvadrata izgrađenih na katetama i hipotenuzi.

Dokažite teorem pomoću ove particije.

 Na temelju al-Nairizijinog dokaza napravljena je još jedna dekompozicija kvadrata na parno jednake figure (slika 5, ovdje je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C).

 Na sl. 6. Ovdje: ABC je pravokutni trokut s pravim kutom C; O - središte kvadrata izgrađenog na velikoj nozi; isprekidane linije koje prolaze kroz točku O okomite su ili paralelne s hipotenuzom.

 Ova dekompozicija kvadrata zanimljiva je po tome što se njegovi po paru jednaki četverokuti mogu preslikati jedan na drugi paralelnim prevođenjem. Mnogi drugi dokazi Pitagorinog teorema mogu se ponuditi pomoću dekompozicije kvadrata na figure.

Dokaz metodom proširenja.

Bit ove metode je da se na kvadrate izgrađene na katetama i na kvadrat izgrađen na hipotenuzi pričvršćuju jednaki likovi na način da se dobiju jednaki likovi.

Valjanost Pitagorinog teorema proizlazi iz jednake veličine šesterokuta AEDFPB i ACBNMQ. Ovdje CEP, linija EP dijeli šesterokut AEDFPB na dva četverokuta jednake površine, linija CM dijeli šesterokut ACBNMQ na dva četverokuta jednake površine; rotacija ravnine za 90° oko središta A preslikava četverokut AEPB u četverokut ACMQ.

Na sl. 8 Pitagorejski lik dovršen je u pravokutnik čije su stranice paralelne s odgovarajućim stranicama kvadrata izgrađenih na nogama. Razbijmo ovaj pravokutnik na trokute i pravokutnike. Prvo oduzimamo sve poligone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 od rezultirajućeg pravokutnika, ostavljajući kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Zatim, od istog pravokutnika, oduzimamo pravokutnike 5, 6, 7 i zasjenjene pravokutnike, dobivamo kvadrate izgrađene na nogama.

Dokažimo sada da su brojevi oduzeti u prvom slučaju jednaki po veličini brojevima oduzetim u drugom slučaju.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

dakle c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebarska metoda dokazivanja.

	Riža. 12 ilustrira dokaz velikog indijskog matematičara Bhaskarija (poznatog autora Lilavatija, X. 2. stoljeće). Crtež je bio popraćen samo jednom riječju: POGLEDAJ! Među dokazima Pitagorinog teorema algebarskom metodom, prvo mjesto (možda najstariji) zauzima dokaz pomoću sličnosti.
	Izložimo u modernom prikazu jedan od takvih dokaza koji pripada Pitagori.

H i sl. 13 ABC - pravokutni, C - pravi kut, CMAB, b 1 - projekcija kateta b na hipotenuzu, a 1 - projekcija kateta a na hipotenuzu, h - visina trokuta povučena na hipotenuzu.

Iz činjenice da je ABC sličan ACM slijedi

b 2 \u003d cb 1; (jedan)

iz činjenice da je ABC sličan BCM slijedi

a 2 = ca 1 . (2)

Zbrajanjem jednakosti (1) i (2) član po član, dobivamo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ako je Pitagora doista ponudio takav dokaz, tada mu je bio poznat i niz važnih geometrijskih teorema koje moderni povjesničari matematike obično pripisuju Euklidu.

Möllmannov dokaz (slika 14). Površina ovog pravokutnog trokuta, s jedne strane, jednaka je s druge strane, gdje je p poluperimetar trokuta, r polumjer kružnice upisane u njega Imamo:

odakle slijedi da je c 2 =a 2 +b 2 .

u drugom

Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo Pitagorin teorem.

Kombinirana metoda

Jednakost trokuta

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Uspoređujući relacije (3) i (4), dobivamo da

c 1 2 = c 2 ili c 1 = c.

Dakle, trokuti - zadani i konstruirani - su jednaki, budući da imaju tri odgovarajuće jednake stranice. Kut C 1 je pravi, pa je i kut C ovog trokuta pravi.

Drevni indijski dokazi.

Matematičari drevne Indije primijetili su da je za dokaz Pitagorinog teorema dovoljno koristiti unutrašnjost drevnog kineskog crteža. U raspravi "Siddhanta Shiromani" ("Kruna znanja") koju je na palminom lišću napisao najveći indijski matematičar 20. stoljeća. Bha-skara je postavio crtež (slika 4)

karakteristična za indijske dokaze l riječ "pogledaj!". Kao što možete vidjeti, pravokutni trokuti su ovdje složeni s hipotenuzom prema van i kvadratom iz 2 prebačen na "brade-lo stolicu" iz 2 -b 2 . Imajte na umu da posebni slučajevi Pitagorinog teorema (na primjer, konstrukcija kvadrata čija je površina dvostruko veća sl.4 područje ovog trga) nalaze se u drevnoj indijskoj raspravi "Sulva"

Riješili su pravokutni trokut i kvadrate izgrađene na njegovim nogama, ili, drugim riječima, figure sastavljene od 16 identičnih jednakokračnih pravokutnih trokuta i stoga se uklapaju u kvadrat. To je ljiljan. mali djelić bogatstva skrivenog u biseru antičke matematike – Pitagorinom teoremu.

