จุดมุมของกราฟ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

ประเภทงาน: 7

สภาพ

เส้น y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ค้นหา b เนื่องจาก abscissa ของจุดสัมผัสมีค่าน้อยกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ให้ x_0 เป็น abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่าน

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสเป็นของทั้งกราฟของฟังก์ชันและ แทนเจนต์ เช่น -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายความว่า x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขของ abscissa จุดสัมผัสมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

ตอบ

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความรู้สึกทางเรขาคณิตอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

สภาพ

เส้น y=-3x+4 ขนานกับแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหา abscissa ของจุดติดต่อ

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ความชันของเส้นตรงไปยังกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดที่กำหนด x_0 คือ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5, ดังนั้น y"(x_0)=- 2x_0+5 สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขคือ -3.เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน ดังนั้น เราพบค่าดังกล่าว x_0 ที่ =-2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

สภาพ

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

จากรูป เราพิจารณาว่าเส้นสัมผัสผ่านจุด A(-6; 2) และ B(-1; 1) แทนด้วย C(-6; 1) จุดตัดของเส้น x=-6 และ y=1 และโดย \alpha มุม ABC (สามารถเห็นได้ในรูปว่าแหลม) จากนั้นเส้น AB จะสร้างมุมป้าน \pi -\alpha โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox

ดังที่คุณทราบ tg(\pi -\alpha) จะเป็นค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0 สังเกตว่า tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.จากที่นี่ โดยสูตรการลด เราได้รับ: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

สภาพ

เส้น y=-2x-4 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 หา b โดยที่ abscissa ของ touch point มีค่ามากกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ให้ x_0 เป็น abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 ซึ่ง

สัมผัสกับกราฟนี้

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ y "(x_0)=32x_0+b=-2 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสเป็นของทั้งกราฟของฟังก์ชันและ แทนเจนต์ เช่น 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบ เราได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายความว่า x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขของ abscissa จุดสัมผัสมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=1 จากนั้น b=-2-32x_0=-34

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

สภาพ

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y=6

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

เส้น y=6 ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่แทนเจนต์ของกราฟฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้วอยู่ 4 จุด

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

สภาพ

เส้น y=4x-6 ขนานกับแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ค้นหา abscissa ของจุดติดต่อ

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

ความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x ^ 2-4x + 9 ที่จุดใดก็ได้ x_0 คือ y "(x_0) แต่ y" \u003d 2x-4 ซึ่งหมายถึง y "(x_0) \ u003d 2x_0-4 ความชันของแทนเจนต์ y \u003d 4x-7 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ 4 เส้นขนานมีความชันเท่ากัน ดังนั้น เราจึงพบค่าดังกล่าว x_0 ที่ 2x_0-4 \u003d 4 ได้ : x_0 \u003d 4

ตอบ

ที่มา: "คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2560 ระดับโปรไฟล์ เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

สภาพ

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และแทนเจนต์ที่จุดด้วย abscissa x_0 จงหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

วิธีการแก้

จากรูป เราพิจารณาว่าเส้นสัมผัสผ่านจุด A(1; 1) และ B(5; 4) แทนด้วย C(5; 1) จุดตัดของเส้น x=5 และ y=1 และโดย \alpha มุม BAC (สามารถเห็นได้ในภาพที่คม) จากนั้นเส้น AB จะสร้างมุม \alpha ที่มีทิศทางบวกของแกน Ox

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทุกประเภทเพื่อค้นหา

จำไว้นะ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: ถ้าแทนเจนต์ถูกวาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ความชันของแทนเจนต์ (เท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน ) จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ จุด .

ใช้จุดโดยพลการบนแทนเจนต์ด้วยพิกัด :

และพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ในสามเหลี่ยมนี้

จากที่นี่

นี่คือสมการของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราจำเป็นต้องรู้สมการของฟังก์ชันและจุดที่วาดแทนเจนต์เท่านั้น จากนั้นเราจะสามารถค้นหาและ

ปัญหาสมการแทนเจนต์มีสามประเภทหลัก

1. ให้จุดติดต่อ

2. จากค่าสัมประสิทธิ์ความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

3. กำหนดพิกัดของจุดที่เส้นสัมผัสถูกลากผ่าน แต่ไม่ใช่จุดสัมผัส

มาดูปัญหาแต่ละประเภทกัน

หนึ่ง . เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น .

