Definicija. Prizma- ovo je poliedar, čiji su svi vrhovi smješteni u dvije paralelne ravnine, a u iste dvije ravnine postoje dvije površine prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, i svi bridovi koji ne leže u tim ravnine su paralelne.

Zovu se dva jednaka lica baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Formiraju se sve bočne strane bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Rubovi koji ne leže u bazama nazivaju se bočni rubovi prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme naziva se segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na jednoj njezinoj strani (AD 1).

Duljina segmenta koji povezuje osnovice prizme i okomito na obje baze u isto vrijeme naziva se visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu zaobilaznice, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog ruba označeni su istim slovima, samo vrhovi koji leže u jedna baza je označena slovima bez indeksa, au drugoj - s indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem kutova na slici koji leži u njenoj osnovi, na primjer, na slici 1, baza je peterokut, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali pošto takva prizma ima 7 lica, onda je heptaedar(2 lica su osnove prizme, 5 lica su paralelogrami, njene su bočne strane)

Među ravnim prizmama ističe se privatni pogled: pravilne prizme.

Ravna prizma se zove ispravno, ako su mu baze pravilni mnogokuti.

Paralelopiped

kuboidan- pravi paralelepiped čija je baza pravokutnik.

Svojstva i teoremi:

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a - strana kvadrata.

Ideju prizme daje:

• razne arhitektonske strukture;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Ukupna i bočna površina prizme

S puni \u003d S strana + 2S glavni,

gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S glavni- temeljna površina

Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

S strana\u003d P glavni * h,

gdje S strana je površina bočne površine ravne prizme,

P glavni - opseg baze ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnom rubu.

Volumen prizme

Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro je zajednička strana dviju susjednih bočnih strana

Visina prizme je odsječak okomit na osnovice prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne bridove

Dijagonalni presjek- granice presjeka prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek ispravne četverokutna prizma je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njene bočne bridove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 jednake su i paralelne jedna s drugom
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina - zbroj površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih strana (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2 .

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Stranice su pravokutnici.
• Bočne strane su međusobno jednake
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - desno
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno s bazama

Formule za pravilnu četverokutnu prizmu

Upute za rješavanje problema

Ispravna prizma- prizma u čijoj bazi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio sata sa zadacima iz geometrije (presjek čvrsta geometrija - prizma). Evo zadataka koji uzrokuju poteškoće u rješavanju. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vađenja korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

Dijagonala pravilne prizme formira se s dijagonalom baze i visinom prizme pravokutni trokut. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala zadane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odluka.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, tada je stranica baze (označena kao a) pronađena Pitagorinim teoremom:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) bit će tada jednaka:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine baze

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Grana matematike koja proučava svojstva različitih oblika (točaka, linija, kutova, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih objekata), njihove veličine i relativni položaj. Radi praktičnosti nastave geometrija se dijeli na planimetriju i geometriju čvrstog tijela. NA… … Enciklopedija Collier

Geometrija prostora dimenzija veće od tri; pojam se primjenjuje na one prostore čija je geometrija izvorno razvijena za slučaj tri dimenzije, a tek onda generalizirana na broj dimenzija n> 3, prvenstveno euklidski prostor, ... ... Matematička enciklopedija

N dimenzionalna euklidska geometrija generalizacija euklidske geometrije na prostor više mjerenja. Iako je fizički prostor trodimenzionalan, a ljudska osjetila su dizajnirana da percipiraju tri dimenzije, N je dimenzionalan ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Pyramidatsu (značenja). Dovedena je u pitanje pouzdanost ovog dijela članka. Potrebno je provjeriti točnost činjenica navedenih u ovom odjeljku. Možda postoje objašnjenja na stranici za razgovor ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrste tvari. Geometrija strukturnih blokova je često, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Omogućuje vam stvaranje složene scene ili ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) je tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Geometrija strukturnih blokova je često, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Ona ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Opseg (značenja). Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez strogih ... ... Wikipedije

Tip kocke Pravilni poliedar Lice kvadrat Vrhovi Bridovi Lica ... Wikipedia

Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge definicije u odnosu na trodimenzionalna tijela trodimenzionalnog euklidskog prostora. ... ... Wikipedia.

Dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona (vidi GEOMETRIJA) povezanih na takav način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica točno jednog drugog poligona (zvanog ... ... Enciklopedija Collier

knjige

• Set stolova. Geometrija. 10. razred. 14 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Brošura sa smjernice za učitelja. Studijski album od 14 listova...

Prizma. Paralelopiped

prizma naziva se poliedar čija su dva lica jednaka n-kuta (osnova) , koji leže u paralelnim ravninama, a preostalih n lica su paralelogrami (bočne strane) . Bočno rebro prizma je strana bočne strane koja ne pripada bazi.