Drevni kineski dokazi.

Matematičke rasprave drevne Kine došle su do nas u izdanju iz 2. stoljeća. PRIJE KRISTA. Činjenica je da je 213. pr. Kineski car Shi Huang-di, nastojeći eliminirati stare tradicije, naredio je spaliti sve drevne knjige. U P c. PRIJE KRISTA. papir je izumljen u Kini i istodobno je započela rekonstrukcija drevnih knjiga. Ključ ovog dokaza nije teško pronaći. Doista, na drevnom kineskom crtežu postoje četiri jednaka pravokutna trokuta s kateterima a, b i hipotenuzom iz naslagane G) tako da njihova vanjska kontura tvori sl. 2 kvadrat sa stranicama a + b, a unutarnji je kvadrat sa stranicom c, izgrađen na hipotenuzi (slika 2, b). Ako se izreže kvadrat sa stranom c, a preostala 4 zasjenjena trokuta smjeste u dva pravokutnika (slika 2, u), jasno je da je nastala praznina, s jedne strane, jednaka IZ 2 , a s druge - iz 2 +b 2 , oni. c 2 \u003d  2 + b 2. Teorem je dokazan. Imajte na umu da se kod takvog dokaza ne koriste konstrukcije unutar kvadrata na hipotenuzi, koje vidimo na drevnom kineskom crtežu (slika 2, a). Očigledno su drevni kineski matematičari imali drugačiji dokaz. Upravo ako je u kvadratu sa stranicom iz dva zasjenjena trokuta (slika 2, b) odrezati i pričvrstiti hipotenuze na druge dvije hipotenuze (slika 2, G), lako je to pronaći

Dobivena figura, koja se ponekad naziva i "nevjestina stolica", sastoji se od dva kvadrata sa stranicama ali I b, oni. c 2 == a 2 +b 2 .

H Slika 3 reproducira crtež iz rasprave "Zhou-bi ...". Ovdje se razmatra Pitagorin teorem za egipatski trokut s kracima 3, 4 i hipotenuzom 5 jedinica. Kvadrat na hipotenuzi sadrži 25 ćelija, a kvadrat koji je u njega upisan na većem kraku sadrži 16. Jasno je da preostali dio sadrži 9 stanica. Ovo će biti kvadrat na manjoj nozi.

1

Shapovalova L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH br. 11)

1. Glazer G.I. Povijest matematike u školi VII - VIII razreda, priručnik za učitelje, - M: Obrazovanje, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Iza stranica udžbenika matematike" Priručnik za učenike 5-6 razreda. – M.: Prosvjeta, 1989.

3. Zenkevič I.G. „Estetika sata matematike“. – M.: Prosvjeta, 1981.

4. Litzman V. Pitagorin teorem. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pitagora". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Izvan stranica udžbenika algebre". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometrija u 10. razredu." - M., 1986.

8. List "Matematika" 17/1996.

9. List "Matematika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Zbirka zadataka iz osnovne matematike". - M., 1963.

11. Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematički priručnik". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pitagorejska doktrina o broju i veličini". - Novosibirsk, 1997.

13. “Realni brojevi. Iracionalni izrazi» 8. razred. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometrija" razred 7-9. – M.: Prosvjeta, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Ove akademske godine upoznao sam se sa zanimljivom teoremom, poznatom, kako se pokazalo, od davnina:

"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na katetama."

Obično se otkriće ove izjave pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VI. st. pr. Kr.). Ali proučavanje drevnih rukopisa pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije Pitagorinog rođenja.

Pitao sam se zašto se u ovom slučaju povezuje s Pitagorinim imenom.

Relevantnost teme: Pitagorin teorem je od velike važnosti: koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku. Vjerujem da su Pitagorina djela i dalje aktualna, jer gdje god pogledamo, posvuda možemo vidjeti plodove njegovih velikih ideja, utjelovljenih u raznim granama modernog života.

Svrha mog istraživanja bila je: otkriti tko je bio Pitagora i kakav je on odnos s ovim teoremom.

Proučavajući povijest teorema, odlučio sam saznati:

Postoje li drugi dokazi ovog teorema?

Koje je značenje ove teoreme u životima ljudi?

Kakvu je ulogu Pitagora imao u razvoju matematike?

