Stupnjevi znače oštar trokut. Vrste trokuta: pravokutni, oštrokutni, tupokutni

U pravilu se dva trokuta smatraju sličnima ako imaju isti oblik, čak i ako su različite veličine, zakrenuti ili čak naopako.

Matematički prikaz dva slična trokuta A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2 prikazan na slici je napisan na sljedeći način:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva su trokuta slična ako:

1. Svaki kut jednog trokuta jednak je odgovarajućem kutu drugog trokuta:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 I ∠C1 = ∠C2

2. Omjeri stranica jednog trokuta i odgovarajućih stranica drugog trokuta međusobno su jednaki:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Odnosi dvije strane jednog trokuta na odgovarajuće stranice drugog trokuta jednake su jedna drugoj i u isto vrijeme
kutovi između ovih stranica su jednaki:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ i $\ugao A_1 = \ugao A_2$
ili
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ i $\ugao B_1 = \ugao B_2$
ili
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ i $\ugao C_1 = \ugao C_2$

Slične trokute ne treba miješati s jednakim trokutima. Kongruentni trokuti imaju odgovarajuće duljine stranica. Dakle, za jednake trokute:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iz ovoga slijedi da su svi jednaki trokuti slični. Međutim, nisu svi slični trokuti jednaki.

Iako gornja oznaka pokazuje da da bismo saznali jesu li dva trokuta slična ili ne, moramo znati vrijednosti triju kutova ili duljine triju stranica svakog trokuta, da bismo riješili probleme sa sličnim trokutom, dovoljno je znati bilo koje tri vrijednosti iz gore navedenih za svaki trokut. Ove vrijednosti mogu biti u različitim kombinacijama:

1) tri kuta svakog trokuta (duljine stranica trokuta ne moraju biti poznate).

Ili najmanje 2 kuta jednog trokuta moraju biti jednaka 2 kuta drugog trokuta.
Budući da ako su 2 kuta jednaka, onda će i treći kut biti jednak. (Vrijednost trećeg kuta je 180 - kut1 - kut2)

2) duljine stranica svakog trokuta (ne treba znati kutove);

3) duljine dviju stranica i kut između njih.

Zatim razmatramo rješenje nekih problema sa sličnim trokutima. Prvo ćemo pogledati probleme koji se mogu riješiti izravnom uporabom gornjih pravila, a zatim ćemo raspravljati o nekim praktičnim problemima koji se mogu riješiti metodom sličnih trokuta.

Praktični zadaci sa sličnim trokutima

Primjer #1: Pokažite da su dva trokuta na donjoj slici slična.

Riješenje:
Budući da su poznate duljine stranica oba trokuta, ovdje se može primijeniti drugo pravilo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Primjer #2: Pokažite da su dva dana trokuta slična i pronađite duljine stranica PQ I PR.

Riješenje:
∠A = ∠P I ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(jer je ∠C = 180 - ∠A - ∠B i ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Iz ovoga slijedi da su trokuti ∆ABC i ∆PQR slični. posljedično:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ i
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dolara

Primjer #3: Odredite duljinu AB u ovom trokutu.

Riješenje:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED I ∠A zajednički => trokuti ΔABC I ΔADE su slični.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Strelica desno 2\puta AB = AB + 4 \Strelica desno AB = 4$

Primjer #4: Odredite duljinu AD(x) geometrijski lik na slici.

Trokuti ∆ABC i ∆CDE su slični jer AB || DE i imaju zajedničku gornji kut C.
Vidimo da je jedan trokut skalirana verzija drugog. Međutim, moramo to matematički dokazati.

AB || DE, CD || AC i BC || EU
∠BAC = ∠EDC i ∠ABC = ∠DEC

Na temelju prethodnog i uzimajući u obzir prisutnost zajedničkog kuta C, možemo ustvrditi da su trokuti ∆ABC i ∆CDE slični.

posljedično:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Strelica desno CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktični primjeri

Primjer #5: Tvornica koristi nagnutu transportnu traku za transport proizvoda od razine 1 do razine 2, koja je 3 metra iznad razine 1, kao što je prikazano na slici. Kosi transporter se servisira s jednog kraja do razine 1, a s drugog kraja do radne stanice koja se nalazi na udaljenosti od 8 metara od radne točke razine 1.

