Темата "аритметична прогресия" се изучава в общия курс по алгебра в училищата в 9. клас. Тази тема е важна за по-нататъшно задълбочено изучаване на математиката на числовите редове. В тази статия ще се запознаем с аритметичната прогресия, нейната разлика, както и с типичните задачи, пред които могат да се сблъскат учениците.

Концепцията за алгебрична прогресия

Числовата прогресия е поредица от числа, в която всеки следващ елемент може да бъде получен от предишния, ако се приложи някакъв математически закон. Има два прости вида прогресия: геометрична и аритметична, която също се нарича алгебрична. Нека се спрем на него по-подробно.

Представете си някакво рационално число, означете го със символа a 1 , където индексът показва неговия порядков номер в разглеждания ред. Нека добавим някакво друго число към 1, нека го обозначим с d. Тогава вторият елемент от серията може да бъде отразен по следния начин: a 2 = a 1 + d. Сега добавете отново d, получаваме: a 3 = a 2 + d. Продължавайки тази математическа операция, можете да получите цяла серия от числа, която ще се нарече аритметична прогресия.

Както може да се разбере от горното, за да намерите n-тия елемент от тази последователност, трябва да използвате формулата: a n = a 1 + (n-1) * d. Всъщност, замествайки n=1 в израза, получаваме a 1 = a 1, ако n = 2, тогава формулата предполага: a 2 = a 1 + 1*d и т.н.

Например, ако разликата в аритметичната прогресия е 5, а a 1 = 1, това означава, че числовият ред от въпросния тип има формата: 1, 6, 11, 16, 21, ... Както вие може да видите, всеки от членовете му е с 5 повече от предишния.

Формули за разлика в аритметична прогресия

От горната дефиниция на разглежданата серия от числа следва, че за да я определите, трябва да знаете две числа: a 1 и d. Последното се нарича разлика на тази прогресия. Той уникално определя поведението на цялата серия. Наистина, ако d е положително, тогава числовият ред постоянно ще нараства, напротив, в случай на отрицателно d, числата в серията ще се увеличават само по модул, докато абсолютната им стойност ще намалява с увеличаване на числото n.

Каква е разликата между аритметична прогресия? Помислете за двете основни формули, които се използват за изчисляване на тази стойност:

1. d = a n+1 -a n , тази формула следва директно от определението на разглежданата серия от числа.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), този израз се получава чрез изразяване на d от формулата, дадена в предишния параграф на статията. Обърнете внимание, че този израз става неопределен (0/0), ако n=1. Това се дължи на факта, че е необходимо да се познават поне 2 елемента от серията, за да се определи нейната разлика.

Тези две основни формули се използват за решаване на всеки проблем за намиране на разликата в прогресията. Има обаче друга формула, която също трябва да знаете.

Сума от първи елементи

Формулата, която може да се използва за определяне на сумата на произволен брой членове на алгебрична прогресия, според историческите доказателства, е получена за първи път от "принца" на математиката от XVIII век, Карл Гаус. Немски учен, още като момче в началните класове на селско училище, забеляза, че за да добавите естествени числа в редицата от 1 до 100, първо трябва да сумирате първия елемент и последния (резултантната стойност ще бъде равна до сбора на предпоследния и втория, предпоследния и третия елемент и т.н.), а след това това число трябва да се умножи по броя на тези суми, тоест по 50.

Формулата, която отразява посочения резултат в конкретен пример, може да бъде обобщена до произволен случай. Ще изглежда така: S n = n/2*(a n + a 1). Имайте предвид, че за да се намери определената стойност, не се изисква познаване на разликата d, ако са известни два члена на прогресията (a n и a 1).

Пример №1. Определете разликата, като знаете двата члена от редовете a1 и an

Ще покажем как да приложите формулите, посочени по-горе в статията. Нека дадем прост пример: разликата в аритметичната прогресия е неизвестна, необходимо е да се определи на какво ще бъде равна, ако 13 = -5,6 и 1 = -12,1.

