ऑसिलेटरी सर्किट में अधिकतम करंट स्ट्रेंथ फॉर्मूला। ऑसिलेटरी सर्किट
विद्युत आवेशों या धाराओं की अनुपस्थिति में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र भी मौजूद हो सकता है: यह ठीक ऐसे "आत्मनिर्भर" विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं जो प्रतिनिधित्व करते हैं विद्युतचुम्बकीय तरंगेंजिसमें दृश्य प्रकाश, अवरक्त, पराबैंगनी और शामिल हैं एक्स-रे विकिरण, रेडियो तरंगें, आदि।
§ 25. ऑसिलेटरी सर्किट
सबसे सरल प्रणाली जिसमें प्राकृतिक विद्युत चुम्बकीय दोलन संभव हैं, तथाकथित ऑसिलेटरी सर्किट है, जिसमें एक संधारित्र और एक दूसरे से जुड़ा एक प्रारंभ करनेवाला होता है (चित्र। 157)। एक यांत्रिक थरथरानवाला की तरह, जैसे कि एक लोचदार वसंत पर एक विशाल शरीर, सर्किट में प्राकृतिक दोलन ऊर्जा परिवर्तनों के साथ होते हैं।
चावल। 157. ऑसिलेटरी सर्किट
यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय दोलनों के बीच सादृश्य।एक थरथरानवाला सर्किट के लिए, एक यांत्रिक थरथरानवाला (उदाहरण के लिए, एक विकृत वसंत की लोचदार ऊर्जा) की संभावित ऊर्जा का एनालॉग एक संधारित्र में विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा है। गतिमान पिंड की गतिज ऊर्जा का एक एनालॉग ऊर्जा है चुंबकीय क्षेत्रप्रारंभ करनेवाला में। वास्तव में, स्प्रिंग की ऊर्जा संतुलन की स्थिति से विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है, और संधारित्र की ऊर्जा आवेश के वर्ग के समानुपाती होती है। पिंड की गतिज ऊर्जा उसके वेग के वर्ग के समानुपाती होती है, और कुंडली में चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा धारा के वर्ग के समानुपाती होती है।
स्प्रिंग थरथरानवाला ई की कुल यांत्रिक ऊर्जा संभावित और गतिज ऊर्जा के योग के बराबर है:
कंपन ऊर्जा।इसी तरह, एक ऑसिलेटरी सर्किट की कुल विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा संधारित्र में विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा और कुंडल में चुंबकीय क्षेत्र के योग के बराबर होती है:
सूत्रों (1) और (2) की तुलना से यह निम्नानुसार है कि ऑसिलेटरी सर्किट में स्प्रिंग ऑसिलेटर की कठोरता k का एनालॉग कैपेसिटेंस C का पारस्परिक मूल्य है, और द्रव्यमान का एनालॉग कॉइल का इंडक्शन है।
याद रखें कि एक यांत्रिक प्रणाली में, जिसकी ऊर्जा अभिव्यक्ति (1) द्वारा दी जाती है, स्वयं के अप्रकाशित हार्मोनिक दोलन हो सकते हैं। ऐसे दोलनों की आवृत्ति का वर्ग ऊर्जा के व्यंजक में विस्थापन और वेग के वर्गों पर गुणांकों के अनुपात के बराबर होता है:
खुद की आवृत्ति।एक थरथरानवाला सर्किट में, जिसकी विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा अभिव्यक्ति (2) द्वारा दी जाती है, स्वयं के अप्रकाशित हार्मोनिक दोलन हो सकते हैं, जिसकी आवृत्ति का वर्ग भी, जाहिर है, संबंधित गुणांक के अनुपात के बराबर होता है (अर्थात, गुणांक चार्ज और वर्तमान ताकत के वर्गों में):
से (4) दोलन अवधि के लिए अभिव्यक्ति का अनुसरण करता है, जिसे थॉमसन सूत्र कहा जाता है:
यांत्रिक दोलनों के साथ, समय पर विस्थापन x की निर्भरता कोसाइन फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसके तर्क को दोलन चरण कहा जाता है:
आयाम और प्रारंभिक चरण।आयाम ए और प्रारंभिक चरण ए प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, विस्थापन और वेग के मूल्यों पर
इसी प्रकार, परिपथ में विद्युत चुम्बकीय प्राकृतिक दोलनों के साथ, संधारित्र का आवेश नियम के अनुसार समय पर निर्भर करता है
जहां आवृत्ति निर्धारित की जाती है, (4) के अनुसार, केवल सर्किट के गुणों द्वारा, और चार्ज दोलनों के आयाम और प्रारंभिक चरण ए, जैसा कि एक यांत्रिक थरथरानवाला के मामले में निर्धारित किया जाता है
प्रारंभिक स्थितियां, अर्थात, संधारित्र के आवेश का मान और वर्तमान शक्ति इस प्रकार, प्राकृतिक आवृत्ति दोलनों के उत्तेजना की विधि पर निर्भर नहीं करती है, जबकि आयाम और प्रारंभिक चरण उत्तेजना की स्थितियों द्वारा सटीक रूप से निर्धारित किए जाते हैं। .
ऊर्जा परिवर्तन।आइए हम यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय दोलनों के दौरान ऊर्जा परिवर्तनों पर अधिक विस्तार से विचार करें। अंजीर पर। 158 एक अवधि के एक चौथाई के समय अंतराल पर यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय दोलकों की स्थिति को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है
चावल। 158. यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तन
दो बार दोलन की अवधि के दौरान, ऊर्जा एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित होती है और इसके विपरीत। यांत्रिक थरथरानवाला की कुल ऊर्जा की तरह ऑसिलेटरी सर्किट की कुल ऊर्जा अपव्यय के अभाव में अपरिवर्तित रहती है। इसे सत्यापित करने के लिए, अभिव्यक्ति (6) के लिए और वर्तमान ताकत के लिए अभिव्यक्ति को सूत्र (2) में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है।
सूत्र (4) का प्रयोग करके हम प्राप्त करते हैं
चावल। 159. संधारित्र के आवेश समय के फलन के रूप में संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा और कुंडली में चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा का रेखांकन
स्थिर कुल ऊर्जा उन क्षणों में संभावित ऊर्जा के साथ मेल खाती है जब संधारित्र का चार्ज अधिकतम होता है, और कॉइल के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा के साथ मेल खाता है - "गतिज" ऊर्जा - उस समय जब संधारित्र का चार्ज गायब हो जाता है और करंट अपने चरम पर है। पारस्परिक परिवर्तनों के दौरान, दो प्रकार की ऊर्जा एक दूसरे के साथ एंटीफेज में समान आयाम के साथ और उनके औसत मूल्य के सापेक्ष आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करती है। यह चित्र से सत्यापित करना आसान है। 158, और सूत्रों की सहायता से त्रिकोणमितीय कार्यआधा तर्क:
संधारित्र के आवेश समय पर विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा और चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा की निर्भरता के रेखांकन अंजीर में दिखाए गए हैं। 159 प्रारंभिक चरण के लिए
प्राकृतिक विद्युत चुम्बकीय दोलनों की मात्रात्मक नियमितताओं को यांत्रिक दोलनों के सादृश्य का सहारा लिए बिना, अर्ध-स्थिर धाराओं के कानूनों के आधार पर सीधे स्थापित किया जा सकता है।
सर्किट में दोलनों के लिए समीकरण।अंजीर में दिखाए गए सबसे सरल ऑसिलेटरी सर्किट पर विचार करें। 157. सर्किट को बायपास करते समय, उदाहरण के लिए, वामावर्त, ऐसे बंद श्रृंखला सर्किट में प्रारंभ करनेवाला और संधारित्र पर वोल्टेज का योग शून्य है:
कैपेसिटर पर वोल्टेज प्लेट के चार्ज और कैपेसिटेंस से संबंधित होता है संबंध के साथ इंडक्शन पर वोल्टेज किसी भी समय निरपेक्ष मान में बराबर और साइन में विपरीत होता है ईएमएफ स्व-प्रेरण, इसलिए परिपथ में धारा संधारित्र के आवेश के परिवर्तन की दर के बराबर है:
हमें अब अभिव्यक्ति मिलती है (10) रूप लेता है
आइए इस समीकरण को अलग तरह से फिर से लिखें, परिभाषा के अनुसार:
समीकरण (12) समीकरण के साथ मेल खाता है हार्मोनिक कंपनप्राकृतिक आवृत्ति के साथ यांत्रिक थरथरानवाला इस तरह के समीकरण का समाधान समय के हार्मोनिक (साइनसॉइडल) फ़ंक्शन (6) द्वारा आयाम और प्रारंभिक चरण के मनमाने मूल्यों के साथ दिया जाता है। इससे परिपथ में विद्युत चुम्बकीय दोलनों से संबंधित उपरोक्त सभी परिणामों का अनुसरण करें।
विद्युत चुम्बकीय दोलनों का क्षीणन।अब तक, हमने एक आदर्श यांत्रिक प्रणाली और एक आदर्श एलसी सर्किट में ईजिनोसिलेशन पर चर्चा की है। आदर्शीकरण थरथरानवाला में घर्षण और सर्किट में विद्युत प्रतिरोध की उपेक्षा करना था। केवल इस मामले में प्रणाली रूढ़िवादी होगी और दोलनों की ऊर्जा संरक्षित होगी।
चावल। 160. प्रतिरोध के साथ ऑसिलेटरी सर्किट
सर्किट में दोलनों की ऊर्जा के अपव्यय के लिए लेखांकन उसी तरह किया जा सकता है जैसे घर्षण के साथ यांत्रिक थरथरानवाला के मामले में किया गया था। कॉइल और कनेक्टिंग तारों के विद्युत प्रतिरोध की उपस्थिति अनिवार्य रूप से जूल गर्मी की रिहाई के साथ जुड़ी हुई है। पहले की तरह, इस प्रतिरोध को इस रूप में देखा जा सकता है स्वतंत्र तत्वमें वायरिंग का नक्शादोलन सर्किट, कुंडल और तारों को आदर्श मानते हुए (चित्र। 160)। ऐसे सर्किट में अर्ध-स्थिर धारा पर विचार करते समय, समीकरण (10) में प्रतिरोध में वोल्टेज जोड़ना आवश्यक है
में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
संकेतन का परिचय
हम समीकरण (14) को रूप में फिर से लिखते हैं
समीकरण (16) के लिए एक यांत्रिक थरथरानवाला के कंपन के लिए समीकरण के समान रूप है
गति के समानुपाती घर्षण (चिपचिपा घर्षण)। इसलिए, सर्किट में विद्युत प्रतिरोध की उपस्थिति में, विद्युत चुम्बकीय दोलन उसी कानून के अनुसार होते हैं जैसे चिपचिपा घर्षण के साथ एक थरथरानवाला के यांत्रिक दोलन।