Iz Pitagorine biografije

Pitagora sa Samosa je veliki grčki znanstvenik. Njegova slava povezana je s imenom Pitagorinog teorema. Iako sada već znamo da je ovaj teorem bio poznat u starom Babilonu 1200 godina prije Pitagore, a u Egiptu 2000 godina prije njega bio je poznat pravokutni trokut sa stranicama 3, 4, 5, još ga zovemo imenom ovog drevnog znanstvenik.

Gotovo ništa se pouzdano ne zna o Pitagorinom životu, ali se povezuje s njegovim imenom veliki broj legende.

Pitagora je rođen 570. godine prije Krista na otoku Samosu.

Pitagora je imao lijep izgled, nosio je dugu bradu i zlatnu dijademu na glavi. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio zato što je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor").

550. godine prije Krista Pitagora donosi odluku i odlazi u Egipat. Dakle, pred Pitagorom se otvara nepoznata zemlja i nepoznata kultura. Mnogo zadivljen i iznenađen Pitagora u ovoj zemlji, a nakon nekih promatranja života Egipćana, Pitagora je shvatio da put do znanja, zaštićen kastom svećenika, leži kroz religiju.

Nakon jedanaest godina studija u Egiptu, Pitagora odlazi u svoju domovinu, gdje usput pada u babilonsko ropstvo. Tamo se upoznaje s babilonskom znanošću koja je bila razvijenija od egipatske. Babilonci su znali riješiti linearne, kvadratne i neke vrste kubnih jednadžbi. Pobjegavši ​​iz zatočeništva, nije mogao dugo ostati u svojoj domovini zbog atmosfere nasilja i tiranije koja je tamo vladala. Odlučio se preseliti u Croton (grčku koloniju u sjevernoj Italiji).

Upravo u Krotonu počinje najslavnije razdoblje Pitagorinog života. Ondje je osnovao nešto poput vjersko-etičkog bratstva ili tajnog redovničkog reda, čiji su članovi bili dužni voditi takozvani pitagorejanski način života.

Pitagora i pitagorejci

Pitagora je u jednoj grčkoj koloniji na jugu Apeninskog poluotoka organizirao vjersko i etičko bratstvo, poput redovničkog reda, koje će kasnije nazvati Pitagorejska unija. Članovi sindikata morali su se pridržavati određenih načela: prvo, težiti lijepom i slavnom, drugo, biti korisni, i treće, težiti visokom užitku.

Sustav moralnih i etičkih pravila, koje je Pitagora ostavio svojim učenicima, sastavljen je u svojevrsni moralni kodeks pitagorejaca "Zlatni stihovi", koji su bili vrlo popularni u doba antike, srednjeg vijeka i renesanse.

Pitagorejski sustav studija sastojao se od tri dijela:

Učenje o brojevima - aritmetika,

Nastava o figurama - geometrija,

Učenje o građi svemira – astronomija.

Obrazovni sustav koji je postavio Pitagora trajao je mnogo stoljeća.

Pitagorina škola učinila je mnogo da geometriji da karakter znanosti. Glavna značajka pitagorejske metode bila je kombinacija geometrije i aritmetike.

Pitagora se dosta bavio proporcijama i progresijama te, vjerojatno, sličnošću figura, budući da je zaslužan za rješavanje problema: „Na temelju zadanih dviju figura konstruiraj treću, jednaku veličini jednom od podataka i sličnu drugi."

Pitagora i njegovi učenici uveli su pojam poligonalnih, prijateljskih, savršenih brojeva i proučavali njihova svojstva. Aritmetika, kao praksa računanja, nije zanimala Pitagoru, a on je s ponosom izjavio da je "aritmetiku stavio iznad interesa trgovca".

Članovi Pitagorejske unije bili su stanovnici mnogih gradova u Grčkoj.

Pitagorejci su također prihvaćali žene u svoje društvo. Sindikat je cvjetao više od dvadeset godina, a onda je počeo progon njegovih članova, mnogi su studenti ubijeni.

Bilo je mnogo različitih legendi o smrti samog Pitagore. Ali Pitagorina učenja i njegovih učenika nastavila su živjeti.

Iz povijesti nastanka Pitagorinog teorema

Trenutno je poznato da ovaj teorem nije otkrio Pitagora. Međutim, neki vjeruju da je Pitagora prvi dao svoj puni dokaz, dok mu drugi poriču tu zaslugu. Neki Pitagori pripisuju dokaz koji Euklid daje u prvoj knjizi svojih Elementa. S druge strane, Proklo tvrdi da je za dokaz u Elementima zaslužan sam Euklid. Kao što vidimo, povijest matematike nema gotovo nikakvih pouzdanih konkretnih podataka o Pitagorinom životu i njegovoj matematičkoj djelatnosti.

