पैंट सभी दिशाओं में समान हैं। पायथागॉरियन पैंट

कुछ चर्चाएँ मुझे बहुत आनंदित करती हैं...

हाय आप क्या कर रहे हैं?
- हां, मैं एक पत्रिका से समस्याओं का समाधान करता हूं।
-बहुत खूब! आपसे उम्मीद नहीं थी।
- आपने क्या उम्मीद नहीं की थी?
- कि आप समस्याओं में डूब जाएंगे। आखिरकार, यह स्मार्ट लगता है, लेकिन आप हर तरह की बकवास में विश्वास करते हैं।
- सॉरी मुझे समझ नहीं आया। बकवास किसे कहते हैं?
- हां, आपका सारा गणित। यह स्पष्ट है कि यह पूरी तरह से बकवास है।
-आप ऐसा कैसे कह सकते हैं? गणित विज्ञान की रानी है...
- चलो इस पाथोस के बिना करते हैं, है ना? गणित बिल्कुल भी विज्ञान नहीं है, बल्कि मूर्खतापूर्ण नियमों और नियमों का एक निरंतर ढेर है।
-क्या?!
- ओह, ठीक है, इतनी बड़ी आँखें मत बनाओ, तुम खुद जानते हो कि मैं सही हूँ। नहीं, मैं तर्क नहीं देता, गुणन तालिका एक महान चीज है, इसने संस्कृति के विकास और मानव जाति के इतिहास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। लेकिन अब यह सब अप्रासंगिक है! और फिर, चीजों को जटिल क्यों करें? प्रकृति में, कोई अभिन्न या लघुगणक नहीं हैं, ये सभी गणितज्ञों के आविष्कार हैं।
-ज़रा ठहरिये। गणितज्ञों ने कुछ भी आविष्कार नहीं किया, उन्होंने सिद्ध उपकरणों का उपयोग करके संख्याओं की बातचीत के नए कानूनों की खोज की ...
-हां बिल्कुल! और क्या आप इसे मानते हैं? क्या आप नहीं देखते कि वे किस बकवास के बारे में लगातार बात कर रहे हैं? क्या आप एक उदाहरण दे सकते हैं?
-हाँ कृपया।
-हाँ कृपया! पाइथागोरस प्रमेय।
- अच्छा, उसे क्या हो गया है?
-यह ऐसा नहीं है! "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं," आप देखते हैं। क्या आप जानते हैं कि पाइथागोरस के समय में यूनानियों ने पैंट नहीं पहनी थी? पाइथागोरस किसी ऐसी चीज के बारे में बात कैसे कर सकता था जिसके बारे में उसे कोई जानकारी नहीं थी?
-ज़रा ठहरिये। पैंट के साथ क्या है?
- अच्छा, वे पाइथागोरस लगते हैं? या नहीं? क्या आप मानते हैं कि पाइथागोरस के पास पैंट नहीं थी?
खैर, वास्तव में, निश्चित रूप से, यह नहीं था ...
-अहा, तो प्रमेय के नाम में ही स्पष्ट विसंगति है! फिर कोई उसकी बातों को गंभीरता से कैसे ले सकता है?
-ज़रा ठहरिये। पाइथागोरस ने पैंट के बारे में कुछ नहीं कहा...
- आप इसे स्वीकार करते हैं, है ना?
- हाँ... तो, क्या मैं जारी रख सकता हूँ? पाइथागोरस ने पतलून के बारे में कुछ नहीं कहा, और उसे अन्य लोगों की बकवास का श्रेय देने की कोई आवश्यकता नहीं है ...
- हाँ, आप स्वयं सहमत हैं कि यह सब बकवास है!
- मैंने ऐसा नहीं कहा!
- अभी कहा। आप अपने आप का विरोध कर रहे हैं।
-इसलिए। विराम। पाइथागोरस प्रमेय क्या कहता है?
-कि सभी पैंट समान हैं।
-अरे, क्या आपने इस प्रमेय को बिल्कुल पढ़ा?!
-मैं जानती हूँ।
-कहां?
-मैंने पढ़ा।
-क्या पढ़ा तुमने?!
-लोबचेव्स्की.
*रोकें*
- क्षमा करें, लेकिन लोबाचेवस्की का पाइथागोरस से क्या लेना-देना है?
- ठीक है, लोबचेवस्की भी एक गणितज्ञ है, और वह पाइथागोरस से भी अधिक कठिन अधिकारी प्रतीत होता है, आप कहते हैं कि नहीं?
*आहें*
-खैर, लोबाचेव्स्की ने पाइथागोरस प्रमेय के बारे में क्या कहा?
- कि पैंट बराबर हैं। लेकिन यह बकवास है! आप इस तरह पैंट कैसे पहन सकते हैं? और इसके अलावा, पाइथागोरस ने पैंट बिल्कुल नहीं पहनी थी!
- लोबचेव्स्की ने ऐसा कहा ?!
*एक सेकंड के लिए रुकें, आत्मविश्वास के साथ*
-हां!
- मुझे दिखाओ कि यह कहाँ लिखा है।
- नहीं, ठीक है, इतना सीधे नहीं लिखा है ...
- इस किताब का क्या नाम है?
