Comment trouver le cosinus d'un angle entre des plans. Angle dièdre

Cet article concerne l'angle entre les avions et comment le trouver. Tout d'abord, la définition de l'angle entre deux plans est donnée et une illustration graphique est donnée. Après cela, le principe de trouver l'angle entre deux plans sécants par la méthode des coordonnées a été analysé, une formule a été obtenue qui permet de calculer l'angle entre les plans sécants en utilisant les coordonnées connues des vecteurs normaux de ces plans. En conclusion, des solutions détaillées de problèmes typiques sont présentées.

Navigation dans les pages.

Angle entre plans - définition.

Donnons des arguments qui permettront d'approcher progressivement la définition de l'angle entre deux plans sécants.

Donnons-nous deux plans sécants et . Ces plans se coupent en une ligne droite, que nous désignons par la lettre c. Construisons un plan passant par le point M de la droite c et perpendiculaire à la droite c. Dans ce cas, le plan coupera les plans et . Dénotons la ligne le long de laquelle les plans se coupent et comme a, et la ligne le long de laquelle les plans se coupent et comme b. Évidemment, les droites a et b se coupent au point M.

Il est facile de montrer que l'angle entre les lignes d'intersection a et b ne dépend pas de la position du point M sur la ligne c par laquelle passe le plan.

Construisons un plan perpendiculaire à la droite c et différent du plan . Le plan est coupé par les plans et le long de droites, que nous notons a 1 et b 1, respectivement.

De la méthode de construction des plans et il s'ensuit que les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne c, et les lignes a 1 et b 1 sont perpendiculaires à la ligne c. Comme les droites a et a 1 sont dans le même plan et perpendiculaires à la droite c, elles sont parallèles. De même, les lignes b et b 1 sont dans le même plan et sont perpendiculaires à la ligne c, donc elles sont parallèles. Ainsi, il est possible d'effectuer un transfert parallèle du plan au plan, dans lequel la ligne a 1 coïncide avec la ligne a, et la ligne b avec la ligne b 1. Par conséquent, l'angle entre deux lignes sécantes a 1 et b 1 est égal à l'angle entre les lignes sécantes a et b .

Cela prouve que l'angle entre les lignes d'intersection a et b se trouvant dans les plans d'intersection et ne dépend pas du choix du point M par lequel passe le plan. Par conséquent, il est logique de prendre cet angle comme l'angle entre deux plans sécants.

Vous pouvez maintenant prononcer la définition de l'angle entre deux plans qui se croisent et .

Définition.

L'angle formé par deux plans se coupant en ligne droite et est l'angle entre deux lignes sécantes a et b, le long duquel les plans et se coupent avec le plan perpendiculaire à la ligne c.

La définition de l'angle entre deux plans peut être donnée un peu différemment. Si sur la ligne c, le long de laquelle les plans se coupent, marquez le point M et tracez à travers lui des lignes a et b, perpendiculaires à la ligne c et situées dans les plans et, respectivement, alors l'angle entre les lignes a et b est le angle entre les plans et. Habituellement, dans la pratique, de telles constructions sont réalisées afin d'obtenir l'angle entre les plans.

Puisque l'angle entre les lignes qui se croisent ne dépasse pas , il découle de la définition vocale que la mesure en degrés de l'angle entre deux plans qui se croisent est exprimée par un nombre réel à partir de l'intervalle . Dans ce cas, les plans sécants sont appelés perpendiculaire si l'angle entre eux est de quatre-vingt-dix degrés. L'angle entre les plans parallèles n'est pas déterminé du tout ou il est considéré comme égal à zéro.

Recherche de l'angle entre deux plans sécants.

Habituellement, lors de la recherche de l'angle entre deux plans qui se croisent, vous devez d'abord effectuer des constructions supplémentaires afin de voir les lignes qui se croisent, dont l'angle est égal à l'angle souhaité, puis relier cet angle aux données d'origine à l'aide de signes d'égalité, de similitude signes, le théorème du cosinus ou les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle. Dans le cours de géométrie du lycée, il y a des problèmes similaires.