Tvornica želi nadograditi transportnu traku kako bi pristupila novoj razini, koja je 9 metara iznad razine 1, uz zadržavanje kuta transportne trake.

Odredite udaljenost na kojoj trebate postaviti novu radnu stanicu kako biste osigurali da transporter radi na svom novom kraju na razini 2. Također izračunajte dodatnu udaljenost koju će proizvod prijeći pri prelasku na novu razinu.

Riješenje:

Najprije označimo svaku točku raskrižja određenim slovom, kao što je prikazano na slici.

Na temelju obrazloženja danog gore u prethodnim primjerima, možemo zaključiti da su trokuti ∆ABC i ∆ADE slični. posljedično,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Dakle, nova točka mora biti postavljena na udaljenosti od 16 metara od postojeće točke.

A budući da se struktura sastoji od pravokutnih trokuta, udaljenost putovanja proizvoda možemo izračunati na sljedeći način:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Slično, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
što je udaljenost koju proizvod putuje ovaj trenutak pri ulasku u postojeću razinu.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
To je dodatna udaljenost koju proizvod mora prijeći da bi dosegao novu razinu.

Primjer #6: Steve želi posjetiti svog prijatelja koji se nedavno doselio nova kuća. Karta puta do Stevea i kuće njegova prijatelja, zajedno s udaljenostima koje Steve zna, prikazan je na slici. Pomozi Steveu da na najkraći način dođe do kuće svog prijatelja.

Riješenje:

Putokaz se može geometrijski prikazati u sljedećem obliku, kao što je prikazano na slici.

Vidimo da su trokuti ∆ABC i ∆CDE slični, dakle:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Izjava zadatka kaže da:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km i DE = 5 km

Koristeći ove podatke, možemo izračunati sljedeće udaljenosti:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \puts 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve može doći do kuće svog prijatelja koristeći sljedeće rute:

A -> B -> C -> E -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Stoga je ruta br. 3 najkraća i može se ponuditi Steveu.

Primjer 7:
Trisha želi izmjeriti visinu kuće, ali nema pravim alatima. Primijetila je da ispred kuće raste stablo te je svojom snalažljivošću i znanjem iz geometrije dobivenim u školi odlučila odrediti visinu zgrade. Izmjerila je udaljenost od stabla do kuće, rezultat je bio 30 m. Zatim je stala ispred stabla i počela uzmicati sve dok se gornji rub zgrade nije vidio iznad vrha stabla. Trisha je označila mjesto i izmjerila udaljenost od njega do stabla. Ova udaljenost je bila 5 m.

Visina stabla je 2,8 m, a visina Trishinih očiju 1,6 m. Pomozi Trishi odrediti visinu zgrade.

Riješenje:

Geometrijski prikaz problema prikazan je na slici.

Prvo koristimo sličnost trokuta ∆ABC i ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Strelica desno 2.8 \puta AC = 1.6 \puta (5 + AC) = 8 + 1,6 \puta AC$

$(2,8 - 1,6) \puta AC = 8 \Strelica desno AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Tada možemo koristiti sličnost trokuta ∆ACB i ∆AFG ili ∆ADE i ∆AFG. Odaberimo prvu opciju.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Strelica desno H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Za dva trokuta se kaže da su sukladna ako se mogu preklapati. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se superponirati na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su njihovi vrhovi i stranice zajedno upareni. Jasno je da će u ovom slučaju kutovi ovih trokuta biti kombinirani u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta jednaka, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta, redom, jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima na dotično jednakim stranicama(tj. preklapanje kada se preklapa) leže pod jednakim kutovima i natrag: nasuprot odgovarajuće jednakih kutova leže jednake stranice.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, jednaki kutovi C i C 1 leže naspram jednakih stranica AB i A 1 B 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 2).

