Производно на прост език. Производна на функцията

Съставете съотношението и изчислете лимита.

Откъде таблица на производните и правилата за диференциране? Благодарение на едно ограничение. Изглежда като магия, но в действителност - ловка ръка и никаква измама. На урока Какво е производно?Започнах да разглеждам конкретни примери, където, използвайки определението, намерих производните на линейна и квадратична функция. За целите на когнитивното загряване ще продължим да безпокоим производна таблица, усъвършенстване на алгоритъма и техническите решения:

Пример 1

Всъщност се изисква да се докаже специален случай на производна на степенна функция, която обикновено се появява в таблицата: .

Решениетехнически формализирано по два начина. Нека започнем с първия, вече познат подход: стълбата започва с дъска, а производната функция започва с производна в точка.

Обмисли някои(специфична) точка, към която принадлежи домейнифункция, която има производна. Задайте увеличението в този момент (разбира се, не отвъдо/о -аз)и съставете съответното увеличение на функцията:

Нека изчислим лимита:

Несигурността 0:0 се елиминира чрез стандартна техника, разглеждана още през първи век пр.н.е. Умножете числителя и знаменателя по свързания израз :

Техниката за решаване на такава граница е разгледана подробно във встъпителния урок. за границите на функциите.

Тъй като всяка точка от интервала може да бъде избрана като, тогава, като заменим , получаваме:

Отговор

Още веднъж, нека се порадваме на логаритмите:

Пример 2

Намерете производната на функцията, като използвате дефиницията на производната

Решение: нека разгледаме различен подход към популяризирането на една и съща задача. Той е абсолютно същият, но по-рационален по отношение на дизайна. Идеята е да се отървете от индекса в началото на решението и да се използва буквата вместо буквата.

Обмисли произволенточка, към която принадлежи домейнифункция (интервал) и задайте приращението в нея. И тук, между другото, както в повечето случаи, можете да направите без никакви резерви, тъй като логаритмичната функция е диференцируема във всяка точка от областта на дефиницията.

Тогава съответното увеличение на функцията е:

Нека намерим производната:

Лекотата на дизайна е балансирана от объркването, което начинаещите (и не само) могат да изпитат. В крайна сметка сме свикнали с факта, че буквата „X“ се променя в лимита! Но тук всичко е различно: - антична статуя и - жив посетител, весело разхождащ се по коридора на музея. Тоест "x" е "като константа".

Ще коментирам премахването на несигурността стъпка по стъпка:

(1) Използвайте свойството на логаритъма .

(2) В скоби разделяме числителя на знаменателя, член по член.

(3) В знаменателя ние изкуствено умножаваме и разделяме на "x", за да се възползваме от чудесен лимит , докато като безкрайно малъкоткроява.

Отговор: по дефиниция на производната:

Или накратко:

Предлагам самостоятелно да изградим още две таблични формули:

Пример 3

В този случай компилираното увеличение е незабавно удобно да се сведе до общ знаменател. Приблизителна извадка от заданието в края на урока (първи метод).

Пример 3:Решение : помислете за някаква точка , принадлежащи към обхвата на функцията . Задайте увеличението в този момент и съставете съответното увеличение на функцията:

Нека намерим производната в дадена точка :

Тъй като като можете да изберете всяка точка обхват на функцията , тогава и
Отговор : по дефиниция на производната

Пример 4

Намерете производна по дефиниция

И тук всичко трябва да се сведе до чудесен лимит. Решението се оформя по втория начин.

По същия начин, редица други таблични производни. Пълен списък може да се намери в училищен учебник или, например, 1-ви том на Фихтенхолц. Не виждам голям смисъл от пренаписване от книги и доказателства за правилата за диференциация - те също се генерират от формулата.

Пример 4:Решение , притежаван и задайте увеличение в него

Нека намерим производната:

Използване на чудесния лимит

Отговор : а-приорат

Пример 5

Намерете производната на функция , като се използва дефиницията на производната

Решение: Използвайте първия визуален стил. Нека разгледаме някаква точка, принадлежаща на , нека зададем приращението на аргумента в нея. Тогава съответното увеличение на функцията е:

Може би някои читатели все още не са разбрали напълно принципа, по който трябва да се направи увеличение. Взимаме точка (число) и намираме стойността на функцията в нея: , тоест във функцията вместо"x" трябва да се замени. Сега ние също вземаме много конкретно число и също го заместваме във функцията вместо"х": . Записваме разликата, докато е необходима скоби напълно.

Увеличение на съставената функция полезно е незабавно да се опрости. За какво? Улесняване и съкращаване на решението на по-нататъшната граница.