Par exemple, donnons une solution au problème C2 de l'examen d'État unifié en mathématiques pour 2012 (la condition est intentionnellement modifiée, mais cela n'affecte pas le principe de la solution). Dans celui-ci, il suffisait de trouver l'angle entre deux plans qui se croisent.

Exemple.

La solution.

Faisons d'abord un dessin.

Effectuons des constructions supplémentaires pour "voir" l'angle entre les plans.

Définissons d'abord une droite le long de laquelle les plans ABC et BED 1 se croisent. Le point B est un de leurs points communs. Trouvez le deuxième point commun de ces plans. Les lignes DA et D 1 E se trouvent dans le même plan ADD 1, et elles ne sont pas parallèles et, par conséquent, se coupent. D'autre part, la ligne DA est dans le plan ABC et la ligne D 1 E est dans le plan BED 1, par conséquent, le point d'intersection des lignes DA et D 1 E sera un point commun des plans ABC et LIT 1. Ainsi, nous continuons les lignes DA et D 1 E jusqu'à ce qu'elles se croisent, nous désignons le point de leur intersection par la lettre F. Alors BF est la droite le long de laquelle les plans ABC et BED 1 se coupent.

Il reste à construire deux lignes situées respectivement dans les plans ABC et BED 1, passant par un point sur la ligne BF et perpendiculaire à la ligne BF - l'angle entre ces lignes, par définition, sera égal à l'angle souhaité entre le avions ABC et BED 1 . Faisons-le.

Point A est la projection du point E sur le plan ABC. Tracez une droite qui coupe à angle droit la droite BF au point M. Alors la droite AM est la projection de la droite EM sur le plan ABC, et par le théorème des trois perpendiculaires.

Ainsi, l'angle souhaité entre les plans ABC et BED 1 est .

Nous pouvons déterminer le sinus, le cosinus ou la tangente de cet angle (et donc l'angle lui-même) à partir d'un triangle rectangle AEMsi nous connaissons les longueurs de ses deux côtés. À partir de la condition, il est facile de trouver la longueur AE: puisque le point E divise le côté AA 1 par rapport à 4 à 3, en partant du point A, et que la longueur du côté AA 1 est de 7, alors AE \u003d 4. Trouvons la longueur de AM.

Pour ce faire, considérons un triangle rectangle ABF d'angle droit A, où AM est la hauteur. Par condition AB=2. On peut trouver la longueur du côté AF à partir de la similitude des triangles rectangles DD 1 F et AEF :

Par le théorème de Pythagore, à partir du triangle ABF, nous trouvons . On trouve la longueur AM passant par l'aire du triangle ABF : d'un côté, l'aire du triangle ABF est égale à , d'autre part , où .

Ainsi, du triangle rectangle AEM nous avons .

Alors l'angle désiré entre les plans ABC et BED 1 est (notez que ).

Réponse:

Dans certains cas, pour trouver l'angle entre deux plans qui se croisent, il est pratique de spécifier Oxyz et d'utiliser la méthode des coordonnées. Arrêtons-nous là-dessus.

Fixons-nous la tâche : trouver l'angle entre deux plans qui se croisent et . Notons l'angle souhaité par .

Nous supposerons que dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz donné, nous connaissons les coordonnées des vecteurs normaux des plans sécants et ou il est possible de les trouver. Laisser est le vecteur normal du plan, et est le vecteur normal du plan . Montrons comment trouver l'angle entre des plans sécants et passant par les coordonnées des vecteurs normaux de ces plans.

Notons la ligne le long de laquelle les plans se coupent et comme c . Par le point M sur la ligne c, nous traçons un plan perpendiculaire à la ligne c. Le plan coupe les plans et le long des lignes a et b, respectivement, les lignes a et b se coupent au point M. Par définition, l'angle entre les plans sécants et est égal à l'angle entre les lignes sécantes a et b.

