ग्राफ के कोने बिंदु। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा

नौकरी का प्रकार: 7

स्थिति

रेखा y=3x+2 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा है y=-12x^2+bx-10। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

समाधान दिखाएं

फेसला

चलो x_0 फ़ंक्शन के ग्राफ पर बिंदु का भुज हो y=-12x^2+bx-10 जिसके माध्यम से इस ग्राफ के स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y"(x_0)=-24x_0+b=3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ और दोनों के अंतर्गत आता है स्पर्शरेखा, यानी -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से कम हैं, इसलिए x_0=-1, फिर b=3+24x_0=-21.

जवाब

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=-3x+4 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=-x^2+5x-7. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए रेखा की ढलान y=-x^2+5x-7 एक मनमाना बिंदु पर x_0 है y"(x_0)। लेकिन y"=-2x+5, इसलिए y"(x_0)=- 2x_0+5. स्थिति में निर्दिष्ट रेखा y=-3x+4 का कोणीय गुणांक -3 है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि =-2x_0 +5=-3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

समाधान दिखाएं

फेसला

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A(-6; 2) और B(-1; 1) से होकर गुजरती है। C(-6; 1) रेखाओं x=-6 और y=1 के प्रतिच्छेदन बिंदु और \alpha कोण ABC द्वारा निरूपित करें (यह चित्र में देखा जा सकता है कि यह तीक्ष्ण है)। तब रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण \pi -\alpha बनाती है।

जैसा कि आप जानते हैं, tg(\pi -\alpha) बिंदु x_0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान होगा। नोटिस जो tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.यहाँ से, कमी सूत्रों द्वारा, हम प्राप्त करते हैं: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=-2x-4 फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा है y=16x^2+bx+12। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा है।

समाधान दिखाएं

फेसला

चलो x_0 समारोह के ग्राफ पर बिंदु की भुज हो y=16x^2+bx+12 जिसके माध्यम से

इस ग्राफ के स्पर्शरेखा है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y "(x_0)=32x_0+b=-2. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ और दोनों के अंतर्गत आता है स्पर्शरेखा, यानी 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(मामलों)

सिस्टम को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से अधिक होते हैं, इसलिए x_0=1, फिर b=-2-32x_0=-34.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y=6 के समानांतर है।

समाधान दिखाएं

फेसला

रेखा y=6 ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं, जिन पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स-अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम अंक) हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 चरम बिंदु हैं।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

रेखा y=4x-6 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=x^2-4x+9. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

फ़ंक्शन y \u003d x ^ 2-4x + 9 के एक मनमाना बिंदु x_0 पर स्पर्शरेखा का ढलान y "(x_0) है। लेकिन y" \u003d 2x-4, जिसका अर्थ है y "(x_0) \ u003d 2x_0-4। स्थिति में निर्दिष्ट स्पर्शरेखा y \u003d 4x-7 का ढलान 4 के बराबर है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि 2x_0-4 \u003d 4. हमें मिलता है : x_0 \u003d 4.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

स्थिति

यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और एब्सिसा x_0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दिखाता है। बिंदु x_0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

फेसला

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A(1; 1) और B(5; 4) से होकर गुजरती है। C(5; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x=5 और y=1 द्वारा निरूपित करें, और \alpha कोण BAC द्वारा (यह चित्र में देखा जा सकता है कि यह न्यून है)। तब रेखा AB, ऑक्स-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण \alpha बनाती है।

इस लेख में, हम खोजने के लिए सभी प्रकार की समस्याओं का विश्लेषण करेंगे

चलो याद करते हैं व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है, तो स्पर्शरेखा का ढलान (अक्ष की स्पर्शरेखा और सकारात्मक दिशा के बीच के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होता है बिंदु ।

निर्देशांक के साथ स्पर्शरेखा पर एक मनमाना बिंदु लें:

और एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें:

इस त्रिभुज में

यहां से

यह बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का समीकरण है।

स्पर्शरेखा का समीकरण लिखने के लिए, हमें केवल फलन के समीकरण और उस बिंदु को जानना होगा जहाँ स्पर्शरेखा खींची जाती है। तब हम पा सकते हैं और ।

स्पर्शरेखा समीकरण समस्याओं के तीन मुख्य प्रकार हैं।

1. संपर्क के एक बिंदु को देखते हुए

2. स्पर्शरेखा के ढलान के गुणांक को देखते हुए, यानी बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान।

3. उस बिंदु के निर्देशांक दिए गए हैं जिससे स्पर्श रेखा खींची जाती है, लेकिन जो स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है।

आइए प्रत्येक प्रकार की समस्या को देखें।

एक । फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए बिंदु पर .

