Възможността за изчисляване на обема на пространствените фигури е важна при решаването на редица практически задачи в геометрията. Една от най-често срещаните форми е пирамидата. В тази статия ще разгледаме пирамидите, както пълни, така и пресечени.

Пирамида като триизмерна фигура

Всеки знае за Египетски пирамидиследователно е добре представена коя фигура ще бъде обсъдена. Въпреки това египетските каменни конструкции са само частен случай на огромен клас пирамиди.

Разглежданият геометричен обект в общия случай е многоъгълна основа, всеки връх на която е свързан с някаква точка от пространството, която не принадлежи на базовата равнина. Това определение води до фигура, състояща се от един n-ъгълник и n триъгълника.

Всяка пирамида се състои от n+1 лица, 2*n ръба и n+1 върха. Тъй като разглежданата фигура е перфектен полиедър, броят на маркираните елементи се подчинява на уравнението на Ойлер:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Многоъгълникът, разположен в основата, дава името на пирамидата, например триъгълна, петоъгълна и т.н. Комплект от пирамиди с различни основанияпоказано на снимката по-долу.

Точката, в която са свързани n триъгълника на фигурата, се нарича връх на пирамидата. Ако от него се спусне перпендикуляр към основата и го пресича в геометричния център, тогава такава фигура ще се нарече права линия. Ако това условие не е изпълнено, тогава има наклонена пирамида.

Права фигура, чиято основа е образувана от равностранен (равноъгълен) n-ъгъл, се нарича правилна.

Формула за обем на пирамида

За да изчислим обема на пирамидата, използваме интегралното смятане. За да направите това, ние разделяме фигурата на секущи равнини, успоредни на основата, на безкраен брой тънки слоеве. Фигурата по-долу показва четириъгълна пирамида с височина h и дължина на страната L, в която четириъгълникът отбелязва тънък слойсекции.

Площта на всеки такъв слой може да се изчисли по формулата:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Тук A 0 е площта на основата, z е стойността на вертикалната координата. Може да се види, че ако z = 0, тогава формулата дава стойността A 0 .

За да получите формулата за обема на пирамидата, трябва да изчислите интеграла по цялата височина на фигурата, тоест:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Замествайки зависимостта A(z) и изчислявайки антипроизводната, стигаме до израза:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Получихме формулата за обема на пирамида. За да намерите стойността на V, достатъчно е да умножите височината на фигурата по площта на основата и след това да разделите резултата на три.

Имайте предвид, че полученият израз е валиден за изчисляване на обема на пирамида от произволен тип. Тоест той може да бъде наклонен, а основата му може да бъде произволен n-ъгълник.

и неговия обем

Получено в параграф по-горе обща формулаза обем може да се посочи в случай на пирамида с правилна основа. Площта на такава основа се изчислява по следната формула:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Тук L е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха. Символът pi е числото пи.

Замествайки израза за A 0 в общата формула, получаваме обема на правилна пирамида:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Например за триъгълна пирамида тази формула води до следния израз:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

За правилното четириъгълна пирамидаформулата за обем приема формата:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Определянето на обемите на правилните пирамиди изисква познаване на страната на основата им и височината на фигурата.

Пирамида пресечена

Да предположим, че сме взели произволна пирамида и отрязахме част от страничната й повърхност, съдържаща върха. Останалата фигура се нарича пресечена пирамида. Той вече се състои от две n-ъгълни бази и n трапеци, които ги свързват. Ако режещата равнина е била успоредна на основата на фигурата, тогава се образува пресечена пирамида с успоредни подобни основи. Тоест дължините на страните на едната от тях могат да се получат чрез умножаване на дължините на другата по някакъв коефициент k.

На фигурата по-горе е изобразен пресечен правилен.Вижда се, че горната му основа, както и долната, е образувана от правилен шестоъгълник.

Формулата, която може да бъде извлечена с помощта на интегрално изчисление, подобно на горното, е:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Където A 0 и A 1 са площите съответно на долната (голяма) и горната (малка). Променливата h означава височината на пресечена пирамида.

Обемът на пирамидата на Хеопс

Любопитно е да се реши задачата за определяне на обема, който съдържа най-голямата египетска пирамида.

През 1984 г. британските египтолози Марк Ленър и Джон Гудман създават точни размерипирамидата на Хеопс. Първоначалната му височина е 146,50 метра (в момента около 137 метра). Средна дължинавсяка от четирите страни на конструкцията е 230,363 метра. Основата на пирамидата е квадратна с висока точност.