Écartons du point M du plan les vecteurs normaux et des plans et . Dans ce cas, le vecteur se trouve sur une ligne perpendiculaire à la ligne a et le vecteur se trouve sur une ligne perpendiculaire à la ligne b. Ainsi, dans le plan, le vecteur est le vecteur normal de la droite a, est le vecteur normal de la droite b.

Dans l'article Trouver l'angle entre les lignes qui se croisent, nous avons obtenu une formule qui vous permet de calculer le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent à l'aide des coordonnées des vecteurs normaux. Ainsi, le cosinus de l'angle entre les lignes a et b, et, par conséquent, et cosinus de l'angle entre les plans sécants et se trouve par la formule , où et sont les vecteurs normaux des plans et, respectivement. Ensuite, il est calculé comme .

Résolvons l'exemple précédent en utilisant la méthode des coordonnées.

Exemple.

Un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est donné, dans lequel AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 et le point E divisent le côté AA 1 dans un rapport de 4 à 3, en partant du point A . Trouvez l'angle entre les plans ABC et BED 1.

La solution.

Étant donné que les côtés d'un parallélépipède rectangle à un sommet sont perpendiculaires deux à deux, il convient d'introduire un système de coordonnées rectangulaires Oxyz comme suit : le début est aligné avec le sommet C et les axes de coordonnées Ox, Oy et Oz sont dirigés le long des côtés CD, CB et CC 1, respectivement.

L'angle entre les plans ABC et BED 1 peut être trouvé par les coordonnées des vecteurs normaux de ces plans en utilisant la formule , où et sont les vecteurs normaux des plans ABC et BED 1, respectivement. Déterminons les coordonnées des vecteurs normaux.

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Théorème

L'angle entre les plans ne dépend pas du choix du plan de coupe.

Preuve.

Soit deux plans α et β qui se coupent le long de la ligne c. tracer le plan γ perpendiculaire à la droite c. Ensuite, le plan γ coupe les plans α et β le long des lignes a et b, respectivement. L'angle entre les plans α et β est égal à l'angle entre les droites a et b.
Prenons un autre plan de coupe γ`, perpendiculaire à c. Ensuite, le plan γ` coupera les plans α et β le long des lignes a` et b` respectivement.
Avec une translation parallèle, le point d'intersection du plan γ avec la droite c ira au point d'intersection du plan γ` avec la droite c. dans ce cas, par la propriété de translation parallèle, la ligne a ira à la ligne a`, b - à la ligne b`. donc les angles entre les droites a et b, a' et b' sont égaux. Le théorème a été prouvé.

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Angle entre plans - définition.

Lors de la présentation du matériel, nous utiliserons les définitions et concepts donnés dans les articles plan dans l'espace et ligne droite dans l'espace.

Donnons des arguments qui permettront d'approcher progressivement la définition de l'angle entre deux plans sécants.

Donnons-nous deux plans sécants et . Ces plans se coupent en une ligne droite, que nous désignons par la lettre c. Construire un plan passant par le point M droit c et perpendiculaire à la ligne c. Dans ce cas, le plan coupera les plans et . On note la ligne le long de laquelle les plans se coupent et comme un, mais la droite le long de laquelle les plans se coupent et comment b. Évidemment directe. un et b se croisent en un point M.

Il est facile de montrer que l'angle entre les lignes sécantes un et b ne dépend pas de l'emplacement du point M en ligne droite c par lequel passe l'avion.

Construire un plan perpendiculaire à la droite c et différent de l'avion. Le plan est coupé par des plans et selon des droites, que l'on note un 1 et b 1 respectivement.