Тъй като знаем стойностите на два елемента от числовата последователност и единият от тях е първото число, можем да използваме формула № 2, за да определим разликата d. Имаме: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 = 0.54167. В израза използвахме стойността n=13, тъй като членът с този пореден номер е известен.

Получената разлика показва, че прогресията се увеличава, въпреки факта, че елементите, дадени в условието на задачата, имат отрицателна стойност. Може да се види, че a 13 >a 1 , въпреки че |a 13 |<|a 1 |.

Пример №2. Положителни условия за прогресия в пример №1

Нека използваме резултата, получен в предишния пример, за да решим нов проблем. Формулира се по следния начин: от кое порядково число елементите на прогресията в пример No1 започват да приемат положителни стойности?

Както беше показано, прогресията, в която a 1 = -12,1 и d = 0,54167 се увеличава, така че от определено число числата ще приемат само положителни стойности. За да се определи това число n, е необходимо да се реши просто неравенство, което се записва математически, както следва: a n>0 или, използвайки подходящата формула, пренаписваме неравенството: a 1 + (n-1)*d>0. Необходимо е да се намери неизвестното n, нека го изразим: n>-1*a 1 /d + 1. Сега остава да заменим известните стойности на разликата и първия член на последователността. Получаваме: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 или n>23.338. Тъй като n може да приема само цели числа, от полученото неравенство следва, че всички членове от редицата, които имат число по-голямо от 23, ще бъдат положителни.

Нека проверим нашия отговор, като използваме горната формула, за да изчислим 23-ия и 24-ия елемент от тази аритметична прогресия. Имаме: 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (отрицателно число); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 = 0,3584 (положителна стойност). Така полученият резултат е правилен: започвайки от n=24, всички членове на числовия ред ще бъдат по-големи от нула.

Пример №3. Колко трупи ще се поберат?

Ето един интересен проблем: по време на сечта беше решено да се подреждат изрязаните трупи един върху друг, както е показано на фигурата по-долу. Колко трупи могат да бъдат подредени по този начин, като се знае, че общо 10 реда ще се поберат?

При този начин на сгъване на трупи може да се забележи едно интересно нещо: всеки следващ ред ще съдържа един дневник по-малко от предишния, тоест има алгебрична прогресия, чиято разлика е d=1. Ако приемем, че броят на дневниците във всеки ред е член на тази прогресия, а също и като вземем предвид, че a 1 = 1 (само един дневник ще се побере в самия връх), намираме числото a 10 . Имаме: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Тоест в 10-ия ред, който лежи на земята, ще има 10 трупа.

Общото количество на тази "пирамидална" конструкция може да се получи с помощта на формулата на Гаус. Получаваме: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) = 55 трупа.

Темата "аритметична прогресия" се изучава в общия курс по алгебра в училищата в 9. клас. Тази тема е важна за по-нататъшно задълбочено изучаване на математиката на числовите редове. В тази статия ще се запознаем с аритметичната прогресия, нейната разлика, както и с типичните задачи, пред които могат да се сблъскат учениците.

Концепцията за алгебрична прогресия

Числовата прогресия е поредица от числа, в която всеки следващ елемент може да бъде получен от предишния, ако се приложи някакъв математически закон. Има два прости вида прогресия: геометрична и аритметична, която също се нарича алгебрична. Нека се спрем на него по-подробно.

Представете си някакво рационално число, означете го със символа a1, където индексът показва неговия пореден номер в разглежданата серия. Нека добавим някакво друго число към a1, нека го означим d. Тогава вторият елемент от серията може да бъде отразен по следния начин: a2 = a1+d. Сега добавете отново d, получаваме: a3 = a2+d. Продължавайки тази математическа операция, можете да получите цяла серия от числа, която ще се нарече аритметична прогресия.

Както може да се разбере от горното, за да намерите n-тия елемент от тази последователност, трябва да използвате формулата: an = a1 + (n-1) * d. Всъщност, замествайки n=1 в израза, получаваме a1 = a1, ако n = 2, то следва от формулата: a2 = a1 + 1*d и т.н.