कंपन ऊर्जा का अपव्यय।यांत्रिक कंपन के साथ, प्राकृतिक कंपन की ऊर्जा के समय के साथ कमी के नियम को स्थापित करना संभव है, जारी गर्मी की गणना करने के लिए जूल-लेन्ज़ कानून को लागू करना:
नतीजतन, दोलनों की अवधि की तुलना में समय अंतराल के लिए कम भिगोना के मामले में, दोलनों की ऊर्जा में कमी की दर स्वयं ऊर्जा के समानुपाती हो जाती है:
समीकरण के हल (18) का रूप है
प्रतिरोध के साथ एक सर्किट में प्राकृतिक विद्युत चुम्बकीय दोलनों की ऊर्जा तेजी से घट जाती है।
दोलनों की ऊर्जा उनके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। विद्युत चुम्बकीय दोलनों के लिए, यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, (8) से। इसलिए, नम दोलनों का आयाम, (19) के अनुसार, कानून के अनुसार कम हो जाता है
दोलनों का जीवनकाल।जैसा कि (20) से देखा जा सकता है, दोलनों का आयाम, आयाम के प्रारंभिक मूल्य की परवाह किए बिना, बराबर समय में 1 के कारक से कम हो जाता है। इस बार x को दोलनों का जीवनकाल कहा जाता है, हालांकि, जैसा भी हो सकता है (20) से देखा जा सकता है, दोलन औपचारिक रूप से अनिश्चित काल तक जारी रहते हैं। वास्तव में, निश्चित रूप से, दोलनों के बारे में बात करना समझ में आता है, जब तक कि उनका आयाम किसी दिए गए सर्किट में थर्मल शोर स्तर के विशिष्ट मूल्य से अधिक न हो। इसलिए, वास्तव में, परिपथ में दोलन एक सीमित समय के लिए "जीवित" होते हैं, जो, हालांकि, ऊपर बताए गए जीवनकाल x से कई गुना अधिक हो सकते हैं।
अक्सर यह जानना महत्वपूर्ण है कि दोलनों का जीवनकाल x स्वयं नहीं है, लेकिन इस समय के दौरान सर्किट में होने वाले पूर्ण दोलनों की संख्या x है। इस संख्या को जिस से गुणा किया जाता है उसे परिपथ का गुणवत् गुणक कहते हैं।
कड़ाई से बोलते हुए, नम दोलन आवधिक नहीं हैं। एक छोटे से क्षीणन के साथ, हम सशर्त रूप से एक अवधि की बात कर सकते हैं, जिसे दो के बीच के समय अंतराल के रूप में समझा जाता है
संधारित्र (एक ही ध्रुवता के) के आवेश के क्रमिक अधिकतम मान, या धारा के अधिकतम मान (एक दिशा के)।
दोलनों का अवमंदन अवधि को प्रभावित करता है, जिससे बिना अवमंदन के आदर्शीकृत मामले की तुलना में इसकी वृद्धि होती है। कम अवमंदन के साथ, दोलन अवधि में वृद्धि बहुत कम होती है। हालांकि, मजबूत क्षीणन के साथ, कोई भी दोलन नहीं हो सकता है: एक चार्ज संधारित्र सर्किट में वर्तमान की दिशा को बदले बिना, समय-समय पर निर्वहन करेगा। तो यह साथ होगा यानी साथ
सटीक समाधान। अवमंदित दोलनों के पैटर्न ऊपर तैयार किए गए अंतर समीकरण (16) के सटीक समाधान से अनुसरण करते हैं। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि इसका रूप है
जहां मनमाना स्थिरांक हैं जिनके मूल्य प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। कम अवमंदन के लिए, कोज्या गुणक को धीरे-धीरे बदलते दोलन आयाम के रूप में देखा जा सकता है।
एक कार्य
एक प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से कैपेसिटर को रिचार्ज करना। सर्किट में, जिसका आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 161, ऊपरी संधारित्र का आवेश बराबर होता है और निचला वाला आवेशित नहीं होता है। फिलहाल चाबी बंद है। ऊपरी संधारित्र के आवेश और कुंडली में धारा की समय निर्भरता ज्ञात कीजिए।
चावल। 161. समय के प्रारंभिक क्षण में केवल एक संधारित्र चार्ज किया जाता है
चावल। 162. कुंजी बंद करने के बाद सर्किट में कैपेसिटर और करंट का चार्ज
चावल। 163. अंजीर में दिखाए गए विद्युत सर्किट के लिए यांत्रिक सादृश्य। 162
समाधान। कुंजी बंद होने के बाद, सर्किट में दोलन होते हैं: ऊपरी संधारित्र कुंडल के माध्यम से निर्वहन करना शुरू कर देता है, जबकि निचले वाले को चार्ज करता है; तब सब कुछ विपरीत दिशा में होता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, संधारित्र की ऊपरी प्लेट पर धनात्मक आवेश होता है। फिर
थोड़े समय के बाद, संधारित्र प्लेटों के आवेशों और धारा की दिशा के संकेत चित्र में दिखाए गए अनुसार होंगे। 162. ऊपरी और निचले कैपेसिटर की उन प्लेटों के आवेशों द्वारा निरूपित करें, जो एक प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं। संरक्षण कानून के आधार पर आवेश
बंद सर्किट के सभी तत्वों पर प्रत्येक क्षण में तनाव का योग शून्य के बराबर होता है:
संधारित्र पर वोल्टेज का चिन्ह अंजीर में आवेशों के वितरण से मेल खाता है। 162. और वर्तमान की संकेतित दिशा। कुंडल के माध्यम से धारा के लिए अभिव्यक्ति दो रूपों में लिखी जा सकती है:
आइए हम संबंधों (22) और (24) का उपयोग करके समीकरण से बाहर करें:
संकेतन का परिचय
हम निम्नलिखित रूप में (25) फिर से लिखते हैं:
यदि फ़ंक्शन शुरू करने के बजाय
और ध्यान रखें कि (27) रूप लेता है
यह अप्रकाशित हार्मोनिक दोलनों का सामान्य समीकरण है, जिसका एक समाधान है
जहां और मनमाना स्थिरांक हैं।
फ़ंक्शन से लौटने पर, हम ऊपरी संधारित्र के चार्ज समय पर निर्भरता के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
स्थिरांक और ए को निर्धारित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रारंभिक क्षण में वर्तमान चार्ज (24) और (31) से वर्तमान ताकत के लिए हमारे पास है
चूँकि यह यहाँ से इस प्रकार है कि अब को प्रतिस्थापित करने और ध्यान में रखते हुए कि हम प्राप्त करते हैं
तो, आवेश और वर्तमान शक्ति के व्यंजक हैं
आवेश और धारा दोलनों की प्रकृति विशेष रूप से तब स्पष्ट होती है जब समान मूल्यसंधारित्र क्षमता। इस मामले में
ऊपरी संधारित्र का आवेश आधा दोलन अवधि के बराबर औसत मान के आयाम के साथ दोलन करता है, यह प्रारंभिक क्षण में अधिकतम मान से घटकर शून्य हो जाता है, जब संपूर्ण आवेश निचले संधारित्र पर होता है।
दोलन आवृत्ति के लिए अभिव्यक्ति (26), निश्चित रूप से, तुरंत लिखा जा सकता है, क्योंकि विचाराधीन सर्किट में कैपेसिटर श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। हालांकि, अभिव्यक्तियों (34) को सीधे लिखना मुश्किल है, क्योंकि ऐसी प्रारंभिक परिस्थितियों में सर्किट में शामिल कैपेसिटर्स को एक समकक्ष के साथ बदलना असंभव है।
यहां होने वाली प्रक्रियाओं का एक दृश्य प्रतिनिधित्व इस विद्युत सर्किट के यांत्रिक एनालॉग द्वारा दिया गया है, जिसे अंजीर में दिखाया गया है। 163. समान क्षमता के कंडेनसर के मामले में समान स्प्रिंग्स समान हैं। प्रारंभिक क्षण में, बायां वसंत संकुचित होता है, जो एक आवेशित संधारित्र से मेल खाता है, और दायां एक विकृत अवस्था में होता है, क्योंकि वसंत की विकृति की डिग्री संधारित्र आवेश के एक एनालॉग के रूप में कार्य करती है। मध्य स्थिति से गुजरते समय, दोनों स्प्रिंग्स आंशिक रूप से संकुचित होते हैं, और चरम दाहिनी स्थिति में, बायां वसंत विकृत नहीं होता है, और दायां वसंत उसी तरह संकुचित होता है जैसे प्रारंभिक क्षण में बाईं ओर, जो इसके अनुरूप होता है एक संधारित्र से दूसरे संधारित्र में आवेश का पूर्ण प्रवाह। हालांकि गेंद संतुलन की स्थिति के आसपास सामान्य हार्मोनिक दोलन करती है, प्रत्येक स्प्रिंग्स के विरूपण को एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है जिसका औसत मान शून्य से भिन्न होता है।
एक एकल संधारित्र के साथ एक दोलन सर्किट के विपरीत, जहां दोलनों के दौरान इसका दोहराव पूर्ण पुनर्भरण होता है, माना प्रणाली में, शुरू में चार्ज किया गया संधारित्र पूरी तरह से रिचार्ज नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जब इसका चार्ज शून्य हो जाता है, और फिर उसी ध्रुवता में फिर से बहाल हो जाता है। अन्यथा, ये दोलन पारंपरिक सर्किट में हार्मोनिक दोलनों से भिन्न नहीं होते हैं। इन दोलनों की ऊर्जा संरक्षित है, यदि, निश्चित रूप से, कुंडल और कनेक्टिंग तारों के प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है।
बताएं कि क्यों, यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा के लिए सूत्रों (1) और (2) की तुलना से, यह निष्कर्ष निकाला गया कि कठोरता k का एनालॉग है और द्रव्यमान का एनालॉग इंडक्शन है न कि इसके विपरीत।
एक यांत्रिक स्प्रिंग थरथरानवाला के साथ सादृश्य से सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए अभिव्यक्ति (4) की व्युत्पत्ति के लिए एक तर्क दें।
सर्किट में हार्मोनिक दोलनों को आयाम, आवृत्ति, अवधि, दोलन चरण, प्रारंभिक चरण की विशेषता है। इनमें से कौन सी मात्रा दोलन सर्किट के गुणों से ही निर्धारित होती है, और कौन सी दोलनों के उत्तेजना की विधि पर निर्भर करती है?
सिद्ध करें कि सर्किट में प्राकृतिक दोलनों के दौरान विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा के औसत मूल्य एक दूसरे के बराबर होते हैं और दोलनों की कुल विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का आधा हिस्सा बनाते हैं।
एक सर्किट में हार्मोनिक दोलनों के अंतर समीकरण (12) को प्राप्त करने के लिए विद्युत परिपथ में अर्ध-स्थिर परिघटनाओं के नियमों को कैसे लागू करें?