Il résulte de la méthode de construction des plans que les droites un et b perpendiculaire à la ligne c, et directe un 1 et b 1 perpendiculaire à la ligne c. Depuis tout droit un et un 1 c, alors ils sont parallèles. De même, tout droit b et b 1 se trouvent dans le même plan et sont perpendiculaires à la ligne c donc ils sont parallèles. Ainsi, il est possible d'effectuer un transfert parallèle du plan au plan, dans lequel la droite un 1 coïncide avec la ligne un, et la droite b avec une ligne droite b 1. Par conséquent, l'angle entre deux lignes qui se croisent un 1 et b 1égal à l'angle entre les lignes qui se croisent un et b.

Cela prouve que l'angle entre les lignes sécantes un et b se trouvant dans des plans sécants et ne dépend pas du choix du point M par lequel passe l'avion. Par conséquent, il est logique de prendre cet angle comme l'angle entre deux plans sécants.

Vous pouvez maintenant prononcer la définition de l'angle entre deux plans qui se croisent et .

Définition.

Angle entre deux lignes qui se croisent c des avions et est l'angle entre deux droites qui se croisent un et b, le long duquel les plans et se coupent avec le plan perpendiculaire à la droite c.

La définition de l'angle entre deux plans peut être donnée un peu différemment. Si en ligne droite Avec, le long duquel les plans et se coupent, marquent un point M et tracer des lignes droites à travers elle un et b, perpendiculaire à la ligne c et se trouvant dans les plans et respectivement, alors l'angle entre les lignes un et b est l'angle entre les plans et . Habituellement, dans la pratique, de telles constructions sont réalisées afin d'obtenir l'angle entre les plans.

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Recherche de l'angle entre deux plans sécants.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, dans lequel AB=3, AD=2, AA 1 =7 et point E divise le côté AA 1 en couple 4 à 3 , à partir du point MAIS abc et LIT 1.

Faisons d'abord un dessin.

Effectuons des constructions supplémentaires pour "voir" l'angle entre les plans.

Tout d'abord, nous définissons une droite le long de laquelle les plans se coupent abc et Lit 1. Point À est l'un de leurs points communs. Trouvez le deuxième point commun de ces plans. Direct AD et D 1 E mentir dans le même plan AJOUTER 1, et ils ne sont pas parallèles, et, par conséquent, se coupent. D'autre part, tout droit AD se trouve dans l'avion abc, et la droite D 1 E- dans l'avion Lit 1, d'où le point d'intersection des lignes AD et D 1 E sera un point commun des avions abc et Lit 1. Alors continuons tout droit AD et D 1 E avant leur intersection, on note le point de leur intersection par la lettre F. Alors petit ami- une ligne le long de laquelle les plans se coupent abc et Lit 1.

Il reste à construire deux droites situées dans des plans abc et Lit 1 passant respectivement par un point sur la ligne petit ami et perpendiculaire à la ligne petit ami, - l'angle entre ces lignes, par définition, sera égal à l'angle souhaité entre les plans abc et Lit 1. Faisons-le.

Point MAIS est la projection du point Eà l'avion abc. Tracez une ligne qui coupe la ligne à angle droit BFà ce point M. Puis la ligne UN M est une projection d'une droite MANGERà l'avion abc, et par le théorème des trois perpendiculaires.

Ainsi, l'angle souhaité entre les plans abc et Lit 1 est égal à .

Le sinus, le cosinus ou la tangente de cet angle (et donc l'angle lui-même) que nous pouvons déterminer à partir d'un triangle rectangle AEM si nous connaissons les longueurs de ses deux côtés. À partir de l'état, il est facile de trouver la longueur AE: depuis le point E divise le côté AA 1 en couple 4 à 3 , à partir du point MAIS, et la longueur du côté AA 1 est égal à 7 , alors EA=4. Trouvons une autre longueur UN M.

Pour cela, considérons un triangle rectangle FBA angle droit MAIS, où UN M est la hauteur. Par condition AB=2. longueur du côté UN F nous pouvons trouver à partir de la similitude des triangles rectangles JJ 1F et AEF:

Par le théorème de Pythagore à partir d'un triangle FBA trouver . Longueur UN M trouver à travers la zone du triangle FBA: d'un côté l'aire d'un triangle FBA est égal à , d'autre part, d'où .

