Trigonometriya formulalari sinus va kosinus yig'indisi. Oliy ma'lumot diplomini arzon sotib oling

Eng tez-tez beriladigan savollar

Taqdim etilgan namunaga muvofiq hujjatga muhr bosish mumkinmi? Javob Ha, mumkin. Skanerlangan nusxasini yoki fotosuratini elektron pochta manzilimizga yuboring yaxshi sifat va biz kerakli dublikat qilamiz.

Siz qanday to'lov turlarini qabul qilasiz? Javob Hujjatni to'ldirish to'g'riligini va diplom sifatini tekshirgandan so'ng, kurer tomonidan qabul qilingan paytda to'lashingiz mumkin. Buni naqd pul yetkazib berish xizmatlarini taklif qiluvchi pochta kompaniyalari ofisida ham qilish mumkin.
Hujjatlarni etkazib berish va to'lashning barcha shartlari "To'lov va yetkazib berish" bo'limida tasvirlangan. Hujjatni yetkazib berish va to‘lash shartlari bo‘yicha takliflaringizni ham tinglashga tayyormiz.

Buyurtma berganingizdan so'ng siz mening pulim bilan yo'q bo'lib ketmasligingizga ishonchim komilmi? Javob Diplom ishlab chiqarish sohasida ancha uzoq tajribamiz bor. Bizda doimiy ravishda yangilanib turadigan bir nechta saytlar mavjud. Mutaxassislarimiz mamlakatimizning turli hududlarida kuniga 10 dan ortiq hujjat tayyorlaydilar. Yillar davomida bizning hujjatlarimiz ko'p odamlarga ish bilan bog'liq muammolarni hal qilishga yoki ko'proq joyga ko'chib o'tishga yordam berdi yuqori maoshli ish. Biz mijozlar orasida ishonch va e'tirofga sazovor bo'ldik, shuning uchun buni qilish uchun mutlaqo hech qanday sabab yo'q. Bundan tashqari, buni jismonan amalga oshirishning iloji yo'q: siz buyurtmani qo'lingizga olish vaqtida to'laysiz, oldindan to'lov yo'q.

Har qanday universitetdan diplom buyurtma qilsam bo'ladimi? Javob Umuman olganda, ha. Biz bu sohada qariyb 12 yildan beri ishlaymiz. Shu vaqt ichida mamlakatimiz va xorijdagi deyarli barcha oliy o‘quv yurtlari tomonidan berilgan hujjatlarning deyarli to‘liq bazasi shakllantirildi. turli yillar chiqarish. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - universitet, mutaxassislik, hujjat tanlash va buyurtma shaklini to'ldirish.

Hujjatda matn terish xatolari va xatolarni topsam nima qilishim kerak? Javob Bizning kurer yoki pochta kompaniyamizdan hujjat olganingizda, barcha tafsilotlarni diqqat bilan tekshirishingizni tavsiya qilamiz. Agar matn terish xatosi, xato yoki noaniqlik aniqlansa, siz diplomni qabul qilmaslikka haqlisiz va aniqlangan kamchiliklarni kurerga yoki shaxsan o'zingiz ko'rsatishingiz kerak. yozish ga xat yuborish orqali elektron pochta.
Imkon qadar tezroq hujjatni tuzatamiz va ko'rsatilgan manzilga qayta yuboramiz. Albatta, yuk bizning kompaniyamiz tomonidan to'lanadi.
Bunday tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun, asl shaklni to'ldirishdan oldin, tekshirish va tasdiqlash uchun mijozning pochtasiga kelajakdagi hujjatning tartibini yuboramiz. yakuniy versiya. Hujjatni kurer yoki pochta orqali yuborishdan oldin, biz ham qilamiz qo'shimcha fotosurat va video (jumladan, ultrabinafsha nurda), natijada nimaga erishganingiz haqida vizual tasavvurga ega bo'lishingiz uchun.

Sizning kompaniyangizdan diplom buyurtma qilish uchun nima qilish kerak? Javob Hujjatga (sertifikat, diplom, akademik sertifikat va boshqalar) buyurtma berish uchun siz bizning veb-saytimizda onlayn buyurtma shaklini to'ldirishingiz yoki elektron pochtangizni ko'rsatishingiz kerak, shunda biz sizga anketa shaklini jo'natamiz, uni to'ldirishingiz va yuborishingiz kerak. bizga qaytib.
Buyurtma shakli/so'rovnomasining biron bir qismida nimani ko'rsatishni bilmasangiz, ularni bo'sh qoldiring. Shuning uchun biz telefon orqali barcha etishmayotgan ma'lumotlarni aniqlab beramiz.