एलसी सर्किट में करंट किस अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है?
कम भिगोने पर कंपन की ऊर्जा में कमी की दर के लिए एक समीकरण व्युत्पन्न करें जैसे कि यह गति के आनुपातिक घर्षण के साथ एक यांत्रिक थरथरानवाला के लिए किया गया था, और दिखाएं कि समय अंतराल के लिए दोलन अवधि से काफी अधिक है, यह कमी होती है एक घातीय कानून के अनुसार। यहाँ प्रयुक्त शब्द "छोटा क्षीणन" का क्या अर्थ है?
दिखाएँ कि सूत्र (21) द्वारा दिया गया फलन और a के किसी भी मान के लिए समीकरण (16) को संतुष्ट करता है।
अंजीर में दिखाए गए यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। 163, और बाएं वसंत के विरूपण समय और विशाल शरीर की गति पर निर्भरता का पता लगाएं।
अपरिहार्य नुकसान के साथ प्रतिरोध के बिना लूप।ऊपर विचार की गई समस्या में, कैपेसिटर पर चार्ज के लिए सामान्य प्रारंभिक स्थिति नहीं होने के बावजूद, विद्युत सर्किट के लिए सामान्य समीकरणों को लागू करना संभव था, क्योंकि चल रही प्रक्रियाओं की अर्ध-स्थिरता की शर्तें वहां संतुष्ट थीं। लेकिन सर्किट में, जिसका आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 164, अंजीर में आरेख के लिए एक औपचारिक बाहरी समानता के साथ। 162, अर्ध-स्थिरता की शर्तें संतुष्ट नहीं होती हैं यदि प्रारंभिक क्षण में एक संधारित्र चार्ज किया जाता है, और दूसरा नहीं।
आइए अधिक विस्तार से चर्चा करें कि अर्ध-स्थिरता की शर्तों का उल्लंघन क्यों किया जाता है। बंद करने के तुरंत बाद
चावल। 164. विद्युत परिपथ जिसके लिए अर्ध-स्थिरता की शर्तें पूरी नहीं होती हैं
कुंजी यह है कि सभी प्रक्रियाएं केवल परस्पर जुड़े कैपेसिटर में ही खेली जाती हैं, क्योंकि प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से वर्तमान में वृद्धि अपेक्षाकृत धीमी होती है और सबसे पहले कॉइल में करंट की ब्रांचिंग की उपेक्षा की जा सकती है।
जब कुंजी को बंद किया जाता है, तो कैपेसिटर और उन्हें जोड़ने वाले तारों से युक्त सर्किट में तेजी से भीगने वाले दोलन होते हैं। ऐसे दोलनों की अवधि बहुत कम होती है, क्योंकि कनेक्टिंग तारों का इंडक्शन छोटा होता है। इन दोलनों के परिणामस्वरूप, संधारित्र प्लेटों पर आवेश का पुनर्वितरण होता है, जिसके बाद दो संधारित्रों को एक माना जा सकता है। लेकिन पहले क्षण में ऐसा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि आवेशों के पुनर्वितरण के साथ-साथ ऊर्जा का पुनर्वितरण भी होता है, जिसका कुछ भाग ऊष्मा में चला जाता है।
तेजी से दोलनों के भिगोने के बाद, सिस्टम में दोलन होते हैं, जैसे कि एक समाई संधारित्र के साथ एक सर्किट में, जिसका प्रारंभिक क्षण में आवेश संधारित्र के प्रारंभिक आवेश के बराबर होता है। उपरोक्त तर्क की वैधता की शर्त है कॉइल के इंडक्शन की तुलना में कनेक्टिंग वायर के इंडक्शन का छोटापन।
जैसा कि माना गया समस्या है, यहां भी एक यांत्रिक सादृश्य खोजना उपयोगी है। यदि कंडेनसर से संबंधित दो स्प्रिंग्स एक विशाल पिंड के दोनों ओर स्थित थे, तो यहां उन्हें इसके एक तरफ स्थित होना चाहिए, ताकि शरीर के स्थिर रहने पर उनमें से एक के कंपन को दूसरे तक पहुंचाया जा सके। दो स्प्रिंग्स के बजाय, आप एक ले सकते हैं, लेकिन केवल शुरुआती क्षण में इसे अमानवीय रूप से विकृत किया जाना चाहिए।
हम स्प्रिंग को बीच से पकड़ते हैं और उसके बाएं आधे हिस्से को कुछ दूरी तक फैलाते हैं। स्प्रिंग का दूसरा आधा भाग एक विकृत अवस्था में रहेगा, जिससे प्रारंभिक क्षण में भार संतुलन की स्थिति से दाईं ओर कुछ दूरी पर विस्थापित हो जाता है और आराम करता है। तो चलो वसंत को छोड़ दें। इस तथ्य से क्या विशेषताएं उत्पन्न होंगी कि प्रारंभिक क्षण में वसंत अमानवीय रूप से विकृत हो जाता है? के लिए, जैसा कि यह देखना आसान है, वसंत के "आधे" की कठोरता है यदि गेंद के द्रव्यमान की तुलना में वसंत का द्रव्यमान छोटा है, तो एक विस्तारित प्रणाली के रूप में वसंत की प्राकृतिक आवृत्ति बहुत अधिक है वसंत पर गेंद की आवृत्ति। ये "तेज" दोलन ऐसे समय में समाप्त हो जाएंगे जो गेंद के दोलनों की अवधि का एक छोटा सा अंश है। तेजी से दोलनों के भिगोने के बाद, वसंत में तनाव का पुनर्वितरण होता है, और भार का विस्थापन व्यावहारिक रूप से समान रहता है, क्योंकि इस समय के दौरान भार को ध्यान से स्थानांतरित करने का समय नहीं होता है। वसंत का विरूपण एक समान हो जाता है, और सिस्टम की ऊर्जा बराबर होती है
इस प्रकार, वसंत के तेज दोलनों की भूमिका इस तथ्य तक कम हो गई कि सिस्टम का ऊर्जा भंडार उस मूल्य तक कम हो गया जो वसंत के समान प्रारंभिक विरूपण से मेल खाता है। यह स्पष्ट है कि सिस्टम में आगे की प्रक्रियाएं सजातीय प्रारंभिक विकृति के मामले से भिन्न नहीं होती हैं। समय पर भार विस्थापन की निर्भरता को उसी सूत्र (36) द्वारा व्यक्त किया जाता है।
उदाहरण में माना जाता है, तेजी से उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप, यह बदल गया आंतरिक ऊर्जा(गर्मी में) यांत्रिक ऊर्जा की प्रारंभिक आपूर्ति का आधा। यह स्पष्ट है कि प्रारंभिक विरूपण को आधा नहीं, बल्कि वसंत के एक मनमाने हिस्से के अधीन करके, यांत्रिक ऊर्जा की प्रारंभिक आपूर्ति के किसी भी अंश को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित करना संभव है। लेकिन सभी मामलों में, वसंत पर भार के कंपन की ऊर्जा वसंत के समान समान प्रारंभिक विरूपण के लिए ऊर्जा आरक्षित से मेल खाती है।
एक विद्युत परिपथ में, नम तेज दोलनों के परिणामस्वरूप, एक आवेशित संधारित्र की ऊर्जा को जोड़ने वाले तारों में जूल ऊष्मा के रूप में आंशिक रूप से मुक्त किया जाता है। समान क्षमता के साथ, यह प्रारंभिक ऊर्जा आरक्षित का आधा होगा। दूसरा आधा एक सर्किट में अपेक्षाकृत धीमी विद्युत चुम्बकीय दोलनों की ऊर्जा के रूप में रहता है जिसमें एक कॉइल और दो कैपेसिटर C समानांतर में जुड़े होते हैं, और
इस प्रकार, इस प्रणाली में, आदर्शीकरण मौलिक रूप से अस्वीकार्य है, जिसमें दोलन ऊर्जा के अपव्यय की उपेक्षा की जाती है। इसका कारण यह है कि एक समान यांत्रिक प्रणाली में इंडक्टर्स या बड़े पैमाने पर शरीर को प्रभावित किए बिना, यहां तेजी से दोलन संभव हैं।
गैर-रैखिक तत्वों के साथ ऑसिलेटरी सर्किट।यांत्रिक स्पंदनों के अध्ययन में, हमने देखा है कि कंपन किसी भी तरह से हमेशा हार्मोनिक नहीं होते हैं। हार्मोनिक कंपन हैं विशेषता संपत्ति रैखिक प्रणाली, जिसमें
प्रत्यावर्तन बल संतुलन स्थिति से विचलन के समानुपाती होता है, और स्थितिज ऊर्जा विचलन के वर्ग के समानुपाती होती है। वास्तविक यांत्रिक प्रणालियों, एक नियम के रूप में, इन गुणों के अधिकारी नहीं हैं, और उनमें दोलनों को केवल संतुलन की स्थिति से छोटे विचलन के लिए हार्मोनिक माना जा सकता है।
एक सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों के मामले में, किसी को यह आभास हो सकता है कि हम आदर्श प्रणालियों के साथ काम कर रहे हैं जिसमें दोलन सख्ती से हार्मोनिक हैं। हालांकि, यह तभी तक सही है जब तक कैपेसिटर की कैपेसिटेंस और कॉइल के इंडक्शन को स्थिर माना जा सकता है, यानी चार्ज और करंट से स्वतंत्र। एक ढांकता हुआ संधारित्र और एक कोर के साथ एक कुंडल, कड़ाई से बोलते हुए, गैर-रैखिक तत्व हैं। जब संधारित्र एक फेरोइलेक्ट्रिक से भरा होता है, अर्थात, एक पदार्थ जिसका ढांकता हुआ स्थिरांक लागू विद्युत क्षेत्र पर दृढ़ता से निर्भर करता है, संधारित्र की समाई को अब स्थिर नहीं माना जा सकता है। इसी तरह, फेरोमैग्नेटिक कोर के साथ कॉइल का इंडक्शन करंट की ताकत पर निर्भर करता है, क्योंकि फेरोमैग्नेट में मैग्नेटिक सैचुरेशन का गुण होता है।
यदि यांत्रिक दोलन प्रणालियों में द्रव्यमान को, एक नियम के रूप में, स्थिर माना जा सकता है और अरैखिकता केवल अभिनय बल की अरेखीय प्रकृति के कारण होती है, तो एक विद्युत चुम्बकीय थरथरानवाला सर्किट में, एक संधारित्र (एक लोचदार के समान) के कारण अरैखिकता दोनों हो सकती है। वसंत) और एक प्रारंभ करनेवाला (द्रव्यमान अनुरूप) के कारण।
दो समानांतर कैपेसिटर (चित्र 164) के साथ एक ऑसिलेटरी सर्किट के लिए आदर्शीकरण अनुपयुक्त क्यों है, जिसमें सिस्टम को रूढ़िवादी माना जाता है?
