Питагоровата теорема е пряка. Различни начини за доказване на Питагоровата теорема

Потенциалът за творчество обикновено се приписва на хуманитарните науки, оставяйки естественонаучния анализ, практическия подход и сухия език на формулите и числата. Математиката не може да бъде класифицирана като хуманитарни науки. Но без творчество в "кралицата на всички науки" няма да стигнете далеч - хората знаят за това от дълго време. От времето на Питагор например.

Училищните учебници, за съжаление, обикновено не обясняват, че в математиката е важно не само да се тъпчат теореми, аксиоми и формули. Важно е да разберете и почувствате основните му принципи. И в същото време се опитайте да освободите ума си от клишета и елементарни истини – само в такива условия се раждат всички велики открития.

Такива открития включват това, което днес познаваме като Питагоровата теорема. С негова помощ ще се опитаме да покажем, че математиката не само може, но и трябва да бъде забавна. И че това приключение е подходящо не само за маниаци с дебели очила, а за всички, които са силни духом и силни духом.

От историята на въпроса

Строго погледнато, въпреки че теоремата се нарича "Питагорова теорема", самият Питагор не я е открил. Правоъгълният триъгълник и неговите специални свойства са изследвани много преди него. Има две полярни гледни точки по този въпрос. Според една от версиите Питагор е първият, който намира пълно доказателство на теоремата. Според друго доказателството не принадлежи на авторството на Питагор.

Днес вече не можете да проверите кой е прав и кой крив. Известно е само, че доказателството на Питагор, ако някога е съществувало, не е оцеляло. Има обаче предположения, че известното доказателство от Елементите на Евклид може да принадлежи на Питагор и Евклид само го е записал.

Днес е известно също, че проблемите за правоъгълен триъгълник се срещат в египетски източници от времето на фараона Аменемхет I, върху вавилонските глинени плочки от управлението на цар Хамурапи, в древноиндийския трактат Сулва Сутра и древнокитайското произведение Джоу -би суан джин.

Както можете да видите, питагоровата теорема е занимавала умовете на математиците от древни времена. Приблизително 367 различни доказателства, които съществуват днес, служат като потвърждение. Никоя друга теорема не може да се конкурира с нея в това отношение. Известни автори на доказателства включват Леонардо да Винчи и 20-ият президент на Съединените щати Джеймс Гарфийлд. Всичко това говори за изключителното значение на тази теорема за математиката: повечето от геометричните теореми са извлечени от нея или по един или друг начин са свързани с нея.

Доказателства на Питагоровата теорема

Училищните учебници дават предимно алгебрични доказателства. Но същността на теоремата е в геометрията, така че нека първо разгледаме онези доказателства на известната теорема, които се основават на тази наука.

Доказателство 1

За най-простото доказателство на Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник трябва да зададете идеални условия: нека триъгълникът да бъде не само правоъгълен, но и равнобедрен. Има основание да се смята, че именно такъв триъгълник е бил първоначално разглеждан от древните математици.

Изявление "квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сумата от квадратите, построени върху неговите катета"може да се илюстрира със следния чертеж:

Погледнете равнобедрения правоъгълен триъгълник ABC: Върху хипотенузата AC можете да построите квадрат, състоящ се от четири триъгълника, равни на оригиналния ABC. И на краката AB и BC, построени върху квадрат, всеки от които съдържа два подобни триъгълника.

Между другото, тази рисунка е в основата на множество анекдоти и карикатури, посветени на питагоровата теорема. Може би най-известният е "Питагорейските панталони са равни във всички посоки":

Доказателство 2

Този метод съчетава алгебра и геометрия и може да се разглежда като вариант на древноиндийското доказателство на математика Бхаскари.

Построете правоъгълен триъгълник със страни а, б и в(Фиг. 1). След това изградете два квадрата със страни, равни на сбора от дължините на двата крака - (а+б). Във всеки от квадратите направете конструкции, както на фигури 2 и 3.

В първия квадрат постройте четири от същите триъгълници като на фигура 1. В резултат се получават два квадрата: единият със страна a, вторият със страна б.

Във втория квадрат, построени четири подобни триъгълника образуват квадрат със страна, равна на хипотенузата ° С.

Сборът от площите на построените квадрати на фиг. 2 е равен на площта на квадрата, който построихме със страна c на фиг. 3. Това може лесно да се провери чрез изчисляване на площите на квадратите на фиг. 2 по формулата. И площта на вписания квадрат на фигура 3. като се извадят площите на четири равни правоъгълни триъгълника, вписани в квадрата от площта на голям квадрат със страна (а+б).

Като оставим всичко това, имаме: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Разгънете скобите, направете всички необходими алгебрични изчисления и вземете това a 2 + b 2 = a 2 + b 2. В същото време площта на вписаното на фиг.3. квадратът може да се изчисли и по традиционната формула S=c2. Тези. a2+b2=c2Доказахте питагоровата теорема.

Доказателство 3

Същото древно индийско доказателство е описано през 12 век в трактата „Короната на знанието“ („Сиддханта Широмани“), като като основен аргумент авторът използва призив, насочен към математическите таланти и способности за наблюдение на учениците и последователи: „Вижте!”.

Но ще анализираме това доказателство по-подробно:

Вътре в квадрата постройте четири правоъгълни триъгълника, както е показано на чертежа. Страната на големия квадрат, която е и хипотенузата, е обозначена от. Да наречем краката на триъгълника ноИ б. Според чертежа страната на вътрешния квадрат е (а-б).

Използвайте формулата за квадратна площ S=c2за изчисляване на площта на външния квадрат. И в същото време изчислете същата стойност, като добавите площта на вътрешния квадрат и площта на четирите правоъгълни триъгълника: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Можете да използвате и двете опции, за да изчислите площта на квадрат, за да сте сигурни, че дават същия резултат. И това ви дава право да го запишете c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В резултат на решението ще получите формулата на Питагоровата теорема c2=a2+b2. Теоремата е доказана.

Доказателство 4

Това любопитно древно китайско доказателство е наречено "Столът на булката" - заради фигурата, подобна на стол, която е резултат от всички конструкции:

Той използва чертежа, който вече видяхме на фигура 3 във второто доказателство. И вътрешният квадрат със страна c е конструиран по същия начин, както в древноиндийското доказателство, дадено по-горе.

