Parallélogramme toutes les formules et propriétés. Projet de recherche "le parallélogramme et ses propriétés"

Le concept de parallélogramme

Définition 1

Parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles entre eux (Fig. 1).

Image 1.

Un parallélogramme a deux propriétés principales. Considérons-les sans preuve.

Propriété 1 : Les côtés opposés et les angles d'un parallélogramme sont respectivement égaux.

Propriété 2 : Les diagonales tracées dans un parallélogramme sont bissectées par leur point d'intersection.

Caractéristiques du parallélogramme

Considérez trois caractéristiques d'un parallélogramme et présentez-les sous forme de théorèmes.

Théorème 1

Si deux côtés d'un quadrilatère sont égaux et également parallèles, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme.

Preuve.

Donnons-nous un quadrilatère $ABCD$. Où $AB||CD$ et $AB=CD$ Traçons-y une diagonale $AC$ (Fig. 2).

Figure 2.

Considérons les droites parallèles $AB$ et $CD$ et leur sécante $AC$. Puis

\[\angle CAB=\angle DCA\]

comme des coins transversaux.

D'après le critère $I$ d'égalité des triangles,

puisque $AC$ est leur côté commun, et $AB=CD$ par hypothèse. Moyens

\[\angle CAD=\angle ACB\]

Considérons les droites $AD$ et $CB$ et leur sécante $AC$ ; par la dernière égalité des angles croisés, on obtient que $AD||CB$.) Donc, par définition de $1$, ce quadrilatère est un parallélogramme.

Le théorème a été démontré.

Théorème 2

Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont égaux, alors c'est un parallélogramme.

Preuve.

Donnons-nous un quadrilatère $ABCD$. Où $AD=BC$ et $AB=CD$. Traçons-y une diagonale $AC$ (Fig. 3).

figure 3

Puisque $AD=BC$, $AB=CD$ et $AC$ est un côté commun, alors par le test d'égalité du triangle $III$,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle CAD=\angle ACB\]

Considérons les droites $AD$ et $CB$ et leur sécante $AC$, par la dernière égalité des angles croisés on obtient que $AD||CB$. Donc, par définition de $1$, ce quadrilatère est un parallélogramme.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Considérons les droites $AB$ et $CD$ et leur sécante $AC$, par la dernière égalité des angles croisés on obtient que $AB||CD$. Donc, d'après la définition 1, ce quadrilatère est un parallélogramme.

Le théorème a été démontré.

Théorème 3

Si les diagonales tracées dans un quadrilatère sont divisées en deux parties égales par leur point d'intersection, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve.

Donnons-nous un quadrilatère $ABCD$. Traçons-y les diagonales $AC$ et $BD$. Laissez-les se croiser au point $O$ (Fig. 4).

Figure 4

Puisque, par la condition $BO=OD,\ AO=OC$, et les angles $\angle COB=\angle DOA$ sont verticaux, alors, par le test d'égalité du triangle $I$,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Considérons les droites $BC$ et $AD$ et leur sécante $BD$, par la dernière égalité des angles croisés on obtient que $BC||AD$. Aussi $BC=AD$. Donc, d'après le théorème $1$, ce quadrilatère est un parallélogramme.

1. Définition d'un parallélogramme.

Si nous intersectons une paire de lignes parallèles avec une autre paire de lignes parallèles, nous obtenons un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Dans les quadrilatères ABDC et EFNM (Fig. 224) BD || AC et AB || CD;

EF || MN et EM || FN

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles est appelé un parallélogramme.

2. Propriétés d'un parallélogramme.

Théorème. La diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangle égal.

Soit un parallélogramme ABDC (Fig. 225) dans lequel AB || CD et AC || BD.

Il faut prouver que la diagonale le divise en deux triangles égaux.

Traçons une diagonale CB dans le parallélogramme ABDC. Montrons que $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Le côté NE est commun à ces triangles ; ∠ABC = ∠BCD, sous forme d'angles croisés internes avec les parallèles AB et CD et la sécante CB ; ∠ACB = ∠CBD, identique aux angles croisés internes avec AC et BD parallèles et CB sécante.

Donc $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

De la même manière, on peut montrer que la diagonale AD partage le parallélogramme en deux triangles égaux ACD et ABD.

Conséquences:

1 . Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

∠A = ∠D, cela découle de l'égalité des triangles CAB et CDB.

De même, ∠C = ∠B.

2. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.

AB \u003d CD et AC \u003d BD, car ce sont des côtés de triangles égaux et se situent à des angles égaux opposés.