अंजीर में सर्किट में दोलन ऊर्जा के अपव्यय के लिए तेजी से दोलन क्यों कर रहे हैं? अंजीर में दिखाए गए दो श्रृंखला कैपेसिटर के साथ सर्किट में 164 नहीं हुआ। 162?
सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों की गैर-साइनसोइडैलिटी के कौन से कारण हो सकते हैं?
एक विद्युत दोलन सर्किट विद्युत चुम्बकीय दोलनों के उत्तेजना और रखरखाव के लिए एक प्रणाली है। अपने सरलतम रूप में, यह एक सर्किट है जिसमें एक इंडक्शन एल के साथ एक कॉइल होता है, एक कैपेसिटेंस सी के साथ एक कैपेसिटर और एक प्रतिरोध आर के साथ एक प्रतिरोधक श्रृंखला में जुड़ा होता है (चित्र। 129)। जब स्विच P को स्थिति 1 पर सेट किया जाता है, तो कैपेसिटर C को वोल्टेज से चार्ज किया जाता है यू टी. इस मामले में, संधारित्र की प्लेटों के बीच बनता है बिजली क्षेत्र, जिसकी अधिकतम ऊर्जा के बराबर है
जब स्विच को स्थिति 2 में ले जाया जाता है, तो सर्किट बंद हो जाता है और इसमें निम्नलिखित प्रक्रियाएं होती हैं। कैपेसिटर डिस्चार्ज होना शुरू हो जाता है और सर्किट से करंट प्रवाहित होता है मैं,
जिसका मान शून्य से बढ़कर अधिकतम मान हो जाता है 
और फिर घट कर शून्य हो जाता है। चूंकि परिपथ में प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित होती है, इसलिए कुंडली में एक EMF प्रेरित होता है, जो संधारित्र को निर्वहन से रोकता है। इसलिए, संधारित्र के निर्वहन की प्रक्रिया तुरंत नहीं, बल्कि धीरे-धीरे होती है। कुण्डली में धारा के प्रकट होने के परिणामस्वरूप एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है, जिसकी ऊर्जा है 
के बराबर वर्तमान पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है 
. चुंबकीय क्षेत्र की अधिकतम ऊर्जा बराबर होगी
अधिकतम मान पर पहुंचने के बाद परिपथ में धारा घटने लगेगी। इस मामले में, संधारित्र को रिचार्ज किया जाएगा, कुंडल में चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा कम हो जाएगी, और संधारित्र में विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा बढ़ जाएगी। अधिकतम मूल्य तक पहुँचने पर। प्रक्रिया दोहराना शुरू हो जाएगी और सर्किट में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के दोलन होंगे। यदि हम मान लें कि प्रतिरोध 
(अर्थात तापन पर कोई ऊर्जा खर्च नहीं होती है), तो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार कुल ऊर्जा वूस्थिर रहता है
और 
;
.
एक सर्किट जिसमें कोई ऊर्जा हानि नहीं होती है उसे आदर्श कहा जाता है। सर्किट में वोल्टेज और करंट हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलते हैं
;
कहाँ पे 
- वृत्ताकार (चक्रीय) दोलन आवृत्ति 
.
वृत्ताकार आवृत्ति दोलन आवृत्ति से संबंधित होती है 
और उतार-चढ़ाव की अवधि टी अनुपात।
एच 
और अंजीर। 130 एक आदर्श ऑसिलेटरी सर्किट के कॉइल में वोल्टेज यू और करंट I के ग्राफ दिखाता है। यह देखा जा सकता है कि वोल्टेज के साथ वर्तमान ताकत चरण में पिछड़ जाती है 
.
;
;
- थॉमसन का सूत्र।
इस घटना में कि प्रतिरोध 
, थॉमसन सूत्र रूप लेता है
.
मैक्सवेल के सिद्धांत के मूल सिद्धांत
मैक्सवेल का सिद्धांत आवेशों और धाराओं की एक मनमानी प्रणाली द्वारा निर्मित एकल विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का सिद्धांत है। सिद्धांत रूप में, इलेक्ट्रोडायनामिक्स की मुख्य समस्या हल हो जाती है - आवेशों और धाराओं के दिए गए वितरण के अनुसार, उनके द्वारा बनाए गए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की विशेषताएं पाई जाती हैं। मैक्सवेल का सिद्धांत विद्युत और विद्युत चुम्बकीय घटना का वर्णन करने वाले सबसे महत्वपूर्ण कानूनों का एक सामान्यीकरण है - विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के लिए ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय, कुल वर्तमान का कानून, कानून इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंडक्शनऔर विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के संचलन पर प्रमेय। मैक्सवेल का सिद्धांत प्रकृति में घटनात्मक है, अर्थात। यह पर्यावरण में होने वाली घटनाओं के आंतरिक तंत्र पर विचार नहीं करता है और उपस्थिति का कारणविद्युत और चुंबकीय क्षेत्र। मैक्सवेल के सिद्धांत में, माध्यम को तीन विशेषताओं का उपयोग करके वर्णित किया गया है - ढांकता हुआ और माध्यम की चुंबकीय μ पारगम्यता और विद्युत चालकता ।
विद्युत दोलनों को आवेश, धारा और वोल्टेज में आवधिक परिवर्तन के रूप में समझा जाता है। सबसे सरल प्रणाली जिसमें मुक्त विद्युत दोलन संभव हैं, तथाकथित ऑसिलेटरी सर्किट है। यह एक संधारित्र और एक दूसरे से जुड़े कुंडल से युक्त एक उपकरण है। हम मान लेंगे कि कुंडल का कोई सक्रिय प्रतिरोध नहीं है, इस स्थिति में सर्किट को आदर्श कहा जाता है। जब इस प्रणाली को ऊर्जा का संचार किया जाता है, तो संधारित्र, वोल्टेज और करंट पर आवेश के अप्रकाशित हार्मोनिक दोलन इसमें होंगे।
ऊर्जा के दोलन सर्किट को सूचित करना संभव है विभिन्न तरीके. उदाहरण के लिए, किसी स्रोत से संधारित्र को चार्ज करके एकदिश धाराया प्रारंभ करनेवाला में उत्तेजना वर्तमान। पहले मामले में, संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा होती है। दूसरे में, ऊर्जा सर्किट के माध्यम से बहने वाली धारा के चुंबकीय क्षेत्र में निहित है।
§1 परिपथ में दोलनों का समीकरण
आइए हम यह सिद्ध करें कि जब परिपथ को ऊर्जा प्रदान की जाती है, तो उसमें अप्रकाशित हार्मोनिक दोलन होंगे। ऐसा करने के लिए, फॉर्म के हार्मोनिक दोलनों का एक अंतर समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।
मान लीजिए संधारित्र आवेशित है और कुण्डली से बंद है। कैपेसिटर डिस्चार्ज होना शुरू हो जाएगा, कॉइल से करंट प्रवाहित होगा। किरचॉफ के दूसरे नियम के अनुसार, एक बंद सर्किट के साथ वोल्टेज की बूंदों का योग इस सर्किट में ईएमएफ के योग के बराबर होता है। 
.
हमारे मामले में, वोल्टेज ड्रॉप इसलिए है क्योंकि सर्किट आदर्श है। सर्किट में संधारित्र एक वर्तमान स्रोत की तरह व्यवहार करता है, संधारित्र प्लेटों के बीच संभावित अंतर ईएमएफ के रूप में कार्य करता है, जहां संधारित्र पर चार्ज होता है, संधारित्र का समाई है। इसके अलावा, जब एक बदलती धारा कुंडल के माध्यम से प्रवाहित होती है, तो इसमें स्व-प्रेरण का एक ईएमएफ उत्पन्न होता है, जहां कुंडल का अधिष्ठापन होता है, कुंडल में धारा के परिवर्तन की दर होती है। चूंकि स्व-प्रेरण का ईएमएफ संधारित्र के निर्वहन की प्रक्रिया को रोकता है, दूसरा किरचॉफ कानून रूप लेता है
लेकिन सर्किट में करंट कैपेसिटर को डिस्चार्ज करने या चार्ज करने का करंट है, इसलिए। फिर
अवकल समीकरण को रूप में बदल दिया जाता है
संकेतन की शुरुआत करके, हम हार्मोनिक दोलनों के प्रसिद्ध अंतर समीकरण को प्राप्त करते हैं।
इसका मतलब है कि ऑसिलेटरी सर्किट में कैपेसिटर पर चार्ज हार्मोनिक कानून के अनुसार बदल जाएगा
जहां संधारित्र पर आवेश का अधिकतम मान है, चक्रीय आवृत्ति है, दोलनों का प्रारंभिक चरण है।
चार्ज दोलन अवधि 
. इस व्यंजक को थॉम्पसन सूत्र कहते हैं।
संधारित्र वोल्टेज
सर्किट करंट
हम देखते हैं कि संधारित्र पर आवेश के अलावा, हार्मोनिक नियम के अनुसार, परिपथ में धारा और संधारित्र पर वोल्टेज भी बदल जाएगा। वोल्टेज चार्ज के साथ चरण में दोलन करता है, और करंट चार्ज से आगे होता है
चरण चालू।
संधारित्र विद्युत क्षेत्र ऊर्जा
चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा वर्तमान
इस प्रकार, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की ऊर्जाएं भी हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती हैं, लेकिन दोगुनी आवृत्ति के साथ।
संक्षेप
विद्युत दोलनों को आवेश, वोल्टेज, धारा शक्ति, विद्युत क्षेत्र ऊर्जा, चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा में आवधिक परिवर्तन के रूप में समझा जाना चाहिए। ये दोलन, यांत्रिक की तरह, स्वतंत्र और मजबूर, हार्मोनिक और गैर-हार्मोनिक दोनों हो सकते हैं। एक आदर्श दोलन सर्किट में मुक्त हार्मोनिक विद्युत दोलन संभव हैं।
2 एक ऑसिलेटरी सर्किट में होने वाली प्रक्रियाएं
हमने गणितीय रूप से एक ऑसिलेटरी सर्किट में मुक्त हार्मोनिक दोलनों के अस्तित्व को साबित किया। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि ऐसी प्रक्रिया क्यों संभव है। सर्किट में दोलनों का क्या कारण है?