.

ख) बिंदु पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। पहले हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं

पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में बदलें:

आइए समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलें। हम पाते हैं:

जवाब: .

2. उन बिंदुओं के भुज ज्ञात कीजिए जिन पर ग्राफ के स्पर्शरेखा कार्य करता है एक्स-अक्ष के समानांतर।

यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो स्पर्शरेखा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण शून्य, इसलिए, स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य है। तो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान संपर्क के बिंदुओं पर शून्य है।

ए) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें .

बी) व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और उन मानों को खोजें जिनमें स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है:

हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं, हमें मिलता है:

उत्तर: 0;3;5

3. किसी फलन के आलेख पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए , समानांतर सीधा .

स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर है। इस सरल रेखा का ढाल -1 है। चूँकि स्पर्शरेखा इस रेखा के समानांतर है, इसलिए स्पर्शरेखा का ढलान भी -1 है। अर्थात हम स्पर्शरेखा के ढलान को जानते हैं, और इस तरह संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य.

स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए यह दूसरी प्रकार की समस्या है।

तो, हमें संपर्क के बिंदु पर एक फ़ंक्शन और व्युत्पन्न का मान दिया जाता है।

ए) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न -1 के बराबर है।

सबसे पहले, आइए व्युत्पन्न समीकरण खोजें।

आइए व्युत्पन्न को संख्या -1 के बराबर करें।

बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात कीजिए।

(शर्त के अनुसार)

.

बी) बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण का पता लगाएं।

बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात कीजिए।

(शर्त के अनुसार)।

इन मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें:

.

जवाब:

4 . एक वक्र के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें , एक बिंदु से गुजरना

सबसे पहले, जांचें कि क्या बिंदु स्पर्श बिंदु नहीं है। यदि बिंदु एक स्पर्शरेखा बिंदु है, तो यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है, और इसके निर्देशांक को फ़ंक्शन के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। फ़ंक्शन के समीकरण में बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें।

शीर्षक = "(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} संपर्क का बिंदु नहीं है।

स्पर्शरेखा समीकरण खोजने के लिए यह अंतिम प्रकार की समस्या है। पहली बात हमें संपर्क बिंदु के भुज को खोजने की जरूरत है.

आइए मूल्य ज्ञात करें।

चलो संपर्क का बिंदु बनें। बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के अंतर्गत आता है। यदि हम इस बिंदु के निर्देशांकों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता प्राप्त होती है:

.

बिंदु पर फलन का मान है .

बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात कीजिए।

आइए पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। ये है ।

एक बिंदु पर व्युत्पन्न है .

आइए हम व्यंजकों को और के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करें। हमें इसके लिए समीकरण मिलता है:

आइए इस समीकरण को हल करें।

भिन्न के अंश और हर को 2 से कम करें:

हम समीकरण के दाहिने पक्ष को एक सामान्य हर में लाते हैं। हम पाते हैं:

भिन्न के अंश को सरल कीजिए और दोनों भागों को इससे गुणा कीजिए - यह व्यंजक शून्य से पूर्णतः बड़ा है।

हमें समीकरण मिलता है

आइए इसे हल करें। ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को चौकोर करते हैं और सिस्टम पर जाते हैं।

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) )))( )">!}

आइए पहले समीकरण को हल करें।

हम तय करेंगे द्विघात समीकरण, हम पाते हैं

दूसरा रूट शर्त को पूरा नहीं करता है title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

आइए बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण में मान को प्रतिस्थापित करते हैं हमने इसे पहले ही रिकॉर्ड कर लिया है।

जवाब:
.