Ако мислено отрежете два зелени правоъгълни триъгълника от чертежа на фиг. 1, прехвърлите ги на противоположните страни на квадрата със страна c и прикрепите хипотенузите към хипотенузите на люляковите триъгълници, ще получите фигура, наречена „булка на булката стол” (фиг. 2). За по-голяма яснота можете да направите същото с хартиени квадрати и триъгълници. Ще видите, че "столът на булката" се образува от два квадрата: малки със страна би голям със страна а.

Тези конструкции позволиха на древните китайски математици и на нас, които ги следвахме, да стигнем до извода, че c2=a2+b2.

Доказателство 5

Това е друг начин за намиране на решение на питагоровата теорема въз основа на геометрията. Нарича се методът на Гарфийлд.

Построете правоъгълен триъгълник ABC. Трябва да докажем това BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

За да направите това, продължете крака ACи изградете сегмент CD, което е равно на крака АБ. Долен перпендикуляр АДраздел ED. Сегменти EDИ ACса равни. Свържи точките ЕИ IN, както и ЕИ ОТи вземете чертеж като снимката по-долу:

За да докажем кулата, отново прибягваме до метода, който вече тествахме: намираме площта на получената фигура по два начина и приравняваме изразите един към друг.

Намерете площта на многоъгълник ЛЕГЛОможе да стане чрез добавяне на площите на трите триъгълника, които го образуват. И един от тях ERU, е не само правоъгълна, но и равнобедрена. Да не забравяме и това AB=CD, AC=EDИ BC=CE- това ще ни позволи да опростим записа и да не го претоварим. Така, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

В същото време е очевидно, че ЛЕГЛОе трапец. Следователно, ние изчисляваме неговата площ по формулата: SABED=(DE+AB)*1/2AD. За нашите изчисления е по-удобно и по-ясно да представим сегмента АДкато сбор от отсечките ACИ CD.

Нека напишем и двата начина за изчисляване на площта на фигура, като поставим знак за равенство между тях: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Използваме равенството на вече известните ни и описани по-горе отсечки, за да опростим дясната страна на нотацията: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. И сега отваряме скобите и трансформираме равенството: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. След като завършихме всички трансформации, получаваме точно това, от което се нуждаем: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Доказахме теоремата.

Разбира се, този списък с доказателства далеч не е пълен. Питагоровата теорема може да се докаже и с помощта на вектори, комплексни числа, диференциални уравнения, стереометрия и др. И дори физици: ако, например, течността се излива в квадратни и триъгълни обеми, подобни на показаните на чертежите. Чрез изливане на течност е възможно да се докаже равенството на площите и самата теорема като резултат.

Няколко думи за питагорейските тризнаци

Този въпрос е малко или не се изучава в училищната програма. Междувременно е много интересно и е от голямо значение в геометрията. Питагоровите тройки се използват за решаване на много математически задачи. Идеята за тях може да ви бъде полезна в по-нататъшното обучение.

И така, какво представляват питагорейските тризнаци? Така наречените естествени числа, събрани по тройки, сборът от квадратите на две от които е равен на третото число на квадрат.

Питагорейските тройки могат да бъдат:

• примитивни (и трите числа са относително прости);
• непримитивни (ако всяко число от тройка се умножи по същото число, получавате нова тройка, която не е примитивна).

Още преди нашата ера древните египтяни са били очаровани от манията за числата на питагорейските тройки: в задачите са разглеждали правоъгълен триъгълник със страни 3,4 и 5 единици. Между другото, всеки триъгълник, чиито страни са равни на числата от питагоровата тройка, по подразбиране е правоъгълен.

Примери за питагорейски тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.н.

Практическо приложение на теоремата

Питагоровата теорема намира приложение не само в математиката, но и в архитектурата и строителството, астрономията и дори литературата.

Първо, относно конструкцията: Питагоровата теорема се използва широко в нея в задачи с различни нива на сложност. Например вижте романския прозорец:

Да обозначим ширината на прозореца като б, то радиусът на големия полукръг може да бъде обозначен като Ри изразявайте чрез b: R=b/2. Радиусът на по-малките полукръгове също може да бъде изразен чрез b: r=b/4. В този проблем се интересуваме от радиуса на вътрешния кръг на прозореца (нека го наречем стр).

Питагоровата теорема е полезна за изчисляване Р. За да направите това, използваме правоъгълен триъгълник, който е обозначен с пунктирана линия на фигурата. Хипотенузата на триъгълник се състои от два радиуса: б/4+стр. Единият крак е радиус б/4, друг б/2-стр. Използвайки питагоровата теорема, пишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. След това отваряме скобите и получаваме b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Нека трансформираме този израз в bp/2=b 2 /4-bp. И тогава разделяме всички термини на б, ние даваме подобни за получаване 3/2*p=b/4. И в крайна сметка намираме това p=b/6- от което се нуждаехме.

Използвайки теоремата, можете да изчислите дължината на гредите за двускатен покрив. Определете колко висока е необходима мобилна кула, за да достигне сигналът до определено населено място. И дори стабилно инсталирайте коледно дърво на градския площад. Както можете да видите, тази теорема живее не само на страниците на учебниците, но често е полезна в реалния живот.

Що се отнася до литературата, питагоровата теорема вдъхновява писателите от древността и продължава да го прави и днес. Например немският писател от деветнадесети век Аделберт фон Шамисо е вдъхновен от нея да напише сонет:

Светлината на истината няма скоро да се разсее,
Но след като блесна, е малко вероятно да се разсее
И, както преди хиляди години,
Няма да предизвика съмнения и спорове.

Най-мъдрият, когато докосне окото
Светлина на истината, слава на боговете;
И сто бика, намушкани, лъжат -
Връщащият се подарък на късметлия Питагор.

Оттогава биковете реват отчаяно:
Завинаги възбуди бикове племе
събитие, споменато тук.

Те смятат, че е крайно време
И отново ще бъдат принесени в жертва
Някаква страхотна теорема.