Например, ако разликата в аритметичната прогресия е 5 и a1 = 1, това означава, че числовите серии от разглеждания тип изглеждат така: 1, 6, 11, 16, 21, ... Както можете да видите , всеки от членовете му е с 5 повече от предишния.

Формули за разлика в аритметична прогресия

От горното определение на разглежданата серия от числа следва, че за да се определи, е необходимо да се знаят две числа: a1 и d. Последното се нарича разлика на тази прогресия. Той уникално определя поведението на цялата серия. Наистина, ако d е положително, тогава числовият ред постоянно ще нараства, напротив, в случай на отрицателно d, числата в серията ще се увеличават само по модул, докато абсолютната им стойност ще намалява с увеличаване на числото n.

Каква е разликата между аритметична прогресия? Помислете за двете основни формули, които се използват за изчисляване на тази стойност:

d = an+1-an, тази формула следва директно от определението на разглежданата серия от числа.

d = (-a1+an)/(n-1), този израз се получава чрез изразяване на d от формулата, дадена в предишния параграф на статията. Обърнете внимание, че този израз става неопределен (0/0), ако n=1. Това се дължи на факта, че е необходимо да се познават поне 2 елемента от серията, за да се определи нейната разлика.

Тези две основни формули се използват за решаване на всеки проблем за намиране на разликата в прогресията. Има обаче друга формула, която също трябва да знаете.

Сума от първи елементи

Формулата, която може да се използва за определяне на сумата от произволен брой членове на алгебрична прогресия, според историческите доказателства, е получена за първи път от "принца" на математиката от 18-ти век, Карл Гаус. Немски учен, още като момче в началните класове на селско училище, забеляза, че за да добавите естествени числа в редицата от 1 до 100, първо трябва да сумирате първия елемент и последния (резултантната стойност ще бъде равна до сбора на предпоследния и втория, предпоследния и третия елемент и т.н.), а след това това число трябва да се умножи по броя на тези суми, тоест по 50.

Формулата, която отразява посочения резултат в конкретен пример, може да бъде обобщена до произволен случай. Ще изглежда така: Sn = n/2*(an+a1). Обърнете внимание, че за да се намери определената стойност, не се изисква познаване на разликата d, ако са известни два члена на прогресията (an и a1).

Пример №1. Определете разликата, като знаете двата члена от редовете a1 и an

Ще покажем как да приложите формулите, посочени по-горе в статията. Нека дадем прост пример: разликата в аритметичната прогресия е неизвестна, необходимо е да се определи на какво ще бъде равна, ако a13 = -5,6 и a1 = -12,1.

Тъй като знаем стойностите на два елемента от числовата последователност и единият от тях е първото число, можем да използваме формула № 2, за да определим разликата d. Имаме: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 = 0.54167. В израза използвахме стойността n=13, тъй като членът с този пореден номер е известен.

Получената разлика показва, че прогресията се увеличава, въпреки факта, че елементите, дадени в условието на задачата, имат отрицателна стойност. Вижда се, че a13>a1, въпреки че |a13|<|a1|.

Пример №2. Положителни условия за прогресия в пример №1

Нека използваме резултата, получен в предишния пример, за да решим нов проблем. Формулира се по следния начин: от кое порядково число елементите на прогресията в пример No1 започват да приемат положителни стойности?

Както е показано, прогресията, в която a1 = -12,1 и d = 0,54167 се увеличава, така че от определено число числата ще започнат да приемат само положителни стойности. За да се определи това число n, е необходимо да се реши просто неравенство, което се записва математически по следния начин: an>0 или, използвайки съответната формула, пренаписваме неравенството: a1 + (n-1)*d>0. Необходимо е да се намери неизвестното n, нека го изразим: n>-1*a1/d + 1. Сега остава да заменим известните стойности на разликата и първия член на последователността. Получаваме: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 или n>23.338. Тъй като n може да приема само цели числа, от полученото неравенство следва, че всички членове от редицата, които имат число по-голямо от 23, ще бъдат положителни.