मुक्त यांत्रिक स्पंदनों के मामले में ऐसा कारण पाया गया - यह है अंदरूनी शक्ति, जो तब उत्पन्न होता है जब सिस्टम को संतुलन से बाहर कर दिया जाता है। यह बल किसी भी क्षण संतुलन की स्थिति के लिए निर्देशित होता है और शरीर के समन्वय (ऋणात्मक चिह्न के साथ) के समानुपाती होता है। आइए ऑसिलेटरी सर्किट में दोलनों की घटना के लिए एक समान कारण खोजने का प्रयास करें।
संधारित्र को चार्ज करके और इसे कॉइल से बंद करके सर्किट में दोलनों को उत्तेजित होने दें।
समय के प्रारंभिक क्षण में, संधारित्र पर आवेश अधिकतम होता है। नतीजतन, संधारित्र के विद्युत क्षेत्र का वोल्टेज और ऊर्जा भी अधिकतम होती है।
सर्किट में करंट नहीं होता है, करंट के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा शून्य होती है।
अवधि की पहली तिमाही- संधारित्र निर्वहन।
विभिन्न क्षमता वाली संधारित्र प्लेटें एक कंडक्टर द्वारा जुड़ी होती हैं, इसलिए संधारित्र कॉइल के माध्यम से निर्वहन करना शुरू कर देता है। संधारित्र पर आवेश, वोल्टेज और विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा कम हो जाती है।
सर्किट में दिखाई देने वाली धारा बढ़ जाती है, हालांकि, कॉइल में होने वाले सेल्फ-इंडक्शन ईएमएफ द्वारा इसकी वृद्धि को रोका जाता है। धारा के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा बढ़ जाती है।
एक चौथाई बीत गया- संधारित्र को छुट्टी दे दी जाती है।
संधारित्र का निर्वहन, इसके पार वोल्टेज शून्य के बराबर हो गया। इस समय विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा भी शून्य के बराबर होती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार यह लुप्त नहीं हो सकता। संधारित्र के क्षेत्र की ऊर्जा पूरी तरह से कुंडल के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा में बदल गई है, जो इस समय अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचती है। सर्किट में अधिकतम करंट।
ऐसा लगता है कि इस समय सर्किट में करंट बंद हो जाना चाहिए, क्योंकि करंट का कारण, विद्युत क्षेत्र गायब हो गया है। हालांकि, कॉइल में सेल्फ-इंडक्शन के ईएमएफ द्वारा करंट के गायब होने को फिर से रोका जाता है। अब यह घटते हुए करंट को बनाए रखेगा, और कैपेसिटर को चार्ज करते हुए उसी दिशा में प्रवाहित होता रहेगा। अवधि की दूसरी तिमाही शुरू होती है।
अवधि की दूसरी तिमाही
- संधारित्र पुनर्भरण।
स्व-प्रेरण ईएमएफ द्वारा समर्थित धारा उसी दिशा में प्रवाहित होती रहती है, धीरे-धीरे घटती जाती है। यह धारा संधारित्र को विपरीत ध्रुवता में आवेशित करती है। संधारित्र के आर-पार आवेश और वोल्टता में वृद्धि होती है।
वर्तमान के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा, घटती हुई, संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा में गुजरती है।
अवधि की दूसरी तिमाही बीत चुकी है - संधारित्र रिचार्ज हो गया है।
कैपेसिटर तब तक रिचार्ज होता है जब तक करंट रहता है। इसलिए, जिस समय करंट रुकता है, कैपेसिटर पर चार्ज और वोल्टेज अधिकतम मान लेते हैं।
इस समय चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा पूरी तरह से संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा में बदल गई।
इस समय सर्किट में स्थिति मूल स्थिति के बराबर है। सर्किट में प्रक्रियाओं को दोहराया जाएगा, लेकिन विपरीत दिशा में। सर्किट में एक पूर्ण दोलन, एक अवधि के लिए स्थायी, समाप्त हो जाएगा जब सिस्टम अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा, अर्थात, जब संधारित्र को उसकी मूल ध्रुवता में रिचार्ज किया जाता है।
यह देखना आसान है कि सर्किट में दोलनों का कारण स्व-प्रेरण की घटना है। स्व-प्रेरण का ईएमएफ वर्तमान में बदलाव को रोकता है: यह इसे तुरंत बढ़ने और तुरंत गायब होने की अनुमति नहीं देता है।
वैसे, यांत्रिक दोलन प्रणाली में अर्ध-लोचदार बल और सर्किट में स्व-प्रेरण के EMF की गणना के लिए अभिव्यक्तियों की तुलना करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:
पहले, यांत्रिक और विद्युत थरथरानवाला प्रणालियों के लिए अंतर समीकरण प्राप्त किए गए थे:
बावजूद मूलभूत अंतर शारीरिक प्रक्रियाएंयांत्रिक और विद्युत दोलन प्रणालियों के लिए, इन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले समीकरणों की गणितीय पहचान स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। इस पर अधिक विस्तार से चर्चा की जानी चाहिए।
3 विद्युत और यांत्रिक कंपन के बीच सादृश्य
स्प्रिंग पेंडुलम और एक ऑसिलेटरी सर्किट के लिए अंतर समीकरणों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण, साथ ही इन प्रणालियों में प्रक्रियाओं को दर्शाने वाली मात्राओं से संबंधित सूत्र, यह पहचानना संभव बनाता है कि कौन सी मात्राएँ उसी तरह व्यवहार करती हैं (तालिका 2)।
| स्प्रिंग पेंडुलम | ऑसिलेटरी सर्किट |
| शारीरिक समन्वय () | संधारित्र पर चार्ज () |
| शरीर की गति | लूप करंट |
| एक प्रत्यास्थ रूप से विकृत स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा | संधारित्र विद्युत क्षेत्र ऊर्जा |
| भार की गतिज ऊर्जा | धारा के साथ कुंडली के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा |
| वसंत कठोरता का पारस्परिक | संधारित्र क्षमता |
| भार भार | कुंडल अधिष्ठापन |
लोचदार बल  | स्व-प्रेरण का ईएमएफ, संधारित्र पर वोल्टेज के बराबर  |
तालिका 2
पेंडुलम दोलन की प्रक्रियाओं और सर्किट में प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच न केवल औपचारिक समानता महत्वपूर्ण है। प्रक्रियाएं स्वयं समान हैं!
जब संधारित्र पर आवेश अधिकतम होता है तो लोलक की चरम स्थिति परिपथ की स्थिति के तुल्य होती है।
जब संधारित्र को डिस्चार्ज किया जाता है तो पेंडुलम की संतुलन स्थिति सर्किट की स्थिति के बराबर होती है। इस समय, लोचदार बल गायब हो जाता है, और सर्किट में संधारित्र पर कोई वोल्टेज नहीं होता है। लोलक की गति और परिपथ में धारा अधिकतम होती है। वसंत के लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा और संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा शून्य के बराबर होती है। प्रणाली की ऊर्जा में भार की गतिज ऊर्जा या धारा के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा होती है।
संधारित्र का निर्वहन पेंडुलम की गति के समान होता है चरम स्थितिसंतुलन की स्थिति में। कैपेसिटर को रिचार्ज करने की प्रक्रिया लोड को संतुलन स्थिति से चरम स्थिति तक निकालने की प्रक्रिया के समान है।
ऑसिलेटरी सिस्टम की कुल ऊर्जा 
या 
समय के साथ अपरिवर्तित रहता है।
एक समान सादृश्य न केवल एक स्प्रिंग पेंडुलम और एक ऑसिलेटरी सर्किट के बीच का पता लगाया जा सकता है। किसी भी प्रकृति के मुक्त दोलनों के सामान्य पैटर्न! दो ऑसिलेटरी सिस्टम (एक स्प्रिंग पेंडुलम और एक ऑसिलेटरी सर्किट) के उदाहरण से सचित्र ये पैटर्न न केवल संभव हैं, बल्कि देखना होगा किसी भी प्रणाली के कंपन में।
सिद्धांत रूप में, किसी भी दोलन प्रक्रिया की समस्या को पेंडुलम दोलनों के साथ बदलकर हल करना संभव है। ऐसा करने के लिए, एक समान यांत्रिक प्रणाली को सक्षम रूप से बनाने, एक यांत्रिक समस्या को हल करने और अंतिम परिणाम में मूल्यों को बदलने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आपको एक संधारित्र और समानांतर में जुड़े दो कॉइल वाले सर्किट में दोलन की अवधि खोजने की आवश्यकता है।
ऑसिलेटरी सर्किट में एक कैपेसिटर और दो कॉइल होते हैं। चूंकि कॉइल स्प्रिंग पेंडुलम के वजन की तरह व्यवहार करता है और कैपेसिटर स्प्रिंग की तरह व्यवहार करता है, समतुल्य यांत्रिक प्रणाली में एक स्प्रिंग और दो वेट होने चाहिए। सारी समस्या यह है कि भार वसंत से कैसे जुड़े हैं। दो मामले संभव हैं: वसंत का एक छोर तय हो गया है, और एक वजन मुक्त छोर से जुड़ा हुआ है, दूसरा पहले एक पर है, या वजन वसंत के विभिन्न सिरों से जुड़ा हुआ है।
पर समानांतर कनेक्शनविभिन्न अधिष्ठापन धाराओं के कुंडल उनके माध्यम से अलग-अलग प्रवाहित होते हैं। नतीजतन, एक समान यांत्रिक प्रणाली में भार की गति भी भिन्न होनी चाहिए। जाहिर है, यह केवल दूसरे मामले में ही संभव है।
हम इस दोलन प्रणाली की अवधि पहले ही पा चुके हैं। वह बराबर है 
. कुंडलियों के अधिष्ठापन द्वारा भार के द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करना, और संधारित्र की समाई द्वारा वसंत कठोरता के पारस्परिक रूप से, हम प्राप्त करते हैं 
.
§4 प्रत्यक्ष वर्तमान स्रोत के साथ ऑसिलेटरी सर्किट
एक दोलन सर्किट पर विचार करें जिसमें एक प्रत्यक्ष वर्तमान स्रोत है। मान लीजिए कि संधारित्र को प्रारंभ में आवेशित नहीं किया गया है। कुंजी K को बंद करने के बाद सिस्टम में क्या होगा? क्या इस मामले में दोलन देखे जाएंगे और उनकी आवृत्ति और आयाम क्या है?