Započnimo naš povijesni pregled Pitagorinog teorema s drevnom Kinom. Ovdje posebnu pozornost privlači matematička knjiga Chu-peija. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5:

"Ako se pravi kut razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja spaja krajeve njegovih stranica biti 5 kada je baza 3, a visina 4."

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmite uže dužine 12 m i zavežite ga uzduž trake u boji na udaljenosti od 3 m. s jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi kut bit će zatvoren između stranica duljine 3 i 4 metra.

Geometrija je među Hindusima bila usko povezana s kultom. Vrlo je vjerojatno da je teorem o kvadratu hipotenuze već bio poznat u Indiji oko 8. stoljeća pr. Uz čisto ritualne recepte, tu su i djela geometrijski teološke naravi. U tim spisima, koji datiraju iz 4. ili 5. stoljeća prije Krista, susrećemo se s konstrukcijom pravog kuta pomoću trokuta sa stranicama 15, 36, 39.

U srednjem vijeku Pitagorin je teorem definirao granicu, ako ne najvećeg mogućeg, onda barem dobrog matematičkog znanja. Karakterističan crtež Pitagorinog teorema, koji sada školarci ponekad pretvaraju, na primjer, u cilindrični šešir odjeven u mantiju profesora ili muškarca, često se koristio tih dana kao simbol matematike.

U zaključku donosimo različite formulacije Pitagorinog teorema prevedene s grčkog, latinskog i njemačkog.

Euklidov teorem glasi (doslovni prijevod):

"U pravokutnom trokutu kvadrat stranice koja obuhvaća pravi kut jednak je kvadratima na stranicama koje zatvaraju pravi kut."

Kao što vidite, u različitim zemljama i na različitim jezicima postoje različite verzije formulacije poznatog teorema. Nastali u različito vrijeme i na različitim jezicima, odražavaju bit jednog matematičkog uzorka, čiji dokaz također ima nekoliko opcija.

Pet načina dokazivanja Pitagorinog teorema

drevni kineski dokazi

Na drevnom kineskom crtežu četiri jednaka pravokutna trokuta s kracima a, b i hipotenuzom c složena su tako da njihova vanjska kontura tvori kvadrat sa stranicom a + b, a unutarnja kvadrat sa stranom c, izgrađen na hipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dokaz J. Gardfielda (1882.)

Složimo dva jednaka pravokutna trokuta tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog.

Površina trapeza koji se razmatra nalazi se kao umnožak polovice zbroja osnovica i visine

S druge strane, površina trapeza jednaka je zbroju površina rezultirajućih trokuta:

Izjednačavajući ove izraze, dobivamo:

Dokaz je jednostavan

Taj se dokaz dobiva u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Vjerojatno je teorem počeo s njim.

Doista, dovoljno je samo pogledati pločice jednakokračnih pravokutnih trokuta da vidimo da je teorem istinit.

Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 početna trokuta, a kvadrati izgrađeni na katetama sadrže dva. Teorem je dokazan.

Dokaz drevnih Hindusa

Kvadrat sa stranicom (a + b), može se podijeliti na dijelove kao na sl. 12. a, ili kao na sl. 12b. Jasno je da su dijelovi 1, 2, 3, 4 isti na obje slike. A ako se od jednakih (površina) oduzmu jednaki, onda će ostati jednaki, t.j. c2 = a2 + b2.

Euklidov dokaz

Dva tisućljeća najčešći je bio dokaz Pitagorine teoreme, koju je izmislio Euklid. Nalazi se u njegovoj poznatoj knjizi "Počeci".

Euklid je spustio visinu BH iz vrha pravog kuta na hipotenuzu i dokazao da njezin produžetak dijeli kvadrat završen na hipotenuzi na dva pravokutnika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama.

Crtež korišten u dokazu ove teoreme u šali se naziva "pitagorejske hlače". Dugo se vremena smatrao jednim od simbola matematičke znanosti.

Primjena Pitagorinog teorema

Značaj Pitagorinog teorema leži u činjenici da se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina teorema geometrije i riješiti mnogi problemi. Osim toga, praktični značaj Pitagorinog teorema i njegovog inverznog teorema je u tome što se njima mogu pronaći duljine segmenata bez mjerenja samih segmenata. To, takoreći, otvara put od ravne do ravnine, od ravnine do volumetrijskog prostora i dalje. Upravo je iz tog razloga Pitagorin teorem toliko važan za čovječanstvo koje nastoji otkriti više dimenzija i stvoriti tehnologije u tim dimenzijama.

