Formules pour trouver l'aire d'un parallélogramme abcd. Zone de parallélogramme

Tâche 4.

L'une des diagonales d'un parallélogramme de longueur 4√6 fait un angle de 60° avec la base, et la deuxième diagonale fait un angle de 45° avec la même base. Trouvez la deuxième diagonale.

La solution.

1. AO = 2√6.

2. Appliquez le théorème des sinus au triangle AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Réponse : 12.

Tâche 5.

Pour un parallélogramme de côtés 5√2 et 7√2, le plus petit angle entre les diagonales est égal au plus petit angle du parallélogramme. Trouver la somme des longueurs des diagonales.

La solution.

Soit d 1, d 2 les diagonales du parallélogramme, et l'angle entre les diagonales et le plus petit angle du parallélogramme soit φ.

1. Comptons deux différents
voies de sa région.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

On obtient l'égalité 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou

2 5√2 7√2 = ré 1 ré 2 ;

2. En utilisant le rapport entre les côtés et les diagonales du parallélogramme, on écrit l'égalité

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = ré 1 2 + ré 2 2 .

ré 1 2 + ré 2 2 = 296.

3. Faisons un système :

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(j 1 + j 2 = 140.

Multipliez la deuxième équation du système par 2 et ajoutez-la à la première.

Nous obtenons (d 1 + d 2) 2 = 576. D'où Id 1 + d 2 I = 24.

Puisque d 1, d 2 sont les longueurs des diagonales du parallélogramme, alors d 1 + d 2 = 24.

Réponse : 24.

Tâche 6.

Les côtés du parallélogramme sont 4 et 6. L'angle aigu entre les diagonales est de 45°. Trouvez l'aire du parallélogramme.

La solution.

1. À partir du triangle AOB, en utilisant le théorème du cosinus, nous écrivons la relation entre le côté du parallélogramme et les diagonales.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

ré 1 2/4 + ré 2 2/4 - 2 (ré 1/2) (ré 2/2)√2/2 = 16.

ré 1 2 + ré 2 2 - ré 1 ré 2 √2 = 64.

2. De même, on écrit la relation pour le triangle AOD.

Nous prenons en compte que<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Nous obtenons l'équation d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Nous avons un système
(ré 1 2 + ré 2 2 - ré 1 ré 2 √2 = 64,
(ré 1 2 + ré 2 2 + ré 1 ré 2 √2 = 144.

En soustrayant la première de la deuxième équation, nous obtenons 2d 1 d 2 √2 = 80 ou

ré 1 ré 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Noter: Dans ce problème et dans le problème précédent, il n'est pas nécessaire de résoudre complètement le système, en prévoyant que dans ce problème, nous avons besoin du produit des diagonales pour calculer l'aire.

Réponse : 10.

Tâche 7.

L'aire du parallélogramme est 96 et ses côtés sont 8 et 15. Trouvez le carré de la plus petite diagonale.

La solution.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Faisons une substitution dans la formule.

On obtient 96 = 8 15 sin VAD. D'où sin VAD = 4/5.

2. Trouvez cos MAUVAIS. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 MAUVAIS = 1. cos 2 MAUVAIS = 9/25.

Selon l'état du problème, on trouve la longueur de la plus petite diagonale. La diagonale BD sera plus petite si l'angle BAD est aigu. Alors cos MAUVAIS = 3 / 5.

3. À partir du triangle ABD, en utilisant le théorème du cosinus, on trouve le carré de la diagonale BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos MAUVAIS.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Réponse : 145.

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Comme dans la géométrie euclidienne, le point et la ligne sont les éléments principaux de la théorie des plans, ainsi le parallélogramme est l'une des figures clés des quadrilatères convexes. De lui, comme les fils d'une boule, découlent les concepts de "rectangle", "carré", "losange" et autres quantités géométriques.