(превод от Виктор Топоров)

А през ХХ век съветският писател Евгений Велтистов в книгата си „Приключенията на електрониката“ посвети цяла глава на доказателствата на питагоровата теорема. И половин глава от история за двуизмерен свят, който би могъл да съществува, ако питагоровата теорема стане основен закон и дори религия за един свят. Би било много по-лесно да се живее в него, но и много по-скучно: например там никой не разбира значението на думите „кръгла“ и „пухкаво“.

А в книгата „Приключенията на електрониката“ авторът, през устата на учителя по математика Таратара, казва: „Основното нещо в математиката е движението на мисълта, новите идеи“. Именно този творчески полет на мисълта поражда питагоровата теорема - не напразно тя има толкова много разнообразни доказателства. Помага да излезете отвъд обичайното и да погледнете на познатите неща по нов начин.

Заключение

Тази статия е създадена, за да можете да погледнете отвъд училищната програма по математика и да научите не само онези доказателства на питагоровата теорема, които са дадени в учебниците "Геометрия 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) и "Geometry 7-11 ” (А. В. Погорелов), но и други любопитни начини за доказване на известната теорема. И също така вижте примери за това как Питагоровата теорема може да се приложи в ежедневието.

Първо, тази информация ще ви позволи да претендирате за по-високи резултати в часовете по математика - информацията по темата от допълнителни източници винаги е високо оценена.

Второ, искахме да ви помогнем да усетите колко интересна е математиката. Да се ​​убеди на конкретни примери, че в него винаги има място за творчество. Надяваме се, че Питагоровата теорема и тази статия ще ви вдъхновят да направите свои собствени изследвания и вълнуващи открития в математиката и други науки.

Кажете ни в коментарите дали сте намерили доказателствата, представени в статията, интересни. Намерихте ли тази информация за полезна в обучението си? Кажете ни какво мислите за Питагоровата теорема и тази статия - ще се радваме да обсъдим всичко това с вас.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

У дома

Начини за доказване на питагоровата теорема.

Г. Глейзър,
Академик на Руската академия на образованието, Москва

За Питагоровата теорема и как да я докажем

Площта на квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху неговите крака...

Това е една от най-известните геометрични теореми на древността, наречена Питагорова теорема. Все още е известно на почти всеки, който някога е изучавал планиметрия. Струва ми се, че ако искаме да уведомим извънземните цивилизации за съществуването на разумен живот на Земята, тогава трябва да изпратим изображение на питагорейската фигура в космоса. Мисля, че ако мислещите същества могат да приемат тази информация, те ще разберат без сложно декодиране на сигнали, че на Земята има доста развита цивилизация.

Известният гръцки философ и математик Питагор от Самос, на когото е кръстена теоремата, е живял преди около 2,5 хиляди години. Достигналите до нас биографични сведения за Питагор са откъслечни и далеч от надеждни. С името му са свързани много легенди. Достоверно е известно, че Питагор е пътувал много из източните страни, посещавал е Египет и Вавилон. В една от гръцките колонии в Южна Италия той основава известната "питагорейска школа", която играе важна роля в научния и политически живот на древна Гърция. Именно на Питагор се приписва доказването на добре познатата геометрична теорема. Въз основа на легендите, разпространявани от известни математици (Прокъл, Плутарх и др.), дълго време се смяташе, че тази теорема не е била известна преди Питагор, откъдето идва и името - Питагоровата теорема.

Въпреки това, няма съмнение, че тази теорема е била известна много години преди Питагор. И така, 1500 години преди Питагор, древните египтяни са знаели, че триъгълник със страни 3, 4 и 5 е правоъгълен и са използвали това свойство (т.е. обратната теорема на Питагор) за изграждане на прави ъгли при планиране на парцели и конструкции на сгради. И дори днес селските строители и дърводелци, полагайки основата на хижата, изработвайки нейните детайли, начертават този триъгълник, за да получат прав ъгъл. Същото нещо е направено преди хиляди години при изграждането на великолепни храмове в Египет, Вавилон, Китай и вероятно в Мексико. В най-стария китайски математически и астрономически труд, който е достигнал до нас, Джоу-би, написан около 600 години преди Питагор, наред с други предложения, свързани с правоъгълен триъгълник, се съдържа и питагоровата теорема. Още по-рано тази теорема е била известна на индусите. Така Питагор не е открил това свойство на правоъгълен триъгълник; той вероятно е първият, който го обобщава и доказва, като по този начин го прехвърля от областта на практиката в областта на науката. Не знаем как го е направил. Някои историци на математиката приемат, че все пак доказателството на Питагор не е основно, а само потвърждение, проверка на това свойство върху редица определени видове триъгълници, започвайки с равнобедрен правоъгълен триъгълник, за който очевидно следва от фиг. един.

ОТ От древни времена математиците намират все повече и повече доказателства на питагоровата теорема, все повече идеи за нейните доказателства. Известни са повече от сто и половина такива доказателства - повече или по-малко строги, повече или по-малко визуални - но желанието за увеличаване на броя им е запазено. Мисля, че самостоятелното „откриване” на доказателствата на питагоровата теорема ще бъде полезно за съвременните ученици.

Нека разгледаме някои примери за доказателства, които могат да подсказват посоката на подобни търсения.

Доказателство за Питагор

"Квадратът, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сбора от квадратите, построени върху неговите катета."Най-простото доказателство на теоремата се получава в най-простия случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Вероятно теоремата е започнала с него. Наистина, достатъчно е само да погледнем плочките на равнобедрените правоъгълни триъгълници, за да видим, че теоремата е вярна. Например за DABC: квадрат, построен върху хипотенузата АС,съдържа 4 начални триъгълника и квадрати, изградени върху краката от два. Теоремата е доказана.

Доказателства, базирани на използването на концепцията за равна площ на фигурите.

В същото време можем да разгледаме доказателства, при които квадратът, изграден върху хипотенузата на даден правоъгълен триъгълник, е „съставен“ от същите фигури като квадратите, построени върху катета. Можем да разгледаме и такива доказателства, в които се използва пермутацията на термините на фигурите и се вземат предвид редица нови идеи.

