Tangenta na graf y x 3. Lekcija "jednadžba tangente na graf funkcije"

Primjer 1 Zadana funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) u točki grafa s apscisom x 0 = 1.

Odluka. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Nađimo ga:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Zatim f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Odgovor. y = 10x – 8.

Primjer 2 Zadana funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x), paralelno s pravom y = 2x – 11.

Odluka. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Nađimo ga:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Budući da je tangenta na graf funkcije f(x) u točki s apscisom x 0 je paralelno s pravom y = 2x- 11, pa ona nagib jednako 2, tj. ( x 0) = 2. Nađi ovu apscisu iz uvjeta da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo za x 0 = 0 i x 0 = 2. Budući da u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim pravac y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u točki (0; 5) ili u točki (2; 5).

U prvom slučaju vrijedi numerička jednakost 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju brojčana jednakost vrijedi 5 = 2 × 2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) paralelno s pravom y = 2x – 11.

Odgovor. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Primjer 3 Zadana funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) prolazeći kroz točku A (2; –5).

Odluka. Kao f(2) –5, zatim točka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka bude x 0 - apscisa dodirne točke.

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Nađimo ga:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Zatim f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od točke A pripada tangenti, tada je brojčana jednakost istinita

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz točku A moguće je nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako je a x 0 = 0, tada tangentna jednadžba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 2x – 9.

Odgovor. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Primjer 4 Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napišimo jednadžbu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.

Odluka. Neka bude x 1 - apscisa dodirne točke željene linije s grafom funkcije f(x), a x 2 - apscisa dodirne točke istog pravca s grafom funkcije g(x).

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Nađimo ga:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Zatim f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Nađimo derivaciju funkcije g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

Znate li već što je derivat? Ako ne, prvo pročitaj temu. Dakle, kažete da znate izvedenicu. Sada provjerimo. Pronađite prirast funkcije kada je prirast argumenta jednak. Jeste li uspjeli? Trebalo bi djelovati. Sada pronađite derivaciju funkcije u točki. Odgovor: . dogodilo? Ako je neki od ovih primjera težak, toplo preporučam da se vratite na temu i ponovno je proučite. Znam da je tema jako velika, ali inače nema smisla ići dalje. Razmotrimo graf neke funkcije:

Odaberimo određenu točku na liniji grafikona. Neka je njegova apscisa, tada je ordinata jednaka. Zatim biramo točku blizu točke s apscisom; njegova ordinata je:

Povucimo liniju kroz ove točke. Zove se sekansa (baš kao u geometriji). Označimo kut nagiba ravne prema osi kao. Kao i u trigonometriji, ovaj kut se mjeri iz pozitivnog smjera osi x u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Koje vrijednosti kut može imati? Bez obzira kako nagnete ovu ravnu liniju, jedna polovica će i dalje strpati gore. Stoga, maksimum mogući kut- , a minimalno moguće - . Sredstva, . Kut nije uključen, budući da se položaj linije u ovom slučaju točno podudara s, te je logičnije odabrati manji kut. Uzmi točku na slici tako da je ravna linija paralelna s osi apscise i - ordinatu:

Iz slike se vidi da je a. Zatim omjer prirasta:

(jer je pravokutna).

Smanjimo sada. Tada će se točka približiti točki. Kada postane beskonačno mali, omjer postaje jednak derivaciji funkcije u točki. Što će biti sa sekantom u ovom slučaju? Točka će biti beskonačno blizu točke, pa se mogu smatrati istom točkom. Ali ravna crta koja ima samo jednu zajedničku točku s krivuljom nije ništa drugo do tangens(u ovom slučaju ovaj uvjet je zadovoljen samo na mala površina- blizu točke, ali ovo je dovoljno). Kažu da u ovom slučaju sekanta zauzima granični položaj.

Nazovimo kut nagiba sekante prema osi. Tada se ispostavlja da je izvedenica

tj derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente na graf funkcije u danoj točki.