Dokaz. Razmotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Budući da ∠ A \u003d ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC se preklapaju na zrake A 1 B 1 i A 1 C jedna . Budući da AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada će se strana AB kombinirati sa stranom A 1 B 1 i stranom AC - sa stranom A 1 C 1; posebno, točke B i B 1 , C i C 1 će se podudarati. Stoga će stranice BC i B 1 C 1 biti poravnate. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 dokazuje se slično metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva uz nju susjedna kuta jednog trokuta jednaki strani i dva kuta koji su uz nju susjedni drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 34).

Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.

Teorem 4. Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg unutarnji kut, a ne uz njega.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki ().

Primjer 1 U trokutima ABC i DEF (slika 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koji je kut u trokutu DEF jednak kutu B?

Riješenje. Ti su trokuti jednaki u prvom znaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot odgovarajućih jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2 Segmenti AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je središte svakog od njih. Čemu je jednak segment BD ako je odsječak AC 6 m?

Riješenje. Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (prema uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi jednakost njihovih stranica, tj. AC = BD. Ali budući da je, prema uvjetu, AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Standardne oznake

Trokut s vrhovima A, B I C označen kao (vidi sl.). Trokut ima tri strane:

Duljine stranica trokuta označene su malim slovima latiničnim slovima(a,b,c):

Trokut ima sljedeće kutove:

Tradicionalno se označavaju vrijednosti kutova na odgovarajućim vrhovima grčka slova (α, β, γ).

Znakovi jednakosti trokuta

Trokut na euklidovoj ravnini može se jednoznačno (do kongruencije) definirati sljedećim trojkama osnovnih elemenata:

1. a, b, γ (jednakost na dvije strane i kut koji leži između njih);
2. a, β, γ (jednakost stranice i dva susjedna kuta);
3. a, b, c (jednakost na tri strane).

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

1. duž kraka i hipotenuze;
2. na dvije noge;
3. uz nogu i akutni kut;
4. hipotenuzu i oštar kut.

Neke točke u trokutu su "uparene". Na primjer, postoje dvije točke iz kojih su sve strane vidljive ili pod kutom od 60° ili pod kutom od 120°. Zovu se točkice Torricelli. Također postoje dvije točke čije projekcije na stranice leže u vrhovima pravilnog trokuta. ovo - Apolonijevih točaka. Točke i tako što se zovu Brocard bodovi.

Direktno

U bilo kojem trokutu, težište, ortocentar i središte opisane kružnice leže na istoj pravoj liniji, tzv. Eulerova linija.

Zove se pravac koji prolazi središtem opisane kružnice i točkom Lemoinea Brokarova os. Na njemu leže Apolonijeve točke. Torricellijeve točke i točka Lemoine također leže na istoj pravoj liniji. Osnove vanjskih simetrala kutova trokuta leže na istoj pravoj liniji, tzv. os vanjskih simetrala. Točke presjeka pravaca koji sadrže stranice pravokutnog trokuta s linijama koje sadrže stranice trokuta također leže na istoj liniji. Ova linija se zove ortocentrična os, okomita je na Eulerovu liniju.

Ako uzmemo točku na opisanoj kružnici trokuta, tada će njene projekcije na stranice trokuta ležati na jednoj pravoj liniji, tzv. Simsonova ravna linija zadanu točku. Simsonove linije dijametralno suprotnih točaka su okomite.

trokuta

• Trokut s vrhovima na bazama ceviana povučen kroz danu točku naziva se cevianski trokut ovu točku.
• Trokut s vrhovima u projekcijama zadane točke na stranice naziva se ispod kože ili trokut pedala ovu točku.
• Trokut s vrhovima u drugim točkama presjeka linija povučenih kroz vrhove i zadanu točku, s opisanom kružnicom, naziva se cevianski trokut. Cevianski trokut sličan je subdermalnom.

krugovima

• Upisana kružnica je kružnica tangenta na sve tri strane trokuta. Ona je jedina. Središte upisane kružnice naziva se incenter.
• Opisani krug- kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta. Opisani krug je također jedinstven.
• Zaokruži- kružnica tangenta na jednu stranicu trokuta i produžetak druge dvije stranice. U trokutu postoje tri takva kruga. Njihovo radikalno središte je središte upisane kružnice srednjeg trokuta, tzv Spiekerova poanta.