- यह एक किताब नहीं है, यह एक अखबार का लेख है। इस तथ्य के बारे में कि लोबचेवस्की वास्तव में एक जर्मन खुफिया एजेंट था ... ठीक है, यह बिंदु के बगल में है। वैसे भी उन्होंने ठीक यही कहा है। वह एक गणितज्ञ भी है, इसलिए वह और पाइथागोरस एक ही समय में हैं।
- पाइथागोरस ने पैंट के बारे में कुछ नहीं कहा।
-पूर्ण रूप से हाँ! इसके बारे में यही है। यह सब बकवास है।
-चलो क्रम में चलते हैं। आप व्यक्तिगत रूप से कैसे जानते हैं कि पाइथागोरस प्रमेय क्या कहता है?
-ओह अब छोड़िए भी! यह तो सभी जानते हैं। किसी से भी पूछो, वे आपको तुरंत जवाब देंगे।
- पाइथागोरस पैंट पैंट नहीं हैं...
-ओह बेशक! यह एक रूपक है! क्या आप जानते हैं कि मैंने इसे पहले कितनी बार सुना है?
-पायथागॉरियन प्रमेय में कहा गया है कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। और सब कुछ!
-पैंट कहाँ हैं?
- हाँ, पाइथागोरस की कोई पैंट नहीं थी !!!
- अच्छा, आप देखिए, मैं आपको इसके बारे में बता रहा हूं। तुम्हारा सारा गणित बकवास है।
-और यह बकवास नहीं है! आप ही देख लीजिए। यहाँ एक त्रिभुज है। यहाँ कर्ण है। यहाँ स्केट्स हैं ...
- अचानक यह पैर क्यों है, और यह कर्ण है? शायद इसके विपरीत?
-नहीं। पैर दो पक्ष हैं जो एक समकोण बनाते हैं।
ठीक है, यहाँ आपके लिए एक और समकोण है।
- वह सीधा नहीं है।
-और वह क्या है, वक्र?
- नहीं, वह तेज है।
हाँ, यह भी तेज है।
-वह तेज नहीं है, वह सीधा है।
- तुम्हें पता है, मुझे मूर्ख मत बनाओ! आप जो कुछ भी पसंद करते हैं उसे कॉल करें, बस परिणाम को आप जो चाहते हैं उसे तैयार करने के लिए।
- एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ पैर हैं। लंबी भुजा कर्ण है।
-और कौन छोटा है - वह पैर? और कर्ण, फिर, लुढ़कता नहीं है? आप बाहर से अपने आप को सुनें, आप किस बकवास के बारे में बात कर रहे हैं। 21वीं सदी के प्रांगण में, लोकतंत्र का फूल खिल रहा है, और आपके पास किसी प्रकार का मध्य युग है। उसके पक्ष, आप देखते हैं, असमान हैं ...
समान भुजाओं वाला कोई समकोण त्रिभुज नहीं है...
-क्या आपको यकीन है? मुझे आपको आकर्षित करने दो। यहाँ देखो। आयताकार? आयताकार। और सभी पक्ष समान हैं!
- आपने एक वर्ग बनाया।
-तो क्या?
- एक वर्ग त्रिभुज नहीं है।
-ओह बेशक! जैसे ही वह हमें शोभा नहीं देता, तुरंत "त्रिकोण नहीं"! मुझे उल्लू मत बनाओ। अपने आप को गिनें: एक कोना, दो कोने, तीन कोने।
-चार।
-तो क्या?
- यह एक चौक है।
एक वर्ग के बारे में क्या, त्रिभुज नहीं? वह बदतर है, है ना? सिर्फ इसलिए कि मैंने इसे खींचा? क्या तीन कोने हैं? वहाँ है, और यहाँ भी एक अतिरिक्त है। खैर, ये रहा, आप जानते हैं...
- ठीक है, इस विषय को छोड़ दें।
-हाँ, क्या आप पहले ही हार मान रहे हैं? आपत्ति करने के लिए कुछ नहीं? क्या आप स्वीकार कर रहे हैं कि गणित बकवास है?
- नहीं, मैं नहीं।
- अच्छा, फिर से, फिर से बढ़िया! मैंने आपको विस्तार से सब कुछ साबित कर दिया है! यदि आपकी सारी ज्यामिति पाइथागोरस की शिक्षाओं पर आधारित है, जो, मुझे क्षमा करें, पूरी तरह से बकवास है ... तो आप आगे क्या बात कर सकते हैं?
- पाइथागोरस की शिक्षाएँ बकवास नहीं हैं ...
- कितनी अच्छी तरह से! और फिर मैंने पाइथागोरस के स्कूल के बारे में नहीं सुना! वे, यदि आप जानना चाहते हैं, तांडव में लिप्त हैं!
- यहाँ क्या बात है...
-और पाइथागोरस आम तौर पर एक फगोट था! उसने खुद कहा था कि प्लेटो उसका दोस्त था।
-पाइथागोरस?!
- आप नहीं जानते थे? हाँ, वे सब मूर्ख थे। और सिर पर तीन टांगों वाला। एक बैरल में सोता था, दूसरा नग्न होकर शहर में घूमता था ...
डायोजनीज एक बैरल में सोया था, लेकिन वह एक दार्शनिक था, गणितज्ञ नहीं...