На фиг. 2 показва два равни квадрата. Дължината на страните на всеки квадрат е a + b. Всеки от квадратите е разделен на части, състоящи се от квадрати и правоъгълни триъгълници. Ясно е, че ако извадим четворната площ на правоъгълен триъгълник с крака a, b от квадратната площ, тогава остават равни площи, т.е. c 2 \u003d a 2 + b 2. Древните индуси обаче, на които принадлежи това разсъждение, обикновено не го записват, а придружават рисунката само с една дума: „виж! Напълно възможно е Питагор да е предложил същото доказателство.

адитивни доказателства.

Тези доказателства се основават на разлагането на квадратите, изградени върху краката на фигури, от които е възможно да се добави квадрат, изграден върху хипотенузата.

Тук: ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Докажете сами двойното равенство на триъгълниците, получено чрез разделяне на квадратите, построени върху катета и хипотенузата.

Докажете теоремата с помощта на това деление.

 Въз основа на доказателството на ал-Наиризия е направено друго разлагане на квадрати на по двойки равни фигури (фиг. 5, тук ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C).

 Друго доказателство по метода на разлагане на квадрати на равни части, наречено "колело с остриета", е показано на фиг. 6. Тук: ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C; O - центърът на квадрат, построен върху голям крак; прекъснати линии, минаващи през точка О, са перпендикулярни или успоредни на хипотенузата.

 Това разлагане на квадрати е интересно с това, че неговите по двойки равни четириъгълници могат да бъдат картографирани един върху друг чрез паралелно преместване. Много други доказателства на питагоровата теорема могат да бъдат предложени с помощта на разлагането на квадратите на фигури.

Доказателства чрез метод на разширение.

Същността на този метод е, че към квадратите, построени върху краката и към квадрата, изграден върху хипотенузата, се прикрепват равни фигури по такъв начин, че да се получат равни фигури.

Валидността на Питагоровата теорема следва от равния размер на шестоъгълниците AEDFPB и ACBNMQ. Тук CEP, линия EP разделя шестоъгълника AEDFPB на два четириъгълника с еднаква площ, линия CM разделя шестоъгълника ACBNMQ на два четириъгълника с еднаква площ; завъртане на 90° на равнината около центъра A картографира четириъгълник AEPB в четириъгълник ACMQ.

На фиг. 8 Питагоровата фигура е завършена до правоъгълник, чиито страни са успоредни на съответните страни на квадратите, изградени върху краката. Нека разбием този правоъгълник на триъгълници и правоъгълници. Първо, изваждаме всички многоъгълници 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 от получения правоъгълник, оставяйки квадрат, построен върху хипотенузата. След това от същия правоъгълник изваждаме правоъгълници 5, 6, 7 и защрихованите правоъгълници, получаваме квадрати, построени върху краката.

Сега нека докажем, че извадените фигури в първия случай са равни по размер на цифрите, извадени във втория случай.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

следователно c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Алгебричен метод на доказване.

	Ориз. 12 илюстрира доказателството на великия индийски математик Бхаскари (известният автор на Лилавати, X 2 век). Рисунката беше придружена само с една дума: ВИЖТЕ! Сред доказателствата на питагоровата теорема чрез алгебричния метод, доказателството, използващо подобието, заема първо място (може би най-старото).
	Нека представим в модерна презентация едно от тези доказателства, което принадлежи на Питагор.

Х и фиг. 13 ABC - правоъгълен, C - прав ъгъл, CMAB, b 1 - проекция на катет b върху хипотенузата, a 1 - проекция на катет a върху хипотенузата, h - височина на триъгълника, изтеглен към хипотенузата.

От факта, че ABC е подобен на ACM, следва

b 2 \u003d cb 1; (един)

от факта, че ABC е подобно на BCM следва

a 2 = около 1 . (2)

Добавяйки равенства (1) и (2) член по член, получаваме a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ако Питагор наистина е предложил такова доказателство, тогава той е бил запознат и с редица важни геометрични теореми, които съвременните историци на математиката обикновено приписват на Евклид.

Доказателство на Мьолман (фиг. 14). Площта на този правоъгълен триъгълник, от една страна, е равна от друга, където p е полупериметърът на триъгълника, r е радиусът на окръжността, вписана в него Ние имаме:

откъдето следва, че c 2 =a 2 +b 2 .

във втория

Приравнявайки тези изрази, получаваме питагоровата теорема.

Комбиниран метод

Равенство на триъгълници

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Сравнявайки отношения (3) и (4), получаваме това

c 1 2 = c 2 или c 1 = c.

Така триъгълниците - дадени и конструирани - са равни, тъй като имат три съответно равни страни. Ъгълът C 1 е прав, така че ъгълът C на този триъгълник също е прав.

Древноиндийски доказателства.

Математиците от древна Индия забелязали, че за доказване на питагоровата теорема е достатъчно да се използва вътрешността на древнокитайската рисунка. В трактата „Сиддханта Широмани“ („Короната на знанието“), написана върху палмови листа от най-големия индийски математик на 20-ти век. Бха-скара постави рисунка (фиг. 4)

характерна за индийските доказателства l думата "виж!". Както можете да видите, правоъгълните триъгълници са подредени тук с хипотенузата им навън и квадрата от 2 преместен на "стола за булката" от 2 -б 2 . Имайте предвид, че специални случаи на питагоровата теорема (например, изграждането на квадрат, чиято площ е два пъти по-голяма фиг.4площ на този площад) се намират в древноиндийския трактат "Sulva"

Те решават правоъгълен триъгълник и квадрати, построени върху неговите крака, или, с други думи, фигури, съставени от 16 еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълника и следователно се вписват в квадрат. Това е лилия. малка част от богатствата, скрити в перлата на древната математика – Питагоровата теорема.

Древни китайски доказателства.