Budući da je tangenta prava linija, prisjetimo se sada jednadžbe ravne linije:

Čemu služi omjer? Za nagib ravne crte. Zove se ovako: nagib. Što to znači? A činjenica da je jednaka tangenti kuta između pravca i osi! Odnosno, ovo se događa:

Ali dobili smo ovo pravilo uzimajući u obzir rastuću funkciju. Što se događa ako se funkcija smanjuje? Vidjet ćemo:
Sada su uglovi tupi. A prirast funkcije je negativan. Razmislite ponovo: . Na drugoj strani, . Dobivamo:, odnosno sve, kao prošli put. Usmjerimo točku ponovno na točku, a sekansa će zauzeti granični položaj, odnosno pretvorit će se u tangentu na graf funkcije u točki. Dakle, formulirajmo konačno pravilo:
Derivat funkcije u danoj točki jednak je tangenti nagiba tangente na graf funkcije u ovoj točki, ili (što je isto) nagibu ove tangente:

To je ono što je geometrijski smisao izvedenica. Dobro, sve je ovo zanimljivo, ali zašto nam to treba? Ovdje primjer:
Slika prikazuje graf funkcije i tangentu na nju u točki s apscisom. Pronađite vrijednost derivacije funkcije u točki.
Odluka.
Kao što smo nedavno saznali, vrijednost derivacije u točki dodira jednaka je nagibu tangente, koja je zauzvrat jednaka tangentu kuta nagiba ove tangente na os x: . Dakle, da bismo pronašli vrijednost derivacije, moramo pronaći tangentu nagiba tangente. Na slici smo označili dvije točke koje leže na tangenti, čije su nam koordinate poznate. Pa da to ispravimo pravokutni trokut prolazeći kroz ove točke, i pronađite tangentu nagiba tangente!

Kut nagiba tangente na os je. Nađimo tangentu ovog kuta: . Dakle, derivacija funkcije u točki jednaka je.
Odgovor:. Sada pokušajte sami:

odgovori:

Znajući geometrijsko značenje izvedenice, može se vrlo jednostavno objasniti pravilo da je derivacija u točki lokalnog maksimuma ili minimuma jednaka nuli. Doista, tangenta na graf u ovim točkama je "horizontalna", odnosno paralelna s x-osi:

Koliki je kut između paralelnih pravaca? Naravno, nula! I tangent nule je također nula. Dakle, derivacija je nula:

Više o tome pročitajte u temi „Monotonost funkcija. ekstremne točke.

Sada se usredotočimo na proizvoljne tangente. Pretpostavimo da imamo neku funkciju, na primjer, . Nacrtali smo njegov graf i želimo u nekom trenutku nacrtati tangentu na njega. Na primjer, u točki. Uzimamo ravnalo, pričvršćujemo ga na graf i crtamo:

Što znamo o ovoj liniji? Što je najvažnije znati o ravnoj liniji na koordinatnoj ravnini? Budući da je ravna crta slika linearne funkcije, bilo bi vrlo zgodno znati njezinu jednadžbu. Odnosno, koeficijenti u jednadžbi

Ali već znamo! Ovo je nagib tangente, koji je jednak derivaciji funkcije u toj točki:

U našem primjeru to će biti ovako:

Sada ostaje da se pronađe. Ovo je jednostavnije nego jednostavno: nakon svega - vrijednost u. Grafički, ovo je koordinata presjeka ravne linije s y-osi (na kraju krajeva, u svim točkama osi):

Nacrtajmo (tako da - pravokutni). Zatim (na isti kut između tangente i x-ose). Čemu su i čemu jednaki? Slika jasno pokazuje da, a. Tada dobivamo:

Kombiniramo sve dobivene formule u jednadžbu ravne linije:

Sada odlučite sami:

1. pronaći tangentna jednadžba na funkciju u točki.
2. Tangenta na parabolu siječe os pod kutom. Nađite jednadžbu za ovu tangentu.
3. Pravac je paralelan s tangentom na graf funkcije. Pronađite apscisu dodirne točke.
4. Pravac je paralelan s tangentom na graf funkcije. Pronađite apscisu dodirne točke.