Използваме формули, отваряме скоби и намаляваме всичко, което може да бъде намалено:

Пуйката е изкормена, няма проблем с печеното:

В крайна сметка:

Тъй като всяко реално число може да бъде избрано като качество, правим заместването и получаваме .

Отговор: а-приорат.

За целите на проверката намираме производната с помощта правила за диференциране и таблици:

Винаги е полезно и приятно да знаете правилния отговор предварително, така че е по-добре мислено или на чернова да разграничите предложената функция по „бърз“ начин в самото начало на решението.

Пример 6

Намерете производната на функция по дефиницията на производната

Това е пример "направи си сам". Резултатът е на повърхността:

Пример 6:Решение : помислете за някаква точка , притежаван и задайте увеличението на аргумента в него . Тогава съответното увеличение на функцията е:

Нека изчислим производната:

По този начин:
Защото като всяко реално число може да бъде избрано и
Отговор : а-приорат.

Да се върнем към стил №2:

Пример 7

Нека веднага разберем какво трябва да се случи. от правилото за диференциране на сложна функция:

Решение: разгледайте произволна точка, принадлежаща на , задайте приращение на аргумента в нея и съставете увеличението на функцията:

Нека намерим производната:

(1) Използвайте тригонометрична формула .

(2) Под синуса отваряме скобите, под косинуса представяме подобни термини.

(3) Под синуса намаляваме членовете, под косинуса разделяме числителя на знаменателя член по член.

(4) Поради нечетността на синуса изваждаме „минус“. Под косинус посочваме, че терминът .

(5) Ние изкуствено умножаваме знаменателя, за да го използваме първо прекрасно ограничение. Така несигурността се елиминира, разресваме резултата.

Отговор: a-priory

Както можете да видите, основната трудност на разглеждания проблем се основава на сложността на самото ограничение + лека оригиналност на опаковката. На практика се срещат и двата метода на проектиране, така че описвам и двата подхода възможно най-подробно. Те са еквивалентни, но все пак според субективното ми впечатление е по-целесъобразно манекените да се придържат към 1-вия вариант с “X нула”.

Пример 8

Използвайки дефиницията, намерете производната на функцията

Пример 8:Решение : разгледайте произволна точка , притежаван , нека зададем увеличение в него и направете увеличение на функцията:

Нека намерим производната:

Използваме тригонометричната формула и първата забележителна граница:

Отговор : а-приорат

Нека анализираме по-рядка версия на проблема:

Пример 9

Намерете производната на функция в точка, като използвате дефиницията на производна.

Първо, какъв трябва да бъде изводът? номер

Нека изчислим отговора по стандартния начин:

Решение: от гледна точка на яснотата, тази задача е много по-проста, тъй като вместо това формулата разглежда конкретна стойност.

Задаваме увеличение в точката и съставяме съответното увеличение на функцията:

Изчислете производната в точка:

Използваме много рядка формула за разликата на допирателните и още веднъж намалете разтвора до първо прекрасно ограничение:

Отговор: по дефиниция на производната в точка.

Задачата не е толкова трудна за решаване и „в общи линии“ - достатъчно е да се замени с или просто, в зависимост от метода на проектиране. В този случай, разбира се, получавате не число, а производна функция.

Пример 10

Използвайки дефиницията, намерете производната на функцията в точка (една от които може да се окаже безкрайна), за която вече говорих в общи линии теоретичен урок за производната.

Някои функции, дефинирани на парчета, също са диференцируеми в точките на „свързването“ на графиката, например catdog има обща производна и обща допирателна (абсциса) в точката . Крива, да диференцируема по ! Желаещите могат сами да се уверят в това по модела на току що решения пример.

©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно използване.
Дата на създаване на страницата: 11.06.2017

Определение.Нека функцията $y = f(x) $ е дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката $x_0 $ вътре. Нека увеличим $\Delta x $ към аргумента, за да не напуснем този интервал. Намерете съответното увеличение на функцията $\Delta y $ (при преминаване от точка $x_0 $ към точка $x_0 + \Delta x $) и съставете релацията $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Ако има граница на тази връзка при $\Delta x \rightarrow 0 $, тогава посочената граница се нарича производна функция$y=f(x) $ в точката $x_0 $ и означаваме $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се извиква така: производна на функцията y \u003d f (x).

Геометричното значение на производнатасе състои от следното. Ако допирателна, която не е успоредна на оста y, може да бъде начертана към графиката на функцията y = f (x) в точка с абсцисата x = a, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
$k = f"(a)$

Тъй като $k = tg(a) $, равенството $f"(a) = tg(a) $ е вярно.

