Korištenje cast formula. Kako funkcioniraju formule redukcije u zadatku B11

Postoje dva pravila za korištenje cast formula.

1. Ako se kut može predstaviti kao (π/2 ±a) ili (3*π/2 ±a), tada promjene naziva funkcije grijeh na cos, cos na grijeh, tg na ctg, ctg na tg. Ako se kut može predstaviti kao (π ±a) ili (2*π ±a), onda naziv funkcije ostaje nepromijenjen.

Pogledajte sliku ispod, ona shematski pokazuje kada znak treba mijenjati, a kada ne.

2. Pravilo "kakav si bio, takav ostaješ."

Predznak reducirane funkcije ostaje isti. Ako je izvorna funkcija imala znak plus, onda reducirana funkcija također ima znak plus. Ako je izvorna funkcija imala predznak minus, onda reducirana funkcija također ima predznak minus.

Slika ispod prikazuje znakove glavnog trigonometrijske funkcije ovisno o tromjesečju.

Izračunaj grijeh (150˚)

Koristimo formule redukcije:

Sin(150˚) je u drugoj četvrtini, iz slike možemo vidjeti da je predznak grijeha u ovoj četvrti +. To znači da će gornja funkcija također imati znak plus. Primijenili smo drugo pravilo.

Sada 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ je π/2. Odnosno, imamo posla sa slučajem π / 2 + 60, dakle, prema prvom pravilu, mijenjamo funkciju iz sin u cos. Kao rezultat, dobivamo Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Po želji, sve formule redukcije mogu se sažeti u jednu tablicu. Ali ipak je lakše zapamtiti ova dva pravila i koristiti ih.

Lekcija i prezentacija na temu: "Primjena redukcijskih formula u rješavanju problema"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 10. razred
1C: Škola. Interaktivni građevinski zadaci za 7.-10. razred
1C: Škola. Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru za 10.-11. razred

Što ćemo proučavati:
1. Ponovimo malo.
2. Pravila za redukcijske formule.
3. Tablica transformacija za formule redukcije.
4. Primjeri.

Ponavljanje trigonometrijskih funkcija

Dečki, već ste naišli na formule duhova, ali se još nisu tako zvale. Što misliš gdje?

Pogledajte naše crteže. Točno, kada su uveli definicije trigonometrijskih funkcija.

Pravilo za formule redukcije

Uvedemo osnovno pravilo: ako znak trigonometrijske funkcije sadrži broj oblika π×n/2 + t, gdje je n bilo koji cijeli broj, tada se naša trigonometrijska funkcija može svesti na više običan prizor, koji će sadržavati samo argument t. Takve se formule nazivaju formule duhova.

Prisjetimo se nekih formula:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

ima puno formula duhova, napravimo pravilo po kojem ćemo odrediti naše trigonometrijske funkcije pri korištenju formule duhova:

Ako znak trigonometrijske funkcije sadrži brojeve oblika: π + t, π - t, 2π + t i 2π - t, tada se funkcija neće promijeniti, odnosno, na primjer, sinus će ostati sinus, kotangens će ostati kotangens.
Ako znak trigonometrijske funkcije sadrži brojeve oblika: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t i 3π/2 - t, tada će se funkcija promijeniti u srodnu, tj. sinus će postati kosinus, kotangens će postati tangent.
Prije rezultirajuće funkcije morate staviti znak koji bi konvertirana funkcija imala ako je 0

Ova pravila vrijede i kada je argument funkcije u stupnjevima!