जाहिर है, चाबी बंद होने के बाद, कैपेसिटर चार्ज होना शुरू हो जाएगा। हम किरचॉफ का दूसरा नियम लिखते हैं:
इसलिए सर्किट में करंट कैपेसिटर का चार्जिंग करंट है। फिर । अवकल समीकरण को रूप में बदल दिया जाता है
*चरों के परिवर्तन से समीकरण को हल करें।
आइए निरूपित करें। दो बार अंतर करें और, इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं। अंतर समीकरण रूप लेता है
यह हार्मोनिक दोलनों का एक अंतर समीकरण है, इसका समाधान कार्य है
चक्रीय आवृत्ति कहां है, एकीकरण स्थिरांक और प्रारंभिक स्थितियों से पाए जाते हैं।
संधारित्र पर आवेश नियम के अनुसार बदलता है
स्विच बंद होने के तुरंत बाद, संधारित्र पर चार्ज शून्यऔर सर्किट में कोई करंट नहीं है 
. प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:
सिस्टम को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं और . कुंजी बंद होने के बाद, संधारित्र पर आवेश कानून के अनुसार बदल जाता है।
यह देखना आसान है कि परिपथ में हार्मोनिक दोलन होते हैं। परिपथ में प्रत्यक्ष धारा स्रोत की उपस्थिति ने दोलन आवृत्ति को प्रभावित नहीं किया, यह बराबर रहा। "संतुलन की स्थिति" बदल गई है - उस समय जब सर्किट में करंट अधिकतम होता है, संधारित्र चार्ज होता है। संधारित्र पर आवेश दोलनों का आयाम Cε के बराबर होता है।
एक सर्किट में दोलनों और एक स्प्रिंग पेंडुलम के दोलनों के बीच सादृश्य का उपयोग करके एक ही परिणाम अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। डीसी स्रोत डीसी के बराबर है बल क्षेत्र, जिसमें एक स्प्रिंग लोलक रखा जाता है, उदाहरण के लिए, एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र। सर्किट को बंद करने के समय संधारित्र पर चार्ज की अनुपस्थिति, पेंडुलम को दोलन गति में लाने के समय वसंत के विरूपण की अनुपस्थिति के समान है।
एक स्थिर बल क्षेत्र में, एक स्प्रिंग लोलक के दोलन की अवधि नहीं बदलती है। सर्किट में दोलन अवधि उसी तरह व्यवहार करती है - यह अपरिवर्तित रहता है जब एक प्रत्यक्ष वर्तमान स्रोत को सर्किट में पेश किया जाता है।
संतुलन की स्थिति में, जब भार की गति अधिकतम होती है, वसंत विकृत हो जाता है:
जब ऑसिलेटरी सर्किट में करंट अधिकतम होता है 
. किरचॉफ का दूसरा नियम इस प्रकार लिखा गया है
इस समय, संधारित्र पर आवेश के बराबर होता है वही परिणाम व्यंजक (*) के आधार पर प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है
5 समस्या समाधान के उदाहरण
कार्य 1ऊर्जा संरक्षण का नियम
ली\u003d 0.5 μH और एक समाई के साथ एक संधारित्र से= 20 pF विद्युत दोलन होते हैं। यदि परिपथ में धारा का आयाम 1 mA है, तो संधारित्र के आर-पार अधिकतम वोल्टेज क्या है? कुंडल का सक्रिय प्रतिरोध नगण्य है।
समाधान:
(1)
2 उस समय जब संधारित्र पर वोल्टेज अधिकतम (संधारित्र पर अधिकतम आवेश) होता है, परिपथ में कोई धारा नहीं होती है। सिस्टम की कुल ऊर्जा में केवल संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा होती है
(2)
3 जिस समय सर्किट में करंट अधिकतम होता है, कैपेसिटर पूरी तरह से डिस्चार्ज हो जाता है। निकाय की कुल ऊर्जा में केवल कुंडली के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा होती है
(3)
4 व्यंजकों (1), (2), (3) के आधार पर हम समानता प्राप्त करते हैं 
. संधारित्र में अधिकतम वोल्टेज है
टास्क 2ऊर्जा संरक्षण का नियम
एक अधिष्ठापन कुंडल से युक्त एक थरथरानवाला सर्किट में लीऔर एक संधारित्र से,विद्युत दोलन एक अवधि T = 1 μs के साथ होते हैं। अधिकतम चार्ज मूल्य 
. उस समय परिपथ में धारा क्या होती है जब संधारित्र पर आवेश किसके बराबर होता है? कुंडल का सक्रिय प्रतिरोध नगण्य है।
समाधान:
1 चूंकि कॉइल के सक्रिय प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है, सिस्टम की कुल ऊर्जा, जिसमें कैपेसिटर के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा और कॉइल के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा शामिल होती है, समय के साथ अपरिवर्तित रहती है:
(1)
2 जिस समय संधारित्र पर आवेश अधिकतम होता है, उस समय परिपथ में कोई धारा नहीं होती है। सिस्टम की कुल ऊर्जा में केवल संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा होती है
(2)
3 (1) और (2) के आधार पर, हम समानता प्राप्त करते हैं 
. सर्किट में करंट है 
.
4 परिपथ में दोलन अवधि थॉमसन सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है। यहाँ से। तब हम परिपथ में धारा के लिए प्राप्त करते हैं
टास्क 3समानांतर में जुड़े दो कैपेसिटर के साथ ऑसिलेटरी सर्किट
एक अधिष्ठापन कुंडल से युक्त एक थरथरानवाला सर्किट में लीऔर एक संधारित्र से,विद्युत दोलन आवेश के आयाम के साथ होते हैं। जिस समय संधारित्र पर आवेश अधिकतम होता है, कुंजी K को बंद कर दिया जाता है। कुंजी बंद होने के बाद परिपथ में दोलनों की अवधि क्या होगी? स्विच बंद करने के बाद सर्किट में करंट का आयाम क्या है? सर्किट के ओमिक प्रतिरोध पर ध्यान न दें।
समाधान:
1 कुंजी को बंद करने से पहले संधारित्र के समानांतर जुड़े दूसरे संधारित्र के परिपथ में प्रकटन होता है। समानांतर में जुड़े दो कैपेसिटर की कुल समाई है।
सर्किट में दोलनों की अवधि केवल इसके मापदंडों पर निर्भर करती है और यह इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि सिस्टम में दोलन कैसे उत्तेजित हुए और इसके लिए सिस्टम को कौन सी ऊर्जा प्रदान की गई। थॉमसन सूत्र के अनुसार।
2 धारा का आयाम ज्ञात करने के लिए, आइए जानें कि कुंजी बंद होने के बाद परिपथ में कौन-सी प्रक्रियाएँ होती हैं।
दूसरा संधारित्र उस समय जुड़ा हुआ था जब पहले संधारित्र पर आवेश अधिकतम था, इसलिए परिपथ में कोई धारा नहीं थी।
लूप कैपेसिटर को डिस्चार्ज करना शुरू कर देना चाहिए। नोड तक पहुंचने वाले डिस्चार्ज करंट को दो भागों में विभाजित किया जाना चाहिए। हालांकि, कुंडल के साथ शाखा में, आत्म-प्रेरण का एक ईएमएफ होता है, जो निर्वहन प्रवाह में वृद्धि को रोकता है। इस कारण से, संपूर्ण डिस्चार्ज करंट संधारित्र के साथ शाखा में प्रवाहित होगा, जिसका ओमिक प्रतिरोध शून्य है। जैसे ही कैपेसिटर पर वोल्टेज बराबर होगा, करंट रुक जाएगा, जबकि कैपेसिटर का प्रारंभिक चार्ज दो कैपेसिटर के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। संधारित्र शाखाओं में ओमिक प्रतिरोध की अनुपस्थिति के कारण दो कैपेसिटर के बीच चार्ज पुनर्वितरण समय नगण्य है। इस दौरान कॉइल वाली शाखा में करंट आने का समय नहीं होगा। में उतार-चढ़ाव नई प्रणालीकैपेसिटर के बीच चार्ज के पुनर्वितरण के बाद जारी रखें।
यह समझना महत्वपूर्ण है कि दो कैपेसिटर के बीच चार्ज को पुनर्वितरित करने की प्रक्रिया में, सिस्टम की ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है! कुंजी बंद होने से पहले, एक संधारित्र, एक लूप संधारित्र, में ऊर्जा थी:
चार्ज के पुनर्वितरण के बाद, कैपेसिटर की बैटरी में ऊर्जा होती है:
यह देखना आसान है कि सिस्टम की ऊर्जा कम हो गई है!
3 हम ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके धारा के नए आयाम का पता लगाते हैं। दोलनों की प्रक्रिया में, संधारित्र बैंक की ऊर्जा धारा के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
कृपया ध्यान दें कि कैपेसिटर के बीच चार्ज के पुनर्वितरण के पूरा होने के बाद ही ऊर्जा के संरक्षण का कानून "काम" करना शुरू कर देता है।
टास्क 4श्रृंखला में जुड़े दो कैपेसिटर के साथ ऑसिलेटरी सर्किट
ऑसिलेटरी सर्किट में एक कॉइल होता है जिसमें एक इंडक्शन L और दो कैपेसिटर C और 4C सीरीज़ में जुड़े होते हैं। C की क्षमता वाले कैपेसिटर को वोल्टेज से चार्ज किया जाता है, 4C की क्षमता वाले कैपेसिटर को चार्ज नहीं किया जाता है। कुंजी बंद होने के बाद, सर्किट में दोलन शुरू होते हैं। इन दोलनों की अवधि क्या है? प्रत्येक संधारित्र पर वर्तमान के आयाम, अधिकतम और न्यूनतम वोल्टेज मान निर्धारित करें।
समाधान:
1 जिस समय सर्किट में करंट अधिकतम होता है, कॉइल में सेल्फ-इंडक्शन EMF नहीं होता है 
. हम इस क्षण के लिए किरचॉफ का दूसरा नियम लिखते हैं
हम देखते हैं कि उस समय जब सर्किट में करंट अधिकतम होता है, कैपेसिटर को एक ही वोल्टेज पर चार्ज किया जाता है, लेकिन विपरीत ध्रुवता में:
2 कुंजी को बंद करने से पहले, सिस्टम की कुल ऊर्जा में केवल कैपेसिटर C के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा शामिल थी:
जिस समय सर्किट में करंट अधिकतम होता है, सिस्टम की ऊर्जा करंट के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा और एक ही वोल्टेज पर चार्ज किए गए दो कैपेसिटर की ऊर्जा का योग होती है:
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार
कैपेसिटर पर वोल्टेज खोजने के लिए, हम चार्ज के संरक्षण के कानून का उपयोग करते हैं - कैपेसिटर सी की निचली प्लेट का चार्ज आंशिक रूप से कैपेसिटर 4 सी की ऊपरी प्लेट में स्थानांतरित हो गया है:
हम ऊर्जा के संरक्षण के नियम में पाए गए वोल्टेज मान को प्रतिस्थापित करते हैं और सर्किट में करंट का आयाम पाते हैं:
3 आइए उन सीमाओं का पता लगाएं जिनके भीतर कैपेसिटर पर वोल्टेज दोलन प्रक्रिया के दौरान बदलता है।
यह स्पष्ट है कि जिस समय सर्किट बंद था, कैपेसिटर सी पर अधिकतम वोल्टेज था। संधारित्र 4C चार्ज नहीं किया गया था, इसलिए, .