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Définition d'un parallélogramme

quadrilatère convexe, composé de segments, dont chaque paire est parallèle, est connu en géométrie sous le nom de parallélogramme.

Un parallélogramme classique ressemble à un quadrilatère ABCD. Les côtés sont appelés les bases (AB, BC, CD et AD), la perpendiculaire tirée d'un sommet quelconque au côté opposé de ce sommet est appelée la hauteur (BE et BF), les droites AC et BD sont les diagonales.

Attention! Le carré, le losange et le rectangle sont des cas particuliers de parallélogramme.

Côtés et angles : caractéristiques de rapport

Propriétés clés, dans l'ensemble, prédéterminé par la désignation elle-même, ils sont démontrés par le théorème. Ces caractéristiques sont les suivantes :

1. Les côtés opposés sont identiques deux à deux.
2. Les angles opposés sont égaux deux à deux.

Preuve : considérons ∆ABC et ∆ADC, qui sont obtenus en divisant le quadrilatère ABCD par la droite AC. ∠BCA=∠CAD et ∠BAC=∠ACD, puisque AC leur est commun (angles verticaux pour BC||AD et AB||CD, respectivement). Il en résulte : ∆ABC = ∆ADC (le second critère d'égalité des triangles).

Les segments AB et BC dans ∆ABC correspondent deux à deux aux lignes CD et AD dans ∆ADC, ce qui signifie qu'elles sont identiques : AB = CD, BC = AD. Ainsi, ∠B correspond à ∠D et ils sont égaux. Puisque ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, qui sont également identiques deux à deux, alors ∠A = ∠C. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des diagonales de la figure

Caractéristique principale ces lignes de parallélogramme : le point d'intersection les coupe en leur milieu.

Preuve : soit m.E le point d'intersection des diagonales AC et BD de la figure ABCD. Ils forment deux triangles commensurables - ∆ABE et ∆CDE.

AB=CD puisqu'ils sont opposés. Selon les droites et les sécantes, ∠ABE = ∠CDE et ∠BAE = ∠DCE.

Selon le deuxième signe d'égalité, ∆ABE = ∆CDE. Cela signifie que les éléments ∆ABE et ∆CDE sont : AE = CE, BE = DE et, de plus, ils sont des parties commensurables de AC et BD. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des coins adjacents

Aux côtés adjacents, la somme des angles est de 180°, puisqu'ils se trouvent du même côté des parallèles et de la sécante. Pour le quadrilatère ABCD :

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propriétés bissectrices :

1. , a chuté d'un côté, sont perpendiculaires ;
2. les sommets opposés ont des bissectrices parallèles ;
3. le triangle obtenu en traçant la bissectrice sera isocèle.

Détermination des traits caractéristiques d'un parallélogramme par le théorème

Les caractéristiques de cette figure découlent de son théorème principal, qui se lit comme suit : le quadrilatère est considéré comme un parallélogramme dans le cas où ses diagonales se croisent, et ce point les divise en segments égaux.

Preuve : Soit les droites AC et BD du quadrilatère ABCD se coupent en t.E. Puisque ∠AED = ∠BEC, et AE+CE=AC BE+DE=BD, alors ∆AED = ∆BEC (par le premier signe d'égalité des triangles). Autrement dit, ∠EAD = ∠ECB. Ce sont aussi les angles intérieurs de croisement de la sécante AC pour les droites AD et BC. Ainsi, par définition du parallélisme - AD || AVANT JC. Une propriété similaire des lignes BC et CD est également dérivée. Le théorème a été démontré.

Calcul de l'aire d'une figure

L'aire de cette figure trouvé de plusieurs manières l'une des plus simples : multiplier la hauteur et la base à laquelle on la dessine.