И сега ние тълкуваме определението на производната от гледна точка на приблизителни равенства. Нека функцията $y = f(x) $ има производна в определена точка $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x, приблизителното равенство $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, т.е. $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Смисловото значение на полученото приблизително равенство е следното: приращението на функцията е „почти пропорционално” на приращението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например, за функцията $y = x^2 $ е валидно приблизителното равенство $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Ако внимателно анализираме дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y \u003d f (x)?

1. Фиксирайте стойността $x $, намерете $f(x) $
2. Увеличете аргумента $x $ $\Delta x $, преместете се до нова точка $x+ \Delta x $, намерете $f(x+ \Delta x) $
3. Намерете приращението на функцията: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Съставете релацията $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производна на функцията в x.

Ако функцията y = f(x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y \u003d f (x). диференциацияфункции y = f(x).

Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в точка?

Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точка M (x; f (x)) и, припомнете си, наклонът на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се "счупи" при точката M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в x.

Това беше разсъждение "на пръсти". Нека представим по-строг аргумент. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава приблизителното равенство $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ е валидно. нула, тогава \(\Delta y \ ) също ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в дадена точка.

Така, ако функцията е диференцируема в точка x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент е невъзможно да се начертае допирателна към графиката на функцията, тогава няма производна в тази точка.

Още един пример. Функцията $y=\sqrt(x) $ е непрекъсната на цялата числова права, включително в точката x = 0. И допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 Но в този момент допирателната съвпада с оста y, тоест тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x \u003d 0. Няма наклон за такава права линия, което означава, че \ ( f "(0) \) също не съществува

И така, се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как можете да разберете дали една функция е диференцирана от графиката на функция?

Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в даден момент може да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на оста x, тогава в този момент функцията е диференцируема. Ако в даден момент допирателната към графиката на функцията не съществува или е перпендикулярна на оста x, тогава в този момент функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с "функции на функции", тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията на производната можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следното е вярно правила за диференциация:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \вдясно) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Производна на съставната функция:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица на производните на някои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Дата: 20.11.2014 г

Какво е производно?

Таблица на производните.

Производната е едно от основните понятия на висшата математика. В този урок ще представим това понятие. Да се запознаем, без строги математически формулировки и доказателства.

Това въведение ще ви позволи да:

Разбиране на същността на простите задачи с производна;

Решете успешно тези много прости задачи;

Подгответе се за по-сериозни производни уроци.

Първо, приятна изненада.

Строгото определение на производната се основава на теорията за границите, а нещата са доста сложни. Това е разстройващо. Но практическото приложение на производната, като правило, не изисква толкова обширни и задълбочени познания!

За да изпълнявате успешно повечето задачи в училище и университет, достатъчно е да знаете само няколко термина- да разбере задачата и само няколко правила- да го реша. И това е. Това ме радва.

Ще се опознаем ли?)

Термини и обозначения.

В елементарната математика има много математически операции. Събиране, изваждане, умножение, степенуване, логаритъм и др. Ако към тези операции се добави още една операция, елементарната математика става по-висока. Тази нова операция се нарича диференциация.Определението и значението на тази операция ще бъдат обсъдени в отделни уроци.

Тук е важно да се разбере, че диференцирането е просто математическа операция върху функция. Взимаме всяка функция и според определени правила я трансформираме. Резултатът е нова функция. Тази нова функция се нарича: производно.

Диференциация- действие върху функция.

Производнае резултат от това действие.

Точно както напр. сумае резултат от добавянето. Или частене резултат от разделянето.

Познавайки термините, можете поне да разберете задачите.) Формулировката е следната: намиране на производната на функция; вземете производното; разграничаване на функцията; изчислява производнаи т.н. Това е всичко един и същ.Разбира се, има и по-сложни задачи, при които намирането на производната (диференцирането) ще бъде само една от стъпките при решаването на задачата.

Производната се обозначава с тире в горния десен ъгъл над функцията. Като този: y"или f"(x)или S"(t)и т.н.

Прочети y щрих, ef щрих от x, es щрих от te,добре разбираш...)

Простото число може също да означава производната на определена функция, например: (2x+3)", (х 3 )" , (sinx)"и т.н. Често производната се обозначава с помощта на диференциали, но ние няма да разглеждаме такава нотация в този урок.

Да предположим, че сме се научили да разбираме задачите. Не остава нищо - да се научите как да ги решавате.) Нека ви напомня отново: намирането на производната е трансформация на функция по определени правила.Тези правила са изненадващо малко.

За да намерите производната на функция, трябва да знаете само три неща. Три стълба, върху които се основава цялата диференциация. Ето трите кита:

1. Таблица на производните (формули за диференциране).