Prizma čiji su bočni bridovi okomiti na ravnine baza naziva se ravno prizma (slika 1). Ako bočni bridovi nisu okomiti na ravnine baza, tada se prizma naziva koso . Točno Prizma je ravna prizma čije su osnovice pravilni mnogokuti.

Visina prizma naziva se udaljenost između ravnina baza. dijagonala Prizma je segment koji spaja dva vrha koji ne pripadaju istom licu. dijagonalni presjek Presjek prizme ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj površini naziva se. Okomit presjek naziva presjek prizme ravninom okomitom na bočni rub prizme.

Bočna površina prizma je zbroj površina svih bočnih strana. Puna površina naziva se zbroj površina svih strana prizme (tj. zbroj površina bočnih strana i površina baza).

Za proizvoljnu prizmu formule su istinite:

gdje l je duljina bočnog rebra;

H- visina;

P

P

S strana

S puna

S glavni je površina baza;

V je volumen prizme.

Za ravnu prizmu vrijedi sljedeće formule:

gdje str- perimetar baze;

l je duljina bočnog rebra;

H- visina.

Paralelopiped Zove se prizma čija je baza paralelogram. Paralelepiped čiji su bočni bridovi okomiti na osnovice naziva se direktno (slika 2). Ako bočni bridovi nisu okomiti na baze, onda se naziva paralelepiped koso . Zove se pravi paralelepiped čija je baza pravokutnik pravokutan. Zove se pravokutni paralelepiped u kojem su svi bridovi jednaki kocka.

Zovu se lica paralelepipeda koja nemaju zajedničkih vrhova suprotan . Duljine bridova koji izlaze iz jednog vrha nazivaju se mjerenja paralelopiped. Budući da je kutija prizma, njeni su glavni elementi definirani na isti način kao što su definirani za prizme.

Teoremi.

1. Dijagonale paralelepipeda sijeku se u jednoj točki i dijele je na pola.

2. U pravokutnom paralelepipedu kvadrat duljine dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije:

3. Sve četiri dijagonale pravokutnog paralelepipeda su jedna drugoj.

Za proizvoljni paralelepiped, sljedeće formule su istinite:

gdje l je duljina bočnog rebra;

H- visina;

P je perimetar okomitog presjeka;

P– Površina okomitog presjeka;

S strana je bočna površina;

S puna je ukupna površina;

S glavni je površina baza;

V je volumen prizme.

Za desni paralelepiped vrijedi sljedeće formule:

gdje str- perimetar baze;

l je duljina bočnog rebra;

H je visina desnog paralelepipeda.

Za pravokutni paralelepiped vrijedi sljedeće formule:

(3)

gdje str- perimetar baze;

H- visina;

d- dijagonala;

a,b,c– mjerenja paralelepipeda.

Ispravne formule za kocku su:

gdje a je duljina rebra;

d je dijagonala kocke.

Primjer 1 Dijagonala pravokutnog kvadra je 33 dm, a njegove su mjere povezane kao 2: 6: 9. Nađite mjere kvadra.

Odluka. Za pronalaženje dimenzija paralelepipeda koristimo formulu (3), tj. činjenica da je kvadrat hipotenuze kvadra jednak zbroju kvadrata njegovih dimenzija. Označiti sa k koeficijent proporcionalnosti. Tada će dimenzije paralelepipeda biti jednake 2 k, 6k i 9 k. Za podatke problema pišemo formulu (3):

Rješavanje ove jednadžbe za k, dobivamo:

Dakle, dimenzije paralelepipeda su 6 dm, 18 dm i 27 dm.

Odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primjer 2 Odredite volumen nagnute trokutaste prizme čija je baza jednakostranični trokut sa stranicom od 8 cm, ako je bočni brid jednak stranici baze i nagnut je pod kutom od 60º u odnosu na bazu.

Odluka . Napravimo crtež (slika 3).

Da biste pronašli volumen nagnute prizme, morate znati površinu njezine baze i visinu. Površina osnove ove prizme je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 8 cm. Izračunajmo je:

Visina prizme je udaljenost između njenih baza. Od vrha ALI 1 gornje baze spuštamo okomicu na ravninu donje baze ALI 1 D. Njegova duljina bit će visina prizme. Uzmite u obzir D ALI 1 OGLAS: budući da je to kut nagiba bočnog rebra ALI 1 ALI na osnovnu ravninu ALI 1 ALI= 8 cm.Iz ovog trokuta nalazimo ALI 1 D:

Sada izračunavamo volumen pomoću formule (1):

Odgovor: 192 cm3.