Théorème 2. Les diagonales d'un parallélogramme sont bissectrices au point de leur intersection.

Soient BC et AD les diagonales du parallélogramme ABDC (Fig. 226). Montrons que AO = OD et CO = OB.

Pour ce faire, comparons une paire de triangles opposés, par exemple $\Delta$AOB et $\Delta$COD.

Dans ces triangles AB = CD, comme côtés opposés d'un parallélogramme ;

∠1 = ∠2, en tant qu'angles intérieurs transversaux situés aux parallèles AB et CD et à la sécante AD ;

∠3 = ∠4 pour la même raison, puisque AB || CD et CB sont leur sécante.

Il s'ensuit que $\Delta$AOB = $\Delta$COD. Et dans les triangles égaux, les angles égaux opposés sont des côtés égaux. Par conséquent, AO = OD et CO = OB.

Théorème 3. La somme des angles adjacents à un côté du parallélogramme est égale à 180°.

Tracez une diagonale AC dans le parallélogramme ABCD et obtenez deux triangles ABC et ADC.

Les triangles sont congruents car ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (angles croisés sur des lignes parallèles) et le côté AC est commun.
L'égalité $\Delta$ABC = $\Delta$ADC implique que AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

La somme des angles adjacents à un côté, par exemple, les angles A et D, est égale à 180 ° comme unilatéral avec des lignes parallèles.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles. La figure suivante montre parallélogramme ABCD. Il a le côté AB parallèle au côté CD et le côté BC parallèle au côté AD.

Comme vous l'avez peut-être deviné, un parallélogramme est un quadrilatère convexe. Considérez les propriétés de base d'un parallélogramme.

Propriétés du parallélogramme

1. Dans un parallélogramme coins opposés et les côtés opposés sont égaux. Prouvons cette propriété - considérons le parallélogramme illustré dans la figure suivante.

Diagonal BD le divise en deux triangles égaux : ABD et CBD. Ils sont égaux du côté BD et de deux angles qui lui sont adjacents, puisque les angles situés à la sécante de BD sont respectivement des droites parallèles BC et AD et AB et CD. Donc, AB = CD et
BC=AD. Et de l'égalité des angles 1, 2, 3 et 4, il s'ensuit que angle A = angle1 + angle3 = angle2 + angle4 = angle C.

2. Les diagonales du parallélogramme sont bissectées par le point d'intersection. Soit le point O le point d'intersection des diagonales AC et BD du parallélogramme ABCD.

Alors le triangle AOB et le triangle COD sont égaux entre eux, le long du côté et de deux angles qui lui sont adjacents. (AB = CD car ce sont des côtés opposés du parallélogramme. Et angle1 = angle2 et angle3 = angle4 comme angles croisés à l'intersection des lignes AB et CD par les sécantes AC et BD, respectivement.) Il s'ensuit que AO = OC et OB = OD, qui devait être prouvé.

Toutes les propriétés principales sont illustrées dans les trois figures suivantes.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles. Cette définition est déjà suffisante, puisque les autres propriétés d'un parallélogramme en découlent et se prouvent sous forme de théorèmes.

Les principales propriétés d'un parallélogramme sont :

un parallélogramme est un quadrilatère convexe ;
un parallélogramme a des côtés opposés égaux deux à deux ;
un parallélogramme a des angles opposés égaux deux à deux ;
les diagonales d'un parallélogramme sont bissectrices par le point d'intersection.

Parallélogramme - un quadrilatère convexe

Démontrons d'abord le théorème que un parallélogramme est un quadrilatère convexe. Un polygone est convexe lorsque, quel que soit son côté prolongé en ligne droite, tous les autres côtés du polygone seront du même côté de cette ligne droite.

Soit un parallélogramme ABCD, dans lequel AB est le côté opposé de CD et BC est le côté opposé de AD. Alors il découle de la définition d'un parallélogramme que AB || CD, C.-B. || UN D.

Les segments parallèles n'ont pas de points communs, ils ne se coupent pas. Cela signifie que CD se trouve d'un côté de AB. Puisque le segment BC relie le point B du segment AB au point C du segment CD et que le segment AD relie les autres points AB et CD, les segments BC et AD se trouvent également du même côté de la ligne AB, où se trouve CD. Ainsi, les trois côtés - CD, BC, AD - se trouvent du même côté de AB.

De même, on prouve que par rapport aux autres côtés du parallélogramme, les trois autres côtés sont du même côté.

Les côtés et les angles opposés sont égaux

Une des propriétés d'un parallélogramme est que dans un parallélogramme, les côtés opposés et les angles opposés sont égaux. Par exemple, si un parallélogramme ABCD est donné, alors il a AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ce théorème se démontre comme suit.