3. Производна на комплексна функция.

Да започнем по ред. В този урок ще разгледаме таблицата на производните.

Таблица на производните.

Светът има безкраен брой функции. Сред този набор има функции, които са най-важни за практическо приложение. Тези функции се намират във всички закони на природата. От тези функции, като от тухли, можете да конструирате всички останали. Този клас функции се нарича елементарни функции.Именно тези функции се изучават в училище – линейни, квадратни, хиперболни и т.н.

Диференциране на функции „от нулата“, т.е. на базата на дефиницията на производната и теорията на границите - доста отнемащо време нещо. И математиците също са хора, да, да!) Така те опростиха живота си (и нас). Те са изчислили производни на елементарни функции преди нас. Резултатът е таблица с производни, където всичко е готово.)

Ето я, тази табела за най-популярните функции. Ляво - елементарна функция, дясно - нейната производна.

	Функция г	Производна на функция y y"
1	C (константа)	C" = 0
2	х	х" = 1
3	x n (n е произволно число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	грях х	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	ах
4	дх
5	дневник ах
5	ln x ( а = д)

Препоръчвам да се обърне внимание на третата група функции в тази таблица с производни. Производната на степенна функция е една от най-често срещаните формули, ако не и най-често срещаната! Намекът ясен ли е?) Да, желателно е да знаете таблицата на производните наизуст. Между другото, това не е толкова трудно, колкото може да изглежда. Опитайте се да решите повече примери, самата таблица ще бъде запомнена!)

Намирането на табличната стойност на производната, както разбирате, не е най-трудната задача. Ето защо много често в такива задачи има допълнителни чипове. Или във формулирането на задачата, или в оригиналната функция, която изглежда не е в таблицата ...

Нека разгледаме няколко примера:

1. Намерете производната на функцията y = x 3

В таблицата няма такава функция. Но има обща производна на степенната функция (трета група). В нашия случай n=3. Затова заместваме тройката вместо n и внимателно записваме резултата:

(х 3) " = 3 х 3-1 = 3x 2

Това е всичко.

Отговор: y" = 3x 2

2. Намерете стойността на производната на функцията y = sinx в точката x = 0.

Тази задача означава, че първо трябва да намерите производната на синуса и след това да замените стойността х = 0към същата производна. В този ред е!В противен случай се случва те веднага да заменят нула в оригиналната функция ... От нас се иска да намерим не стойността на оригиналната функция, а стойността негова производна.Производната, нека ви напомня, вече е нова функция.

На плочата намираме синуса и съответната производна:

y" = (sinx)" = cosx

Заместете нула в производната:

y"(0) = cos 0 = 1

Това ще бъде отговорът.

3. Разграничете функцията:

Какво вдъхновява?) В таблицата на производните дори няма такава функция.

Нека ви напомня, че диференцирането на функция означава просто да се намери производната на тази функция. Ако забравите елементарната тригонометрия, намирането на производната на нашата функция е доста обезпокоително. Таблицата не помага...

Но ако видим, че нашата функция е косинус на двоен ъгъл, тогава всичко веднага се подобрява!

Да да! Не забравяйте, че трансформацията на оригиналната функция преди диференциациятадоста приемливо! И това се случва да направи живота много по-лесен. Според формулата за косинус на двоен ъгъл:

Тези. нашата сложна функция не е нищо друго освен y = кокс. И това е таблична функция. Веднага получаваме:

Отговор: y" = - sin x.

Пример за напреднали завършили и студенти:

4. Намерете производната на функция:

В таблицата с производните, разбира се, няма такава функция. Но ако си спомняте елементарна математика, действия със степени... Тогава е напълно възможно да опростите тази функция. Като този:

А х на степен от една десета е вече таблична функция! Третата група, n=1/10. Директно по формулата и напишете:

Това е всичко. Това ще бъде отговорът.

Надявам се, че с първия кит на диференциация - таблицата на производните - всичко е ясно. Остава да се справим с двата останали кита. В следващия урок ще научим правилата за диференциране.

Първо ниво

Производна на функцията. Изчерпателно ръководство (2019)

Представете си прав път, минаващ през хълмиста местност. Тоест върви нагоре и надолу, но не завива надясно или наляво. Ако оста е насочена хоризонтално по протежение на пътя и вертикално, тогава пътната линия ще бъде много подобна на графиката на някаква непрекъсната функция:

Оста е определено ниво с нулева височина, в живота ние използваме морското равнище като него.

