Mnogi su čuli za aritmetičku progresiju, ali nisu svi dobro svjesni što je to. U ovom članku dat ćemo odgovarajuću definiciju, a također ćemo razmotriti pitanje kako pronaći razliku aritmetičke progresije i dati niz primjera.

Matematička definicija

Dakle, ako govorimo o aritmetičkoj ili algebarskoj progresiji (ovi koncepti definiraju istu stvar), onda to znači da postoji neki niz brojeva koji zadovoljava sljedeći zakon: svaka dva susjedna broja u nizu razlikuju se za istu vrijednost. Matematički, ovo se piše ovako:

Ovdje n znači broj elementa a n u nizu, a broj d je razlika progresije (njegov naziv proizlazi iz prikazane formule).

Što znači znati razliku d? O tome koliko su međusobno udaljeni susjedni brojevi. Međutim, poznavanje d je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za određivanje (obnavljanje) cjelokupne progresije. Morate znati još jedan broj, koji može biti apsolutno bilo koji element niza koji se razmatra, na primjer, 4, a10, ali u pravilu se koristi prvi broj, odnosno 1.

Formule za određivanje elemenata progresije

Općenito, gore navedene informacije već su dovoljne za prelazak na rješavanje konkretnih problema. Ipak, prije nego što se zada aritmetička progresija, a bit će potrebno pronaći njezinu razliku, predstavljamo nekoliko korisnih formula, čime ćemo olakšati daljnji proces rješavanja problema.

Lako je pokazati da se bilo koji element niza s brojem n može pronaći na sljedeći način:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Doista, svatko može provjeriti ovu formulu jednostavnim nabrajanjem: ako zamijenite n = 1, tada ćete dobiti prvi element, ako zamijenite n = 2, tada izraz daje zbroj prvog broja i razlike, i tako dalje .

Uvjeti mnogih zadataka sastavljeni su na način da je za poznati par brojeva, čiji su brojevi također dati u nizu, potrebno obnoviti cijeli niz brojeva (naći razliku i prvi element). Sada ćemo ovaj problem riješiti na opći način.

Dakle, recimo da su nam dana dva elementa s brojevima n i m. Koristeći gore dobivenu formulu, možemo sastaviti sustav od dvije jednadžbe:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Za pronalaženje nepoznatih veličina koristimo se poznatom jednostavnom metodom rješavanja takvog sustava: lijevi i desni dio oduzimamo u paru, a jednakost ostaje važeća. Imamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo eliminirali jednu nepoznatu (a 1). Sada možemo napisati konačni izraz za određivanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdje je n > m

Dobili smo vrlo jednostavnu formulu: da bismo izračunali razliku d u skladu s uvjetima zadatka, potrebno je samo uzeti omjer razlika između samih elemenata i njihovih serijskih brojeva. Treba obratiti pozornost na jednu važnu točku: uzimaju se razlike između "starih" i "mlađih" članova, odnosno n> m ("stariji" - što znači da stoji dalje od početka niza, njegova apsolutna vrijednost može biti bilo više ili manje više "mlađi" element).

Izraz za razliku d progresije treba zamijeniti u bilo koju od jednadžbi na početku rješenja zadatka kako bi se dobila vrijednost prvog člana.

U naše doba razvoja računalne tehnologije mnogi školarci pokušavaju pronaći rješenja za svoje zadatke na internetu, pa se često postavljaju pitanja ovog tipa: pronaći razliku aritmetičke progresije na internetu. Na takav zahtjev tražilica će prikazati niz web stranica, odlaskom na koje ćete morati unijeti podatke poznate iz uvjeta (mogu biti dva člana progresije ili zbroj nekih od njih) i odmah dobiti odgovor. Ipak, takav pristup rješavanju problema je neproduktivan u smislu razvoja učenika i razumijevanja suštine zadatka koji mu je dodijeljen.

Rješenje bez korištenja formula

Riješimo prvi problem, pri čemu nećemo koristiti nijednu od navedenih formula. Neka su zadani elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Nađi razliku aritmetičke progresije.

Poznati elementi su blizu jedan drugom u nizu. Koliko se puta razlika d treba dodati najmanjoj da bi se dobila najveća? Tri puta (prvi put dodavanjem d, dobivamo 7. element, drugi put - osmi, konačno, treći put - deveti). Koji broj tri puta treba dodati tri da dobijemo 18? Ovo je broj pet. Stvarno:

Dakle, nepoznata razlika je d = 5.

Naravno, rješenje se moglo napraviti odgovarajućom formulom, ali to nije učinjeno namjerno. Detaljno objašnjenje rješenja problema trebalo bi postati jasan i živopisan primjer što je aritmetička progresija.

Zadatak sličan prethodnom

Sada riješimo sličan problem, ali promijenimo ulazne podatke. Dakle, trebali biste pronaći ako je a3 = 2, a9 = 19.