Primjer 3 Bočni rub pravilne šesterokutne prizme je 14 cm. Površina najvećeg dijagonalnog presjeka je 168 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Odluka. Napravimo crtež (slika 4)

Najveći dijagonalni presjek je pravokutnik AA 1 dd 1 , budući da je dijagonala OGLAS pravilni šesterokut A B C D E F je najveći. Da bi se izračunala bočna površina prizme, potrebno je znati stranu baze i duljinu bočnog rebra.

Poznavajući površinu dijagonalnog presjeka (pravokutnika), nalazimo dijagonalu baze.

Od tad

Od tad AB= 6 cm.

Tada je opseg baze:

Nađite površinu bočne površine prizme:

Površina pravilnog šesterokuta sa stranicom od 6 cm je:

Nađite ukupnu površinu prizme:

Odgovor:

Primjer 4 Osnova pravog paralelepipeda je romb. Površine dijagonalnih presjeka su 300 cm 2 i 875 cm 2. Nađi površinu bočne površine paralelepipeda.

Odluka. Napravimo crtež (slika 5).

Označite stranu romba sa a, dijagonale romba d 1 i d 2, visina kutije h. Da biste pronašli bočnu površinu ravnog paralelepipeda, potrebno je pomnožiti opseg baze s visinom: (formula (2)). Opseg baze p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, kao ABCD- romb. H = AA 1 = h. Da. Treba pronaći a i h.

Razmotrite dijagonalne presjeke. AA 1 SS 1 - pravokutnik čija je jedna strana dijagonala romba AC = d 1 , drugi - bočni rub AA 1 = h, onda

Slično za odjeljak BB 1 dd 1 dobivamo:

Koristeći svojstvo paralelograma tako da je zbroj kvadrata dijagonala jednak zbroju kvadrata svih njegovih stranica, dobivamo jednakost. Dobivamo sljedeće.

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su trodimenzionalna tijela. Tijelo je dio prostora omeđen nekom površinom.

poliedar Tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih mnogokuta naziva se. Poliedar se naziva konveksan ako leži na jednoj strani ravnine svakog ravnog mnogokuta na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i površine poliedra zove se rub. Lica konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica nazivaju se rubovi poliedra, i vrhovi vrhovi poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata koji su njezina lica. Sadrži 12 bridova (stranice kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

prizma naziva se poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravninama kombiniranih paralelnim prevođenjem i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočni rubovi prizme.

Visina prizme naziva udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istom licu naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljen ako mu je baza n-kut.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva koja proizlaze iz činjenice da se baze prizme kombiniraju paralelnim prijevodom:

1. Osnove prizme su jednake.

2. Bočni bridovi prizme su paralelni i jednaki.

Površina prizme se sastoji od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (to proizlazi iz svojstava prizme). Površina bočne površine prizme je zbroj površina bočnih strana.

ravna prizma

Prizma se zove ravno ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovice. Inače, prizma se zove koso.

Lica ravne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je njezinim bočnim stranama.

puna površina prizme je zbroj bočne površine i površina baza.

Ispravna prizma naziva se prava prizma s pravilnim mnogokutom u bazi.

Teorem 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega i visine prizme (ili, ekvivalentno, bočnom rubu).

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici čije su osnovice stranice mnogokuta na bazama prizme, a visine bočni bridovi prizme. Tada je, po definiciji, površina bočne površine:

,

gdje je opseg osnove ravne prizme.

Paralelopiped

Ako paralelogrami leže u osnovima prizme, onda se naziva paralelopiped. Sva lica paralelepipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

Teorem 13.2. Dijagonale paralelepipeda sijeku se u jednoj točki, a točka presjeka je podijeljena na pola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelepipeda su paralelogrami, zatim i , što znači da prema T o dvije ravne linije paralelne s trećim . Osim toga, to znači da linije i leže u istoj ravnini (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih pravaca i . Dakle, četverokut je paralelogram, a svojstvom paralelograma njegove se dijagonale i sijeku te se presječna točka podijeli na pola, što je trebalo dokazati.

Zove se pravi paralelepiped čija je baza pravokutnik kuboidan. Sva lica kvadra su pravokutnici. Duljine neparalelnih bridova kvadra nazivaju se njegovim linearne dimenzije(mjerenja). Postoje tri veličine (širina, visina, dužina).

Teorem 13.3. U kockastu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazuje se dvaput primjenom Pitagorinog T).

Zove se pravokutni paralelepiped u kojem su svi bridovi jednaki kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima n- ugljična prizma

13.2 U nagnutoj trokutastoj prizmi udaljenosti između bočnih bridova su 37, 13 i 40. Pronađite udaljenost između veće bočne strane i suprotnog bočnog brida.

13.3 Kroz stranu donje baze pravilne trokutaste prizme, povučena je ravnina koja siječe bočne strane duž segmenata, kut između kojih je . Pronađite kut nagiba ove ravnine prema osnovici prizme.