Движейки се напред по такъв път, ние също се движим нагоре или надолу. Можем също да кажем: когато аргументът се промени (движи се по оста на абсцисата), стойността на функцията се променя (движи се по оста на ординатата). Сега нека помислим как да определим "стръмността" на нашия път? Каква може да бъде тази стойност? Много просто: колко ще се промени височината при движение напред на определено разстояние. Наистина, на различни участъци от пътя, движейки се напред (по абсцисата) един километър, ще се издигнем или паднем с различен брой метри спрямо морското равнище (по ординатата).

Обозначаваме напредъка напред (четете "делта x").

Гръцката буква (делта) обикновено се използва в математиката като префикс, означаващ „промяна“. Тоест - това е промяна в величината, - промяна; тогава какво е? Точно така, промяна в размера.

Важно: изразът е едно цяло, една променлива. Никога не трябва да откъсвате "делта" от "x" или друга буква! Това е например .

И така, продължихме напред, хоризонтално, нататък. Ако сравним линията на пътя с графиката на функция, тогава как ще обозначим възхода? Разбира се,. Тоест, когато се движим напред, ние се издигаме по-високо.

Лесно е да се изчисли стойността: ако в началото бяхме на височина, а след преместването бяхме на височина, тогава. Ако крайната точка се окаже по-ниска от началната, тя ще бъде отрицателна - това означава, че не се изкачваме, а се спускаме.

Обратно към „стръмност“: това е стойност, която показва колко (стръмно) се увеличава височината при движение напред на единица разстояние:

Да предположим, че на някакъв участък от пътя, при напредване с км, пътят се издига с км. Тогава стръмността на това място е равна. И ако пътят, когато напредва с m, потъва с km? Тогава наклонът е равен.

Сега помислете за върха на хълм. Ако вземете началото на участъка половин километър до върха, а края - половин километър след него, се вижда, че височината е почти същата.

Тоест според нашата логика се оказва, че стръмността тук е почти равна на нула, което явно не е вярно. Много може да се промени само на няколко мили разстояние. За по-адекватна и точна оценка на стръмността трябва да се вземат предвид по-малки площи. Например, ако измерите промяната във височината при преместване на един метър, резултатът ще бъде много по-точен. Но дори тази точност може да не ни е достатъчна – в края на краищата, ако има стълб по средата на пътя, можем просто да се промъкнем през него. Какво разстояние да изберем тогава? Сантиметър? милиметър? По-малкото е по-добре!

В реалния живот измерването на разстояние до най-близкия милиметър е повече от достатъчно. Но математиците винаги се стремят към съвършенство. Следователно концепцията беше безкрайно малък, тоест стойността по модул е по-малка от всяко число, което можем да назовем. Например казвате: една трилионна! Колко по-малко? И разделите това число на - и то ще бъде още по-малко. И т.н. Ако искаме да запишем, че стойността е безкрайно малка, пишем така: (четем „x клони към нула“). Много е важно да се разбере че това число не е равно на нула!Но много близо до него. Това означава, че може да се раздели на.

Концепцията, противоположна на безкрайно малко, е безкрайно голяма (). Вероятно вече сте се сблъсквали с него, когато сте работили върху неравенствата: това число е по-голямо по модул от всяко число, за което можете да се сетите. Ако излезете с възможно най-голямото число, просто го умножете по две и ще получите още повече. А безкрайността е дори повече от това, което се случва. Всъщност безкрайно голямото и безкрайно малкото са обратни едно на друго, тоест at и обратно: at.

Сега обратно към нашия път. Идеално изчисленият наклон е наклонът, изчислен за безкрайно малък сегмент от пътя, тоест:

Отбелязвам, че при безкрайно малка денивелация промяната във височината също ще бъде безкрайно малка. Но нека ви напомня, че безкрайно малко не означава равно на нула. Ако разделите безкрайно малки числа едно на друго, можете да получите напълно обикновено число, например. Тоест една малка стойност може да бъде точно два пъти по-голяма от друга.

Защо всичко това? Пътят, стръмнината... Не ходим на рали, а учим математика. А в математиката всичко е абсолютно същото, само че се нарича по различен начин.

Концепцията за производно

Производната на функция е съотношението на приращението на функцията към нарастването на аргумента при безкрайно малко нарастване на аргумента.

Увеличениев математиката се нарича промяна. Извиква се колко се е променил аргументът () при движение по оста увеличение на аргументаи означава колко се е променила функцията (височина) при движение напред по оста с разстояние се извиква увеличение на функциятаи е маркиран.

И така, производната на функция е отношението към кога. Обозначаваме производната със същата буква като функцията, само с щрих отгоре вдясно: или просто. И така, нека напишем производната формула, използвайки тези обозначения:

Както в аналогията с пътя, тук, когато функцията се увеличава, производната е положителна, а когато намалява, е отрицателна.