.

b) หาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น อันดับแรก เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

แทนค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์:

เปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการกัน เราได้รับ:

ตอบ: .

2. ค้นหา abscissas ของจุดที่ฟังก์ชันสัมผัสกับกราฟ ขนานกับแกน x

ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน x แล้วมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน ศูนย์ดังนั้น แทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์จึงเป็นศูนย์ ดังนั้น ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดติดต่อเป็นศูนย์

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

b) หาค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์และหาค่าที่แทนเจนต์ขนานกับแกน:

เราเปรียบแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์ เราได้รับ:

คำตอบ: 0;3;5

3 . เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน , ขนาน ตรง .

แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง ความชันของเส้นตรงนี้คือ -1 เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับเส้นนี้ ดังนั้น ความชันของแทนเจนต์จึงเป็น -1 ด้วย นั่นคือ เรารู้ความชันของแทนเจนต์และดังนั้น มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส.

นี่เป็นปัญหาประเภทที่สองในการหาสมการแทนเจนต์

ดังนั้นเราจึงได้รับฟังก์ชันและค่าของอนุพันธ์ที่จุดสัมผัส

ก) หาจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ -1

อันดับแรก หาสมการอนุพันธ์กันก่อน

ลองเทียบอนุพันธ์กับจำนวน -1 กัน

หาค่าของฟังก์ชันที่จุด

(ตามเงื่อนไข)

.

b) ค้นหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุด

หาค่าของฟังก์ชันที่จุด

(ตามเงื่อนไข).

แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์:

.

ตอบ:

สี่. เขียนสมการแทนเจนต์ของเส้นโค้ง , ผ่านจุดหนึ่ง

ขั้นแรก ตรวจสอบว่าจุดนั้นไม่ใช่จุดสัมผัสหรือไม่ ถ้าจุดเป็นจุดสัมผัส แสดงว่าอยู่ในกราฟของฟังก์ชัน และพิกัดของจุดนั้นต้องเป็นไปตามสมการของฟังก์ชัน แทนพิกัดของจุดในสมการของฟังก์ชัน

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)"">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ไม่ใช่จุดติดต่อ

นี่เป็นปัญหาสุดท้ายในการหาสมการแทนเจนต์ สิ่งแรก เราจำเป็นต้องหา abscissa ของจุดติดต่อ.

มาหาค่ากัน

ให้เป็นจุดติดต่อ จุดเป็นของแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน หากเราแทนที่พิกัดของจุดนี้ลงในสมการแทนเจนต์ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

.

ค่าของฟังก์ชันที่จุดคือ .

หาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน มัน .

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งคือ .

ให้เราแทนที่นิพจน์สำหรับ และ ลงในสมการของแทนเจนต์ เราได้รับสมการสำหรับ:

ลองแก้สมการนี้กัน

ลดตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนลง 2:

เรานำด้านขวาของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม เราได้รับ:

ลดความซับซ้อนของตัวเศษของเศษส่วนและคูณทั้งสองส่วนด้วย - นิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

เราจะได้สมการ

มาแก้กัน ในการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสองส่วนแล้วไปที่ระบบ

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

ลองแก้สมการแรกกัน

เราจะตัดสินใจ สมการกำลังสอง, เราได้รับ

รูทที่สองไม่เป็นไปตามเงื่อนไข title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

ลองเขียนสมการแทนเจนต์กับเส้นโค้งที่จุดนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนค่าในสมการ เราบันทึกไว้แล้ว

ตอบ:
.

ให้ฟังก์ชัน f ซึ่ง ณ จุดหนึ่ง x 0 มีอนุพันธ์ จำกัด f (x 0) จากนั้นเส้นที่ผ่านจุด (x 0 ; f (x 0)) มี ความลาดชัน f '(x 0) เรียกว่าแทนเจนต์

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอนุพันธ์ที่จุด x 0 ไม่มีอยู่จริง? มีสองตัวเลือก:

1. แทนเจนต์ของกราฟก็ไม่มีเช่นกัน ตัวอย่างคลาสสิกคือฟังก์ชัน y = |x | ที่จุด (0; 0)
2. แทนเจนต์จะกลายเป็นแนวตั้ง นี่เป็นเรื่องจริง ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน y = arcsin x ที่จุด (1; π /2)