Математическите трактати на древен Китай са достигнали до нас в изданието от 2 век. пр.н.е. Факт е, че през 213 г. пр.н.е. Китайският император Ши Хуанг-ди, стремейки се да премахне старите традиции, заповяда да изгорят всички древни книги. В P c. пр.н.е. хартията е изобретена в Китай и по същото време започва реконструкцията на древни книги. Ключът към това доказателство не е трудно да се намери. Всъщност в древната китайска рисунка има четири равни правоъгълни триъгълника с катетри a, b и хипотенуза отподредени ж)така че външният им контур образува на фиг. 2 квадрат със страни a + b,а вътрешният е квадрат със страна c, построен върху хипотенузата (фиг. 2, б). Ако се изреже квадрат със страна c и останалите 4 щриховани триъгълника се поставят в два правоъгълника (фиг. 2, в),ясно е, че получената празнота, от една страна, е равна на ОТ 2 , а от друга - от 2 +b 2 , тези. c 2 \u003d  2 + b 2. Теоремата е доказана. Забележете, че при такова доказателство не се използват конструкциите вътре в квадрата върху хипотенузата, които виждаме в древнокитайската рисунка (фиг. 2, а). Очевидно древните китайски математици са имали друго доказателство. Точно ако е в квадрат със страна отдва засенчени триъгълника (фиг. 2, б)отрежете и прикрепете хипотенузите към другите две хипотенузи (фиг. 2, G),лесно е да се намери това

Получената фигура, понякога наричана „стол на булката“, се състои от два квадрата със страни ноИ б,тези. ° С 2 == а 2 +b 2 .

Х Фигура 3 възпроизвежда рисунка от трактата "Zhou-bi ...". Тук теоремата на Питагор се разглежда за египетския триъгълник с катети 3, 4 и хипотенуза 5 единици. Квадратът на хипотенузата съдържа 25 клетки, а квадратът, вписан в него на по-големия катет, съдържа 16. Ясно е, че останалата част съдържа 9 клетки. Това ще бъде квадратът на по-малкия крак.

1

Шаповалова Л.А. (станция Egorlykskaya, MBOU ESOSH № 11)

1. Глейзър Г.И. История на математиката в училище VII - VIII клас, ръководство за учители, - М: Образование, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. „Зад страниците на учебник по математика“ Помагало за ученици от 5-6 клас. – М.: Просвещение, 1989.

3. Зенкевич И.Г. „Естетика на урока по математика”. – М.: Просвещение, 1981.

4. Лицман В. Питагоровата теорема. - М., 1960 г.

5. Волошинов A.V. "Питагор". - М., 1993.

6. Пичурин Л.Ф. „Отвъд страниците на учебника по алгебра“. - М., 1990 г.

7. Земляков A.N. „Геометрия в 10 клас“. - М., 1986.

8. Вестник „Математика” 17/1996г.

9. Вестник „Математика” 3/1997г.

10. Антонов Н.П., Вигодски М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. „Сборник със задачи по елементарна математика”. - М., 1963 г.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. „Наръчник по математика“. - М., 1973 г.

12. Shchetnikov A.I. "Питагоровата доктрина за числото и величината". - Новосибирск, 1997.

13. „Реални числа. Ирационални изрази» 8 клас. Tomsk University Press. – Томск, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометрия" 7-9 клас. – М.: Просвещение, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Тази академична година се запознах с една интересна теорема, известна, както се оказа, от древни времена:

"Квадратът, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сбора от квадратите, построени върху катета."

Обикновено откритието на това твърдение се приписва на древногръцкия философ и математик Питагор (VI в. пр. н. е.). Но изследването на древните ръкописи показа, че това твърдение е било известно много преди раждането на Питагор.

Чудех се защо в този случай то се свързва с името на Питагор.

Актуалност на темата: Питагоровата теорема е от голямо значение: тя се използва в геометрията буквално на всяка стъпка. Вярвам, че творбите на Питагор са все още актуални, защото където и да погледнем, навсякъде можем да видим плодовете на неговите велики идеи, въплътени в различни клонове на съвременния живот.

Целта на моето изследване беше: да разбера кой е бил Питагор и какво отношение има той към тази теорема.

Изучавайки историята на теоремата, реших да разбера:

Има ли други доказателства на тази теорема?

Какво е значението на тази теорема в живота на хората?

Каква роля е изиграл Питагор в развитието на математиката?

От биографията на Питагор

Питагор от Самос е велик гръцки учен. Славата му се свързва с името на питагоровата теорема. Въпреки че сега вече знаем, че тази теорема е била известна в древен Вавилон 1200 години преди Питагор, а в Египет 2000 години преди него е бил известен правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5, ние все още я наричаме с името на този древен учен.

Почти нищо достоверно не се знае за живота на Питагор, но се свързва с неговото име голям бройлегенди.

Питагор е роден през 570 г. пр. н. е. на остров Самос.

Питагор имаше красив външен вид, носеше дълга брада и златна диадема на главата си. Питагор не е име, а прякор, който философът получава, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - "убедителна реч").

През 550 г. пр. н. е. Питагор взема решение и отива в Египет. И така, пред Питагор се открива непозната страна и непозната култура. Много удивен и изненадан Питагор в тази страна и след някои наблюдения върху живота на египтяните, Питагор разбра, че пътят към знанието, защитен от кастата на жреците, лежи чрез религията.

След единадесет години обучение в Египет, Питагор отива в родината си, където по пътя попада във вавилонски плен. Там той се запознава с вавилонската наука, която е била по-развита от египетската. Вавилонците знаеха как да решават линейни, квадратни и някои видове кубични уравнения. След като избяга от плен, той не можа да остане дълго в родината си поради атмосферата на насилие и тирания, която цареше там. Той решава да се премести в Кротон (гръцка колония в Северна Италия).

Именно в Кротон започва най-славният период от живота на Питагор. Там той създава нещо като религиозно-етично братство или таен монашески орден, чиито членове са длъжни да водят т. нар. питагорейски начин на живот.

Питагор и питагорейците

Питагор организира в гръцка колония в южната част на Апенинския полуостров религиозно и етично братство, като монашески орден, което по-късно ще бъде наречено Питагорейският съюз. Членовете на съюза трябваше да се придържат към определени принципи: първо, да се стремят към красивото и славното, второ, да бъдат полезни, и трето, да се стремят към високо удоволствие.