Но равна ли е производната на нула? със сигурност. Например, ако се движим по равен хоризонтален път, стръмността е нула. Всъщност височината изобщо не се променя. Така че с производната: производната на константна функция (константа) е равна на нула:

тъй като приращението на такава функция е нула за всяка.

Да вземем пример за върха на хълма. Оказа се, че е възможно да се подредят краищата на сегмента от противоположните страни на върха по такъв начин, че височината в краищата да се окаже еднаква, тоест сегментът е успореден на оста:

Но големите сегменти са знак за неточно измерване. Ще повдигнем нашия сегмент нагоре успоредно на себе си, след което дължината му ще намалее.

В крайна сметка, когато сме безкрайно близо до върха, дължината на сегмента ще стане безкрайно малка. Но в същото време той остава успореден на оста, тоест разликата във височината в краищата му е равна на нула (не се стреми, но е равна на). Така че производната

Това може да се разбере по следния начин: когато стоим на самия връх, малко изместване наляво или надясно променя височината ни незначително.

Има и чисто алгебрично обяснение: вляво от върха функцията се увеличава, а вдясно - намалява. Както вече разбрахме по-рано, когато функцията се увеличава, производната е положителна, а когато намалява, е отрицателна. Но се сменя плавно, без скокове (защото пътят никъде не променя рязко наклона си). Следователно трябва да има между отрицателни и положителни стойности. Тя ще бъде там, където функцията нито се увеличава, нито намалява - в точката на върха.

Същото важи и за долината (областта, където функцията намалява отляво и се увеличава отдясно):

Малко повече за увеличенията.

Така че променяме аргумента на стойност. От каква стойност променяме? В какво се превърна той (аргумент) сега? Можем да изберем всяка точка и сега ще танцуваме от нея.

Помислете за точка с координата. Стойността на функцията в него е равна. След това правим същото увеличение: увеличаваме координатата с. Какъв е аргументът сега? Много лесно: . Каква е стойността на функцията сега? Където отива аргументът, там отива и функцията: . Какво ще кажете за увеличаването на функцията? Нищо ново: това все още е сумата, с която функцията се е променила:

Практикувайте намиране на стъпки:

Намерете приращението на функцията в точка с приращение на аргумента, равно на.
Същото за функция в точка.

Решения:

В различни точки, при едно и също увеличение на аргумента, приращението на функцията ще бъде различно. Това означава, че производната във всяка точка има своя собствена (обсъждахме това в самото начало - стръмността на пътя в различните точки е различна). Следователно, когато пишем производна, трябва да посочим в кой момент:

Функция за захранване.

Силова функция се нарича функция, където аргументът е до известна степен (логически, нали?).

И - до всяка степен: .

Най-простият случай е, когато степента е:

Нека намерим производната му в дадена точка. Запомнете определението за производно:

Така аргументът се променя от на. Какво е увеличението на функцията?

Увеличението е. Но функцията във всяка точка е равна на нейния аргумент. Така:

Производната е:

Производната на е:

б) Сега разгледайте квадратичната функция (): .

Сега да си припомним това. Това означава, че стойността на приращението може да се пренебрегне, тъй като е безкрайно малка и следователно незначителна на фона на друг термин:

И така, имаме друго правило:

в) Продължаваме логическия ред: .

Този израз може да бъде опростен по различни начини: отворете първата скоба, като използвате формулата за съкратено умножение на куба на сбора, или разложете целия израз на фактори, като използвате формулата за разликата на кубовете. Опитайте се да го направите сами по някой от предложените начини.

И така, получих следното:

И нека си припомним това отново. Това означава, че можем да пренебрегнем всички термини, съдържащи:

Получаваме: .

г) Подобни правила могат да бъдат получени за големи мощности:

д) Оказва се, че това правило може да бъде обобщено за степенна функция с произволен показател, дори не цяло число:

(2)

Можете да формулирате правилото с думите: „степента се извежда напред като коефициент и след това намалява с“.

Ще докажем това правило по-късно (почти в самия край). Сега нека разгледаме няколко примера. Намерете производната на функциите:

(по два начина: по формулата и с помощта на дефиницията на производната - чрез отчитане на приращението на функцията);

. Вярвате или не, това е захранваща функция. Ако имате въпроси като „Как е? И къде е степента?", Запомнете темата" "!
Да, да, коренът също е степен, само дробна:.
Така че нашият квадратен корен е просто степен с експонента:
.
Търсим производната, използвайки наскоро научената формула:
Ако в този момент отново стане неясно, повторете темата "" !!! (около степен с отрицателен индикатор)
. Сега експонентът:
И сега през определението (забравихте ли вече?):
;
.
Сега, както обикновено, пренебрегваме термина, съдържащ:
.
. Комбинация от предишни случаи: .