Posrednice triju strana trokuta, osnovice njegove tri visine i središnje točke tri odsječka pravca koji povezuju njegove vrhove s ortocentrom leže na jednoj kružnici tzv. krug od devet točaka ili Eulerov krug. Središte kružnice s devet točaka leži na Eulerovoj liniji. Krug od devet točaka dodiruje upisanu kružnicu i tri izvanokružnice. Dodirna točka između upisane kružnice i kružnice od devet točaka naziva se Feuerbachova točka. Ako iz svakog vrha postavimo trokute na ravne linije koje sadrže stranice, ortoze jednake duljine suprotnim stranama, tada dobivenih šest točaka leži na jednoj kružnici - Conway krugovi. U bilo koji trokut mogu se upisati tri kružnice na način da svaki od njih dodiruje dvije strane trokuta i dvije druge kružnice. Takvi krugovi se nazivaju Malfatti krugovi. Središta opisanih kružnica šest trokuta na koje je trokut podijeljen medijanama leže na jednoj kružnici koja se naziva Lamunov krug.

Trokut ima tri kružnice koje dodiruju dvije strane trokuta i opisanu kružnicu. Takvi krugovi se nazivaju poluupisani ili Verrierovi krugovi. Segmenti koji spajaju dodirne točke Verrierove kružnice s opisanom kružnicom sijeku se u jednoj točki, tzv. Verrier točka. Služi kao središte homotetije, koje opisanu kružnicu vodi u upisanu kružnicu. Točke dodira Verrierovih kružnica sa stranicama leže na pravoj liniji koja prolazi središtem upisane kružnice.

Segmenti pravca koji spajaju tangente upisane kružnice s vrhovima sijeku se u jednoj točki, tzv. Gergonne točka, a segmenti koji povezuju vrhove s dodirnim točkama excircles - in Nagelova točka.

Elipse, parabole i hiperbole

Upisana konika (elipsa) i njena perspektiva

U trokut se može upisati beskonačan broj konika (elipsa, parabola ili hiperbola). Ako u trokut upišemo proizvoljni konik i spojimo dodirne točke sa suprotnim vrhovima, tada će se rezultirajuće linije sijeći u jednoj točki, tzv. perspektiva konici. Za bilo koju točku ravnine koja ne leži na strani ili na njenom produžetku postoji upisana konika s perspektivom u toj točki.

Steinerova elipsa je opisana i ceviani prolaze kroz njezina žarišta

Elipsa se može upisati u trokut koji dodiruje stranice u središnjim točkama. Takva elipsa se zove Steinerova upisana elipsa(njegova perspektiva će biti težište trokuta). Opisana elipsa, koja je tangentna na prave koje prolaze kroz vrhove paralelne stranicama, naziva se opisano Steinerovom elipsom. Ako afina transformacija ("koso") prevede trokut u pravilan, tada će njegova upisana i opisana Steinerova elipsa ići u upisanu i opisanu kružnicu. Ceviani povučeni kroz žarišta opisane Steinerove elipse (Skutinove točke) su jednaki (Skutinov teorem). Od svih opisanih elipsa, opisana Steinerova elipsa ima najmanja površina, a od svih upisanih elipsa, Steinerova upisana elipsa ima najveću površinu.

Brocardova elipsa i njezin perspektiva - Lemoine točka

Elipsa s žarištima u Brokarovim točkama naziva se Brocardova elipsa. Njegova perspektiva je točka Lemoine.

Svojstva upisane parabole

Kiepertova parabola

Perspektive upisanih parabola leže na opisanoj Steinerovoj elipsi. Težište upisane parabole leži na opisanoj kružnici, a direktrisa prolazi kroz ortocentar. Parabola upisana u trokut čija je direktrisa Eulerova linija naziva se Kiepertova parabola. Njegova perspektiva je četvrta točka presjeka opisane kružnice i opisane Steinerove elipse, tzv. Steinerova točka.