Donc d'un triangle rectangle AEM Nous avons .

Ensuite, l'angle souhaité entre les plans abc et Lit 1 est égal (notez que ).

Dans certains cas, pour trouver l'angle entre deux plans qui se croisent, il est pratique de définir un système de coordonnées rectangulaires Oxyz et utilisez la méthode des coordonnées. Arrêtons-nous là-dessus.

Fixons-nous la tâche : trouver l'angle entre deux plans qui se croisent et . Notons l'angle souhaité par .

On suppose que dans un système de coordonnées rectangulaires donné Oxyz nous connaissons les coordonnées des vecteurs normaux des plans sécants et ou avons la possibilité de les trouver. Soit un vecteur normal du plan , et Soit un vecteur normal du plan . Montrons comment trouver l'angle entre des plans sécants et passant par les coordonnées des vecteurs normaux de ces plans.

Notons la ligne le long de laquelle les plans se coupent et comme c. À travers le point M en ligne droite c tracer un plan perpendiculaire à la droite c. Le plan coupe des plans et le long de droites un et b respectivement directe un et b se croisent en un point M. Par définition, l'angle entre les plans sécants et est égal à l'angle entre les lignes sécantes un et b.

Mis de côté du point M dans le plan sont les vecteurs normaux et des plans et . Le vecteur est situé sur une droite perpendiculaire à la droite un, et le vecteur est sur une droite perpendiculaire à la droite b. Ainsi, dans le plan, le vecteur est le vecteur normal de la droite un, - vecteur ligne normale b.

Dans l'article Trouver l'angle entre les lignes qui se croisent, nous avons obtenu une formule qui vous permet de calculer le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent à l'aide des coordonnées des vecteurs normaux. Donc le cosinus de l'angle entre les droites un et b, et par conséquent, cosinus de l'angle entre les plans sécants et se trouve par la formule , où et sont les vecteurs normaux des plans et, respectivement. Alors angle entre plans sécants est calculé comme .

Résolvons l'exemple précédent en utilisant la méthode des coordonnées.

Soit un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, dans lequel AB=3, AD=2, AA 1 =7 et point E divise le côté AA 1 en couple 4 à 3 , à partir du point MAIS. Trouver l'angle entre les plans abc et LIT 1.

Étant donné que les côtés d'un parallélépipède rectangle à un sommet sont perpendiculaires deux à deux, il est pratique d'introduire un système de coordonnées rectangulaires Oxyz comme ceci : commencer à combiner avec le haut DE, et les axes de coordonnées Bœuf, Oy et onces envoyer autour CD, BC et CC 1 respectivement.

Angle entre plans abc et Lit 1 peut être trouvé à travers les coordonnées des vecteurs normaux de ces plans par la formule , où et sont les vecteurs normaux des plans abc et Lit 1 respectivement. Déterminons les coordonnées des vecteurs normaux.

Depuis l'avion abc coïncide avec le plan de coordonnées Oxy, alors son vecteur normal est le vecteur de coordonnées , c'est-à-dire .

En tant que vecteur plan normal Lit 1 nous pouvons prendre le produit croisé des vecteurs et , à leur tour, les coordonnées des vecteurs et peuvent être trouvés à travers les coordonnées des points À, E et D1(qui est écrit dans l'article les coordonnées du vecteur passant par les coordonnées des points de son début et de sa fin), et les coordonnées des points À, E et D1 dans le système de coordonnées introduit, nous déterminons à partir de l'état du problème.

Évidemment, . Depuis , alors on trouve par les coordonnées des points (si nécessaire, voir l'article division d'un segment dans un rapport donné). Alors et Oxyz sont des équations et .

Lorsque nous avons étudié l'équation générale d'une droite, nous avons découvert que les coefficients MAIS, À et DE sont les coordonnées correspondantes du vecteur normal du plan. Ainsi, et sont les vecteurs normaux des plans et, respectivement.