-ओह बेशक! अगर कोई बैरल में चढ़ गया, तो वह अब गणितज्ञ नहीं है! हमें और शर्म की आवश्यकता क्यों है? हम जानते हैं, हम जानते हैं, हम पास हो गए हैं। लेकिन आप मुझे समझाते हैं कि हर तरह के फगोट जो तीन हजार साल पहले रहते थे और बिना पैंट के दौड़ते थे, मेरे लिए एक अधिकार क्यों होना चाहिए? मैं उनकी बात क्यों मानूं?
- अच्छा, छोड़ो...
- नहीं, तुम सुनो! आखिर मैंने भी तुम्हारी सुनी। ये हैं आपकी गणना, गणना ... आप सभी जानते हैं कि कैसे गिनना है! और आपसे कुछ बिंदु पर पूछें, ठीक वहीं: "यह एक भागफल है, यह एक चर है, और ये दो अज्ञात हैं।" और आप मुझे ओह-ओह-ओह-जनरल में बताएं, बिना विवरण के! और बिना किसी अज्ञात, अज्ञात, अस्तित्वगत... यह मुझे बीमार कर देता है, तुम्हें पता है?
-समझ।
- अच्छा, मुझे समझाओ कि दो बार दो हमेशा चार क्यों होते हैं? इसके साथ कौन आया? और मैं इसे हल्के में लेने के लिए बाध्य क्यों हूं और मुझे संदेह करने का कोई अधिकार नहीं है?
- जितना चाहो शक करो...
- नहीं, तुम मुझे समझाओ! केवल आपकी इन बातों के बिना, लेकिन सामान्य तौर पर, मानवीय रूप से, इसे स्पष्ट करने के लिए।
-दो गुना दो चार के बराबर होता है, क्योंकि दो गुना दो चार के बराबर होता है.
- बटर आयल। आपने मुझे नया क्या बताया?
-दो बार दो गुना दो है। दो और दो लो और उन्हें एक साथ रखो ...
तो जोड़ें या गुणा करें?
-यह बिल्कुल वैसा है...
-दोनों पर! यह पता चला है कि अगर मैं सात और आठ को जोड़ूं और गुणा करूं, तो यह भी वही होगा?
-नहीं।
-और क्यों?
क्योंकि सात जमा आठ बराबर नहीं होता...
-और अगर मैं नौ को दो से गुणा करूं, तो यह चार होगा?
-नहीं।
-और क्यों? दो गुणा - यह निकला, लेकिन अचानक नौ के साथ एक बमर?
-हां। दो बार नौ अठारह है।
-और दो बार सात?
-चौदह।
-और दो बार पाँच?
-दस।
- यानी चार केवल एक विशेष मामले में ही प्राप्त होते हैं?
-बिल्कुल।
- अब आप खुद सोचिए। आप कहते हैं कि गुणन के कुछ कठोर नियम और नियम हैं। हम यहां किस तरह के कानूनों के बारे में बात कर सकते हैं यदि प्रत्येक विशिष्ट मामले में एक अलग परिणाम प्राप्त होता है ?!
- यह पूरी तरह सच नहीं है। कभी-कभी परिणाम समान हो सकता है। उदाहरण के लिए, दो बार छह बारह के बराबर होता है। और चार गुना तीन - वो भी...
-और भी बदतर! दो, छह, तीन चार - कुछ भी नहीं! आप स्वयं देख सकते हैं कि परिणाम किसी भी तरह से प्रारंभिक डेटा पर निर्भर नहीं करता है। एक ही निर्णय दो मौलिक रूप से भिन्न स्थितियों में किया जाता है! और यह इस तथ्य के बावजूद कि वही दो, जिन्हें हम लगातार लेते हैं और किसी भी चीज़ के लिए नहीं बदलते हैं, हमेशा सभी संख्याओं के साथ एक अलग उत्तर देते हैं। आप पूछते हैं, तर्क कहाँ है?
-लेकिन यह सिर्फ तार्किक है!
- आपके लिए - शायद। आप गणितज्ञ हमेशा हर तरह की पारलौकिक बकवास में विश्वास करते हैं। और ये तुम्हारी गणनाएँ मुझे आश्वस्त नहीं करतीं। और आप जानते हैं क्यों?
-क्यों?
-क्योंकि मैं मैं जानती हूँआपको वास्तव में अपने गणित की आवश्यकता क्यों है। वह सब क्या है? "कात्या की जेब में एक सेब है, और मीशा के पास पाँच हैं। मिशा को कात्या को कितने सेब देने चाहिए ताकि उनके पास बराबर सेब हो?" और आप जानते हैं कि मैं आपको क्या बताऊंगा? मिशा किसी का कुछ नहीं लेनामुफ्त में मिली वस्तु! कात्या के पास एक सेब है - और वह काफी है। उसके लिए पर्याप्त नहीं है? उसे कड़ी मेहनत करने दो, और वह ईमानदारी से सेब के लिए, यहां तक ​​​​कि नाशपाती के लिए, यहां तक ​​​​कि शैंपेन में अनानास के लिए भी ईमानदारी से कमाएगी। और अगर कोई काम नहीं करना चाहता है, लेकिन केवल समस्याओं को हल करना चाहता है - उसे अपने एक सेब के साथ बैठने दो, दिखावा नहीं!