тригонометрични функции.

Тук ще използваме един факт от висшата математика:

Когато изразяване.

Доказателството ще научите през първата година на института (а за да стигнете до там, трябва да издържите добре изпита). Сега просто ще го покажа графично:

Виждаме, че когато функцията не съществува - точката на графиката е пробита. Но колкото по-близо до стойността, толкова по-близо е функцията до. Това е самият „стремеж“.

Освен това можете да проверите това правило с калкулатор. Да, да, не се срамувайте, вземете калкулатор, още не сме на изпит.

Така че нека опитаме: ;

Не забравяйте да превключите калкулатора в режим на радиани!

и т.н. Виждаме, че колкото по-малко, толкова по-близо е стойността на съотношението до.

а) Помислете за функция. Както обикновено, намираме неговото увеличение:

Нека превърнем разликата на синусите в продукт. За да направите това, използваме формулата (запомнете темата ""):.

Сега производната:

Нека направим замяна: . Тогава, за безкрайно малък, той също е безкрайно малък: . Изразът за приема формата:

И сега си спомняме това с израза. И също така, какво ще стане, ако една безкрайно малка стойност може да бъде пренебрегната в сумата (тоест at).

Така получаваме следното правило: производната на синуса е равна на косинуса:

Това са основни („таблици“) производни. Ето ги в един списък:

По-късно ще добавим още няколко към тях, но те са най-важните, тъй като се използват най-често.

практика:

Намерете производната на функция в точка;
Намерете производната на функцията.

Решения:

Първо намираме производната в общ вид и след това заместваме нейната стойност:
;
.
Тук имаме нещо подобно на функция за мощност. Нека се опитаме да я доведем
нормален изглед:
.
Добре, сега можете да използвате формулата:
.
.
. Еееееее.... Какво е????

Добре, прав си, все още не знаем как да намерим такива производни. Тук имаме комбинация от няколко вида функции. За да работите с тях, трябва да научите още няколко правила:

Експонента и естествен логаритъм.

В математиката има такава функция, чиято производна за произволно е равна на стойността на самата функция за същата. Нарича се "експонента" и е експоненциална функция

Основата на тази функция - константа - е безкрайна десетична дроб, тоест ирационално число (като напр.). Нарича се "числото на Ойлер", поради което се обозначава с буква.

Така че правилото е:

Много е лесно да се запомни.

Е, няма да стигнем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Какво е обратното на експоненциалната функция? логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (тоест логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: вместо това пишем.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

Намерете производната на функцията.
Каква е производната на функцията?

Отговори: Показателят и естественият логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Какви правила? Пак нов мандат?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Само и всичко. Каква е друга дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото приращение на функцията at. Този термин идва от латинското differentia - разлика. Тук.

Когато извеждаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака на производната.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производни на функции:

в точката;
в точката;
в точката;
в точката.

Решения:

(производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните?);

Производно на продукт

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

производно:

Примери:

Намерете производни на функции и;
Намерете производната на функция в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на степента (забравихте ли още какво е?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За да направим това, използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега се опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на степента: както беше, така и остана, се появи само фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производни на функции:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-проста форма. Следователно в отговора е оставен в този вид.

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен от логаритъма с различна основа, например:

Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се да помните тази формула:

Само сега вместо ще напишем:

Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производни на експоненциалната и логаритмичната функции почти никога не се намират в изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е дъгова допирателна. Тези функции може да са трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви се струва труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "сложен" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и правят някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв композитен обект: шоколадова лента, увита и вързана с панделка. За да изядете шоколадов блок, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически тръбопровод: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще квадратурираме полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка) и след това квадратирате това, което имам (завържете го с панделка). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, правим първото действие директно с променливата, а след това друго второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.

Можем да направим същите стъпки в обратен ред: първо квадратирате, а след това аз търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

С други думи, Сложната функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За първия пример,.

Втори пример: (същото). .

Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а извършеното първо действие – респ "вътрешна" функция(това са неформални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се сами да определите коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на променящите се променливи: например във функцията

Какви действия ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повишаваме до куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
И първоначалната функция е техният състав: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .

променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Всичко изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешни: ;

Външен: ;

2) Вътрешни: ;

(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не се изважда изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешни: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в края на краищата това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколад в опаковка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхуваме: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И тогава умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно да номерирате действията. Тоест, нека си представим какво знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Нека да разгледаме пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е на 4 нива. Нека определим начина на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Обединяване на всичко:

ПРОИЗВОДЕН. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Производна на функцията- съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциация:

Константата се изважда от знака на производната:

Производна на сумата:

Производен продукт:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
Умножаваме резултатите от първата и втората точка.

Производна на функция на една променлива.

Въведение.

Настоящите методически разработки са предназначени за студенти от Индустриално-строителния факултет. Те са съставени във връзка с програмата на курса по математика в раздела „Диференциално смятане на функциите на една променлива“.

Разработките представляват единно методическо ръководство, което включва: кратка теоретична информация; „типични” задачи и упражнения с подробни решения и обяснения за тези решения; опции за управление.

Допълнителни упражнения в края на всеки параграф. Такава структура на разработките ги прави подходящи за самостоятелно овладяване на раздела с най-минимална помощ от учителя.

§едно. Определение на производна.

Механично и геометрично значение

производно.

Понятието производна е едно от най-важните понятия на математическия анализ. Възниква още през 17 век. Формирането на концепцията за производна исторически е свързано с два проблема: проблемът за скоростта на променливото движение и проблемът за допирателната към крива.

Тези задачи, въпреки различното си съдържание, водят до една и съща математическа операция, която трябва да се извърши върху функция.Тази операция е получила специално име в математиката. Нарича се операция за диференциране на функция. Резултатът от операция на диференциране се нарича производна.

И така, производната на функцията y=f(x) в точката x0 е границата (ако съществува) на съотношението на увеличението на функцията към инкремента на аргумента
в
.

Производната обикновено се обозначава, както следва:
.

Така че по дефиниция

Символите се използват и за обозначаване на производната
.

Механичното значение на производната.

Ако s=s(t) е законът за праволинейното движение на материална точка, тогава
е скоростта на тази точка в момент t.

Геометричното значение на производната.

Ако функцията y=f(x) има производна в точка , след това наклона на допирателната към графиката на функцията в точката
се равнява
.

Пример.

Намерете производната на функция
в точката =2:

1) Да дадем точка =2 стъпка
. Забележи това.

2) Намерете приращението на функцията в точката =2:

3) Съставете съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента:

Нека намерим границата на отношението при
:

По този начин,
.

§ 2. Производни на някои

най-простите функции.

Ученикът трябва да се научи как да изчислява производните на определени функции: y=x,y= и като цяло y= .

Намерете производната на функцията y=x.

тези. (x)′=1.

Нека намерим производната на функцията

Производна

Нека бъде
тогава

Лесно е да се забележи закономерност в изразите за производни на степенна функция
при n=1,2,3.

следователно,

. (1)

Тази формула е валидна за всяко реално n.

По-специално, използвайки формула (1), имаме:

;

Пример.

Намерете производната на функция

Тази функция е специален случай на функция от формата

в
.

Използвайки формула (1), имаме

Производни на функции y=sin x и y=cos x.

Нека y=sinx.

Разделяме на ∆x, получаваме

Преминавайки към границата като ∆x→0, имаме

Нека y=cosx.

Преминавайки към границата като ∆x→0, получаваме

;
. (2)

§3. Основни правила за диференциация.

Помислете за правилата за диференциация.

Теорема1 . Ако функциите u=u(x) и v=v(x) са диференцируеми в дадена точка x, тогава тяхната сума също е диференцируема в тази точка, а производната на сбора е равна на сумата от изведените членове: (u+v)"=u"+v".(3)

Доказателство: разгледайте функцията y=f(x)=u(x)+v(x).

Увеличението ∆x на аргумента x съответства на приращенията ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) на функциите u и v. Тогава функцията y ще бъде увеличена

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

следователно,

И така, (u+v)"=u"+v".

Теорема2. Ако функциите u=u(x) и v=v(x) са диференцируеми в дадена точка x, то тяхното произведение също е диференцируемо в същата точка.В този случай производната на произведението се намира по следната формула : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Доказателство: Нека y=uv, където u и v са някои диференцируеми функции на x. Нека x се увеличава с ∆x; тогава u ще се увеличава с ∆u, v ще се увеличава с ∆v, а y ще се увеличава с ∆y.

Имаме y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следователно ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Оттук

Преминавайки до границата като ∆x→0 и като вземем предвид, че u и v не зависят от ∆x, имаме

Теорема 3. Производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто знаменател е равен на квадрата на делителя, а числителят е разликата между произведението на производната на делителя от делителя и произведението на делителя дивидент по производната на делителя, т.е.

Ако
тогава
(5)