Cypertova hiperbola

Ako opisana hiperbola prolazi točkom presjeka visina, onda je jednakostranična (odnosno, njene asimptote su okomite). Točka presjeka asimptota jednakostranične hiperbole leži na kružnici od devet točaka.

Transformacije

Ako se pravci koji prolaze kroz vrhove i neku točku koja ne leži na stranicama i njihove produžetke reflektiraju u odnosu na odgovarajuće simetrale, tada će se i njihove slike sijeći u jednoj točki, koja se naziva izogonalno konjugirani izvorni (ako točka leži na opisanoj kružnici, tada će rezultirajuće linije biti paralelne). Mnogi parovi izvanrednih točaka su izogonalno konjugirani: središte opisane kružnice i ortocentar, središte i Lemoineova točka, Brocardove točke. Apolonijeve točke su izogonalno konjugirane s Torricellijevim točkama, a središte upisane kružnice je izogonalno konjugirano samo sa sobom. Pod djelovanjem izogonalne konjugacije ravne linije prelaze u opisane konike, a opisane konike u ravne. Dakle, Kiepertova hiperbola i Brocardova os, Enzhabekova hiperbola i Eulerova linija, Feuerbachova hiperbola i linija središta upisane kružnice su izogonalno konjugirane. Opisani krugovi subdermalnih trokuta izogonalno konjugiranih točaka poklapaju se. Žarišta upisanih elipsa su izogonalno konjugirana.

Ako umjesto simetričnog ceviana uzmemo cevian čija je osnova jednako udaljena od sredine stranice koliko i baza izvornog, tada će se i takvi ceviani u jednoj točki sijeći. Rezultirajuća transformacija se zove izotomska konjugacija. Također preslikava linije u opisane konike. Gergonneove i Nagelove točke su izotomski konjugirane. Kod afine transformacije izotomski konjugirane točke prelaze u izotomski konjugirane. Kod konjugacije izotomije, opisana Steinerova elipsa prelazi u ravnu liniju u beskonačnosti.

Ako su u segmente odsječene stranicama trokuta od opisane kružnice upisane kružnice koje dodiruju stranice na bazama ceviana povučenih kroz određenu točku, a zatim se dodirne točke tih kružnica spoje na opisanu kružnicu. krug sa suprotnim vrhovima, tada će se takve linije sijeći u jednoj točki. Zove se transformacija ravnine, koja odgovara izvornoj točki s rezultirajućom točkom izokružna transformacija. Sastav izogonalne i izotomske konjugacije je sastav izokružne transformacije sa samim sobom. Ova kompozicija je projektivna transformacija koja ostavlja stranice trokuta na mjestu i prevodi os vanjskih simetrala u ravnu liniju u beskonačnosti.

Ako nastavimo stranice Ceviova trokuta neke točke i uzmemo njihove točke presjeka s odgovarajućim stranicama, tada će rezultirajuće točke presjeka ležati na jednoj pravoj liniji, tzv. trilinearni polarni Polazna točka. Ortocentrična os - trilinearni polar ortocentra; trilinearni polar središta upisane kružnice je os vanjskih simetrala. Trilinearni polari točaka koje leže na opisanoj konici sijeku se u jednoj točki (za opisanu kružnicu to je Lemoineova točka, za opisanu Steinerovu elipsu to je težište). Sastav izogonalne (ili izotomske) konjugacije i trilinearne polarne je transformacija dualnosti (ako točka izogonalno (izotomski) konjugirana s točkom leži na trilinearnom polaru točke, tada je trilinearna polarna točka izogonalno (izotomski) konjugiran točkom leži na trilinearnom polaru točke).

Kocke

Odnosi u trokutu

Bilješka: u ovom odjeljku, , , su duljine triju strana trokuta, i , , su kutovi koji leže nasuprot ove tri strane (suprotni kutovi).

nejednakost trokuta

U nedegeneriranom trokutu zbroj duljina njegovih dviju stranica veći je od duljine treće strane, u degeneriranom je jednak. Drugim riječima, duljine stranica trokuta povezane su sljedećim nejednakostima:

Nejednakost trokuta jedan je od aksioma metrike.