Системата от морални и етични правила, завещана от Питагор на своите ученици, е съставена в един вид морален кодекс на питагорейците „Златни стихове“, които са били много популярни в епохата на Античността, Средновековието и Ренесанса.

Питагорейската учебна система се състои от три раздела:

Учения за числата - аритметика,

Учения за фигури - геометрия,

Учения за устройството на Вселената - астрономия.

Образователната система, установена от Питагор, е продължила много векове.

Школата на Питагор направи много, за да даде на геометрията характер на наука. Основната характеристика на метода на Питагор беше комбинацията от геометрия с аритметика.

Питагор се занимаваше много с пропорциите и прогресията и вероятно със сходството на фигурите, тъй като на него се приписва решаването на проблема: „Въз основа на дадените две фигури постройте трета, равна по размер на една от данните и подобна на секундата."

Питагор и неговите ученици въвеждат концепцията за многоъгълни, приятелски, съвършени числа и изучават техните свойства. Аритметиката, като практика на изчисление, не е интересувала Питагор и той с гордост заявява, че „поставя аритметиката над интересите на търговеца“.

Членове на Питагорейския съюз са били жители на много градове в Гърция.

Питагорейците също приемат жените в своето общество. Съюзът процъфтява повече от двадесет години, а след това започва преследването на членовете му, много от студентите са убити.

Имаше много различни легенди за смъртта на самия Питагор. Но учението на Питагор и неговите ученици продължили да живеят.

От историята на създаването на питагоровата теорема

Понастоящем е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че Питагор е този, който пръв е дал пълното си доказателство, докато други му отричат ​​тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Елементи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите се дължи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката няма почти никакви надеждни конкретни данни за живота на Питагор и неговата математическа дейност.

Нека започнем нашия исторически преглед на питагоровата теорема с древен Китай. Тук математическата книга на Чу-пей привлича специално внимание. Това есе казва това за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5:

"Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3, а височината е 4."

Много е лесно да се възпроизведе техния метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и 4 метра от другия. Прав ъгъл ще бъде затворен между страни с дължина 3 и 4 метра.

Геометрията сред индусите е тясно свързана с култа. Много вероятно е теоремата за хипотенузата на квадрат вече да е била известна в Индия около 8-ми век пр.н.е. Наред с чисто ритуалните предписания се срещат произведения от геометрично богословски характер. В тези писания, датиращи от 4-ти или 5-ти век пр.н.е., се срещаме с изграждането на прав ъгъл с помощта на триъгълник със страни 15, 36, 39.

През Средновековието теоремата на Питагор определя границата, ако не на възможно най-голямото, то поне на доброто математически познания. Характерният чертеж на питагоровата теорема, който сега понякога се превръща от учениците, например, в цилиндър, облечен в мантия на професор или мъж, често се използва в онези дни като символ на математиката.

В заключение представяме различни формулировки на Питагоровата теорема, преведени от гръцки, латински и немски.

Теоремата на Евклид гласи (буквален превод):

"В правоъгълен триъгълник квадратът на страната, обхващаща правия ъгъл, е равен на квадратите от страните, които ограждат правия ъгъл."

Както можете да видите, в различни страни и различни езици има различни версии на формулировката на познатата теорема. Създадени по различно време и на различни езици, те отразяват същността на един математически модел, чието доказателство също има няколко варианта.

Пет начина за доказване на питагоровата теорема

древни китайски доказателства

В древна китайска рисунка четири равни правоъгълни триъгълника с крака a, b и хипотенуза c са подредени така, че външният им контур образува квадрат със страна a + b, а вътрешният образува квадрат със страна c, построен върху хипотенуза

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказателство от Дж. Гардфийлд (1882)

Нека подредим два равни правоъгълни триъгълника, така че кракът на единия от тях да е продължение на другия.

Площта на разглеждания трапец се намира като произведение на половината от сбора на основите и височината

От друга страна, площта на трапеца е равна на сумата от площите на получените триъгълници:

Приравнявайки тези изрази, получаваме:

Доказателството е просто

Това доказателство се получава в най-простия случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Вероятно теоремата е започнала с него.

Наистина, достатъчно е само да погледнем плочките на равнобедрените правоъгълни триъгълници, за да видим, че теоремата е вярна.

Например за триъгълника ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 начални триъгълника, а квадратите, построени върху катета, съдържат два. Теоремата е доказана.

Доказателство за древните индуси

Квадрат със страна (a + b) може да бъде разделен на части както на фиг. 12. а, или както на фиг. 12б. Ясно е, че части 1, 2, 3, 4 са еднакви и на двете фигури. И ако равните се извадят от равни (площи), тогава равните ще останат, т.е. c2 = a2 + b2.

Доказателство на Евклид

В продължение на две хилядолетия най-разпространеното беше доказателството на питагоровата теорема, изобретена от Евклид. Поместено е в известната му книга "Начало".

Евклид понижи височината BH от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху катета.

Чертежът, използван при доказателството на тази теорема, се нарича шеговито "питагорей панталон". Дълго време той е смятан за един от символите на математическата наука.

Приложение на Питагоровата теорема

Значението на питагоровата теорема се крие във факта, че повечето от геометричните теореми могат да бъдат извлечени от нея или с нейна помощ и много проблеми могат да бъдат решени. Освен това практическото значение на Питагоровата теорема и нейната обратна теорема е, че те могат да се използват за намиране на дължините на отсечките, без да се измерват самите отсечки. Това сякаш отваря пътя от права линия към равнина, от равнина към обемно пространство и отвъд. Именно поради тази причина Питагоровата теорема е толкова важна за човечеството, което се стреми да открие повече измерения и да създаде технологии в тези измерения.

Заключение

Питагоровата теорема е толкова известна, че е трудно да си представим човек, който не е чувал за нея. Научих, че има няколко начина за доказване на Питагоровата теорема. Проучих редица исторически и математически източници, включително информация в Интернет, и разбрах, че питагоровата теорема е интересна не само за своята история, но и защото заема важно място в живота и науката. Това се доказва от различните интерпретации на текста на тази теорема, дадени от мен в тази статия, и начините за нейното доказване.