Nous substituons les coordonnées des vecteurs normaux des plans dans la formule de calcul de l'angle entre deux plans sécants :

Alors . Puisque l'angle entre deux plans qui se croisent n'est pas obtus, alors en utilisant l'identité trigonométrique de base, nous trouvons le sinus de l'angle :.

La mesure de l'angle entre plans est l'angle aigu formé par deux droites situées dans ces plans et tracées perpendiculairement à la ligne de leur intersection.

Algorithme de construction

A partir d'un point arbitraire K, des perpendiculaires sont tracées à chacun des plans donnés.
La rotation autour de la ligne de niveau détermine la valeur de l'angle γ° avec le sommet au point K.
Calculer l'angle entre les plans ϕ° = 180 - γ° à condition que γ° > 90°. Si γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

La figure montre le cas où les plans α et β sont donnés par des traces. Toutes les constructions nécessaires sont faites selon l'algorithme et sont décrites ci-dessous.

La solution

À un endroit arbitraire du dessin, nous marquons le point K. De là, nous abaissons les perpendiculaires m et n, respectivement, aux plans α et β. La direction des projections m et n est la suivante : m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Nous déterminons la taille réelle ∠γ° entre les lignes m et n. Pour ce faire, faites pivoter le plan angulaire avec le sommet K autour de la frontale f jusqu'à une position parallèle au plan de projection frontale. Le rayon de braquage R du point K est égal à la valeur de l'hypoténuse du triangle rectangle O""K""K 0 , dont la jambe est K""K 0 = y K – y O .
L'angle souhaité est ϕ° = ∠γ°, puisque ∠γ° est pointu.

La figure ci-dessous montre la solution au problème dans lequel il est nécessaire de trouver l'angle γ° entre les plans α et β, donnés respectivement par des lignes parallèles et sécantes.

La solution

On détermine la direction des projections des horizontales h 1 , h 2 et des frontales f 1 , f 2 appartenant aux plans α et β, dans l'ordre indiqué par les flèches. D'un point arbitraire K sur le carré. α et β on baisse les perpendiculaires e et k. Dans ce cas, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 et k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
On détermine ∠γ° entre les droites e et k. Pour ce faire, nous dessinons une horizontale h 3 et faisons pivoter le point K autour d'elle jusqu'à la position K 1, à laquelle △CKD deviendra parallèle au plan horizontal et se reflétera dessus en taille réelle - △C "K" 1 D ". La projection du centre de rotation O" est dessinée sur h "3 perpendiculaire K "O". Le rayon R est déterminé à partir d'un triangle rectangle O "K" K 0, dont le côté est K "K 0 \u003d Z O -Z K.
La valeur souhaitée est ∠ϕ° = ∠γ°, car l'angle γ° est aigu.

Lors de la résolution de problèmes géométriques dans l'espace, il y a souvent ceux où il est nécessaire de calculer les angles entre différents objets spatiaux. Dans cet article, nous examinerons la question de trouver les angles entre plans et entre eux et une droite.

Ligne droite dans l'espace

On sait qu'absolument toute droite dans le plan peut être définie par l'égalité suivante :

Ici a et b sont quelques nombres. Si nous représentons une ligne droite dans l'espace avec la même expression, alors nous obtenons un plan parallèle à l'axe z. Pour la définition mathématique de la ligne spatiale, une méthode de résolution différente est utilisée que dans le cas bidimensionnel. Elle consiste à utiliser la notion de « vecteur directeur ».

Exemples de résolution de problèmes pour déterminer l'angle d'intersection des plans

Sachant comment trouver l'angle entre les plans, nous allons résoudre le problème suivant. Deux plans sont donnés dont les équations sont de la forme :

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0 ;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Quel est l'angle entre les plans ?