Teorem o zbroju kutova trokuta

Teorem sinusa

,

gdje je R polumjer kružnice opisane oko trokuta. Iz teorema slijedi da ako je a< b < c, то α < β < γ.

Kosinusni teorem

Teorem tangente

Ostali omjeri

Metrički omjeri u trokutu dati su za:

Rješavanje trokuta

Izračun nepoznatih stranica i kutova trokuta, na temelju poznatih, povijesno se nazivao "rješenja trokuta". U ovom slučaju se koriste gornji opći trigonometrijski teoremi.

Površina trokuta

Posebni slučajevi Oznaka

Za područje vrijede sljedeće nejednakosti:

Izračunavanje površine trokuta u prostoru pomoću vektora

Neka su vrhovi trokuta u točkama , , .

Uvedemo vektor površine. Duljina ovog vektora jednaka je površini trokuta, a usmjerena je duž normale na ravninu trokuta:

Neka , gdje , , su projekcije trokuta na koordinatne ravnine. Pri čemu

i isto tako

Površina trokuta je .

Alternativa je izračunati duljine stranica (pomoću Pitagorinog teorema), a zatim pomoću Heronove formule.

Teoremi o trokutu

Desarguesov teorem: ako su dva trokuta perspektivna (pravci koji prolaze kroz odgovarajuće vrhove trokuta sijeku se u jednoj točki), tada se njihove strane sijeku na jednoj ravnoj liniji.

Sondov teorem: ako su dva trokuta perspektivna i ortologa (okomite spuštene s vrhova jednog trokuta na strane suprotne od odgovarajućih vrhova trokuta, i obrnuto), tada oba ortološka središta (točke presjeka ovih okomica) i perspektivno središte leže na jednoj pravoj liniji okomitoj na perspektivnu os (prava crta iz Desarguesovog teorema).

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati različite vrste trokuta.

Smatrati geometrijski likovi i među njima pronađite “ekstra” (slika 1).

Riža. 1. Ilustracija na primjer

Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četverokuti. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Riža. 2. Četverokutnici

To znači da je "dodatni" lik trokut (slika 3).

Riža. 3. Ilustracija na primjer

Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji te točke povezuju u paru.

Točke se zovu vrhovima trokuta, segmenti - njegovi stranke. Stranice trokuta se formiraju U vrhovima trokuta postoje tri kuta.

Glavne značajke trokuta su tri strane i tri ugla. Trokuti se klasificiraju prema kutu akutna, pravokutna i tupa.

Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).

Riža. 4. Oštri trokut

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90° (slika 5.).

Riža. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupokutnim ako mu je jedan od kutova tup, tj. veći od 90° (slika 6).

Riža. 6. Tupokutni trokut

Prema broju jednakih stranica trokuti su jednakostranični, jednakokračni, razmjerni.

Jednakokračni trokut je trokut u kojem su dvije stranice jednake (slika 7).

Riža. 7. Jednakokračni trokut

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnovu. U jednakokračnom trokutu kutovi na bazi su jednaki.

Jednakokračni trokuti su akutna i tupa(slika 8) .

Riža. 8. Oštri i tupi jednakokračni trokuti

Zove se jednakostranični trokut u kojemu su sve tri stranice jednake (slika 9).

Riža. 9. Jednakostranični trokut

U jednakostranični trokut svi kutovi su jednaki. Jednakostranični trokuti stalno oštrokutna.

Trokut se naziva svestranim, u kojem sve tri strane imaju različite duljine (slika 10.).

Riža. 10. Skalirani trokut

Dovrši zadatak. Podijelite ove trokute u tri skupine (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini kutova.

Oštri trokuti: br. 1, br. 3.

Pravokutni trokuti: #2, #6.

Tupokutni trokuti: #4, #5.

Ti su trokuti podijeljeni u skupine prema broju jednakih stranica.