Eng so'nggi sharhlar

Aleksey:

Menejer sifatida ishga kirishim uchun diplom olishim kerak edi. Va eng muhimi, menda ham tajriba, ham ko'nikma bor, lekin hujjatsiz men qila olmayman, men har qanday joyda ishga kiraman. Bir marta sizning saytingizda men hali ham diplom sotib olishga qaror qildim. Diplom 2 kunda tugatildi! Endi men ilgari orzu qilmagan ishim bor!! Rahmat!

Ikki burchak a va b uchun sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalari ko'rsatilgan burchaklar yig'indisidan a + b 2 va a - b 2 burchaklar ko'paytmasiga o'tishga imkon beradi. Biz darhol ta'kidlaymizki, siz sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi formulalarini yig'indi va ayirmaning sinuslari va kosinuslari formulalari bilan aralashtirib yubormasligingiz kerak. Quyida biz ushbu formulalarni sanab o'tamiz, ularning hosilasini keltiramiz va muayyan masalalarni qo'llash misollarini ko'rsatamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sinus va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalari

Keling, sinuslar va kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari qanday ko'rinishini yozamiz

Sinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari

sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a - b 2 sin a - sin b = 2 sin a - b 2 cos a + b 2

Kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari

cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a - b 2 cos a - cos b = - 2 sin a + b 2 cos a - b 2, cos a - cos b = 2 sin a + b 2 b - a 2

Bu formulalar har qanday a va b burchaklar uchun amal qiladi. a + b 2 va a - b 2 burchaklar mos ravishda alfa va beta burchaklarining yarim yig'indisi va yarim farqi deb ataladi. Har bir formula uchun formulani beramiz.

Sinuslar va kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalarining ta'riflari

Ikki burchak sinuslarining yig'indisi bu burchaklarning yarim yigindisi sinusi va yarim ayirma kosinusining ikki karra mahsulotiga teng.

Ikki burchak sinuslarining farqi bu burchaklarning yarim farqi sinusi va yarim yig'indi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.

Ikki burchakning kosinuslari yig'indisi bu burchaklarning yarim yig'indisi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga va bu burchaklarning yarim farqining kosinusiga teng.

Ikki burchak kosinuslarining farqi manfiy belgi bilan olingan yarim yig'indining sinusi va bu burchaklarning yarim farqi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.

Sinus va kosinuslarning yig‘indisi va ayirmasining formulalarini chiqarish

Ikki burchakning sinusi va kosinuslarining yig'indisi va ayirmasining formulalarini olish uchun qo'shish formulalari qo'llaniladi. Quyida ularni taqdim etamiz

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos ( a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Biz burchaklarning o'zini ham yarim yig'indi va yarim farqlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz.

a \u003d a + b 2 + a - b 2 \u003d a 2 + b 2 + a 2 - b 2 b \u003d a + b 2 - a - b 2 \u003d a 2 + b 2 + b 2 -

Biz to'g'ridan-to'g'ri sin va cos uchun yig'indi va farq formulalarini chiqarishga o'tamiz.

Sinuslar yig'indisi formulasini chiqarish

sin a + sin b yig'indisida a va b ni yuqorida keltirilgan bu burchaklar uchun ifodalar bilan almashtiramiz. Oling

sin a + sin b = sin a + b 2 + a - b 2 + sin a + b 2 - a - b 2

Endi biz birinchi ifodaga qo'shish formulasini, ikkinchisiga esa burchak farqlarining sinus formulasini qo'llaymiz (yuqoridagi formulalarga qarang).

sin a + b 2 + a - b 2 = sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 sin a + b 2 - a - b 2 = sin a + b 2 cos a. - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 sin a + b 2 + a - b 2 + sin a + b 2 - a - b 2 = sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 + sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2

sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 + sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 = = 2 sin a + b 2 cos a - b 2

Qolgan formulalarni olish bosqichlari o'xshash.