Нека проверим нашия отговор, като използваме горната формула, за да изчислим 23-ия и 24-ия елемент от тази аритметична прогресия. Имаме: a23=-12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (отрицателно число); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (положителна стойност). Така полученият резултат е правилен: започвайки от n=24, всички членове на числовия ред ще бъдат по-големи от нула.

Пример №3. Колко трупи ще се поберат?

Ето един интересен проблем: по време на сечта беше решено да се подреждат изрязаните трупи един върху друг, както е показано на фигурата по-долу. Колко трупи могат да бъдат подредени по този начин, като се знае, че общо 10 реда ще се поберат?

При този начин на сгъване на трупи може да се забележи едно интересно нещо: всеки следващ ред ще съдържа един дневник по-малко от предишния, тоест има алгебрична прогресия, чиято разлика е d=1. Ако приемем, че броят на трупите във всеки ред е член на тази прогресия, а също и като вземем предвид, че a1 = 1 (само един дневник ще се побере в самия връх), намираме числото a10. Имаме: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Тоест в 10-ия ред, който лежи на земята, ще има 10 трупа.

Общото количество на тази "пирамидална" конструкция може да се получи с помощта на формулата на Гаус. Получаваме: S10 = 10/2*(10+1) = 55 лога.

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теория с примери (2019)

Числова последователност

Така че нека да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:
Можете да напишете произволни числа и може да има толкова, колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да напишем, винаги можем да кажем кое от тях е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в поредицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е същото.
Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

в нашия случай:

Да кажем, че имаме числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът „прогресия“ е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е пренесено от теорията на непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.

Това е числова последователност, всеки член на която е равен на предишния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика от аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови поредици са аритметична прогресия и кои не:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществуват двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавим към предишната стойност на числото на прогресията, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че нямаме много за обобщаване - само три стойности:

И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Начин

Ами ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от един час и не е факт, че нямаше да сгрешим при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата от аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член от тази аритметична прогресия.

Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:

Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да „деперсонализираме“ тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:

Уравнение за аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.

Повишаване на- прогресии, в които всяка следваща стойност на термините е по-голяма от предходната.
Например:

Низходящо- прогресии, в които всяка следваща стойност на термините е по-малка от предходната.
Например:

Получената формула се използва при изчисляване на термини както в нарастващи, така и в намаляващи термини на аритметична прогресия.
Нека го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:

От тогава:

Така се убедихме, че формулата работи както при намаляваща, така и при нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие, и започнете да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако ни бъдат дадени числа в условието? Съгласете се, има вероятност от грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да решите този проблем в една стъпка, като използвате някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.

Нека да обозначим желания член на аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведохме в началото:
, тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да ги добавите и разделите на.

Точно така, имаме същия номер. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.

Много добре! Вие знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която, според легендата, един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача на урока: „Изчислете сбора на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчака след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза модел, който лесно можете да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сбора от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора от неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?

Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно подчертаните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитах? Какво забелязахте? Правилно! Техните суми са равни

Сега отговорете, колко такива двойки ще има в дадена ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сборът от два члена на аритметична прогресия е равен и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

При някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата на сбора формулата на тия член.
Какво получи?

Много добре! Сега да се върнем към задачата, която беше дадена на Карл Гаус: изчислете сами каква е сумата от числата, започващи от -то, и сумата от числата, започващи от -то.

колко получи?
Гаус се оказа, че сборът от членовете е равен и сборът от членовете. Така ли реши?

Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметична прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметична прогресия с голяма сила.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида... Фигурата показва едната й страна.

Къде е прогресът тук, казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако блок тухли са поставени в основата. Надявам се, че няма да броите като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметичната прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (броим блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласи ли се? Браво, усвоихте сумата от ите членове на аритметична прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
Справихте ли се?
Правилният отговор е блокове:

тренировка

задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще кляка след седмици, ако направи клекове на първата тренировка.
2. Каква е сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици = дни).

   Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметичната прогресия.
   Броят на нечетните числа на половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -ти член на аритметична прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Заместваме наличните данни във формулата:

   Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в, е равен на.