Zaključak

Pitagorin teorem toliko je poznat da je teško zamisliti osobu koja nije čula za nju. Naučio sam da postoji nekoliko načina da se dokaže Pitagorin teorem. Proučio sam niz povijesnih i matematičkih izvora, uključujući informacije na internetu, i shvatio da je Pitagorin teorem zanimljiv ne samo zbog svoje povijesti, već i zbog toga što zauzima važno mjesto u životu i znanosti. O tome svjedoče različita tumačenja teksta ovog teorema koje sam dala u ovom radu i načini njegovih dokaza.

Dakle, Pitagorin teorem jedan je od glavnih i, moglo bi se reći, najvažniji teorem geometrije. Njegovo značenje leži u činjenici da se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina teorema geometrije. Pitagorin teorem je također izvanredan po tome što sam po sebi nije nimalo očit. Na primjer, svojstva jednakokračnog trokuta mogu se vidjeti izravno na crtežu. Ali koliko god gledali u pravokutni trokut, nikada nećete vidjeti da postoji jednostavan odnos između njegovih stranica: c2 = a2 + b2. Stoga se vizualizacija često koristi za dokazivanje. Pitagorina je zasluga bila što je dao potpuni znanstveni dokaz ovog teorema. Zanimljiva je osobnost samog znanstvenika, čije sjećanje nije slučajno sačuvano ovim teoremom. Pitagora je prekrasan govornik, učitelj i odgajatelj, organizator svoje škole, usmjeren na sklad glazbe i brojeva, dobrote i pravde, znanja i zdravog načina života. On može poslužiti kao primjer za nas, daleke potomke.

Bibliografska poveznica

Tumanova S.V. NEKOLIKO NAČINA ZA DOKAZIVANJE PITAGOROVA TEOREMA // Početak u znanosti. - 2016. - Broj 2. - Str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (datum pristupa: 21.02.2019.).

Oni koji se zanimaju za povijest Pitagorinog teorema, koji se izučava u školskom kurikulumu, bit će znatiželjni i za takvu činjenicu kao što je 1940. godine objavljena knjiga s tristo sedamdeset dokaza ovog naizgled jednostavnog teorema. Ali zaintrigirao je umove mnogih matematičara i filozofa različitih razdoblja. U Guinnessovoj knjizi rekorda zabilježen je kao teorem s maksimalnim brojem dokaza.

Povijest Pitagorinog teorema

Povezan s Pitagorinim imenom, teorem je bio poznat mnogo prije rođenja velikog filozofa. Dakle, u Egiptu, tijekom izgradnje građevina, omjer stranica pravokutnog trokuta uzet je u obzir prije pet tisuća godina. Babilonski tekstovi spominju isti omjer stranica pravokutnog trokuta 1200 godina prije Pitagorinog rođenja.

Postavlja se pitanje zašto onda priča kaže – njemu pripada pojava Pitagorinog teorema? Odgovor može biti samo jedan – dokazao je omjer strana u trokutu. Učinio je ono što oni koji su jednostavno koristili omjer stranica i hipotenuzu, utvrđene iskustvom, nisu učinili prije nekoliko stoljeća.

Iz Pitagorinog života

Budući veliki znanstvenik, matematičar, filozof rođen je na otoku Samosu 570. godine prije Krista. Povijesni dokumenti sačuvali su podatke o Pitagorinom ocu, koji je bio rezbar dragulja, ali nema podataka o njegovoj majci. Za rođenog dječaka rekli su da je izvanredno dijete koje je od djetinjstva pokazivalo strast prema glazbi i poeziji. Povjesničari pripisuju Hermodamanta i Ferekida sa Sirosa učiteljima mladog Pitagore. Prvi je dječaka uveo u svijet muza, a drugi, kao filozof i utemeljitelj talijanske filozofske škole, usmjerio je mladićev pogled na logos.

U dobi od 22 godine (548. pr. Kr.), Pitagora je otišao u Naukratis da proučava jezik i religiju Egipćana. Nadalje, njegov put ležao je u Memphisu, gdje je, zahvaljujući svećenicima, koji je prošao kroz njihove domišljate testove, shvatio egipatsku geometriju, što je, možda, potaknulo znatiželjnog mladića da dokaže Pitagorin teorem. Povijest će kasnije pripisati ovo ime teoremu.

Zarobljen od babilonskog kralja

Na putu kući u Heladu, Pitagoru je zarobio babilonski kralj. Ali to što je bio u zarobljeništvu koristilo je znatiželjnom umu matematičara početnika, morao je mnogo naučiti. Doista, tih je godina matematika u Babilonu bila razvijenija nego u Egiptu. Proveo je dvanaest godina proučavajući matematiku, geometriju i magiju. A možda je upravo babilonska geometrija bila uključena u dokaz omjera strana trokuta i povijest otkrića teorema. Pitagora je za to imao dovoljno znanja i vremena. Ali da se to dogodilo u Babilonu, za to nema dokumentarne potvrde ili opovrgavanja.