Sinuslar ayirmasi formulasini chiqarish

sin a - sin b = sin a + b 2 + a - b 2 - sin a + b 2 - a - b 2 sin a + b 2 + a - b 2 - sin a + b 2 - a - b 2 = gunoh a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 - sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 = = 2 sin a - b 2 cos a + b 2

Kosinuslar yig'indisi formulasini chiqarish

cos a + cos b = cos a + b 2 + a - b 2 + cos a + b 2 - a - b 2 cos a + b 2 + a - b 2 + cos a + b 2 - a - b 2 = cos a + b 2 cos a - b 2 - sin a + b 2 sin a - b 2 + cos a + b 2 cos a - b 2 + sin a + b 2 sin a - b 2 = = 2 cos a + b 2 cos a - b 2

Kosinuslar farqi formulasini chiqarish

cos a - cos b = cos a + b 2 + a - b 2 - cos a + b 2 - a - b 2 cos a + b 2 + a - b 2 - cos a + b 2 - a - b 2 = cos a + b 2 cos a - b 2 - sin a + b 2 sin a - b 2 - cos a + b 2 cos a - b 2 + sin a + b 2 sin a - b 2 = = - 2 sin a + b. 2 sin a - b 2

Amaliy masalalarni yechishga misollar

Boshlash uchun biz formulalardan birini unga ma'lum burchak qiymatlarini qo'yish orqali tekshiramiz. a = p 2 , b = p 6 bo'lsin. Keling, bu burchaklar sinuslari yig'indisining qiymatini hisoblaymiz. Birinchidan, asosiy qiymatlar jadvalidan foydalanamiz trigonometrik funktsiyalar, va keyin sinuslar yig'indisi uchun formulani qo'llang.

Misol 1. Ikki burchak sinuslari yig'indisi formulasini tekshirish

a \u003d p 2, b \u003d p 6 sin p 2 + sin p 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin p 2 + sin p 6 \u003d 2 sin p 2 + -s 6p 6 2 \u003d 2 sin p 3 cos p 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Keling, burchaklarning qiymatlari jadvalda keltirilgan asosiy qiymatlardan farq qiladigan holatni ko'rib chiqaylik. a = 165 °, b = 75 ° bo'lsin. Keling, bu burchaklarning sinuslari orasidagi farqning qiymatini hisoblaylik.

Misol 2. Sinuslar farqi formulasini qo'llash

a = 165 °, b = 75 ° sin a - sin b = gunoh 165 ° - gunoh 75 ° sin 165 - gunoh 75 = 2 gunoh 165 ° - gunoh 75 ° 2 cos 165 ° + gunoh 75 ° 2 = = 2 gunoh 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalaridan foydalanib, siz trigonometrik funktsiyalarning yig'indisi yoki ayirmasidan o'tishingiz mumkin. Ko'pincha bu formulalar yig'indidan mahsulotga o'tish uchun formulalar deb ataladi. Yechishda sinuslar va kosinuslarning yig‘indisi va ayirmasi formulalaridan keng foydalaniladi trigonometrik tenglamalar va trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilishda.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ikki burchakning yig'indisi va ayirmasining kosinusu

Ushbu bo'limda quyidagi ikkita formula isbotlanadi:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, (1)

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b. (2)

Ikki burchak yig'indisining (farqining) kosinusu bu burchaklar kosinuslarining ko'paytmasiga (plyus) bu burchaklar sinuslari ko'paytmasiga teng.

(2) formulani isbotlashdan boshlash biz uchun qulayroq bo'ladi. Oddiylik uchun, avvalo, burchaklar deb faraz qilaylik α va β quyidagi shartlarni qondirish:

1) bu burchaklarning har biri manfiy emas va dan kichik 2p:

0 < α <2p, 0< β < 2π;

2) α > β .

0x o'qining musbat qismi burchaklarning umumiy boshlang'ich tomoni bo'lsin α va β .

Bu burchaklarning oxirgi tomonlarini mos ravishda 0A va 0B deb belgilaymiz. Shubhasiz, burchak α - β 0B nurni 0 nuqta atrofida soat miliga teskari yo'nalishda aylantirish zarur bo'lgan burchak sifatida qaralishi mumkin, shunda uning yo'nalishi 0A nurning yo'nalishiga to'g'ri keladi.