Također možemo napraviti tablicu pretvorbe trigonometrijskih funkcija:

Primjeri uporabe redukcijskih formula

1. Transformirajmo cos(π + t). Naziv funkcije ostaje, t.j. dobivamo cos(t). Zatim, pretpostavimo da je π/2

2. Transformirajte sin(π/2 + t). Naziv funkcije se mijenja, tj. dobivamo cos(t). Nadalje pretpostavimo da je 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Pretvorimo tg(π + t). Naziv funkcije ostaje, t.j. dobivamo tg(t). Nadalje pretpostavimo da je 0

4. Transformirajmo ctg(270 0 + t). Naziv funkcije se mijenja, odnosno dobivamo tg(t). Nadalje pretpostavimo da je 0

Problemi s redukcijskim formulama za samostalno rješenje

Ljudi, pretvorite se koristeći naša pravila:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Trigonometrija.Redukcijske formule.

Formule za lijevanje ne treba učiti, treba ih razumjeti. Razumjeti algoritam za njihov izlaz. Jako je lako!

Uzmimo jedinični krug i na njega stavimo sve mjere stupnjeva (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Analizirajmo sin(a) i cos(a) funkcije u svakoj četvrtini.

Zapamtite da gledamo funkciju sin (a) duž osi Y, a funkciju cos (a) duž osi X.

U prvoj četvrtini se vidi da je funkcija sin(a)>0
I funkcija cos(a)>0
Prva se četvrtina može opisati kroz stupnjsku mjeru, kao (90-α) ili (360+α).

U drugom tromjesečju se vidi da je funkcija sin(a)>0, jer je os y pozitivna u toj četvrtini.
Funkcija cos(a) jer je x-os negativna u toj četvrtini.
Druga se četvrtina može opisati kroz stupnjsku mjeru, kao (90+α) ili (180-α).

U trećoj četvrtini vidljivo je da su funkcije grijeh(a) Treća četvrtina se može opisati u terminima stupnjeva kao (180+α) ili (270-α).

U četvrtoj četvrtini se vidi da je funkcija sin(a) jer je y-os negativna u toj četvrtini.
Funkcija cos(a)>0, jer je x-os pozitivna u toj četvrtini.
Četvrta se četvrtina može opisati u terminima stupnjeva kao (270+α) ili (360-α).

Pogledajmo sada same formule redukcije.

Sjetimo se jednostavnog algoritam:
1. Četvrtina.(Uvijek gledaj u kojoj se četvrti nalaziš).
2. Znak.(Za četvrtinu pogledajte pozitivne ili negativne kosinusne ili sinusne funkcije).
3. Ako imate (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada promjene funkcije.

I tako počinjemo rastavljati ovaj algoritam na četvrtine.

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(90-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.

Htjeti cos(90-α) = sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (90-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.

Htjeti sin(90-α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(360+α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.
2. U prvoj četvrtini predznak kosinusne funkcije je pozitivan.

Htjeti cos(360+α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (360 + α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Prva četvrtina.
2. U prvoj četvrtini predznak funkcije sinusa je pozitivan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Htjeti sin(360+α) = sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(90+α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.

3. U zagradama je (90 ° ili π / 2), a zatim se funkcija mijenja iz kosinusa u sinus.
Htjeti cos(90+α) = -sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (90 + α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.

3. U zagradama je (90 ° ili π / 2), a zatim se funkcija mijenja iz sinusa u kosinus.
Htjeti sin(90+α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(180-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.
2. U drugoj četvrtini predznak kosinusne funkcije je negativan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Htjeti cos(180-α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin (180-α).
Razgovarajmo o algoritmu:
1. Četvrtina dva.
2. U drugoj četvrtini predznak funkcije sinusa je pozitivan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Htjeti sin(180-α) = sin(α)

Na sličan način govorim o trećoj i četvrtoj četvrtini, napravit ćemo tablicu:

Pretplatite se na kanal na YOUTUBE-u i pogledajte video, pripremite se za ispite iz matematike i geometrije s nama.