Godine 530. pr Pitagora bježi iz zatočeništva u svoju domovinu, gdje živi na dvoru tiranina Polikrata u statusu poluroba. Takav život ne odgovara Pitagori, te se on povlači u špilje Samosa, a potom odlazi na jug Italije, gdje se u to vrijeme nalazila grčka kolonija Croton.

Tajni redovnički red

Na temelju te kolonije Pitagora je organizirao tajni monaški red, koji je u isto vrijeme bio vjerska zajednica i znanstveno društvo. Ovo društvo imalo je svoju povelju, koja je govorila o poštivanju posebnog načina života.

Pitagora je tvrdio da osoba mora poznavati znanosti poput algebre i geometrije, znati astronomiju i razumjeti glazbu, kako bi razumjela Boga. Istraživački rad svodio se na poznavanje mistične strane brojeva i filozofije. Treba napomenuti da načela koja je u to vrijeme propovijedao Pitagora imaju smisla oponašati u današnje vrijeme.

Njemu su pripisana mnoga otkrića Pitagorinih učenika. Ipak, ukratko, povijest stvaranja Pitagorinog teorema od strane antičkih povjesničara i biografa tog vremena izravno je povezana s imenom ovog filozofa, mislioca i matematičara.

Pitagorino učenje

Možda je ideju o povezanosti teorema s Pitagorinim imenom potaknula izjava povjesničara velikog Grka da su u zloglasnom trokutu s nogama i hipotenuzom šifrirani svi fenomeni našeg života. A ovaj trokut je "ključ" za rješavanje svih problema koji se pojavljuju. Veliki filozof je rekao da treba vidjeti trokut, onda možemo pretpostaviti da je problem dvije trećine riješen.

Pitagora je o svom učenju pričao samo usmeno, bez ikakvih bilješki, držeći to u tajnosti. Nažalost, učenja najvećeg filozofa nisu preživjela do danas. Nešto od toga je procurilo, ali nemoguće je reći koliko je u onome što se doznalo istinito, a koliko lažno. Čak i s poviješću Pitagorinog teorema, nije sve sigurno. Povjesničari matematike sumnjaju u Pitagorino autorstvo, po njihovom mišljenju, teorem je korišten mnogo stoljeća prije njegovog rođenja.

Pitagorin poučak

Možda se čini čudnim, ali ne postoje povijesne činjenice o dokazu teorema od strane samog Pitagore - ni u arhivima, niti u bilo kojim drugim izvorima. U modernoj verziji vjeruje se da pripada nikome drugome nego samom Euklidu.

Postoje dokazi o jednom od najvećih povjesničara matematike, Moritzu Kantoru, koji je otkrio na papirusu pohranjenom u Berlinskom muzeju, a koji su napisali Egipćani oko 2300. godine pr. e. jednakost, koja glasi: 3² + 4² = 5².

Ukratko iz povijesti Pitagorinog teorema

Formulacija teorema iz euklidskih "Početaka" u prijevodu zvuči isto kao i u modernoj interpretaciji. U njegovu čitanju nema ništa novo: kvadrat stranice nasuprot pravog kuta jednak je zbroju kvadrata stranica koje su susjedne pravom kutu. Činjenicu da su drevne civilizacije Indije i Kine koristile teorem potvrđuje rasprava Zhou Bi Suan Jin. Sadrži informacije o egipatskom trokutu, koji opisuje omjer stranica kao 3:4:5.

Ništa manje zanimljiva je još jedna kineska matematička knjiga "Chu-pei", u kojoj se također spominje pitagorejski trokut s objašnjenjem i crtežima koji se podudaraju s crtežima hinduističke geometrije Baskhare. O samom trokutu knjiga kaže da ako se pravi kut može rastaviti na sastavne dijelove, tada će pravac koji spaja krajeve stranica biti jednak pet, ako je baza tri, a visina četiri.

Indijski traktat "Sulva Sutra", koji datira otprilike iz 7.-5. stoljeća pr. e., govori o konstrukciji pravog kuta pomoću egipatskog trokuta.

Dokaz teorema

U srednjem vijeku studenti su smatrali da je dokazivanje teorema preteško. Slabi učenici su naučili teoreme napamet, a da nisu razumjeli smisao dokaza. S tim u vezi dobili su nadimak "magarci", jer im je Pitagorin teorem bio nepremostiva prepreka, poput mosta za magarca. U srednjem vijeku učenici su smislili razigrani stih na temu ovog teorema.