สมการแทนเจนต์

เส้นตรงที่ไม่เป็นแนวดิ่งใดๆ ถูกกำหนดโดยสมการของรูปแบบ y = kx + b โดยที่ k คือความชัน แทนเจนต์ก็ไม่มีข้อยกเว้น และเพื่อที่จะประกอบสมการของมัน ณ จุดหนึ่ง x 0 ก็เพียงพอที่จะรู้ค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ ณ จุดนี้

ดังนั้นให้ฟังก์ชันได้รับ y \u003d f (x) ซึ่งมีอนุพันธ์ y \u003d f '(x) ในส่วน จากนั้น ณ จุดใดๆ x 0 ∈ (a; b) สามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันนี้ได้ ซึ่งกำหนดโดยสมการ:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

โดยที่ f ’(x 0) คือค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 และ f (x 0) คือค่าของฟังก์ชันเอง

งาน. รับฟังก์ชัน y = x 3 เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันนี้ที่จุด x 0 = 2

สมการแทนเจนต์: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0) จุด x 0 = 2 ให้กับเรา แต่จะต้องคำนวณค่า f (x 0) และ f '(x 0)

อันดับแรก หาค่าของฟังก์ชันกันก่อน ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
ทีนี้ลองหาอนุพันธ์: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
แทนที่ในอนุพันธ์ x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
ดังนั้นเราจึงได้: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16
นี่คือสมการแทนเจนต์

งาน. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) \u003d 2sin x + 5 ที่จุด x 0 \u003d π / 2

คราวนี้เราจะไม่อธิบายรายละเอียดแต่ละการกระทำ - เราจะระบุเฉพาะขั้นตอนสำคัญเท่านั้น เรามี:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

สมการแทนเจนต์:

y = 0 (x − π / 2) + 7 ⇒ y = 7

ในกรณีหลังเส้นกลายเป็นแนวนอนเพราะ ความชันของมัน k = 0 ไม่มีอะไรผิดปกติกับมัน - เราแค่สะดุดกับจุดสุดโต่ง

Y \u003d f (x) และหาก ณ จุดนี้สามารถวาดแทนเจนต์ไปยังกราฟฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ ความชันของแทนเจนต์คือ f "(a) เราได้ใช้หลายค่านี้แล้ว ครั้ง ตัวอย่างเช่น ใน § 33 ได้มีการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x (sinusoid) ที่จุดกำเนิดสร้างมุม 45 °ด้วยแกน abscissa (ให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือแทนเจนต์ของกราฟที่ จุดกำเนิดทำให้มุม 45 °โดยมีทิศทางบวกของแกน x) และในตัวอย่างที่ 5 ของ § 33 จุดถูกพบตามตารางเวลาที่กำหนด ฟังก์ชั่นโดยที่แทนเจนต์ขนานกับแกน x ในตัวอย่างที่ 2 ของ § 33 สมการถูกวาดขึ้นสำหรับแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 ที่จุด x \u003d 1 (ให้แม่นยำยิ่งขึ้นที่จุด (1; 1) แต่บ่อยครั้งเท่านั้น ค่าของ abscissa ถูกระบุ สมมติว่าถ้าทราบค่าของ abscissa แล้ว ค่าของพิกัดสามารถหาได้จากสมการ y = f(x)) ในส่วนนี้ เราจะพัฒนาอัลกอริธึมสำหรับรวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันใดๆ

ให้ฟังก์ชัน y \u003d f (x) และจุด M (a; f (a)) ถูกกำหนดและเป็นที่รู้กันว่า f "(a) มีอยู่จริง ให้เราเขียนสมการของแทนเจนต์กับกราฟของ ฟังก์ชันที่กำหนดใน คะแนนที่กำหนด. สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน y มีรูปแบบ y = kx + m ดังนั้นปัญหาคือการหาค่าสัมประสิทธิ์ k และ m

ไม่มีปัญหากับความชัน k: เรารู้ว่า k \u003d f "(a) ในการคำนวณค่าของ m เราใช้ความจริงที่ว่าเส้นที่ต้องการผ่านจุด M (a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: f (a) \u003d ka + m จากตำแหน่งที่เราพบว่า m \u003d f (a) - ka
มันยังคงแทนที่ค่าที่พบของสัมประสิทธิ์วาฬเป็น สมการตรง:

เราได้รับสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด x \u003d a
ถ้าพูดว่า
แทนที่ในสมการ (1) ค่าที่พบ a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 เราได้รับ: y \u003d 1 + 2 (x-f) เช่น y \u003d 2x -1.
เปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับผลลัพธ์ที่ได้ในตัวอย่างที่ 2 ของ § 33 โดยธรรมชาติ สิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้น
ให้เราเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d tg x ที่จุดกำเนิด เรามี: ดังนั้น cos x f "(0) = 1 การแทนที่ค่าที่พบ a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 ในสมการ (1) เราได้: y \u003d x .
นั่นคือเหตุผลที่เราวาดแทนเจนทอยด์ใน § 15 (ดูรูปที่ 62) ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดที่มุม 45 °ถึงแกน abscissa
แก้เหล่านี้ก็พอ ตัวอย่างง่ายๆเราใช้อัลกอริธึมบางอย่างซึ่งฝังอยู่ในสูตร (1) มาทำให้อัลกอริทึมนี้ชัดเจน

อัลกอริทึมสำหรับการจัดสมการของฟังก์ชันแทนเจนต์กับกราฟ y \u003d f (x)

1) กำหนด abscissa ของจุดที่ติดต่อกับจดหมาย a.
2) คำนวณ 1 (ก)
3) ค้นหา f "(x) และคำนวณ f" (a)
4) แทนที่ตัวเลขที่พบ a, f(a), (a) ลงในสูตร (1)

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x = 1
ลองใช้อัลกอริทึมโดยคำนึงถึงว่าใน ตัวอย่างนี้

ในรูป 126 แสดงไฮเปอร์โบลา เส้นตรง y \u003d 2x ถูกสร้างขึ้น
ภาพวาดยืนยันการคำนวณข้างต้น: แน่นอน เส้น y \u003d 2-x สัมผัสกับไฮเปอร์โบลาที่จุด (1; 1)

ตอบ: y \u003d 2-x
ตัวอย่าง 2วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันเพื่อให้ขนานกับเส้นตรง y \u003d 4x - 5
ให้เราปรับสูตรของปัญหา ข้อกำหนดในการ "วาดแทนเจนต์" มักจะหมายถึง "สร้างสมการแทนเจนต์" นี่เป็นเหตุผล เพราะถ้าบุคคลสามารถเขียนสมการแทนเจนต์ได้ เขาไม่น่าจะประสบปัญหาในการสร้างเส้นตรงบนระนาบพิกัดตามสมการของมัน
ลองใช้อัลกอริธึมในการคอมไพล์สมการแทนเจนต์ โดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ มีความกำกวม ไม่เหมือนตัวอย่างก่อนหน้านี้ ไม่มีการระบุอย่างชัดเจนว่า abscissa ของจุดสัมผัสกัน
มาเริ่มพูดกันแบบนี้ แทนเจนต์ที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y \u003d 4x-5 เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นสัมผัสต้องเท่ากับความชันของเส้นตรงที่กำหนด: ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a จากสมการ f "(a) \u003d 4
เรามี:
จากสมการ ดังนั้น มีแทนเจนต์สองเส้นที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: ตัวหนึ่งอยู่ที่จุดที่มี abscissa 2 อีกตัวอยู่ที่จุดที่มี abscissa -2
ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการตามอัลกอริทึม

ตัวอย่างที่ 3จากจุด (0; 1) วาดแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
ลองใช้อัลกอริทึมในการคอมไพล์สมการแทนเจนต์ โดยพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ โปรดสังเกตว่า ในตัวอย่างที่ 2 ไม่มีการระบุจุดสัมผัสกันอย่างชัดเจนในที่นี้ อย่างไรก็ตาม เราดำเนินการตามอัลกอริทึม

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์ผ่านจุด (0; 1) แทนสมการ (2) ค่า x = 0, y = 1 เราจะได้:
อย่างที่คุณเห็น ในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริทึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัสได้ แทนค่า a \u003d 4 ลงในสมการ (2) เราได้รับ:

ในรูป 127 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน

ใน § 32 เราสังเกตว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุดคงที่ x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณจะถือ:

เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผลเพิ่มเติม เราเปลี่ยนสัญกรณ์: แทนที่จะเป็น x เราจะเขียน a แทน เราจะเขียน x แทน และด้วยเหตุนี้ เราจะเขียน x-a แทน จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้ลองดูที่รูป 128. แทนเจนต์ถูกวาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด M (a; f (a)) ทำเครื่องหมายจุด x บนแกน x ใกล้กับ a เป็นที่ชัดเจนว่า f(x) เป็นลำดับของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด x แล้ว f (a) + f "(a) (x-a) คืออะไร นี่คือพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับจุดเดียวกัน x - ดูสูตร (1) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ (3) คืออะไร? คำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน ค่าของพิกัดแทนเจนต์จะถูกนำมา

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 1.02 7
มันเป็นเรื่องของเกี่ยวกับการค้นหาค่าของฟังก์ชัน y \u003d x 7 ที่จุด x \u003d 1.02 เราใช้สูตร (3) โดยคำนึงว่าในตัวอย่างนี้
เป็นผลให้เราได้รับ:

หากเราใช้เครื่องคิดเลข เราจะได้ 1.02 7 = 1.148685667...
อย่างที่คุณเห็น ความแม่นยำในการประมาณค่าค่อนข้างยอมรับได้
ตอบ: 1,02 7 =1,14.

เอจี Mordkovich พีชคณิตเกรด 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วีดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์, คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ดาวน์โหลด

เนื้อหาบทเรียน สรุปบทเรียนสนับสนุนการนำเสนอบทเรียนกรอบแบบเร่งรัด เทคโนโลยีแบบโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด เวิร์คช็อป สอบด้วยตนเอง อบรม เคส เควส การบ้าน คำถาม อภิปราย คำถามเชิงวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียรูปถ่าย, รูปภาพกราฟิก, ตาราง, อารมณ์ขันแบบแผน, เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย, เรื่องตลก, อุปมาการ์ตูน, คำพูด, ปริศนาอักษรไขว้, คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อชิปบทความสำหรับแผ่นโกงที่อยากรู้อยากเห็น ตำราพื้นฐานและคำศัพท์เพิ่มเติมอื่น ๆ ปรับปรุงตำราและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการปรับปรุงชิ้นส่วนในตำราองค์ประกอบนวัตกรรมในบทเรียนแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบ แผนปฏิทินเป็นเวลาหนึ่งปี แนวทางโปรแกรมสนทนา บทเรียนแบบบูรณาการ

พิจารณารูปต่อไปนี้:

มันแสดงฟังก์ชันบางอย่าง y = f(x) ที่หาอนุพันธ์ได้ที่จุด a ทำเครื่องหมายจุด M พร้อมพิกัด (a; f(a)) ผ่านจุดใดก็ได้ P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ของกราฟ จะมีการดึง MP ที่แยกออกมา

หากตอนนี้จุด P เลื่อนไปตามกราฟไปยังจุด M แล้ว MP เส้นตรงจะหมุนรอบจุด M ในกรณีนี้ ∆x จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากที่นี่ เราสามารถกำหนดนิยามของแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันได้

แทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน

แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคือตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ควรเข้าใจว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x0 หมายความว่า ณ จุดนี้ของกราฟจะมี แทนเจนต์ให้เขา.

ในกรณีนี้ ความชันของแทนเจนต์จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดนี้ f’(x0) นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f อนุพันธ์ที่จุด x0 คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (x0;f(x0)) และมีความชัน f'(x0)

สมการแทนเจนต์

ลองหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด A(x0; f(x0)) กัน สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k มีรูปแบบดังนี้:

เนื่องจากความชันของเราเท่ากับอนุพันธ์ ฉ'(x0)จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = ฉ'(x0)*x + ข.

ทีนี้ลองคำนวณค่าของ b ในการทำเช่นนี้ เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันผ่านจุด A

f(x0) = f’(x0)*x0 + b จากที่นี่เราแสดง b และรับ b = f(x0) - f’(x0)*x0

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการแทนเจนต์:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ค้นหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 ที่จุด x \u003d 2

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4

5. แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรแทนเจนต์ เราได้: y = 1 + 4*(x - 2) เปิดวงเล็บและนำพจน์ที่เหมือนกันมา เราจะได้ y = 4*x - 7

คำตอบ: y = 4*x - 7

แบบแผนทั่วไปสำหรับการรวบรวมสมการแทนเจนต์ถึงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x):

1. กำหนด x0

2. คำนวณ f(x0)

3. คำนวณ f'(x)