Un parallélogramme est un quadrilatère. Il a donc deux diagonales. Comme un parallélogramme est un quadrilatère convexe, chacun d'eux le divise en deux triangles. Considérons les triangles ABC et ADC dans le parallélogramme ABCD obtenu en traçant la diagonale AC.

Ces triangles ont un côté en commun - AC. L'angle BCA est égal à l'angle CAD, de même que les verticales parallèles BC et AD. Les angles BAC et ACD sont également égaux, de même que les angles verticaux lorsque AB et CD sont parallèles. Par conséquent, ∆ABC = ∆ADC sur deux angles et le côté entre eux.

Dans ces triangles, le côté AB correspond au côté CD et le côté BC correspond à AD. Donc, AB = CD et BC = AD.

L'angle B correspond à l'angle D, c'est-à-dire ∠B = ∠D. L'angle A d'un parallélogramme est la somme de deux angles - ∠BAC et ∠CAD. L'angle C est égal à ∠BCA et ∠ACD. Puisque les paires d'angles sont égales entre elles, alors ∠A = ∠C.

Ainsi, il est prouvé que dans un parallélogramme les côtés et les angles opposés sont égaux.

Diagonales coupées en deux

Comme un parallélogramme est un quadrilatère convexe, il a deux diagonales et elles se coupent. Soit un parallélogramme ABCD, ses diagonales AC et BD se coupent en un point E. Considérons les triangles ABE et CDE formés par elles.

Ces triangles ont les côtés AB et CD égaux aux côtés opposés d'un parallélogramme. L'angle ABE est égal à l'angle CDE car ils se situent entre les droites parallèles AB et CD. Pour la même raison, ∠BAE = ∠DCE. Par conséquent, ∆ABE = ∆CDE sur deux angles et le côté entre eux.

Vous pouvez également remarquer que les angles AEB et CED sont verticaux, et donc également égaux entre eux.

Puisque les triangles ABE et CDE sont égaux, tous leurs éléments correspondants le sont également. Le côté AE du premier triangle correspond au côté CE du second, donc AE = CE. De même, BE = DE. Chaque paire de segments égaux constitue la diagonale du parallélogramme. Ainsi, il est prouvé que les diagonales d'un parallélogramme sont bissectrices par le point d'intersection.

Dans la leçon d'aujourd'hui, nous répéterons les principales propriétés d'un parallélogramme, puis nous prêterons attention à la considération des deux premières caractéristiques d'un parallélogramme et les prouverons. Au cours de la démonstration, rappelons l'application des signes d'égalité des triangles, que nous avons étudiée l'année dernière et répétée dans la première leçon. A la fin, un exemple sera donné sur l'application des caractéristiques étudiées d'un parallélogramme.

Thème : Quadrilatères

Leçon : Signes d'un parallélogramme

Commençons par rappeler la définition d'un parallélogramme.

Définition. Parallélogramme- un quadrilatère dans lequel tous les deux côtés opposés sont parallèles (voir Fig. 1).

Riz. 1. Parallélogramme

Souvenons-nous propriétés de base d'un parallélogramme:

Pour pouvoir utiliser toutes ces propriétés, vous devez être sûr que le chiffre sur lequel Dans la question, est un parallélogramme. Pour ce faire, vous devez connaître des faits tels que les signes d'un parallélogramme. Nous examinerons les deux premiers d'entre eux aujourd'hui.

Théorème. La première caractéristique d'un parallélogramme. Si dans un quadrilatère deux côtés opposés sont égaux et parallèles, alors ce quadrilatère est parallélogramme. .

Riz. 2. Le premier signe d'un parallélogramme

Preuve. Traçons une diagonale dans le quadrilatère (voir Fig. 2), elle l'a divisé en deux triangles. Écrivons ce que nous savons de ces triangles :

selon le premier signe d'égalité des triangles.

De l'égalité de ces triangles il résulte que, sur la base du parallélisme des droites à l'intersection de leur sécante. Nous avons ça :

Éprouvé.

Théorème. Le deuxième signe d'un parallélogramme. Si dans un quadrilatère tous les deux côtés opposés sont égaux, alors ce quadrilatère est parallélogramme. .

Riz. 3. Le deuxième signe d'un parallélogramme

Preuve. Traçons une diagonale dans le quadrilatère (voir Fig. 3), elle le divise en deux triangles. Écrivons ce que nous savons de ces triangles, basé sur la formulation du théorème :

selon le troisième critère d'égalité des triangles.