Da biste na najlakši način dokazali Pitagorin teorem, trebali biste jednostavno izmjeriti njegove stranice, bez korištenja koncepta područja u dokazu. Duljina stranice nasuprot pravog kuta je c, a uz nju a i b, kao rezultat dobivamo jednadžbu: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ova tvrdnja, kao što je gore spomenuto, provjerava se mjerenjem duljina stranica pravokutnog trokuta.

Ako dokaz teorema započnemo razmatranjem površine pravokutnika izgrađenih na stranicama trokuta, možemo odrediti površinu cijele figure. Ona će biti jednaka površini kvadrata sa stranicom (a + b), a s druge strane, zbroj površina četiri trokuta i unutarnjeg kvadrata.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , što je trebalo dokazati.

Praktični značaj Pitagorinog teorema je da se njime može pronaći duljina segmenata bez njihovog mjerenja. Tijekom izgradnje konstrukcija izračunavaju se udaljenosti, postavljanje nosača i greda, određuju se težišta. Pitagorin se teorem također primjenjuje u svim modernim tehnologijama. Nisu zaboravili na teorem pri stvaranju filmova u 3D-6D dimenzijama, gdje se uz uobičajene 3 vrijednosti uzimaju u obzir visina, duljina, širina, vrijeme, miris i okus. Pitate se kako su okusi i mirisi povezani s teoremom? Sve je vrlo jednostavno – pri prikazivanju filma treba izračunati gdje i kakve mirise i okuse režirati u gledalištu.

To je tek početak. Neograničen prostor za otkrivanje i stvaranje novih tehnologija čeka radoznale umove.

U jednoj stvari, možete biti sto posto sigurni da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto usađena u svijest svakog obrazovanog čovjeka, ali dovoljno je samo zamoliti nekoga da to dokaže i tada mogu nastati poteškoće. Stoga, prisjetimo se i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Kratak pregled biografije

Pitagorin teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je proizvela nije toliko popularna. Popravit ćemo to. Stoga, prije proučavanja različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema, trebate se nakratko upoznati s njegovom osobnošću.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac, porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikana. No, kako slijedi iz spisa njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na otoku Samosu. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke obitelji.

Prema legendi, Pitagorino je rođenje predvidjela žena po imenu Pythia, u čiju je čast dječak dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dječak trebao je donijeti mnoge dobrobiti i dobro čovječanstvu. Što je on zapravo i učinio.

Rođenje teorema

Pitagora se u mladosti preselio u Egipat kako bi tamo upoznao slavne egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, primljen je na studij, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Vjerojatno je Pitagora bio inspiriran veličanstvenošću i ljepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju u Egiptu. To bi moglo šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari vjeruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. No svoje je znanje samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije dovršili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna tehnika za dokazivanje ovog teorema, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su točno stari Grci vršili svoje izračune, pa ćemo ovdje razmotriti različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.

Pitagorin poučak

Prije nego započnete bilo kakve izračune, morate shvatiti koju teoriju dokazati. Pitagorin teorem zvuči ovako: "U trokutu u kojem je jedan od kutova 90 o, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Ukupno postoji 15 različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema. Ovo je prilično velik broj, pa obratimo pažnju na najpopularnije od njih.

Metoda prva

Hajdemo prvo definirati što imamo. Ovi će se podaci primijeniti i na druge načine dokazivanja Pitagorinog teorema, tako da se odmah trebate sjetiti svih dostupnih zapisa.

Pretpostavimo da je zadan pravokutni trokut s kracima a, b i hipotenuzom jednakim c. Prva metoda dokazivanja temelji se na činjenici da se iz pravokutnog trokuta mora izvući kvadrat.

Da biste to učinili, morate nacrtati segment jednak nozi na duljinu noge a, i obrnuto. Tako bi trebalo ispasti dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije, a kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova ac i sv, trebate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka c. Tako dobivamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na temelju dobivene figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da osim unutarnjeg kvadrata ima četiri pravokutna trokuta. Površina svake je 0,5 pros.

Dakle, površina je: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Dakle (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

I, dakle, s 2 \u003d a 2 + u 2

Teorem je dokazan.

Metoda dva: slični trokuti

Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na temelju tvrdnje iz dijela geometrije o sličnim trokutima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta srednja vrijednost proporcionalna njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha kuta od 90 o.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo odsječak CD okomit na stranicu AB. Na temelju gornje tvrdnje, noge trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora položiti kvadriranjem obje nejednadžbe.

AC 2 \u003d AB * HELL i SV 2 \u003d AB * DV

Sada moramo zbrojiti rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), gdje je AD + DV \u003d AB

Ispada da:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

I stoga:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dokaz Pitagorinog teorema i različiti načini njegovog rješavanja zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova je opcija jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračuna

Opis različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema možda neće reći ništa, sve dok sami ne počnete vježbati. Mnoge metode uključuju ne samo matematičke izračune, već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.