Naravno, možete ponovno posegnuti za metodom rješavanja "na čelo". Ali budući da su dati elementi serije, koji su relativno udaljeni, takva metoda postaje ne baš prikladna. Ali korištenje rezultirajuće formule brzo će nas dovesti do odgovora:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Ovdje smo zaokružili konačan broj. Koliko je ovo zaokruživanje dovelo do greške može se procijeniti provjerom rezultata:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ovaj rezultat razlikuje se za samo 0,1% od vrijednosti navedene u uvjetu. Stoga se zaokruživanje na stotinke može smatrati dobrim izborom.

Zadaci za primjenu formule za člana

Razmotrimo klasičan primjer problema određivanja nepoznatog d: pronađite razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 12, a5 = 40.

Kada se zadaju dva broja nepoznatog algebarskog niza, a jedan od njih je element a 1 , tada ne trebate dugo razmišljati, već odmah treba primijeniti formulu za a n član. U ovom slučaju imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Točan broj smo dobili pri dijeljenju, pa nema smisla provjeravati točnost izračunatog rezultata, kao što je to učinjeno u prethodnom stavku.

Riješimo još jedan sličan problem: trebali bismo pronaći razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 16, a8 = 37.

Koristimo sličan pristup prethodnom i dobivamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Što još trebate znati o aritmetičkoj progresiji

Osim problema pronalaženja nepoznate razlike ili pojedinih elemenata, često je potrebno riješiti i probleme zbroja prvih članova niza. Razmatranje ovih problema je izvan okvira teme članka, međutim, radi cjelovitosti informacija, donosimo opću formulu za zbroj n brojeva niza:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Prva razina

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Numerički niz

Pa sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš slijed:

Dodijeljeni broj je specifičan samo za jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundarna broja. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (npr.), a svaki član tog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav brojčani niz naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski autor Boecije još u 6. stoljeću i shvaćao ga se u širem smislu kao beskrajni brojčani niz. Naziv "aritmetika" prenio je iz teorije kontinuiranih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, zbrojen istim brojem. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Shvaćam? Usporedite naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njezinog th člana. postojati dva način da ga pronađete.

1. Metoda

Možemo dodati prethodnu vrijednost broja progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije jednak je.

2. Metoda

Što ako bismo trebali pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri zbrajanju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate prethodnoj vrijednosti dodati razliku aritmetičke progresije. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku ... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, pogledajmo što čini vrijednost --og člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte na ovaj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Izračunati? Usporedite svoje unose s odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovodimo je u opći oblik i dobivamo:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije se ili povećavaju ili smanjuju.

Povećanje- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula koristi se u izračunu članova u rastućim i opadajućim izrazima aritmetičke progresije.
Provjerimo to u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva:

Od tad:

Tako smo se uvjerili da formula radi i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo zadatak – izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je zadan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnite računati prema formuli koju već znate:

Neka, a, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, a zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplicirano, ali što ako su nam dati brojevi u uvjetu? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite, je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku pomoću bilo koje formule? Naravno, da, i sada ćemo to pokušati iznijeti.

Željeni pojam aritmetičke progresije označavamo kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni član progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Zbrojimo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećih članova progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost progresijskog člana s poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, potrebno ih je zbrojiti i podijeliti s.

Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, jer to uopće nije teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostaje saznati samo jednu formulu koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako zaključio za sebe...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica je, zauzeta provjeravanjem rada učenika drugih razreda, na satu zadala sljedeći zadatak: „Izračunaj zbroj svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo. " Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao točan odgovor na zadatak, dok je većina kolega iz razreda drznika nakon dugih proračuna dobila pogrešan rezultat ...

Mladi Carl Gauss primijetio je uzorak koji možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Trebamo pronaći zbroj zadanih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako trebamo pronaći zbroj njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Opišimo napredovanje koje nam je dano. Promotrite pomno istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Pokušao? Što ste primijetili? Ispravno! Njihovi su iznosi jednaki

Sada odgovori, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobivamo da je ukupan zbroj jednak:
.
Dakle, formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu zbroja, formulu th člana.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je zadan Carlu Gaussu: izračunajte sami koliki je zbroj brojeva koji počinju od -tog, a zbroj brojeva koji počinju od -tog.

Koliko ste dobili?
Gauss se pokazao da je zbroj članova jednak i zbroj članova. Jeste li tako odlučili?

Zapravo, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to vrijeme duhoviti su ljudi silovito koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveće gradilište tog vremena - izgradnju piramide... Slika prikazuje jednu njegovu stranu.