Rješenja i odgovori:

JEDNADŽBA FUNKCIJE TANGENTA NA GRAF. KRATAK OPIS I OSNOVNA FORMULA

Derivat funkcije u određenoj točki jednak je tangenti nagiba tangente na graf funkcije u ovoj točki ili nagibu ove tangente:

Jednadžba tangente na graf funkcije u točki:

Algoritam radnji za pronalaženje tangentne jednadžbe:

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste došli do ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Uputa

Određujemo nagib tangente na krivulju u točki M.
Krivulja koja predstavlja graf funkcije y = f(x) kontinuirana je u nekom susjedstvu točke M (uključujući samu točku M).

Ako vrijednost f‘(x0) ne postoji, tada ili nema tangente, ili prolazi okomito. S obzirom na to, prisutnost derivacije funkcije u točki x0 posljedica je postojanja nevertikalne tangente koja je u kontaktu s grafom funkcije u točki (x0, f(x0)). U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak f "(x0). Dakle, geometrijsko značenje derivacije postaje jasno - izračunavanje nagiba tangente.

Pronađite vrijednost apscise dodirne točke, koja je označena slovom "a". Ako se podudara s danom tangentnom točkom, tada će "a" biti njena x-koordinata. Odredite vrijednost funkcije f(a), zamjenjujući u jednadžbu funkcije veličina apscise.

Odredite prvi izvod jednadžbe funkcije f'(x) i u nju zamijeniti vrijednost točke "a".

Uzmite opću tangentnu jednadžbu, koja je definirana kao y = f (a) = f (a) (x - a), i zamijenite pronađene vrijednosti a, f (a), f "( a) u nju. Kao rezultat, rješenje grafa će biti pronađeno i tangentno.

Zadatak riješite na drugačiji način ako se zadana tangentna točka ne poklapa s tangentnom točkom. U tom slučaju potrebno je umjesto brojeva u jednadžbi tangente zamijeniti "a". Nakon toga, umjesto slova "x" i "y", zamijenite vrijednost koordinata zadanu točku. Riješi rezultirajuću jednadžbu u kojoj je "a" nepoznanica. Dobivenu vrijednost stavite u jednadžbu tangente.

Napišite jednadžbu za tangentu sa slovom "a", ako je jednadžba data u uvjetu zadatka funkcije te jednadžba paralelnog pravca s obzirom na željenu tangentu. Nakon toga treba vam izvedenica funkcije

Tangenta je ravna linija , koji dodiruje graf funkcije u jednoj točki i čije su sve točke na najmanjoj udaljenosti od grafa funkcije. Stoga tangenta prolazi tangentu na graf funkcije pod određenim kutom i nekoliko tangenta ne može proći kroz tangentnu točku ispod različitim kutovima. Tangentne jednadžbe i jednadžbe normale na graf funkcije sastavljaju se pomoću derivacije.

Jednadžba tangente izvedena je iz jednadžbe ravne linije .

Izvodimo jednadžbu tangente, a zatim i jednadžbu normale na graf funkcije.

y = kx + b .

U njemu k- kutni koeficijent.

Odavde dobivamo sljedeći unos:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vrijednost derivata f "(x 0 ) funkcije y = f(x) u točki x0 jednak nagibu k=tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz točku M0 (x 0 , y 0 ) , gdje y0 = f(x 0 ) . To je što geometrijsko značenje izvedenice .

Dakle, možemo zamijeniti k na f "(x 0 ) i dobiti sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U zadacima za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije (a uskoro ćemo prijeći na njih) potrebno je jednadžbu dobivenu iz gornje formule dovesti na opća jednadžba ravne linije. Da biste to učinili, morate prenijeti sva slova i brojeve na lijevu stranu jednadžbe, a ostaviti nulu na desnoj strani.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalan je ravna crta koja prolazi tangentnom točkom do grafa funkcije okomita na tangentu. Normalna jednadžba :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Da biste zagrijali prvi primjer, od vas se traži da ga sami riješite, a zatim pogledate rješenje. S razlogom se nadamo da ovaj zadatak neće biti "hladan tuš" za naše čitatelje.