U ovom slučaju potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD iz noge zrakoplova. Dakle, sada postoje dva trokuta sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine sličnih likova imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * s 2 - S avd * u 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

od 2 do 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + u 2

Budući da je ova opcija teško prikladna od različitih metoda dokazivanja Pitagorinog teorema za 8. razred, možete koristiti sljedeću tehniku.

Najlakši način za dokazivanje Pitagorinog teorema. Recenzije

Povjesničari vjeruju da je ova metoda prvi put korištena za dokazivanje teorema u staroj Grčkoj. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako ispravno nacrtate sliku, tada će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da će a 2 + b 2 \u003d c 2.

Uvjeti za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodne. Da bismo dokazali teorem, pretpostavimo da je pravokutni trokut ABC jednakokračan.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne crte u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trokuta.

Na noge AB i CB također trebate nacrtati kvadrat i nacrtati po jednu dijagonalnu crtu u svakoj od njih. Crtamo prvu liniju iz vrha A, drugu - iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajuću sliku. Budući da se na hipotenuzi AC nalaze četiri trokuta, jednaka izvornoj, i dva na katetama, to ukazuje na istinitost ovog teorema.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorinog teorema, rođena je poznata fraza: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je 20. predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio traga u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadaren samouk.

Na početku svoje karijere bio je običan učitelj u pučkoj školi, ali je ubrzo postao ravnatelj jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samorazvoj i omogućila mu je da ponudi novu teoriju dokaza Pitagorinog teorema. Teorem i primjer njegovog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da je krak jednog od njih nastavak drugog. Vrhove ovih trokuta potrebno je spojiti kako bi na kraju dobili trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako dobijeni trapez uzmemo u obzir kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njegovo područje može pronaći na sljedeći način:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Sada trebamo izjednačiti dva izvorna izraza

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + u 2

O Pitagorinom teoremu i kako ga dokazati može se napisati više od jednog svezaka udžbenika. No, ima li smisla kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorinog teorema

Nažalost, suvremeni školski programi predviđaju korištenje ovog teorema samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školske zidove ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

Zapravo, upotrijebite Pitagorin teorem u svom Svakidašnjica svatko može. I to ne samo u profesionalnim aktivnostima, već iu običnim kućanskim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorin teorem i metode njegovog dokazivanja mogu biti iznimno potrebni.

Povezanost teorema i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trokuti mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je znanstveno područje u kojem se Pitagorin teorem široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog snopa u prostoru. Znamo da svjetlost putuje u oba smjera istom brzinom. Putanja nazivamo AB po kojoj se svjetlosna zraka kreće l. A pola vremena potrebnog svjetlosti da stigne od točke A do točke B, nazovimo t. I brzina snopa - c. Ispada da: c*t=l

Ako ovu istu zraku gledate iz druge ravnine, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se takvim promatranjem tijela njihova brzina promijeniti. U tom će se slučaju čak i nepokretni elementi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se točke A i B, između kojih zraka juri, pomaknuti ulijevo. Štoviše, kada se snop pomiče od točke A do točke B, točka A ima vremena da se pomakne i, sukladno tome, svjetlost će već stići u novu točku C. Da biste pronašli polovicu udaljenosti koju je točka A pomaknula, trebate pomnožiti brzina košuljice za polovicu vremena putovanja snopa (t").

A da biste pronašli koliko daleko zraka svjetlosti može doputovati za to vrijeme, trebate označiti polovicu puta nove bukve i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokračnog trokuta, tada će ga odsječak od točke A do linije podijeliti na dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorinom teoremu, možete pronaći udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreću da ga isprobaju u praksi. Stoga razmatramo svakodnevnije primjene ovog teorema.

Domet prijenosa mobilnog signala

Suvremeni život se više ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. No koliko bi bili od koristi da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilnih komunikacija izravno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorin teorem.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao širiti signal unutar radijusa od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globusa) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorinog teorema saznajemo da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorin teorem u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorin teorem može biti koristan čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled nema potrebe koristiti tako složene izračune, jer možete jednostavno mjeriti mjernom trakom. No mnogi se čude zašto se tijekom montaže javljaju određeni problemi ako su sva mjerenja napravljena više nego točno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u vodoravnom položaju, a tek tada se diže i postavlja uza zid. Stoga bočna stijenka ormarića u procesu podizanja konstrukcije mora slobodno prolaziti i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar s dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Uz idealne dimenzije ormarića, provjerimo rad Pitagorinog teorema:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - sve se konvergira.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, nego 2505 mm. Zatim:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije prikladan za ugradnju u ovu prostoriju. Budući da prilikom podizanja u okomit položaj može doći do oštećenja tijela.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, već i točni.