स्विच बंद होने के बाद, कैपेसिटर C डिस्चार्ज होना शुरू हो जाता है, और 4C की क्षमता वाला कैपेसिटर चार्ज होना शुरू हो जाता है। सर्किट में करंट रुकते ही पहले कैपेसिटर को डिस्चार्ज करने और दूसरे कैपेसिटर को चार्ज करने की प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। यह आधे समय में होगा। ऊर्जा और विद्युत आवेश के संरक्षण के नियमों के अनुसार:
सिस्टम को हल करते हुए, हम पाते हैं:
.
माइनस साइन का मतलब है कि आधी अवधि के बाद, कैपेसिटेंस C को मूल के रिवर्स पोलरिटी में चार्ज किया जाता है।
टास्क 5श्रृंखला में जुड़े दो कॉइल के साथ ऑसिलेटरी सर्किट
ऑसिलेटिंग सर्किट में कैपेसिटेंस C वाला कैपेसिटर होता है और इंडक्शन के साथ दो कॉइल होते हैं एल1और एल2. उस समय जब सर्किट में करंट अपने अधिकतम मूल्य पर पहुंच गया है, एक लोहे के कोर को पहले कॉइल (दोलन अवधि की तुलना में) में जल्दी से पेश किया जाता है, जिससे इसके इंडक्शन में μ गुना की वृद्धि होती है। सर्किट में आगे के दोलनों की प्रक्रिया में वोल्टेज आयाम क्या है?
समाधान:
1 कुंडल में कोर के तेजी से परिचय के साथ, चुंबकीय प्रवाह(विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की घटना)। इसलिए, किसी एक कॉइल के इंडक्शन में तेजी से बदलाव के परिणामस्वरूप सर्किट में करंट में तेजी से बदलाव आएगा।
2 कॉइल में कोर की शुरूआत के दौरान, कैपेसिटर पर चार्ज को बदलने का समय नहीं था, यह अपरिवर्तित रहा (कोर को उस समय पेश किया गया था जब सर्किट में करंट अधिकतम था)। एक चौथाई अवधि के बाद, धारा के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा एक आवेशित संधारित्र की ऊर्जा में बदल जाएगी:
परिणामी व्यंजक में धारा का मान रखें मैंऔर संधारित्र के आर-पार वोल्टेज का आयाम ज्ञात कीजिए:
टास्क 6समानांतर में जुड़े दो कॉइल के साथ ऑसिलेटरी सर्किट
इंडिकेटर्स एल 1 और एल 2 एक कैपेसिटेंस सी के साथ कैपेसिटर के लिए के 1 और के 2 के माध्यम से जुड़े हुए हैं। प्रारंभिक क्षण में, दोनों चाबियाँ खुली हैं, और कैपेसिटर को संभावित अंतर पर चार्ज किया जाता है। सबसे पहले, कुंजी K1 को बंद किया जाता है और, जब संधारित्र के आर-पार वोल्टेज शून्य के बराबर हो जाता है, K2 बंद हो जाता है। K2 को बंद करने के बाद संधारित्र में अधिकतम वोल्टेज निर्धारित करें। कुंडल प्रतिरोधों पर ध्यान न दें।
समाधान:
1 जब कुंजी K2 खुली होती है, तो कैपेसिटर और पहले कॉइल वाले सर्किट में दोलन होते हैं। जब तक K2 बंद हो जाता है, संधारित्र की ऊर्जा पहले कॉइल में वर्तमान के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा में स्थानांतरित हो जाती है:
2 K2 को बंद करने के बाद, समानांतर में जुड़े दो कॉइल ऑसिलेटरी सर्किट में दिखाई देते हैं।
स्व-प्रेरण की घटना के कारण पहले कॉइल में करंट नहीं रुक सकता। नोड पर, यह विभाजित होता है: करंट का एक हिस्सा दूसरे कॉइल में जाता है, और दूसरा हिस्सा कैपेसिटर को चार्ज करता है।
3 करंट रुकने पर कैपेसिटर पर वोल्टेज अधिकतम हो जाएगा मैंचार्जिंग कैपेसिटर। यह स्पष्ट है कि इस समय कुंडलियों में धाराएँ समान होंगी।
:लोलक द्रव्यमान के केंद्र की गति से आगे बढ़ता है 
और द्रव्यमान के केंद्र के बारे में दोलन करता है।
वसंत के अधिकतम विरूपण के समय लोचदार बल अधिकतम होता है। जाहिर है, इस समय, भार की सापेक्ष गति शून्य के बराबर हो जाती है, और तालिका के सापेक्ष, भार केंद्र की गति से चलते हैं। हम ऊर्जा के संरक्षण का नियम लिखते हैं:
सिस्टम को हल करते हुए, हम पाते हैं
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं
और पाने के लिए अधिकतम वोल्टेजपहले पाया गया मूल्य 
§6 स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य
व्यायाम 1 प्राकृतिक दोलनों की अवधि और आवृत्ति की गणना
1 ऑसिलेटरी सर्किट में वेरिएबल इंडक्शन का एक कॉइल शामिल होता है, जो अलग-अलग होता है एल1= 0.5 µ एच to एल2\u003d 10 μH, और एक संधारित्र, जिसकी धारिता . से भिन्न हो सकती है 1 से= 10 पीएफ से
2 . से\u003d 500 पीएफ। इस सर्किट को ट्यून करके किस फ्रीक्वेंसी रेंज को कवर किया जा सकता है?
2 सर्किट में प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति कितनी बार बदलेगी यदि इसकी अधिष्ठापन 10 गुना बढ़ जाती है, और समाई 2.5 गुना कम हो जाती है?
3 एक 1 uF संधारित्र के साथ एक दोलक परिपथ को 400 Hz की आवृत्ति पर ट्यून किया जाता है। यदि आप इसके समानांतर एक दूसरा संधारित्र जोड़ते हैं, तो परिपथ में दोलन आवृत्ति 200 Hz के बराबर हो जाती है। दूसरे संधारित्र की धारिता ज्ञात कीजिए।
4 ऑसिलेटरी सर्किट में एक कॉइल और एक कैपेसिटर होता है। सर्किट में प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति कितनी बार बदलेगी यदि एक दूसरा संधारित्र सर्किट में श्रृंखला में जुड़ा हुआ है, जिसकी धारिता पहले की धारिता से 3 गुना कम है?
5 सर्किट की दोलन अवधि निर्धारित करें, जिसमें लंबाई का एक कुंडल (कोर के बिना) शामिल है में= 50 सेमी मीटर क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र
एस\u003d 3 सेमी 2, होने एन\u003d 1000 मोड़, और एक समाई संधारित्र से= 0.5 यूएफ।
6 ऑसिलेटरी सर्किट में एक प्रारंभ करनेवाला शामिल होता है ली\u003d 1.0 μH और एक वायु संधारित्र, जिसकी प्लेटों के क्षेत्र एस\u003d 100 सेमी 2. सर्किट को 30 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति पर ट्यून किया गया है। प्लेटों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। सर्किट का सक्रिय प्रतिरोध नगण्य है।
विद्युत चुम्बकीय दोलन और तरंगें
1 ऑसिलेटरी सर्किट।
ऑसिलेटरी सर्किट में प्राकृतिक कंपन।
थॉमसन सूत्र।
सी.सी. में गीला और जबरन दोलन
- सी.सी. में मुक्त कंपन
एक ऑसिलेटरी सर्किट (c.c.) एक सर्किट होता है जिसमें एक संधारित्र और एक प्रारंभ करनेवाला होता है। कुछ शर्तों के तहत सी.सी. चार्ज, करंट, वोल्टेज और ऊर्जा में विद्युत चुम्बकीय उतार-चढ़ाव हो सकता है।
चित्र 2 में दिखाए गए सर्किट पर विचार करें। यदि आप कुंजी को 1 की स्थिति में रखते हैं, तो संधारित्र चार्ज हो जाएगा और इसकी प्लेटों पर एक चार्ज दिखाई देगाक्यूऔर तनाव यू सी. यदि आप कुंजी को स्थिति 2 में घुमाते हैं, तो संधारित्र डिस्चार्ज होना शुरू हो जाएगा, सर्किट में करंट प्रवाहित होगा, जबकि संधारित्र की प्लेटों के बीच संलग्न विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा प्रारंभ करनेवाला में केंद्रित चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी।ली. एक प्रारंभ करनेवाला की उपस्थिति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि सर्किट में वर्तमान तुरंत नहीं बढ़ता है, लेकिन धीरे-धीरे आत्म-प्रेरण की घटना के कारण होता है। जैसे-जैसे कैपेसिटर डिस्चार्ज होगा, इसकी प्लेटों पर चार्ज कम होगा, सर्किट में करंट बढ़ेगा। लूप करंट का अधिकतम मान तब पहुंचेगा जब प्लेटों पर चार्ज शून्य के बराबर होगा। इस बिंदु से, लूप करंट कम होना शुरू हो जाएगा, लेकिन, स्व-प्रेरण की घटना के कारण, इसे प्रारंभ करनेवाला के चुंबकीय क्षेत्र द्वारा बनाए रखा जाएगा, अर्थात। जब संधारित्र पूरी तरह से डिस्चार्ज हो जाता है, तो प्रारंभ करनेवाला में संग्रहीत चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा में बदलना शुरू हो जाएगी। लूप करंट के कारण, कैपेसिटर रिचार्ज करना शुरू कर देगा और मूल के विपरीत चार्ज इसकी प्लेटों पर जमा होना शुरू हो जाएगा। संधारित्र को तब तक रिचार्ज किया जाएगा जब तक कि प्रारंभ करनेवाला के चुंबकीय क्षेत्र की सारी ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा में परिवर्तित न हो जाए। फिर प्रक्रिया विपरीत दिशा में दोहराई जाएगी, और इस प्रकार, सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलन होंगे।
आइए हम दूसरे किरचॉफ के नियम को के.के. के लिए लिखते हैं,
अवकल समीकरण के.के.