Primjer 0. Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije u točki M (1, 1) .

Primjer 1 Sastavite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Nađimo derivaciju funkcije:

Sada imamo sve što je potrebno zamijeniti u unosu danom u teorijskoj referenci da bismo dobili jednadžbu tangente. dobivamo

U ovom primjeru imali smo sreće: pokazao se nagib nula, pa odvojeno svesti jednadžbu na opći pogled nije trebalo. Sada možemo napisati normalnu jednadžbu:

Na slici ispod: graf funkcije bordo boje, tangenta Zelena boja, normalna je narančasta.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali koeficijent nagiba neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednadžbe u opći oblik.

Primjer 2

Odluka. Nađimo ordinatu dodirne točke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki dodira, odnosno nagib tangente:

Sve dobivene podatke zamjenjujemo u "praznu formulu" i dobivamo tangentnu jednadžbu:

Dovodimo jednadžbu u opći oblik (sakupljamo sva slova i brojeve osim nule na lijevoj strani, a ostavljamo nulu na desnoj strani):

Sastavljamo jednadžbu normale:

Primjer 3 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Odluka. Nađimo ordinatu dodirne točke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u točki dodira, odnosno nagib tangente:

.

Pronalazimo jednadžbu tangente:

Prije nego što jednadžbu dovedete u opći oblik, trebate je malo "kombinirati": pomnožite član po član s 4. To radimo i dovodimo jednadžbu u opći oblik:

Sastavljamo jednadžbu normale:

Primjer 4 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Odluka. Nađimo ordinatu dodirne točke:

.

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u točki dodira, odnosno nagib tangente:

.

Dobivamo tangentnu jednadžbu:

Dovodimo jednadžbu u opći oblik:

Sastavljamo jednadžbu normale:

Česta pogreška pri pisanju jednadžbi tangente i normale je ne primijetiti da je funkcija navedena u primjeru složena i izračunati njen izvod kao derivaciju jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već složene funkcije(odgovarajuća lekcija će se otvoriti u novom prozoru).

Primjer 5 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Odluka. Nađimo ordinatu dodirne točke:

Pažnja! Ova funkcija je složena, budući da je argument tangente (2 x) je sama po sebi funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju složene funkcije.

Neka je dana funkcija f koja u nekoj točki x 0 ima konačan izvod f (x 0). Tada pravac koji prolazi točkom (x 0; f (x 0)), koja ima nagib f '(x 0), naziva se tangenta.

Ali što se događa ako derivacija u točki x 0 ne postoji? Postoje dvije opcije:

1. Tangenta na graf također ne postoji. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u točki (0; 0).
2. Tangenta postaje okomita. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u točki (1; π /2).

Jednadžba tangente

Svaka neokomita ravna crta dana je jednadžbom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije iznimka, a da bi se sastavila njena jednadžba u nekoj točki x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj točki.

Dakle, neka je funkcija data y = f (x), koja ima derivaciju y = f '(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj točki x 0 ∈ (a; b) može povući tangenta na graf ove funkcije, koja je dana jednadžbom:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ovdje je f ’(x 0) vrijednost derivacije u točki x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadana je funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u točki x 0 = 2.

Jednadžba tangente: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f '(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve jednostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada pronađimo derivaciju: f '(x) = (x 3) ' = 3x 2;
Zamjena u izvodu x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobivamo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ovo je jednadžba tangente.

Zadatak. Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 u točki x 0 \u003d π / 2.

Ovaj put nećemo detaljno opisivati ​​svaku radnju - samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonjem slučaju, linija se pokazala vodoravnom, jer njegov nagib k = 0. U tome nema ništa loše - upravo smo naišli na točku ekstrema.