Pour répondre à la question du problème, rappelons que les coefficients qui se situent aux variables dans l'équation générale du plan sont les coordonnées du vecteur guide. Pour ces plans, nous avons les coordonnées suivantes de leurs normales :

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

On trouve maintenant le produit scalaire de ces vecteurs et de leurs modules, on a :

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26 ;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Vous pouvez maintenant substituer les nombres trouvés dans la formule donnée dans le paragraphe précédent. On a:

α = arc cos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

La valeur résultante correspond à l'angle aigu d'intersection des plans spécifiés dans la condition du problème.

Voyons maintenant un autre exemple. Soit deux avions :

Se croisent-ils ? Écrivons les valeurs des coordonnées de leurs vecteurs directeurs, calculons leur produit scalaire et leurs modules:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6 ;
|n 1 ¯| = √2 ;
|n 2 ¯| = √18

Alors l'angle d'intersection vaut :

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Cet angle indique que les plans ne se coupent pas, mais sont parallèles. Le fait qu'ils ne correspondent pas l'un à l'autre est facile à vérifier. Prenons pour cela un point quelconque appartenant au premier d'entre eux, par exemple P(0 ; 3 ; 2). En substituant ses coordonnées dans la seconde équation, on obtient :

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

C'est-à-dire que le point P n'appartient qu'au premier plan.

Ainsi, deux plans sont parallèles lorsque leurs normales le sont.

Avion et ligne

Dans le cas de la considération de la position relative entre un plan et une ligne droite, il y a plusieurs autres options qu'avec deux plans. Ce fait est lié au fait que la ligne droite est un objet unidimensionnel. La droite et le plan peuvent être :

mutuellement parallèles, dans ce cas le plan ne coupe pas la droite ;
ce dernier pourra appartenir au plan, tandis qu'il lui sera aussi parallèle ;
les deux objets peuvent se croiser à un certain angle.

Considérons d'abord le dernier cas, puisqu'il nécessite l'introduction de la notion d'angle d'intersection.

Ligne et plan, la valeur de l'angle entre eux

Si une droite coupe un plan, elle est dite inclinée par rapport à celui-ci. Le point d'intersection s'appelle la base de la pente. Pour déterminer l'angle entre ces objets géométriques, il est nécessaire d'abaisser une droite perpendiculaire au plan à partir de n'importe quel point. Ensuite, le point d'intersection de la perpendiculaire avec le plan et le point d'intersection de la ligne inclinée avec lui forment une ligne droite. Cette dernière est appelée la projection de la ligne d'origine sur le plan considéré. Aigu et sa projection est celle recherchée.

La définition quelque peu déroutante de l'angle entre un plan et une oblique sera clarifiée par la figure ci-dessous.

Ici l'angle ABO est l'angle entre la droite AB et le plan a.

Pour écrire une formule, considérons un exemple. Soit une droite et un plan, qui sont décrits par les équations :

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a ; b ; c) ;
UNE * X + B * X + C * X + D = 0

Il est facile de calculer l'angle souhaité pour ces objets si vous trouvez le produit scalaire entre les vecteurs directeurs de la ligne et du plan. L'angle aigu résultant doit être soustrait de 90 o, puis il est obtenu entre une droite et un plan.

La figure ci-dessus illustre l'algorithme décrit pour trouver l'angle considéré. Ici β est l'angle entre la normale et la ligne, et α est entre la ligne et sa projection sur le plan. On voit que leur somme est égale à 90 o .

Ci-dessus, une formule a été présentée qui répond à la question de savoir comment trouver un angle entre des plans. Donnons maintenant l'expression correspondante pour le cas d'une droite et d'un plan :

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Le module dans la formule permet uniquement de calculer les angles aigus. La fonction arcsinus est apparue à la place de l'arccosinus en raison de l'utilisation de la formule de réduction correspondante entre les fonctions trigonométriques (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problème : Un plan coupe une droite

Nous allons maintenant montrer comment travailler avec la formule ci-dessus. Résolvons le problème : il faut calculer l'angle entre l'axe des ordonnées et le plan donné par l'équation :

Ce plan est représenté sur la figure.