3. Припомнете си проблема за пирамидите. За нашия случай, a, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
   Заменете данните във формулата:

   Отговор:В зидарията има трупи.

Обобщаване

1. - числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и еднаква. То се увеличава и намалява.
2. Намиране на формулатият член на аритметична прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членовете на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
4. Сборът от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:

Можете да напишете произволни числа и може да има колкото искате. Но винаги можете да разберете кой от тях е първият, кой е вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако -тият член на последователността може да бъде даден с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

И формулата е в следната последователност:

Например, аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Ние наричаме повтаряща се формула такава формула, в която, за да разберете тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, тия член на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предишните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега е ясно каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-ия член и намерете стотния член.

решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:

(в края на краищата тя се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

Така че формулата е:

Тогава стотният член е:

Каква е сумата от всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

пример:
Намерете сбора от всички двуцифрени кратни.

решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо се получава чрез добавяне на число към предишното. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формулата за тия член за тази прогресия е:

Колко члена са в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще избяга за седмици, ако пробяга km m през първия ден?
2. Всеки ден велосипедист кара повече мили от предишния. В първия ден измина км. Колко дни трябва да кара, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
3. Всяка година цената на хладилник в магазина се намалява със същата сума. Определете с колко намалява цената на хладилника всяка година, ако е пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук е дадено:, трябва да се намери.
   Очевидно трябва да използвате същата формула за сумата като в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът.
   Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, използвайки формулата на -тия член:
   (км).
   Отговор:

3. Дадено: . Да намеря: .
   Не става по-лесно:
   (разтривайте).
   Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Това е числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и еднаква.

Аритметичната прогресия се увеличава () и намалява ().

Например:

Формулата за намиране на n-ия член на аритметична прогресия

се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.

Свойство на членовете на аритметична прогресия

Улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сборът от членовете на аритметична прогресия

Има два начина за намиране на сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.

Инструкция

Аритметичната прогресия е последователност от вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Стъпка номер d прогресии.Очевидно, сумата от произволен n-ти член на аритметиката прогресииима вида: An = A1+(n-1)d. След това познавайки един от членовете прогресии, член прогресиии стъпка прогресии, може да бъде , тоест номерът на члена на прогресията. Очевидно ще се определи по формулата n = (An-A1+d)/d.

Нека m-тият член е известен сега прогресиии някой друг член прогресии- n-то, но n , както в предишния случай, но е известно, че n и m не съвпадат. Стъпка прогресииможе да се изчисли по формулата: d = (An-Am)/(n-m). Тогава n = (An-Am+md)/d.

Ако сумата от няколко елемента на аритметика прогресии, както и неговия първи и последен , тогава може да се определи и броят на тези елементи. Сборът от аритметиката прогресиище бъде равно на: S = ((A1+An)/2)n. Тогава n = 2S/(A1+An) са chdenov прогресии. Използвайки факта, че An = A1+(n-1)d, тази формула може да бъде пренаписана като: n = 2S/(2A1+(n-1)d). От това може да се изрази n чрез решаване на квадратно уравнение.

Аритметичната последователност е такъв подреден набор от числа, всеки член на който, с изключение на първия, се различава от предишния със същото количество. Тази константа се нарича разлика на прогресията или нейната стъпка и може да бъде изчислена от известните членове на аритметичната прогресия.

Инструкция

Ако стойностите на първия и втория или на всяка друга двойка съседни членове са известни от условията на задачата, за да се изчисли разликата (d), просто извадете предишния член от следващия член. Получената стойност може да бъде положителна или отрицателна - зависи от това дали прогресията се увеличава. В общ вид напишете решението за произволна двойка (aᵢ и aᵢ₊₁) съседни членове на прогресията, както следва: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