Skalirani trokuti: br. 4, br. 6.

Jednakokračni trokuti: br. 2, br. 3, br.

Jednakostranični trokut: br. 1.

Pregledajte crteže.

Razmislite od kojeg je komada žice napravljen svaki trokut (slika 12).

Riža. 12. Ilustracija za zadatak

Možete se ovako raspravljati.

Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazano treće.

Drugi komad žice podijeljen je na tri različita dijela, tako da od njega možete napraviti skalasti trokut. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice podijeljen je na tri dijela, pri čemu su dva dijela iste duljine, tako da od njega možete napraviti jednakokračni trokut. Prikazano je drugo na slici.

Danas smo se u lekciji upoznali s različitim vrstama trokuta.

Bibliografija

1. MI. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
2. MI. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
3. MI. Moreau. Lekcije matematike: Smjernice za učitelja. 3. razred - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
5. "Ruska škola": Programi za osnovna škola. - M.: "Prosvjeta", 2011.
6. SI. Volkov. Matematika: Provjera rada. 3. razred - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Domaća zadaća

1. Završi fraze.

a) Trokut je lik koji se sastoji od ..., koji ne leži na istoj pravoj liniji, i ..., koji povezuje ove točke u parovima.

b) Točke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trokuta nastaju u vrhovima trokuta ….

c) Prema veličini kuta trokuti su ..., ..., ....

d) Prema broju jednakih stranica trokuti su ..., ..., ....

2. Crtanje

a) pravokutni trokut

b) oštar trokut;

c) tupokutni trokut;

d) jednakostranični trokut;

e) skalenski trokut;

e) jednakokračni trokut.

3. Napravite zadatak na temu sata za svoje suborce.

Znanost o geometriji nam govori što je trokut, kvadrat, kocka. U moderni svijet u školama ga proučavaju svi bez iznimke. Također, znanost koja izravno proučava što je trokut i koja svojstva ima je trigonometrija. Ona detaljno istražuje sve pojave povezane s podacima. O tome što je trokut danas ćemo govoriti u našem članku. Njihove vrste bit će opisane u nastavku, kao i neke teoreme vezane za njih.

Što je trokut? Definicija

Ovo je ravan poligon. Ima tri ugla, što je jasno iz imena. Također ima tri strane i tri vrha, od kojih su prvi segmenti, a drugi točke. Znajući koliko su dva kuta jednaka, možete pronaći treći tako da od broja 180 oduzmete zbroj prva dva.

Što su trokuti?

Mogu se klasificirati prema različitim kriterijima.

Prije svega, dijele se na oštrokutne, tupokutne i pravokutne. Prvi imaju oštre kutove, odnosno one koji su manji od 90 stupnjeva. Kod tupih kutova jedan od kutova je tup, odnosno onaj koji je jednak više od 90 stupnjeva, druga dva su oštra. Akutni trokuti također uključuju jednakostranične trokute. Takvi trokuti imaju sve stranice i kutove jednake. Svi su jednaki 60 stupnjeva, to se lako može izračunati dijeljenjem zbroja svih kutova (180) s tri.

Pravokutni trokut

Nemoguće je ne govoriti o tome što je pravokutni trokut.

Takav lik ima jedan kut jednak 90 stupnjeva (ravno), odnosno dvije njegove strane su okomite. Druga dva kuta su oštra. Oni mogu biti jednaki, tada će biti jednakokračni. Pitagorin teorem povezan je s pravokutnim trokutom. Uz njegovu pomoć možete pronaći treću stranu, poznavajući prve dvije. Prema ovom teoremu, ako kvadratu jedne noge dodate kvadrat druge, možete dobiti kvadrat hipotenuze. Kvadrat kateta može se izračunati oduzimanjem kvadrata poznate katete od kvadrata hipotenuze. Govoreći o tome što je trokut, možemo se prisjetiti jednakokraka. Ovo je onaj u kojem su dvije stranice jednake, a dva kuta također jednaka.

Što je kateta i hipotenuza?