Kažete gdje je tu napredak? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok opeke postavljene u bazu. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, napredovanje izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se složilo? Bravo, savladali ste zbroj th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih opeka potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor je blokovi:

Vježbati

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti u tjednima ako je napravila čučnjeve na prvom treningu.
2. Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je baza zidanja trupci.

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (tjedni = dani).

   Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala čučnuti jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva na pola, međutim, provjerite ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Dostupne podatke zamjenjujemo u formulu:

   Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u jednak je.

3. Prisjetite se problema s piramidama. U našem slučaju, a, budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo hrpa slojeva, tj.
   Zamijenite podatke u formuli:

   Odgovor: U zidanju su trupci.

Sumirati

1. - numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Povećava se i smanjuje.
2. Pronalaženje formule. član aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKI NAPREDAK. SREDNJA RAZINA

Numerički niz

Sjednimo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći tko je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih pobrojati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki se broj može povezati s određenim prirodnim brojem, i to samo s jednim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (npr.), a svaki član tog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se --ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).

n-ti izraz formula

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali --ti pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije pomoću takve formule, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

E, sad je jasno koja je formula?

U svakom retku zbrajamo do, pomnoženo s nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo udobnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Odluka:

Prvi je član jednak. A koja je razlika? A evo što:

(uostalom, naziva se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovaj iznos za nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i trećeg s kraja isti, i tako dalje. Koliko ima takvih parova? Tako je, točno pola broja svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Pronađite zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Odluka:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći dobiva se dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju čine aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula za th član za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svaki dan sportaš trči 1m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u tjednima ako je prvi dan pretrčao km m?
2. Biciklist svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana putovao je km. Koliko dana mora voziti da prijeđe kilometar? Koliko će kilometara prijeći posljednjeg dana putovanja?
3. Cijena hladnjaka u trgovini svake se godine smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju, (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
   .
   Odgovor:
2. Ovdje je dano:, potrebno je pronaći.
   Očito, morate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, pa odgovor.
   Izračunajmo prijeđenu udaljenost tijekom posljednjeg dana koristeći formulu --tog člana:
   (km).
   Odgovor:

3. S obzirom na: . Pronaći: .
   Ne postaje lakše:
   (trljati).
   Odgovor:

ARITHMETIČKI NAPREDAK. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija raste () i opada ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

zapisuje se kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina za pronalaženje zbroja:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Tema "aritmetička progresija" izučava se u općem kolegiju algebre u školama u 9. razredu. Ova je tema važna za daljnje dublje proučavanje matematike brojevnih nizova. U ovom članku ćemo se upoznati s aritmetičkom progresijom, njenom razlikom, kao i s tipičnim zadacima s kojima se školarci mogu suočiti.

Koncept algebarske progresije

Brojčana progresija je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći element može dobiti iz prethodnog ako se primijeni neki matematički zakon. Postoje dvije jednostavne vrste progresije: geometrijska i aritmetička, koja se također naziva algebarska. Zaustavimo se na tome detaljnije.

Zamislite neki racionalni broj, označite ga simbolom a 1 , gdje indeks označava njegov redni broj u nizu koji se razmatra. Dodajmo još neki broj 1, označimo ga d. Tada se drugi element niza može reflektirati na sljedeći način: a 2 = a 1 + d. Sada ponovno dodajte d, dobivamo: a 3 = a 2 + d. Nastavljajući ovu matematičku operaciju, možete dobiti cijeli niz brojeva, koji će se zvati aritmetička progresija.

Kao što se može razumjeti iz gore navedenog, da biste pronašli n-ti element ovog niza, morate koristiti formulu: a n \u003d a 1 + (n-1) * d. Doista, zamjenom n=1 u izraz, dobivamo a 1 = a 1, ako je n = 2, onda formula implicira: a 2 = a 1 + 1*d, i tako dalje.

Na primjer, ako je razlika aritmetičke progresije 5, a a 1 = 1, to znači da brojčani niz dotične vrste ima oblik: 1, 6, 11, 16, 21, ... može vidjeti, svaki od njegovih članova je 5 više od prethodnog.

Formule razlike aritmetičke progresije

Iz gornje definicije niza brojeva koji se razmatraju proizlazi da da biste ga odredili, morate znati dva broja: a 1 i d. Potonje se zove razlika ove progresije. Jedinstveno određuje ponašanje cijele serije. Doista, ako je d pozitivan, tada će se brojevni niz stalno povećavati, naprotiv, u slučaju negativnog d, brojevi u nizu će rasti samo po modulu, dok će njihova apsolutna vrijednost opadati s povećanjem broja n.

Koja je razlika između aritmetičke progresije? Razmotrite dvije glavne formule koje se koriste za izračunavanje ove vrijednosti:

1. d = a n+1 -a n , ova formula izravno slijedi iz definicije razmatranog niza brojeva.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ovaj se izraz dobiva izražavanjem d iz formule dane u prethodnom odlomku članka. Imajte na umu da ovaj izraz postaje neodređen (0/0) ako je n=1. To je zbog činjenice da je potrebno poznavati najmanje 2 elementa serije kako bi se utvrdila njegova razlika.