Нека използваме дадените цифри, за да определим обема на този каменен гигант. Тъй като пирамидата е правилна четириъгълна, тогава формулата е валидна за нея:

Включвайки числата, получаваме:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Обемът на пирамидата на Хеопс е ​​почти 2,6 милиона m 3. За сравнение отбелязваме, че олимпийският басейн има обем от 2,5 хиляди m 3. Тоест, за да се запълни цялата пирамида на Хеопс, ще са необходими повече от 1000 такива басейна!

пирамида. Пресечена пирамида

пирамидасе нарича полиедър, едната от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничната повърхност, която не принадлежи на основата Височина пирамидата е разстоянието от върха й до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни една на друга, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Разрез на пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на една и съща повърхност.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сбор от площите на всички странични лица. ■ площ пълна повърхност е сборът от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в пирамидата всички странични ръбове имат еднакви дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За да се изчисли обемът на произволна пирамида, формулата е правилна:

където V- сила на звука;

S основно- основна площ;

Хе височината на пирамидата.

За обикновена пирамида следните формули са верни:

където стр- периметърът на основата;

з а- апотема;

Х- височина;

S пълен

S страна

S основно- основна площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданарича се частта от пирамидата, затворена между основата и сечещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида нарича се частта от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно лице. диагонално сечение Секция от пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на една и съща повърхност.

За пресечена пирамида формулите са валидни:

(4)

където С 1 , С 2 - области на горната и долната основа;

S пълене общата повърхност;

S странае страничната повърхност;

Х- височина;

Vе обемът на пресечена пирамида.

За обикновена пресечена пирамида е вярна следната формула:

където стр 1 , стр 2 - периметри на основата;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В правилна триъгълна пирамида двугранният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклон на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че основата е равностранен триъгълник и всички странични страни са равни равнобедрени триъгълници. Двугранен ъгълв основата - това е ъгълът на наклон на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата е проектиран в центъра на триъгълника (центърът на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклон на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ OB. Нека дължината на сегмента BDе 3 но. точка ОТНОСНОраздел BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечена пирамида:

Отговор: 112 см3.

Пример 3Намерете площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Основите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го от къде НО 1 Еперпендикулярно от точка НО 1 в равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от НО 1 на AC. НО 1 Е\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). точка ОТНОСНО- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според питагоровата теорема от

Странична лицева област:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи ноИ б (а> б). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата j. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 21). Обща площ на пирамидата SABCDе равно на сбора от площите и площта на трапеца ABCD.

Използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. точка ОТНОСНО- проекция на върха Св основата на пирамидата. триъгълник СОДе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Съгласно теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава Така проблемът се свежда до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). точка ОТНОСНОе центърът на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжността може да бъде вписана в трапец, тогава или По теоремата на Питагор имаме

• 09.10.2014

  Предварителният усилвател, показан на фигурата, е предназначен за използване с 4 вида източника на звук, като микрофон, CD плейър, касетофон и др. В същото време предусилвателят има един вход, който може да промени чувствителността от 50mV до 500mV . изходното напрежение на усилвателя е 1000mV. Свързване различни източницисигнал при превключване на превключвател SA1, винаги ще получим ...

• 20.09.2014

  PSU е проектиран за натоварване с мощност 15 ... 20 вата. Източникът е направен по схемата на едноцикълен импулсен високочестотен преобразувател. На транзистора е сглобен осцилатор, работещ с честота от 20 ... 40 kHz. Честотата се регулира от капацитета C5. Елементите VD5, VD6 и C6 образуват верига за стартиране на осцилатор. Във вторичната верига, след мостовия токоизправител, има конвенционален линеен стабилизатор на микросхема, който ви позволява да имате ...

• 28.09.2014

  Фигурата показва генератор на чип K174XA11, чиято честота се контролира от напрежение. Чрез промяна на капацитета C1 от 560 на 4700pF може да се получи широк честотен диапазон, докато честотата се регулира чрез промяна на съпротивлението R4. Например, авторът установи, че при C1 = 560pF честотата на генератора може да се промени с помощта на R4 от 600Hz до 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Устройството е проектирано да захранва мощен ULF, той е проектиран за изходно напрежение ± 27V и така натоварва до 3A на всяко рамо. Захранването е двуполюсно, направено на пълни композитни транзистори KT825-KT827. И двете рамена на стабилизатора са направени по същата схема, но в другото рамо (не е показано), полярността на кондензаторите се променя и се използват транзистори на другото ...