एक बात में, आप एक सौ प्रतिशत सुनिश्चित हो सकते हैं कि जब पूछा गया कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह प्रमेय प्रत्येक शिक्षित व्यक्ति के मन में दृढ़ता से बसा हुआ है, लेकिन किसी को इसे साबित करने के लिए कहना ही पर्याप्त है, और तब कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज के इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित की गई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। जो उसने वास्तव में किया था।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपने महान सिद्धांत का निर्माण किया। यह पाठकों को चौंका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन कई एक साथ। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को साबित करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें कोणों में से एक 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको सभी उपलब्ध संकेतन को तुरंत याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर हैं। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक समकोण त्रिभुज से एक वर्ग खींचा जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई a तक खींचना होगा, और इसके विपरीत। तो यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बाहर करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर एक और वर्ग बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शीर्ष ac और sv से, आपको c के बराबर दो समानांतर खंड खींचने होंगे। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ प्राप्त होती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड खींचना बाकी है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2av + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d के साथ 2 + में 2

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड के एक बयान के आधार पर प्राप्त किया गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर उसके कर्ण के समानुपाती होता है और कर्ण खंड 90 o के कोण के शीर्ष से निकलता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए हम भुजा AB पर लम्बवत एक खंड CD खींचते हैं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों की टाँगें बराबर हैं:

एसी = √AB * एडी, एसडब्ल्यू = √AB * डीवी।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण रखना चाहिए।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ना होगा।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

पता चलता है कि:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं कर देते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएं शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिकोण से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

इस मामले में, विमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 में \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी -एस वीवीडी)