Kako zapamtiti formule za redukciju trigonometrijskih funkcija? Lako je ako koristite asocijaciju.Ovu asocijaciju nisam ja izmislio. Kao što je već spomenuto, dobra asocijacija trebala bi se "prilijepiti", odnosno izazvati živopisne emocije. Emocije koje je ova udruga izazvala ne mogu nazvati pozitivnima. Ali daje rezultat - omogućuje vam da zapamtite formule smanjenja, što znači da ima pravo na postojanje. Uostalom, ako vam se ne sviđa, ne morate ga koristiti, zar ne?

Formule redukcije su: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Sjećamo se da +α daje kretanje suprotno od kazaljke na satu, - α - kretanje u smjeru kazaljke na satu.

Za rad s formulama redukcije potrebne su dvije točke:

1) stavljamo predznak da početna funkcija ima (u udžbenicima pišu: reducibilno. Ali, da se ne bismo zabunili, bolje ju je nazvati početnom), ako α smatramo kutom prve četvrtine, da je malo.

2) Horizontalni promjer - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - općenito, kada nema razlomka, naziv funkcije se ne mijenja. Vertikalna π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - kada postoji razlomak, naziv funkcije se mijenja: sinus - u kosinus, kosinus - u sinus, tangent - u kotangens i kotangens - na tangentu.

Sada, zapravo, udruga:

okomiti promjer (postoji razlomak) -

pijani stoji. Što će mu biti rano

ili kasno? Tako je, pasti će.

Naziv funkcije će se promijeniti.

Ako je promjer horizontalan, pijanac već leži. Zaspao, vjerojatno. Neće mu se ništa dogoditi, već je zauzeo horizontalni položaj. Sukladno tome, naziv funkcije se ne mijenja.

To jest, sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), itd. dati ±cosα,

i sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.

Kao što već znamo.

Kako radi? Pogledajmo primjere.

1) cos(π/2+α)=?

Postajemo na π/2. Budući da +α znači da idemo naprijed, suprotno od kazaljke na satu. Padamo u II četvrtinu, gdje kosinus ima znak "-". Naziv funkcije se mijenja („pijani stoji“, što znači da će pasti). Tako,

cos(π/2+α)=-sinα.

Postajemo 2π. Budući da -α - idemo natrag, odnosno u smjeru kazaljke na satu. Padamo u IV kvart, gdje tangenta ima znak "-". Naziv funkcije se ne mijenja (promjer je horizontalan, "pijanac već leži"). Dakle, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Primjere u kojima se funkcija diže na parni stepen još je lakše riješiti. Parni stupanj "-" uklanja se, odnosno samo trebate saznati mijenja li se naziv funkcije ili ostaje. Promjer je okomit (postoji razlomak, "pijani stoji", pada), naziv funkcije se mijenja. Dobivamo: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Definicija. Formule redukcije nazivaju se formule koje vam omogućuju prijelaz s trigonometrijskih funkcija oblika na funkcije argumenta. Uz njihovu pomoć, sinus, kosinus, tangent i kotangens proizvoljnog kuta mogu se svesti na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta od 0 do 90 stupnjeva (od 0 do radijana). Dakle, formule redukcije omogućuju nam da prijeđemo na rad s kutovima unutar 90 stupnjeva, što je nesumnjivo vrlo zgodno.

Formule lijevanja:

Postoje dva pravila za korištenje cast formula.

Pogledajte sliku ispod, ona shematski pokazuje kada znak treba mijenjati, a kada ne.

2. Znak smanjene funkcije ostaje isto. Ako je izvorna funkcija imala znak plus, onda reducirana funkcija također ima znak plus. Ako je izvorna funkcija imala predznak minus, onda reducirana funkcija također ima predznak minus.

Na slici ispod prikazani su znakovi glavnih trigonometrijskih funkcija ovisno o četvrtini.

Primjer:

Izračunati

Koristimo formule redukcije:

Sin(150˚) je u drugoj četvrtini, iz slike možemo vidjeti da je predznak grijeha u ovoj četvrtini jednak "+". To znači da će gornja funkcija također imati znak "+". Primijenili smo drugo pravilo.