0A va 0B nurlarda 0 koordinatalarining bosh joyidan 1 masofada joylashgan M va N nuqtalarni belgilaymiz, shunda 0M = 0N = 1 bo'ladi.

x0y koordinatalar sistemasida M nuqta koordinatalariga ega ( kosa, sina) va N nuqta - koordinatalar ( cos b , sin b). Shunday qilib, ular orasidagi masofaning kvadrati:

d 1 2 = (cos a - cos b) 2 + (sin a - sin b) 2 = cos 2 a - 2 cos a cos b +

+ cos 2 b + sin 2 a - 2sin a sin b + sin 2 b = .

Hisob-kitoblarda biz identifikatsiyadan foydalandik

sin 2 ph + cos 2 ph = 1.

Endi 0x va 0y o'qlarini 0 nuqta atrofida soat miliga teskari burchak bilan aylantirish natijasida olinadigan yana bir B0C koordinata tizimini ko'rib chiqing. β .

Ushbu koordinatalar tizimida M nuqta koordinatalarga ega (cos ( α - β ), gunoh ( α - β )), nuqta esa N-koordinatalar (1,0). Shunday qilib, ular orasidagi masofaning kvadrati:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (a - b) - 2 cos (a - b) + 1 +

+ gunoh 2 (a - b) \u003d 2.

Lekin M va N nuqtalar orasidagi masofa bu nuqtalarni qaysi koordinatalar tizimini ko'rib chiqishimizga bog'liq emas. Shunday qilib

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos a cos b - sin a sin b) = 2 .

Bu erda (2) formula keladi.

Endi burchaklardagi taqdimotning soddaligi uchun biz o'rnatgan ikkita cheklovni esga olishimiz kerak. α va β .

Burchaklarning har biriga bo'lgan talab α va β salbiy emas edi, aslida ahamiyatli emas edi. Axir, bu burchaklarning har qandayiga 2n ga karrali burchak qo'shilishi mumkin, bu (2) formulaning haqiqiyligiga hech qanday ta'sir qilmaydi. Xuddi shunday, berilgan burchaklarning har biridan bir karrali burchakni ayirish mumkin 2p. Shuning uchun shunday deb hisoblash mumkin 0 < α < 2p, 0 < β < 2p.

Vaziyat α > β . Haqiqatan ham, agar α < β , keyin β >α ; shuning uchun funksiyaning tengligini hisobga olgan holda cos X , biz olamiz:

cos (a - b) = cos (b - a) = cos b cos a + sin b sin a,

Bu (2) formulaga asosan mos keladi. Shunday qilib, formula

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

barcha burchaklar uchun to'g'ri α va β . Xususan, almashtirish orqali β ustida - β va bu funktsiyani hisobga olgan holda cosX juft va funksiya gunohX g'alati, biz olamiz:

cos (a + b) = cos [a - (- b)] = cos a cos (-b) + sin a sin (-b) =

\u003d cos a cos b - sin a sin b,

Bu (1) formulani isbotlaydi.

Shunday qilib, (1) va (2) formulalar isbotlangan.

Misollar.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Mashqlar

1 . Trigonometrik jadvallardan foydalanmasdan hisoblang:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3p / 8 cos p / 8 + sin 3p / 8 sin p / 8;

e) sin 3p / 5 sin 7p / 5 - cos 3p / 5 cos 7p / 5.

2.Ifodalarni soddalashtiring:

a). chunki ( α + p / 3 ) + cos (p / 3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + gunoh (36° + α ) gunoh ( α - 24°).

ichida). gunoh (p / 4 - α ) gunoh (p / 4 + α ) - cos(p / 4 + α ) cos (p / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α gunoh 2 α .

3 . Hisoblash :

a) cos (a - b), agar

kosa = - 2 / 5 , sinb = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) chunki ( α + p / 6) agar cos α = 0,6;

3p / 2< α < 2π.

4 . Topmoq cos(a + b) va cos (α - β) , agar bu gunoh ma'lum bo'lsa α = 7/25 cos β = - 5/13 va ikkala burchak ( α va β ) xuddi shu chorakda tugaydi.

5 .Hisoblash:

a). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]

b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .

ichida). cos [arctg 1/2 + arccos (- 2)]