2 से 2 \u003d ए 2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​है कि प्राचीन ग्रीस में एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले इस पद्धति का प्रयोग किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस पद्धति की शर्तें पिछले एक से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और इसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

एबी और सीबी के पैरों के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति को शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी तस्वीर को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल त्रिभुज के बराबर चार त्रिभुज और टाँगों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को दर्शाता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक स्कूल में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षण संस्थानों में से एक के निदेशक बन गए। आत्म-विकास की इच्छा और उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के एक नए सिद्धांत की पेशकश करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ जोड़ने के लिए जोड़ने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलम्ब को तीन त्रिभुजों वाली एक आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इस बारे में पाठ्यपुस्तक के एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं। लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम इस प्रमेय के उपयोग के लिए केवल ज्यामितीय समस्याओं में ही प्रदान करता है। स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को छोड़ देंगे बिना यह जाने कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल पेशेवर गतिविधियों में, बल्कि साधारण घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश पुंज की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से गमन करता है। हम प्रक्षेपवक्र AB कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है मैं. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय कॉल करते हैं टी. और बीम की गति - सी. पता चलता है कि: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से जो गति v से चलता है, तो निकायों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में गति v के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर नौकायन कर रहा है। फिर बिंदु A और B, जिसके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास जाने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी को खोजने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के यात्रा समय के आधे से लाइनर की गति (टी ")।

और यह पता लगाने के लिए कि इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करें कि प्रकाश C और B के बिंदु, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी पा सकते हैं जो प्रकाश की एक किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ पाते तो उनका कितना उपयोग होता?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि वह 200 किलोमीटर के दायरे में एक संकेत प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

ओएस (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

OB=OA+ABOB=r+x

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक किए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के फुटपाथ को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों तरह से स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि एक अलमारी है जिसकी गहराई 800 मिमी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d एबी 2 + बीसी 2

एसी \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।

पाइथागोरस प्रमेय को स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं। एक उत्कृष्ट गणितज्ञ एक महान अनुमान साबित हुआ, जिसका उपयोग वर्तमान में बहुत से लोग करते हैं। नियम इस तरह लगता है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। कई दशकों से एक भी गणितज्ञ इस नियम पर बहस नहीं कर पाया है। आखिरकार, पाइथागोरस अपने लक्ष्य की ओर लंबे समय तक चला, जिसके परिणामस्वरूप चित्र रोजमर्रा की जिंदगी में आए।