Noga je jedna od stranica trokuta koja tvori kut od 90 stupnjeva. Hipotenuza je preostala strana koja je suprotna pravi kut. Iz njega se okomica može spustiti na nogu. Omjer susjednog kraka i hipotenuze naziva se kosinus, a suprotan sinus.

- koje su njegove karakteristike?

Pravokutnog je oblika. Njegovi kraci su tri i četiri, a hipotenuza pet. Ako ste vidjeli da su noge ovog trokuta jednake tri i četiri, možete biti sigurni da će hipotenuza biti jednaka pet. Također, prema ovom principu lako se može odrediti da će katet biti jednak tri ako je drugi jednak četiri, a hipotenuza pet. Da biste dokazali ovu tvrdnju, možete primijeniti Pitagorin teorem. Ako su dvije noge 3 i 4, tada je 9 + 16 \u003d 25, korijen od 25 je 5, odnosno hipotenuza je 5. Također, egipatski trokut naziva se pravokutni trokut, čije su stranice 6, 8 i 10 ; 9, 12 i 15 i drugi brojevi s omjerom 3:4:5.

Što bi još mogao biti trokut?

Trokuti također mogu biti upisani i opisani. Lik oko kojeg se opisuje kružnica naziva se upisanim, svi njegovi vrhovi su točke koje leže na kružnici. Opisani trokut je onaj u koji je upisana kružnica. Sve njegove strane su u dodiru s njim u određenim točkama.

Kako je

Mjeri se površina bilo koje figure kvadratne jedinice(kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri itd.) Ova se vrijednost može izračunati na različite načine, ovisno o vrsti trokuta. Područje bilo koje figure s kutovima može se pronaći množenjem njegove strane s okomicom koja je na nju spuštena iz suprotnom kutu, i dijeljenje ove brojke s dva. Ovu vrijednost možete pronaći i množenjem dvije strane. Zatim pomnožite ovaj broj sa sinusom kuta između ovih stranica i podijelite s dva. Poznavajući sve strane trokuta, ali ne znajući njegove kutove, područje možete pronaći na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći polovicu perimetra. Zatim naizmjenično oduzimajte različite strane od ovog broja i pomnožite četiri dobivene vrijednosti. Zatim saznajte broj koji je izašao. Površina upisanog trokuta može se naći množenjem svih stranica i dijeljenjem dobivenog broja koji je opisan oko njega puta četiri.

Područje opisanog trokuta nalazi se na ovaj način: množimo polovicu perimetra s polumjerom kruga koji je u njega upisan. Ako se tada njegovo područje može pronaći na sljedeći način: kvadriramo stranu, pomnožimo rezultirajuću brojku s korijenom od tri, a zatim podijelimo ovaj broj s četiri. Slično, možete izračunati visinu trokuta u kojem su sve strane jednake, za to trebate jednu od njih pomnožiti s korijenom od tri, a zatim podijeliti ovaj broj s dva.

Teoremi o trokutu

Glavni teoremi koji su povezani s ovom slikom su Pitagorin teorem, gore opisani, i kosinus. Drugi (sinus) je da ako podijelite bilo koju stranu sa sinusom kuta suprotnog njoj, možete dobiti polumjer kružnice koja je opisana oko nje, pomnožen s dva. Treći (kosinus) je da ako se od njihovog umnoška oduzme zbroj kvadrata dviju stranica, pomnožen s dva i kosinus kuta koji se nalazi između njih, tada će se dobiti kvadrat treće strane.

Dali trokut - što je to?

Mnogi, suočeni s ovim konceptom, isprva misle da je to nekakva definicija u geometriji, ali to uopće nije tako. Dalijev trokut je uobičajeno ime tri mjesta koja su usko povezana sa životom slavnog umjetnika. Njegovi "vrhovi" su kuća u kojoj je živio Salvador Dali, dvorac koji je poklonio svojoj supruzi i muzej nadrealističkih slika. Tijekom obilaska ovih mjesta možete puno naučiti. Zanimljivosti o ovom osebujnom kreativnom umjetniku poznatom u cijelom svijetu.