И така, Питагоровата теорема е една от основните и, може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Неговото значение се крие във факта, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат изведени от него или с негова помощ. Питагоровата теорема е забележителна и с това, че сама по себе си тя изобщо не е очевидна. Например, свойствата на равнобедрен триъгълник могат да се видят директно на чертежа. Но колкото и да гледате правоъгълен триъгълник, никога няма да видите, че между страните му има проста връзка: c2 = a2 + b2. Следователно визуализацията често се използва за доказване. Заслугата на Питагор беше, че той даде пълно научно доказателство на тази теорема. Интересна е личността на самия учен, чиято памет неслучайно е запазена от тази теорема. Питагор е прекрасен оратор, учител и възпитател, организатор на своето училище, фокусиран върху хармонията на музиката и числата, доброто и справедливостта, знанието и здравословния начин на живот. Той може да служи за пример за нас, далечни потомци.

Библиографска връзка

Туманова С.В. НЯКОЛКО НАЧИНА ЗА ДОКАЗАНЕ НА ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА // Старт в науката. - 2016. - No 2. - С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата на достъп: 21.02.2019 г.).

Тези, които се интересуват от историята на Питагоровата теорема, която се изучава в училищната програма, ще бъдат любопитни и за такъв факт като публикуването през 1940 г. на книга с триста и седемдесет доказателства на тази на пръв поглед проста теорема. Но той заинтригува умовете на много математици и философи от различни епохи. В Книгата на рекордите на Гинес е записано като теорема с максимален брой доказателства.

История на Питагоровата теорема

Свързана с името на Питагор, теоремата е била известна много преди раждането на великия философ. И така, в Египет, по време на изграждането на конструкции, съотношението на страните на правоъгълен триъгълник е взето предвид преди пет хиляди години. Вавилонските текстове споменават същото съотношение на страните на правоъгълен триъгълник 1200 години преди раждането на Питагор.

Възниква въпросът защо тогава историята казва - появата на питагоровата теорема принадлежи на него? Отговорът може да има само един - той доказа съотношението на страните в триъгълника. Той направи това, което онези, които просто използваха съотношението на страните и хипотенузата, установени от опит, не направиха преди векове.

От живота на Питагор

Бъдещият велик учен, математик, философ е роден на остров Самос през 570 г. пр.н.е. Исторически документи са запазили сведения за бащата на Питагор, който е бил резбар на скъпоценни камъни, но няма данни за майка му. За роденото момче казаха, че е изключително дете, което от детството проявява страст към музиката и поезията. Историците приписват Хермодамант и Ферекид от Сирос на учителите на младия Питагор. Първият въведе момчето в света на музите, а вторият, като философ и основател на италианската философска школа, насочи погледа на младежа към логоса.

На 22-годишна възраст (548 г. пр. н. е.) Питагор отива в Навкратис, за да изучава езика и религията на египтяните. По-нататък пътят му лежеше в Мемфис, където благодарение на жреците, преминал през техните гениални изпитания, той разбира египетската геометрия, което вероятно е подтикнало любознателния младеж да докаже питагорейската теорема. По-късно историята ще припише това име на теоремата.

Пленен от вавилонския цар

На път за вкъщи в Елада, Питагор е пленен от вавилонския цар. Но пребиваването в плен е от полза за любознателния ум на начинаещия математик, той имаше много да научи. Всъщност в онези години математиката във Вавилон беше по-развита, отколкото в Египет. Той прекара дванадесет години в изучаване на математика, геометрия и магия. И може би именно вавилонската геометрия е участвала в доказването на съотношението на страните на триъгълника и историята на откриването на теоремата. Питагор имаше достатъчно знания и време за това. Но че това се е случило във Вавилон, няма документално потвърждение или опровержение за това.

През 530 г. пр.н.е Питагор бяга от плен в родината си, където живее при двора на тиранина Поликрат в статут на полуроб. Такъв живот не подхожда на Питагор и той се оттегля в пещерите на Самос, а след това отива в южната част на Италия, където по това време се намира гръцката колония Кротон.

Таен монашески орден

На базата на тази колония Питагор организира таен монашески орден, който е едновременно религиозен съюз и научно общество. Това общество имаше своя устав, който говореше за спазването на специален начин на живот.

Питагор твърди, че за да разбере Бог, човек трябва да знае такива науки като алгебра и геометрия, да познава астрономията и да разбира музиката. Изследователската работа беше сведена до познаването на мистичната страна на числата и философията. Трябва да се отбележи, че принципите, проповядвани по това време от Питагор, имат смисъл в подражание в момента.

Много от откритията, направени от учениците на Питагор, се приписват на него. Въпреки това, накратко, историята на създаването на питагоровата теорема от древните историци и биографи от онова време е пряко свързана с името на този философ, мислител и математик.

Учението на Питагор

Може би идеята за връзката на теоремата с името на Питагор е подтикната от твърдението на историците на великия грък, че в прословутия триъгълник с неговите крака и хипотенуза са криптирани всички явления от нашия живот. И този триъгълник е "ключът" към решаването на всички проблеми, които възникват. Великият философ е казал, че трябва да се види триъгълник, тогава можем да приемем, че проблемът е решен на две трети.

Питагор разказваше за своето учение само на учениците си устно, без да прави никакви бележки, запазвайки го в тайна. За съжаление учението на най-великия философ не е оцеляло до наши дни. Част от това е изтекла, но е невъзможно да се каже колко е вярно и колко невярно в това, което е станало известно. Дори с историята на питагоровата теорема не всичко е сигурно. Историците на математиката се съмняват в авторството на Питагор, според тях теоремата е била използвана много векове преди раждането му.

Питагорова теорема

Може да изглежда странно, но исторически факти за доказателството на теоремата от самия Питагор няма – нито в архивите, нито в други източници. В съвременната версия се смята, че принадлежи на не друг, а на самия Евклид.

Има доказателства за един от най-големите историци на математиката Мориц Кантор, който открива върху папирус, съхраняван в Берлинския музей, написан от египтяните около 2300 г. пр. н. е. д. равенство, което гласеше: 3² + 4² = 5².