On peut voir qu'il coupe les axes y et z aux points (0 ; -12 ; 0) et (0 ; 0 ; 12), respectivement, et est parallèle à l'axe x.

Le vecteur directeur de la droite y a pour coordonnées (0 ; 1 ; 0). Un vecteur perpendiculaire à un plan donné est caractérisé par des coordonnées (0 ; 1 ; -1). On applique la formule de l'angle d'intersection d'une droite et d'un plan, on obtient :

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problème : droite parallèle au plan

Résolvons maintenant un problème similaire au précédent, dont la question se pose différemment. Les équations du plan et de la droite sont connues :

x + y - z - 3 = 0 ;
(x ; y ; z) = (1 ; 0 ; 0) + λ * (0 ; 2 ; 2)

Il faut savoir si ces objets géométriques sont parallèles les uns aux autres.

Nous avons deux vecteurs : la droite directrice est (0 ; 2 ; 2) et le plan directeur est (1 ; 1 ; -1). On trouve leur produit scalaire :

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Le zéro résultant indique que l'angle entre ces vecteurs est de 90 o , ce qui prouve le parallélisme de la droite et du plan.

Vérifions maintenant si cette droite est uniquement parallèle ou se trouve également dans un plan. Pour ce faire, sélectionnez un point arbitraire sur la ligne et vérifiez s'il appartient au plan. Par exemple, prenons λ = 0, alors le point P(1 ; 0 ; 0) appartient à la droite. On substitue dans l'équation du plan P :

Le point P n'appartient pas au plan, et donc toute la droite ne s'y trouve pas.

Où est-il important de connaître les angles entre les objets géométriques considérés ?

Les formules et exemples de résolution de problèmes ci-dessus ne présentent pas seulement un intérêt théorique. Ils sont souvent utilisés pour déterminer des quantités physiques importantes de figures tridimensionnelles réelles, telles que des prismes ou des pyramides. Il est important de pouvoir déterminer l'angle entre les plans lors du calcul des volumes des figures et des aires de leurs surfaces. De plus, si dans le cas d'un prisme droit il est possible de ne pas utiliser ces formules pour déterminer les quantités indiquées, alors pour tout type de pyramide leur utilisation est inévitable.

Ci-dessous, nous examinerons un exemple d'utilisation de la théorie énoncée pour déterminer les angles d'une pyramide à base carrée.

Pyramide et ses angles

La figure ci-dessous montre une pyramide, à la base de laquelle se trouve un carré de côté a. La hauteur de la figure est h. Vous devez trouver deux coins :

entre la surface latérale et la base ;
entre le bord latéral et la base.

Pour résoudre le problème, vous devez d'abord entrer le système de coordonnées et déterminer les paramètres des sommets correspondants. La figure montre que l'origine des coordonnées coïncide avec le point au centre de la base carrée. Dans ce cas, le plan de base est décrit par l'équation :

Autrement dit, pour tout x et y, la valeur de la troisième coordonnée est toujours zéro. Le plan latéral ABC coupe l'axe z au point B(0 ; 0 ; h) et l'axe y au point de coordonnées (0 ; a/2 ; 0). Il ne croise pas l'axe des x. Cela signifie que l'équation du plan ABC peut s'écrire :

y / (a / 2) + z / h = 1 ou
2 * h * y + une * z - une * h = 0

Le vecteur AB¯ est une arête latérale. Ses coordonnées de début et de fin sont : A(a/2 ; a/2 ; 0) et B(0 ; 0 ; h). Puis les coordonnées du vecteur lui-même :

Nous avons trouvé toutes les équations et tous les vecteurs nécessaires. Il reste maintenant à utiliser les formules considérées.

Tout d'abord, dans la pyramide, nous calculons l'angle entre les plans de la base et du côté. Les vecteurs normaux correspondants sont : n 1 ¯(0; 0; 1) et n 2 ¯(0; 2*h; a). L'angle sera alors :