मान लीजिए कि एक फलन f दिया गया है, जिसमें किसी बिंदु पर x 0 का परिमित अवकलज f (x 0) है। तब बिंदु (x 0 ; f (x 0)) से गुजरने वाली रेखा, जिसमें ढलान f '(x 0), स्पर्शरेखा कहलाता है।

लेकिन क्या होता है यदि बिंदु x 0 पर अवकलज मौजूद नहीं है? दो विकल्प हैं:

1. ग्राफ की स्पर्शरेखा भी मौजूद नहीं है। क्लासिक उदाहरण फ़ंक्शन y = |x | . है बिंदु पर (0; 0)।
2. स्पर्शरेखा लंबवत हो जाती है। यह सत्य है, उदाहरण के लिए, फलन y = arcsin x बिंदु पर (1; /2) के लिए।

स्पर्शरेखा समीकरण

कोई भी गैर-ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा y = kx + b के रूप के समीकरण द्वारा दी जाती है, जहाँ k ढलान है। स्पर्शरेखा कोई अपवाद नहीं है, और किसी बिंदु x 0 पर इसके समीकरण की रचना करने के लिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन और व्युत्पन्न के मूल्य को जानना पर्याप्त है।

तो, मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y \u003d f (x) दिया जाता है, जिसका खंड पर व्युत्पन्न y \u003d f '(x) है। फिर किसी भी बिंदु पर x 0 (ए; बी) इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, जो समीकरण द्वारा दी गई है:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

यहाँ f '(x 0) बिंदु x 0 पर अवकलज का मान है, और f (x 0) स्वयं फलन का मान है।

काम। एक फलन y = x 3 दिया गया है। इस फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा के लिए बिंदु x 0 = 2 पर एक समीकरण लिखिए।

स्पर्शरेखा समीकरण: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)। बिंदु x 0 = 2 हमें दिया गया है, लेकिन f (x 0) और f '(x 0) के मानों की गणना करनी होगी।

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें। यहाँ सब कुछ आसान है: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
अब आइए व्युत्पन्न खोजें: f '(x) \u003d (x 3)' \u003d 3x 2;
व्युत्पन्न x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
तो हम पाते हैं: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16।
यह स्पर्शरेखा समीकरण है।

काम। फ़ंक्शन f (x) \u003d 2sin x + 5 के बिंदु x 0 \u003d π / 2 पर स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें।

इस बार हम प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे - हम केवल मुख्य चरणों का संकेत देंगे। हमारे पास है:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

स्पर्शरेखा समीकरण:

वाई = 0 (एक्स - π / 2) + 7 ⇒ वाई = 7

बाद के मामले में, रेखा क्षैतिज निकली, क्योंकि इसका ढलान k = 0. इसमें कुछ भी गलत नहीं है - हम बस एक चरम बिंदु पर ठोकर खा गए।

Y \u003d f (x) और यदि इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा को फ़ंक्शन ग्राफ़ पर खींचा जा सकता है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का ढलान f "(a) है। हम पहले ही इसका उपयोग कर चुके हैं समय। उदाहरण के लिए, 33 में यह स्थापित किया गया था, कि मूल पर फ़ंक्शन y \u003d sin x (साइनसॉइड) का ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष के साथ 45 ° का कोण बनाता है (अधिक सटीक रूप से, ग्राफ पर स्पर्शरेखा मूल x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 45° का कोण बनाता है), और उदाहरण में दिए गए शेड्यूल पर 33 में से 5 अंक पाए गए कार्यों, जिसमें स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है। 33 के उदाहरण 2 में, बिंदु x \u003d 1 पर फ़ंक्शन y \u003d x 2 के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण तैयार किया गया था (अधिक सटीक रूप से, बिंदु (1; 1) पर, लेकिन अधिक बार केवल भुज का मान यह मानकर इंगित किया जाता है कि यदि भुज का मान ज्ञात हो, तो कोटि का मान समीकरण y = f(x) से ज्ञात किया जा सकता है। इस खंड में, हम किसी फलन के ग्राफ़ में स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए एक एल्गोरिथम विकसित करेंगे।

मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) और बिंदु M (a; f (a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f "(a) मौजूद है। आइए हम ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें में दिया गया फ़ंक्शन दिया गया बिंदु. यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx + m है, इसलिए समस्या गुणांक k और m के मानों को खोजने की है।

ढलान k के साथ कोई समस्या नहीं है: हम जानते हैं कि k \u003d f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित रेखा बिंदु M (a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम निर्देशांक M को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता मिलती है: f (a) \u003d ka + m, जहाँ से हम पाते हैं कि m \u003d f (a) - ka।
यह व्हेल गुणांक के पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है समीकरणसीधा:

हमने बिंदु x \u003d a पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त किया है।
अगर कहें,
समीकरण (1) में पाया गया मान a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, हमें मिलता है: y \u003d 1 + 2 (x-f), यानी y \u003d 2x -1.
इस परिणाम की तुलना 33 के उदाहरण 2 में प्राप्त परिणाम से करें। स्वाभाविक रूप से, वही हुआ।
आइए हम फलन y \u003d tg x के मूल में ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें। हमारे पास है: इसलिए cos x f "(0) = 1. पाए गए मानों को a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: y \u003d x .
यही कारण है कि हमने निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से 15 (चित्र 62 देखें) में स्पर्शरेखा को 45 ° के कोण पर भुज अक्ष पर खींचा।
इन्हें सुलझाना काफी है सरल उदाहरण, हमने वास्तव में एक निश्चित एल्गोरिथम का उपयोग किया है, जो सूत्र (1) में अंतर्निहित है। आइए इस एल्गोरिथम को स्पष्ट करें।

ग्राफ़ y \u003d f (x) के लिए स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1) पत्र के साथ संपर्क के बिंदु के एब्सिस्सा को नामित करें।
2) 1 (ए) की गणना करें।
3) f "(x) खोजें और f" (a) की गणना करें।
4) प्राप्त संख्याओं को a, f(a), (a) को सूत्र (1) में रखें।

उदाहरण 1बिंदु x = 1 पर फलन के आलेख की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।
आइए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें, इसे ध्यान में रखते हुए यह उदाहरण

अंजीर पर। 126 एक हाइपरबोला दिखाता है, एक सीधी रेखा y \u003d 2x निर्मित होती है।
चित्र उपरोक्त गणनाओं की पुष्टि करता है: वास्तव में, रेखा y \u003d 2-x बिंदु (1; 1) पर हाइपरबोला को छूती है।

जवाब:वाई \u003d 2-एक्स।
उदाहरण 2फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि यह सीधी रेखा y \u003d 4x - 5 के समानांतर हो।
आइए समस्या के सूत्रीकरण को परिष्कृत करें। "एक स्पर्शरेखा खींचना" की आवश्यकता का अर्थ आमतौर पर "एक स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि यदि कोई व्यक्ति एक स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण की रचना करने में सक्षम था, तो उसके समीकरण के अनुसार समन्वय विमान पर एक सीधी रेखा के निर्माण में कठिनाइयों का अनुभव होने की संभावना नहीं है।
आइए स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें, यह देखते हुए कि इस उदाहरण में, लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां अस्पष्टता है: स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है।
चलिए इस तरह बात करना शुरू करते हैं। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y \u003d 4x-5 के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके ढलान समान हों। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा का ढलान दी गई सीधी रेखा के ढलान के बराबर होना चाहिए: इस प्रकार, हम समीकरण f "(a) \u003d 4 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
हमारे पास है:
समीकरण से तो, दो स्पर्शरेखाएँ हैं जो समस्या की शर्तों को संतुष्ट करती हैं: एक बिंदु पर 2 के भुज के साथ, दूसरा बिंदु पर -2 के भुज के साथ।
अब आप एल्गोरिथम के अनुसार कार्य कर सकते हैं।

उदाहरण 3बिंदु (0; 1) से फलन के आलेख पर एक स्पर्श रेखा खींचिए
आइए स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें, इस उदाहरण में ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 में, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 1) से होकर गुजरती है। समीकरण (2) में x = 0, y = 1 के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, केवल एल्गोरिथम के चौथे चरण में हम स्पर्श बिंदु के एब्सिस्सा को खोजने में कामयाब रहे। मान a \u003d 4 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अंजीर पर। 127 माना उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण दिखाता है: फ़ंक्शन का एक ग्राफ