Накратко от историята на Питагоровата теорема

Формулирането на теоремата от евклидовото „Начало“ в превод звучи както в съвременната интерпретация. В четенето му няма нищо ново: квадратът на страната срещу правия ъгъл е равен на сбора от квадратите на страните, съседни на правия ъгъл. Фактът, че древните цивилизации на Индия и Китай са използвали теоремата, се потвърждава от трактата Джоу Би Суан Джин. Той съдържа информация за египетския триъгълник, който описва съотношението на страните като 3:4:5.

Не по-малко интересна е и друга китайска математическа книга "Чу-пей", в която също се споменава питагорейският триъгълник с обяснение и рисунки, които съвпадат с чертежите на индуистката геометрия на Басхара. За самия триъгълник в книгата се казва, че ако прав ъгъл може да бъде разложен на съставните му части, тогава линията, която свързва краищата на страните, ще бъде равна на пет, ако основата е три, а височината е четири.

Индийският трактат "Сулва сутра", датиращ около 7-5 век пр.н.е. д., разказва за изграждането на прав ъгъл с помощта на египетския триъгълник.

Доказателство на теоремата

През Средновековието учениците смятали доказването на теорема за твърде трудно. Слабите ученици научиха теореми наизуст, без да разбират смисъла на доказателството. В тази връзка те получиха прозвището „магарета“, тъй като питагоровата теорема била за тях непреодолима пречка, като мост за магаре. През Средновековието учениците измислиха закачлив стих по темата на тази теорема.

За да докажете теоремата на Питагор по най-лесния начин, трябва просто да измерите страните й, без да използвате концепцията за площи в доказателството. Дължината на страната срещу правия ъгъл е c, а съседните a и b до нея, в резултат на това получаваме уравнението: a 2 + b 2 \u003d c 2. Това твърдение, както бе споменато по-горе, се проверява чрез измерване на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Ако започнем доказателството на теоремата, като разгледаме площта на правоъгълниците, построени върху страните на триъгълника, можем да определим площта на цялата фигура. Тя ще бъде равна на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, на сумата от площите на четири триъгълника и вътрешния квадрат.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , което трябваше да се докаже.

Практическото значение на питагоровата теорема е, че тя може да се използва за намиране на дължините на отсечките, без да се измерват. При изграждането на конструкциите се изчисляват разстоянията, разположението на опорите и греди, определят се центровете на тежестта. Питагоровата теорема се прилага и във всички съвременни технологии. Те не забравиха за теоремата при създаването на филми в 3D-6D размери, където освен обичайните 3 стойности се вземат предвид височина, дължина, ширина, време, мирис и вкус. Как вкусовете и миризмите са свързани с теоремата, питате? Всичко е много просто - когато показвате филм, трябва да изчислите къде и какви миризми и вкусове да режисирате в аудиторията.

Това е само началото. Безкрайни възможности за откриване и създаване на нови технологии очакват любознателните умове.

В едно нещо можете да сте сто процента сигурни, че на въпроса какъв е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен ще отговори смело: „Сборът от квадратите на краката“. Тази теорема е здраво засадена в умовете на всеки образован човек, но е достатъчно само да помолите някой да я докаже и тогава могат да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Питагоровата теорема е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ние ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, родом от Днес е много трудно да се разграничи неговата биография от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му е бил обикновен каменорезец, но майка му е от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание, роденото момче трябвало да донесе много ползи и добрини на човечеството. Което всъщност е и направил.

Раждането на теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички големи постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и създава великата си теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предал знанията си на своите последователи, които по-късно завършили всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно древните гърци са правили своите изчисления, така че тук ще разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете каквито и да е изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: „В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата“.

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо дефинираме какво имаме. Тези данни ще се прилагат и за други начини за доказване на питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични обозначения.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равни на c. Първият метод за доказване се основава на факта, че квадратът трябва да бъде начертан от правоъгълен триъгълник.

За да направите това, трябва да начертаете сегмент, равен на крака в дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се получат две равни страни на квадрата. Остава само да нарисувате две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и sv, трябва да начертаете два успоредни сегмента, равни на c. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да нарисуваме четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 пр.

Следователно площта е: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d a 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Метод втори: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела по геометрия за подобни триъгълници. Той казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и отсечката на хипотенузата, произлизаща от върха на ъгъл от 90 o.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение, краката на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез квадратура на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 = AB * DV

Сега трябва да добавим получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV = AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателството на питагоровата теорема и различните начини за нейното решаване изискват универсален подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждане на нови фигури от оригиналния триъгълник.

В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. По този начин сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * в 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 = 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин за доказване на питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теорема в древна Гърция. Това е най-простото, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството на твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC като страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да нарисувате квадрат и да нарисувате по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от връх A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получената снимка. Тъй като върху хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на катета, това показва истинността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“.

Доказателство от Дж. Гарфийлд

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите учебни заведения. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теория за доказателство на питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да нарисувате два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на един от тях да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Може да се напише повече от един том от учебник за питагоровата теорема и как да се докаже. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление, съвременните училищни програми предвиждат използването на тази теорема само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност използвайте питагоровата теорема във вашия Ежедневиетовсеки може. И не само в професионалните дейности, но и в обикновените домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, помислете за движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека се обадим т. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космическа обшивка, която се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата скоростта им ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава вдясно. Тогава точки A и B, между които лъчът се втурва, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка A до точка B, точка A има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка C. За да намерите половината от разстоянието, което точка A е изместила, трябва да умножите скорост на облицовката с половината от времето на движение на гредата (t ").

И за да разберете колко далеч може да пътува лъч светлина през това време, трябва да обозначите половината път на новия бук и да получите следния израз:

Ако си представим, че точките на светлината C и B, както и пространствената линия, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава отсечката от точка A до линията ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един лъч светлина.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Следователно ние разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации директно зависи от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула телефонът може да получи сигнал, можете да приложите питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространява сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус на земното кълбо) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, установяваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като например определяне на височината на килера. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с ролетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира до стената. Следователно страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височина, така и по диагонал на стаята.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека да разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 = 2600 mm - всичко се сближава.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Следователно този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини увреждане на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.