За двойка членове на такава прогресия, единият от които е първият (a₁), а другият е всеки друг произволно избран, може също да се направи формула за намиране на разликата (d). В този случай обаче серийният номер (i) на произволно избран член от последователността трябва да бъде известен. За да изчислите разликата, добавете двете числа и разделете резултата на редовния номер на произволен член, намален с единица. Най-общо запишете тази формула, както следва: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ако освен произволен член от аритметичната прогресия с порядков номер i е известен друг член с пореден номер u, променете съответно формулата от предишната стъпка. В този случай разликата (d) на прогресията ще бъде сумата от тези два члена, разделена на разликата в техните редни номера: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формулата за изчисляване на разликата (d) става малко по-сложна, ако стойността на първия й член (a₁) и сумата (Sᵢ) от дадено число (i) на първите членове на аритметичната последователност са дадени в условията на проблемът. За да получите желаната стойност, разделете сбора на броя на членовете, които го съставят, извадете стойността на първото число в последователността и удвоете резултата. Разделете получената стойност на броя на членовете, съставляващи сумата, намален с едно. Като цяло, запишете формулата за изчисляване на дискриминанта, както следва: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Например последователността \(2\); \(5\); \(осем\); \(единадесет\); \(14\)... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това, \(d\) може да бъде и отрицателно число. например, в аритметична прогресия \(16\); \(десет\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващ.

Записване на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латиница.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с числов индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи с аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия.
решение:

	Дадени са ни първите елементи от последователността и знаем, че това е аритметична прогресия. Тоест всеки елемент се различава от съседния със същото число. Разберете коя, като извадите предишния от следващия елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до желания (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12.5...\) Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \(x\).
решение:

	За да намерим \(x\), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи, разликата в прогресията. Нека го намерим от два известни съседни елемента: \(d=12.5-10=2.5\).
	И сега намираме това, което търсим без никакви проблеми: \(x=5+2.5=7.5\).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
решение:

	Трябва да намерим сбора от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения, даден ни е само първият елемент. Затова първо изчисляваме стойностите на свой ред, като използваме даденото ни: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Исканата сума е намерена.

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата в тази прогресия.
решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто като се разбере основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Понякога обаче има ситуации, когато е много неудобно да се решава "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е това, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на челото“, а използват специални формули, извлечени за аритметична прогресия. А основните са формулата за n-ия член на прогресията и формулата за сбора \(n\) от първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на необходимия елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с числото \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, като знаем само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сумата от първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да изчислим сумата от първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава от формулата на n-ия член в зависимост от неговия брой (виж подробности). Нека изчислим първия елемент, като заменим \(n\) с един.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Сега нека намерим двадесет и петия член, като заместим двадесет и пет вместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Е, сега безпроблемно изчисляваме необходимата сума.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заместете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – необходимата сума \(n\) от първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сбора.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(четиринадесет\)…
решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега имате цялата информация, която ви е необходима, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да помислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-деветнадесет\); \(-18,7\)…
решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме по същия начин: първо намираме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Сега бихме заместили \(d\) във формулата за сумата ... и тук се появява малък нюанс - ние не знаем \(n\). С други думи, не знаем колко термина ще трябва да бъдат добавени. Как да разбера? Нека да помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете номера на този елемент. Как? Нека запишем формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашия случай.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Трябва \(a_n\) да бъде по-голямо от нула. Нека разберем за какво \(n\) ще се случи това.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Разделяме двете страни на неравенството на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Прехвърляме минус едно, като не забравяме да сменим знаците
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Компютърни...
\(n>65 333…\)		…и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \(66\). Съответно, последният минус има \(n=65\). За всеки случай нека да го проверим.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		По този начин трябва да добавим първите \(65\) елементи.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)ти до \(42\) елемент включително.
решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	В този проблем също трябва да намерите сумата от елементи, но не от първия, а от \(26\)-ия. Нямаме формула за това. Как да решим? Лесно - за да получите сумата от \(26\)th до \(42\)th, първо трябва да намерите сумата от \(1\)th до \(42\)th и след това да извадите от нея сумата от първият до \ (25 \) ти (виж снимката).
	За нашата прогресия \(a_1=-33\) и разликата \(d=4\) (все пак добавяме четири към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \(42\)-uh елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега сумата от първите \(25\)-ти елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И накрая, изчисляваме отговора.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.