Preuve : Tracer les perpendiculaires BE et CF à partir des sommets B et C. ∆ABE et ∆DCF sont égaux puisque AB = CD et BE = CF. ABCD est égal au rectangle EBCF, puisqu'ils sont également constitués de chiffres proportionnels : S ABE et S EBCD, ainsi que S DCF et S EBCD. Il s'ensuit que l'aire de cette figure géométrique est la même que celle d'un rectangle :

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pour déterminer la formule générale de l'aire d'un parallélogramme, nous notons la hauteur comme hb, et le côté b. Respectivement:

Autres façons de trouver une zone

Calculs de surface passant par les côtés du parallélogramme et l'angle, qu'ils forment, est la deuxième méthode connue.

,

Spr-ma - zone;

a et b sont ses côtés

α - angle entre les segments a et b.

Cette méthode est pratiquement basée sur la première, mais au cas où elle serait inconnue. coupe toujours un triangle rectangle dont les paramètres sont trouvés par des identités trigonométriques, c'est-à-dire . En transformant le rapport, on obtient . Dans l'équation de la première méthode, on remplace la hauteur par ce produit et on obtient une preuve de la validité de cette formule.

Par les diagonales d'un parallélogramme et d'un angle, qu'ils créent lorsqu'ils se croisent, vous pouvez également trouver la zone.

Preuve : AC et BD se coupant forment quatre triangles : ABE, BEC, CDE et AED. Leur somme est égale à l'aire de ce quadrilatère.

L'aire de chacun de ces ∆ peut être trouvée à partir de l'expression , où a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Puisque , alors une seule valeur du sinus est utilisée dans les calculs. C'est-à-dire . Puisque AE+CE=AC= d 1 et BE+DE=BD= d 2 , la formule d'aire se réduit à :

.

Application en algèbre vectorielle

Les caractéristiques des parties constitutives de ce quadrilatère ont trouvé application en algèbre vectorielle, à savoir : l'addition de deux vecteurs. La règle du parallélogramme stipule que si des vecteurs sont donnésetne passont colinéaires, alors leur somme sera égale à la diagonale de cette figure dont les bases correspondent à ces vecteurs.

Preuve: à partir d'un début arbitrairement choisi - c'est-à-dire. - on construit des vecteurs et . Ensuite, nous construisons un parallélogramme OASV, où les segments OA et OB sont des côtés. Ainsi, le système d'exploitation repose sur le vecteur ou la somme.

Formules de calcul des paramètres d'un parallélogramme

Les identités sont données sous les conditions suivantes :

1. a et b, α - côtés et l'angle entre eux;
2. d 1 et d 2 , γ - diagonales et au point de leur intersection;
3. h a et h b - hauteurs abaissées sur les côtés a et b;

Paramètre	Formule
Trouver des côtés
le long des diagonales et le cosinus de l'angle entre elles
en diagonale et latéralement
par la hauteur et le sommet opposé
Trouver la longueur des diagonales
sur les côtés et la taille du haut entre eux

Zone géométrique- une caractéristique numérique d'une figure géométrique indiquant la taille de cette figure (partie de la surface délimitée par un contour fermé de cette figure). La taille de la zone est exprimée par le nombre d'unités carrées qu'elle contient.

Formules de zone triangulaire

1. Formule de zone triangulaire pour le côté et la hauteur
   Aire d'un triangleégal à la moitié du produit de la longueur d'un côté d'un triangle par la longueur de la hauteur tirée de ce côté
   
2. La formule de l'aire d'un triangle étant donné trois côtés et le rayon du cercle circonscrit
   
3. La formule de l'aire d'un triangle étant donné trois côtés et le rayon d'un cercle inscrit
   Aire d'un triangle est égal au produit du demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit.
   
où S est l'aire du triangle,
- les longueurs des côtés du triangle,
- la hauteur du triangle,
- l'angle entre les côtés et,
- rayon du cercle inscrit,
R - rayon du cercle circonscrit,

Formules de surface carrée

1. La formule de l'aire d'un carré compte tenu de la longueur d'un côté
   zone carrée est égal au carré de la longueur de son côté.
2. La formule de l'aire d'un carré compte tenu de la longueur de la diagonale
   zone carréeégal à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

où S est l'aire du carré,
est la longueur du côté du carré,
est la longueur de la diagonale du carré.