Ove dvije osnovne formule koriste se za rješavanje bilo kojeg problema nalaženja razlike progresije. Međutim, postoji još jedna formula koju također morate znati.

Zbroj prvih elemenata

Formulu, koja se može koristiti za određivanje zbroja bilo kojeg broja članova algebarske progresije, prema povijesnim dokazima, prvi je dobio "princ" matematike iz XVIII stoljeća, Carl Gauss. Njemački znanstvenik, dok je još bio dječak u osnovnim razredima seoske škole, primijetio je da za zbrajanje prirodnih brojeva u nizu od 1 do 100 prvo morate zbrojiti prvi i zadnji element (rezultirajuća vrijednost će biti jednaka na zbroj pretposljednjeg i drugog, pretposljednjeg i trećeg elementa i tako dalje), a zatim ovaj broj treba pomnožiti s brojem tih zbroja, odnosno s 50.

Formula koja odražava navedeni rezultat na određenom primjeru može se generalizirati na proizvoljan slučaj. Izgledat će ovako: S n = n/2*(a n + a 1). Imajte na umu da za pronalaženje navedene vrijednosti nije potrebno poznavanje razlike d ako su poznata dva člana progresije (a n i a 1).

Primjer #1. Odredi razliku, poznavajući dva člana niza a1 i an

Pokazat ćemo kako primijeniti gore navedene formule u članku. Navedimo jednostavan primjer: razlika aritmetičke progresije je nepoznata, potrebno je odrediti čemu će biti jednaka ako je 13 \u003d -5,6 i 1 \u003d -12,1.

Budući da znamo vrijednosti dvaju elemenata brojevnog niza, a jedan od njih je prvi broj, možemo koristiti formulu br. 2 da odredimo razliku d. Imamo: d = (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. U izrazu smo koristili vrijednost n=13, jer je član s ovim rednim brojem poznat.

Rezultirajuća razlika ukazuje da se progresija povećava, unatoč činjenici da elementi navedeni u uvjetu problema imaju negativnu vrijednost. Može se vidjeti da je a 13 >a 1 , iako |a 13 |<|a 1 |.

Primjer #2. Pozitivni uvjeti progresije u primjeru #1

Iskoristimo rezultat dobiven u prethodnom primjeru za rješavanje novog problema. Formulira se na sljedeći način: od kojeg rednog broja elementi progresije u primjeru br. 1 počinju uzimati pozitivne vrijednosti?

Kako je pokazano, progresija u kojoj je a 1 = -12,1 i d = 0,54167 raste, pa će od određenog broja brojevi poprimiti samo pozitivne vrijednosti. Za određivanje ovog broja n potrebno je riješiti jednostavnu nejednadžbu, koja se matematički zapisuje na sljedeći način: a n>0 ili, koristeći odgovarajuću formulu, prepisujemo nejednakost: a 1 + (n-1)*d>0. Potrebno je pronaći nepoznato n, izrazimo ga: n>-1*a 1 /d + 1. Sada ostaje zamijeniti poznate vrijednosti razlike i prvog člana niza. Dobivamo: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ili n>23,338. Budući da n može imati samo cjelobrojne vrijednosti, iz dobivene nejednakosti slijedi da će svi članovi niza koji imaju broj veći od 23 biti pozitivni.

Provjerimo naš odgovor korištenjem gornje formule za izračunavanje 23. i 24. elementa ove aritmetičke progresije. Imamo: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (negativan broj); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitivna vrijednost). Dakle, dobiveni rezultat je točan: počevši od n=24, svi članovi niza brojeva bit će veći od nule.

Primjer #3. Koliko će trupaca stati?

Evo jednog zanimljivog problema: tijekom sječe odlučeno je slagati piljene trupce jedno na drugo kao što je prikazano na donjoj slici. Koliko se trupaca može složiti na ovaj način, znajući da će ukupno stati 10 redaka?

U ovakvom načinu preklapanja trupaca može se primijetiti jedna zanimljivost: svaki sljedeći red će sadržavati jedan dnevnik manje od prethodnog, odnosno postoji algebarska progresija čija je razlika d=1. Uz pretpostavku da je broj trupaca u svakom retku član ove progresije, a također uzimajući u obzir da je a 1 = 1 (samo jedan dnevnik stane na sam vrh), nalazimo broj a 10 . Imamo: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. To jest, u 10. redu, koji leži na tlu, bit će 10 trupaca.

Ukupna količina ove "piramidalne" konstrukcije može se dobiti pomoću Gaussove formule. Dobivamo: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 trupaca.