1. इस प्रमेय का एक छोटा पद, जिसका आविष्कार प्रमाण के तुरंत बाद किया गया था, सीधे तौर पर परिकल्पना के गुणों को साबित करता है: "पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" यह दो-पंक्ति कई लोगों की स्मृति में जमा हो गई थी - गणना में कविता को आज भी याद किया जाता है।
2. इस प्रमेय को "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता था क्योंकि बीच में ड्राइंग करते समय, एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता था, जिसके किनारों पर वर्ग होते थे। दिखने में, यह चित्र पैंट जैसा दिखता था - इसलिए परिकल्पना का नाम।
3. पाइथागोरस को विकसित प्रमेय पर गर्व था, क्योंकि यह परिकल्पना अपने समान लोगों से अधिकतम साक्ष्य से भिन्न होती है। महत्वपूर्ण: 370 सत्य प्रमाणों के कारण समीकरण को गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में सूचीबद्ध किया गया था।
4. इस परिकल्पना को विभिन्न देशों के गणितज्ञों और प्रोफेसरों की एक बड़ी संख्या ने कई तरीकों से सिद्ध किया था।. अंग्रेजी गणितज्ञ जोन्स ने परिकल्पना की घोषणा के तुरंत बाद एक अंतर समीकरण की मदद से इसे साबित कर दिया।
5. वर्तमान में पाइथागोरस द्वारा प्रमेय के प्रमाण के बारे में कोई नहीं जानता. एक गणितज्ञ के प्रमाणों के तथ्य आज किसी को ज्ञात नहीं हैं। यह माना जाता है कि यूक्लिड द्वारा चित्रों का प्रमाण पाइथागोरस का प्रमाण है। हालांकि, कुछ वैज्ञानिक इस कथन के साथ तर्क देते हैं: कई लोग मानते हैं कि यूक्लिड ने स्वतंत्र रूप से परिकल्पना के निर्माता की मदद के बिना, प्रमेय को साबित कर दिया।
6. वर्तमान वैज्ञानिकों ने पता लगाया है कि महान गणितज्ञ इस परिकल्पना की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे।. पाइथागोरस की खोज से बहुत पहले समीकरण ज्ञात था। यह गणितज्ञ केवल परिकल्पना को फिर से जोड़ने में कामयाब रहा।
7. पाइथागोरस ने समीकरण को "पाइथागोरस प्रमेय" नाम नहीं दिया. यह नाम "जोर से दो-पंक्ति" के बाद तय किया गया था। गणितज्ञ केवल यही चाहता था कि पूरी दुनिया उसके प्रयासों और खोजों को पहचाने और उसका उपयोग करे।
8. मोरित्ज़ कांटोर - महान महानतम गणितज्ञ ने एक प्राचीन पपीरस पर चित्र के साथ नोट्स पाए और देखे. इसके तुरंत बाद, कैंटोर ने महसूस किया कि इस प्रमेय को मिस्रियों को 2300 ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था। तभी किसी ने इसका फायदा नहीं उठाया और न ही इसे साबित करने की कोशिश की।
9. वर्तमान विद्वानों का मानना ​​है कि इस परिकल्पना को 8वीं शताब्दी ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था. उस समय के भारतीय वैज्ञानिकों ने समकोण वाले त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना की खोज की। सच है, उस समय कोई भी अनुमानित गणना द्वारा समीकरण को निश्चित रूप से सिद्ध नहीं कर सकता था।
10. महान गणितज्ञ बार्टेल वैन डेर वेर्डन ने परिकल्पना को सिद्ध करने के बाद एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला: “यूनानी गणितज्ञ की योग्यता को दिशा और ज्यामिति की खोज नहीं, बल्कि उसका औचित्य ही माना जाता है। पाइथागोरस के हाथों में कम्प्यूटेशनल सूत्र थे जो मान्यताओं, गलत गणनाओं और अस्पष्ट विचारों पर आधारित थे। हालांकि, उत्कृष्ट वैज्ञानिक इसे एक सटीक विज्ञान में बदलने में कामयाब रहे।"
11. एक प्रसिद्ध कवि ने कहा कि जिस दिन उसने अपने चित्र की खोज की थी, उस दिन उसने बैलों के लिए एक शानदार बलिदान खड़ा किया था।. इस परिकल्पना की खोज के बाद अफवाहें फैलीं कि सौ बैलों की बलि "पुस्तकों और प्रकाशनों के पन्नों से भटकती रही।" बुद्धि आज तक मजाक करती है कि तब से सभी बैल एक नई खोज से डरते हैं।
12. सबूत है कि पाइथागोरस पैंट के बारे में एक कविता के साथ नहीं आया था ताकि वह उन चित्रों को साबित कर सके जो उन्होंने आगे रखे थे: महान गणितज्ञ के जीवन के दौरान अभी तक कोई पैंट नहीं थी. उनका आविष्कार कई दशकों बाद हुआ था।
13. पेक्का, लाइबनिज़ और कई अन्य वैज्ञानिकों ने पहले से ज्ञात प्रमेय को साबित करने की कोशिश की, लेकिन कोई भी सफल नहीं हुआ।
14. चित्र का नाम "पायथागॉरियन प्रमेय" का अर्थ है "भाषण द्वारा अनुनय". यह पाइथागोरस शब्द का अनुवाद है, जिसे गणितज्ञ ने छद्म नाम के रूप में लिया था।
15. पाइथागोरस के अपने शासन पर विचार: पृथ्वी पर मौजूद चीज़ों का रहस्य संख्याओं में है. आखिरकार, एक गणितज्ञ ने अपनी परिकल्पना पर भरोसा करते हुए, संख्याओं के गुणों का अध्ययन किया, समता और विषमता को प्रकट किया, और अनुपात बनाए।

हमें उम्मीद है कि आपको चित्रों के साथ चयन पसंद आया होगा - पाइथागोरस प्रमेय के बारे में रोचक तथ्य: प्रसिद्ध प्रमेय (15 तस्वीरें) के बारे में अच्छी गुणवत्ता के बारे में नई चीजें सीखें। कृपया टिप्पणियों में अपनी राय दें! हर राय हमारे लिए मायने रखती है।

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