32 में हमने देखा कि एक फलन y = f(x) के लिए, जिसका एक निश्चित बिंदु x पर अवकलज है, सन्निकट समानता रखती है:

आगे के तर्क की सुविधा के लिए, हम संकेतन बदलते हैं: x के बजाय हम a लिखेंगे, इसके बजाय x लिखेंगे, और तदनुसार हम x-a लिखेंगे। तब ऊपर लिखी गई अनुमानित समानता का रूप लेगी:

अब अंजीर पर एक नज़र डालें। 128. बिंदु M (a; f (a)) पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है। x-अक्ष पर a के निकट बिंदु x चिह्नित करें। यह स्पष्ट है कि f(x) निर्दिष्ट बिंदु x पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कोटि है। और f (a) + f "(a) (x-a) क्या है? यह उसी बिंदु x के संगत स्पर्शरेखा की कोटि है - सूत्र देखें (1)। सन्निकट समानता (3) का क्या अर्थ है? फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करें, स्पर्शरेखा कोटि का मान लिया जाता है।

उदाहरण 4संख्यात्मक व्यंजक 1.02 7 का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।
इसके बारे मेंफ़ंक्शन का मान ज्ञात करने के बारे में y \u003d x 7 बिंदु x \u003d 1.02 पर। हम इस उदाहरण में इस बात को ध्यान में रखते हुए सूत्र (3) का उपयोग करते हैं
परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है: 1.02 7 = 1.148685667...
जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।
जवाब: 1,02 7 =1,14.

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित ग्रेड 10

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निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

यह कुछ फ़ंक्शन y = f(x) दिखाता है जो बिंदु a पर अवकलनीय है। निर्देशांक के साथ चिह्नित बिंदु एम (ए; एफ (ए))। ग्राफ के एक मनमाना बिंदु P(a + x; f(a + x)) के माध्यम से, एक secant MP खींचा जाता है।

यदि अब बिंदु P को ग्राफ़ के अनुदिश बिंदु M पर स्थानांतरित कर दिया जाता है, तो सीधी रेखा MP, बिंदु M के चारों ओर घूमेगी। इस स्थिति में, x शून्य की ओर जाएगा। यहां से हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा की परिभाषा तैयार कर सकते हैं।

कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ

जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सेकेंट की सीमित स्थिति होती है। यह समझा जाना चाहिए कि बिंदु x0 पर फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न के अस्तित्व का अर्थ है कि ग्राफ के इस बिंदु पर है स्पर्शरेखाउसे।

इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान इस बिंदु f'(x0) पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होगा। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है। बिंदु x0 पर अवकलनीय फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु (x0;f(x0)) से गुजरने वाली और ढलान f'(x0) वाली कोई सीधी रेखा है।

स्पर्शरेखा समीकरण

आइए बिंदु A(x0; f(x0)) पर किसी फ़ंक्शन f के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को प्राप्त करने का प्रयास करें। ढलान k के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण का निम्न रूप है:

चूंकि हमारा ढलान व्युत्पन्न के बराबर है च'(x0), तो समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा: y = च'(x0)*एक्स + बी.

अब b के मान की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु A से होकर गुजरता है।

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, यहाँ से हम b को व्यक्त करते हैं और b = f(x0) - f'(x0)*x0 प्राप्त करते हैं।

हम परिणामी मान को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)।

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: फ़ंक्शन f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 के बिंदु x \u003d 2 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजें।

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x।

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4

5. प्राप्त मानों को स्पर्शरेखा सूत्र में प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं: y = 1 + 4*(x - 2)। कोष्ठकों को खोलने और समान पदों को लाने पर, हमें प्राप्त होता है: y = 4*x - 7।

उत्तर: y = 4*x - 7.

स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने की सामान्य योजनाफ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ में:

1. x0 ज्ञात कीजिए।

2. एफ (x0) की गणना करें।

3. गणना f'(x)