हमने c.c. में आवेश दोलनों के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त किया है। यह समीकरण एक अर्ध-लोचदार बल की क्रिया के तहत शरीर की गति का वर्णन करने वाले एक अंतर समीकरण के समान है। अत: इस समीकरण का हल इसी प्रकार लिखा जाएगा
c.c. में आवेश के उतार-चढ़ाव का समीकरण
सी.सी. में संधारित्र प्लेटों पर वोल्टेज के उतार-चढ़ाव का समीकरण
k.k. में वर्तमान उतार-चढ़ाव का समीकरण
- QC . में नम दोलन
समाई, अधिष्ठापन और प्रतिरोध युक्त एक सीसी पर विचार करें। इस मामले में किरचॉफ का दूसरा नियम रूप में लिखा जाएगा
- क्षीणन कारक,
खुद की चक्रीय आवृत्ति।
- - सी.सी. में नम दोलनों का अंतर समीकरण।
एक c.c. में अवमंदित आवेश दोलनों का समीकरण
c.c. में नम दोलनों के दौरान आवेश आयाम के परिवर्तन का नियम;
नम दोलनों की अवधि।
क्षीणन का ह्रास।
- लघुगणक भिगोना कमी।
सर्किट की अच्छाई।
यदि भिगोना कमजोर है, तो टी टी 0
हम संधारित्र प्लेटों पर वोल्टेज में परिवर्तन की जांच करते हैं।
वोल्टेज से द्वारा वर्तमान में परिवर्तन चरण से बाहर है।
पर - नम दोलन संभव हैं,
पर - गंभीर स्थिति
एक टाई। आर >
आरप्रति- उतार-चढ़ाव नहीं होता है (संधारित्र का एपेरियोडिक डिस्चार्ज)।
- विद्युतचुंबकीय कंपनविद्युत में समय के साथ आवधिक परिवर्तन होते हैं और चुंबकीय मात्राएक विद्युत परिपथ में।
- नि: शुल्कऐसे कहा जाता है उतार चढ़ाव, जो स्थिर संतुलन की स्थिति से इस प्रणाली के विचलन के कारण एक बंद प्रणाली में उत्पन्न होती है।
दोलनों के दौरान, तंत्र की ऊर्जा को एक रूप से दूसरे रूप में बदलने की एक सतत प्रक्रिया होती है। हिचकिचाहट के मामले में विद्युत चुम्बकीयविनिमय केवल इस क्षेत्र के विद्युत और चुंबकीय घटकों के बीच हो सकता है। सबसे सरल प्रणाली जहां यह प्रक्रिया हो सकती है वह है ऑसिलेटरी सर्किट.
- आदर्श ऑसिलेटरी सर्किट (एलसी सर्किट) - एक विद्युत सर्किट जिसमें एक इंडक्शन कॉइल होता है लीऔर एक संधारित्र सी.
एक वास्तविक ऑसिलेटरी सर्किट के विपरीत, जिसमें विद्युत प्रतिरोध होता है आर, विद्युतीय प्रतिरोधआदर्श समोच्च हमेशा शून्य होता है। इसलिए, एक आदर्श ऑसिलेटरी सर्किट वास्तविक सर्किट का एक सरलीकृत मॉडल है।
चित्र 1 एक आदर्श दोलक परिपथ का आरेख दिखाता है।
सर्किट ऊर्जा
ऑसिलेटरी सर्किट की कुल ऊर्जा
\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2सी), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)
कहां हम- ऑसिलेटरी सर्किट के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा इस पलसमय सेसंधारित्र की धारिता है, तुम- एक निश्चित समय में संधारित्र पर वोल्टेज का मान, क्यू- एक निश्चित समय पर संधारित्र के आवेश का मान, डब्ल्यूएम- एक निश्चित समय में दोलन सर्किट के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा, ली- कुंडल अधिष्ठापन, मैं- एक निश्चित समय में कुंडली में धारा का मान।
ऑसिलेटरी सर्किट में प्रक्रियाएं
ऑसिलेटरी सर्किट में होने वाली प्रक्रियाओं पर विचार करें।
सर्किट को संतुलन की स्थिति से हटाने के लिए, हम कैपेसिटर को चार्ज करते हैं ताकि इसकी प्लेटों पर चार्ज हो क्यूएम(चित्र 2, स्थिति 1 ) समीकरण को ध्यान में रखते हुए \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) हम संधारित्र में वोल्टेज का मान पाते हैं। इस समय परिपथ में कोई धारा नहीं होती है, अर्थात्। मैं = 0.
कुंजी बंद होने के बाद, सर्किट में संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की क्रिया के तहत, बिजली, वर्तमान ताकत मैंजो समय के साथ बढ़ता जाएगा। इस समय संधारित्र निर्वहन करना शुरू कर देगा, क्योंकि। इलेक्ट्रॉन जो करंट बनाते हैं (मैं आपको याद दिलाता हूं कि धनात्मक आवेशों की गति की दिशा को धारा की दिशा के रूप में लिया जाता है) संधारित्र की ऋणात्मक प्लेट को छोड़ कर धनात्मक प्लेट पर आ जाता है (चित्र 2, स्थिति देखें) 2 ) चार्ज के साथ क्यूतनाव कम होगा तुम\(\बाएं(u = \dfrac(q)(C) \right).\) जैसे-जैसे वर्तमान ताकत बढ़ती है, कॉइल के माध्यम से एक स्व-प्रेरण ईएमएफ दिखाई देगा, जिससे वर्तमान ताकत में बदलाव को रोका जा सकेगा। नतीजतन, थरथरानवाला सर्किट में वर्तमान ताकत शून्य से एक निश्चित अधिकतम मूल्य तक तुरंत नहीं, बल्कि एक निश्चित अवधि में, कुंडल के अधिष्ठापन द्वारा निर्धारित की जाएगी।
संधारित्र प्रभार क्यूघटता है और किसी समय शून्य के बराबर हो जाता है ( क्यू = 0, तुम= 0), कुण्डली में धारा एक निश्चित मान तक पहुँच जाएगी मैं हूं(अंजीर देखें। 2, स्थिति 3 ).
संधारित्र (और प्रतिरोध) के विद्युत क्षेत्र के बिना, वर्तमान बनाने वाले इलेक्ट्रॉन जड़ता से चलते रहते हैं। ऐसे में कैपेसिटर की न्यूट्रल प्लेट पर आने वाले इलेक्ट्रान इसे नेगेटिव चार्ज देते हैं, न्यूट्रल प्लेट को छोड़ने वाले इलेक्ट्रान इसे पॉजिटिव चार्ज देते हैं। संधारित्र चार्ज होने लगता है क्यू(और वोल्टेज तुम), लेकिन विपरीत संकेत के, यानी। संधारित्र को रिचार्ज किया जाता है। अब संधारित्र का नया विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों को गतिमान होने से रोकता है, इसलिए धारा मैंघटने लगती है (अंजीर देखें। 2, स्थिति 4 ) फिर, यह तुरंत नहीं होता है, क्योंकि अब स्व-प्रेरण ईएमएफ वर्तमान में कमी की भरपाई करना चाहता है और इसका "समर्थन" करता है। और करंट का मान मैं हूं(गर्भवती 3 ) पता चला है अधिकतम करंटसमोच्च में।
और फिर से, संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की कार्रवाई के तहत, सर्किट में एक विद्युत प्रवाह दिखाई देगा, लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित, वर्तमान ताकत मैंजो समय के साथ बढ़ता जाएगा। और संधारित्र को इस समय छुट्टी दे दी जाएगी (चित्र 2 देखें, स्थिति .) 6 ) से शून्य (चित्र 2 देखें, स्थिति .) 7 ) आदि।
संधारित्र पर आवेश के बाद से क्यू(और वोल्टेज तुम) इसकी विद्युत क्षेत्र ऊर्जा निर्धारित करता है हम\(\बाएं(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) और कुंडली में धारा मैं- चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा डब्ल्यूएम\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) फिर चार्ज, वोल्टेज और करंट में बदलाव के साथ-साथ ऊर्जा भी बदल जाएगी।
तालिका में पदनाम:
\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)
\(W_(m\; \max) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2))(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)
एक आदर्श ऑसिलेटरी सर्किट की कुल ऊर्जा समय के साथ संरक्षित होती है, क्योंकि इसमें ऊर्जा की हानि होती है (कोई प्रतिरोध नहीं)। फिर
\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)
इस प्रकार, आदर्श नियंत्रण रेखा- सर्किट वर्तमान ताकत मूल्यों में आवधिक परिवर्तन का अनुभव करेगा मैं, चार्ज क्यूऔर तनाव तुम, और परिपथ की कुल ऊर्जा स्थिर रहेगी। इस मामले में, हम कहते हैं कि वहाँ हैं मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलन.
- मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलनसर्किट में - ये कैपेसिटर प्लेट्स पर चार्ज में आवधिक परिवर्तन, सर्किट में करंट स्ट्रेंथ और वोल्टेज हैं, जो बाहरी स्रोतों से ऊर्जा की खपत के बिना होते हैं।
इस प्रकार, सर्किट में मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलनों की घटना संधारित्र के रिचार्जिंग और कॉइल में स्व-प्रेरण ईएमएफ की घटना के कारण होती है, जो इस रिचार्जिंग को "प्रदान" करती है। ध्यान दें कि संधारित्र पर आवेश क्यूऔर कुंडली में धारा मैंअपने अधिकतम मूल्यों तक पहुँचें क्यूएमऔर मैं हूंसमय के विभिन्न बिंदुओं पर।
सर्किट में मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलन हार्मोनिक कानून के अनुसार होते हैं:
\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ ओमेगा \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)
समय की सबसे छोटी अवधि जिसके दौरान नियंत्रण रेखा- सर्किट अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाता है (इस अस्तर के चार्ज के प्रारंभिक मूल्य के लिए), सर्किट में मुक्त (प्राकृतिक) विद्युत चुम्बकीय दोलनों की अवधि कहा जाता है।
में मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलनों की अवधि नियंत्रण रेखा-कंटूर थॉमसन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)
यांत्रिक सादृश्य के दृष्टिकोण से, घर्षण के बिना एक स्प्रिंग पेंडुलम एक आदर्श दोलन सर्किट से मेल खाता है, और वास्तविक एक - घर्षण के साथ। घर्षण बलों की क्रिया के कारण, स्प्रिंग लोलक के दोलन समय के साथ कम हो जाते हैं।
*थॉमसन सूत्र की व्युत्पत्ति
चूंकि आदर्श की कुल ऊर्जा नियंत्रण रेखा-समोच्च, ऊर्जा के योग के बराबर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रसंधारित्र और कुंडल के चुंबकीय क्षेत्र को संरक्षित किया जाता है, तो किसी भी समय समानता
\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)
हम दोलनों का समीकरण प्राप्त करते हैं नियंत्रण रेखा-सर्किट, ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए समय के संबंध में अपनी कुल ऊर्जा के व्यंजक में अंतर करना
\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)
हम एक आदर्श सर्किट में मुक्त दोलनों का वर्णन करने वाला एक समीकरण प्राप्त करते हैं:
\(\बाएं(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)
\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )
इसे फिर से लिखकर:
\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)
ध्यान दें कि यह चक्रीय आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलनों का समीकरण है
\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)
तदनुसार, विचाराधीन दोलनों की अवधि
\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)
साहित्य
- झिल्को, वी.वी. भौतिकी: पाठ्यपुस्तक। 11 वीं कक्षा की सामान्य शिक्षा के लिए भत्ता। स्कूल रूसी से लैंग प्रशिक्षण / वी.वी. झिल्को, एल.जी. मार्कोविच। - मिन्स्क: नर। अश्वेता, 2009. - एस। 39-43।
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