Formule de zone rectangulaire

Zone rectangulaire est égal au produit des longueurs de ses deux côtés adjacents

où S est l'aire du rectangle,
sont les longueurs des côtés du rectangle.

Formules pour l'aire d'un parallélogramme

1. Formule de surface de parallélogramme pour la longueur et la hauteur des côtés
   Zone de parallélogramme
2. La formule de l'aire d'un parallélogramme étant donné deux côtés et l'angle entre eux
   Zone de parallélogramme est égal au produit des longueurs de ses côtés par le sinus de l'angle qui les sépare.
   

   a b sinα

où S est l'aire du parallélogramme,
sont les longueurs des côtés du parallélogramme,
est la hauteur du parallélogramme,
est l'angle formé par les côtés du parallélogramme.

Formules pour l'aire d'un losange

1. Formule de zone Rhombus compte tenu de la longueur et de la hauteur du côté
   Zone losange est égal au produit de la longueur de son côté par la longueur de la hauteur abaissée de ce côté.
2. La formule de l'aire d'un losange compte tenu de la longueur du côté et de l'angle
   Zone losange est égal au produit du carré de la longueur de son côté et du sinus de l'angle formé par les côtés du losange.
3. La formule de l'aire d'un losange à partir des longueurs de ses diagonales
   Zone losange est égal à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.
où S est l'aire du losange,
- longueur du côté du losange,
- la longueur de la hauteur du losange,
- l'angle entre les côtés du losange,
1, 2 - les longueurs des diagonales.

Formules d'aire du trapèze

1. Formule de Heron pour un trapèze

   Où S est l'aire du trapèze,
   - la longueur des bases du trapèze,
   - la longueur des côtés du trapèze,
   

Un parallélogramme est une figure quadrangulaire dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles et deux à deux égaux. Ses angles opposés sont également égaux, et le point d'intersection des diagonales du parallélogramme les divise en deux, tout en étant le centre de symétrie de la figure. Les cas particuliers d'un parallélogramme sont des formes géométriques telles qu'un carré, un rectangle et un losange. L'aire d'un parallélogramme peut être trouvée de différentes manières, en fonction des données initiales accompagnées de la formulation du problème.

1. Dans le cas le plus simple, l'aire d'un parallélogramme est définie comme le produit de sa base et de sa hauteur.
   

   S = CC ∙ h

   
   

   où S est l'aire du parallélogramme;
   un - base ;
   h est la hauteur dessinée à la base donnée.

   Cette formule est très facile à comprendre et à retenir si vous regardez la figure suivante.

   

   Comme vous pouvez le voir sur cette image, si nous coupons un triangle imaginaire à gauche du parallélogramme et l'attachons à droite, nous obtenons un rectangle. Et comme vous le savez, l'aire d'un rectangle se trouve en multipliant sa longueur par sa hauteur. Seulement dans le cas d'un parallélogramme, la longueur sera la base et la hauteur du rectangle sera la hauteur du parallélogramme abaissé de ce côté.

2. L'aire d'un parallélogramme peut également être trouvée en multipliant les longueurs de deux bases adjacentes et le sinus de l'angle entre elles :
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   où AD, AB sont des bases adjacentes qui forment le point d'intersection et l'angle a entre elles ;
   α est l'angle entre les bases AD et AB.

   

3. De plus, l'aire d'un parallélogramme peut être trouvée en divisant par deux le produit des longueurs des diagonales du parallélogramme par le sinus de l'angle entre elles.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   où AC, BD sont les diagonales du parallélogramme ;
   β est l'angle entre les diagonales.

   

4. Il existe également une formule pour trouver l'aire d'un parallélogramme en fonction du rayon d'un cercle qui y est inscrit. Il s'écrit comme suit :

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