หน้าที่ของตัวแปรเชิงซ้อน
ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

บทความนี้จะเปิดเป็นชุดบทเรียนที่ผมจะดู งานทั่วไปเกี่ยวข้องกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน หากต้องการประสบความสำเร็จในการเรียนรู้ตัวอย่าง คุณต้องมี ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน เพื่อรวบรวมและทำซ้ำเนื้อหาก็เพียงพอแล้วที่จะไปที่หน้า คุณจะต้องมีทักษะในการค้นหา อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง. นี่คืออนุพันธ์บางส่วนเหล่านี้ ... แม้ตอนนี้ฉันรู้สึกประหลาดใจเล็กน้อยที่มันเกิดขึ้น ...

หัวข้อที่เราเริ่มวิเคราะห์นั้นไม่ได้ยากเป็นพิเศษ และโดยหลักการแล้ว ทุกอย่างมีความชัดเจนและเข้าถึงได้ในฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน สิ่งสำคัญคือการปฏิบัติตามกฎพื้นฐานซึ่งฉันได้มาจากการสังเกต อ่านต่อ!

แนวคิดของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

อันดับแรก เรามารีเฟรชความรู้ของเราเกี่ยวกับฟังก์ชันโรงเรียนของตัวแปรหนึ่งตัว:

ฟังก์ชันของตัวแปรเดียวเป็นกฎที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระ (จากโดเมนของคำจำกัดความ) สอดคล้องกับค่าของฟังก์ชันหนึ่งค่าเท่านั้น โดยธรรมชาติแล้ว "x" และ "y" เป็นจำนวนจริง

ในกรณีที่ซับซ้อน การพึ่งพาฟังก์ชันจะได้รับในลักษณะเดียวกัน:

ฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเชิงซ้อนเป็นกฎที่ทุกคน แบบบูรณาการค่าของตัวแปรอิสระ (จากโดเมน) สอดคล้องกับหนึ่งเดียวเท่านั้น ครอบคลุมค่าฟังก์ชัน ตามทฤษฎีแล้ว ฟังก์ชันหลายค่าและฟังก์ชันประเภทอื่นๆ ได้รับการพิจารณาด้วย แต่เพื่อความเรียบง่าย ฉันจะเน้นที่คำจำกัดความเดียว

ตัวแปรเชิงซ้อนมีหน้าที่อะไร?

ความแตกต่างที่สำคัญคือตัวเลขนั้นซับซ้อน ฉันไม่ได้แดกดัน จากคำถามเหล่านี้ พวกเขามักจะตกอยู่ในอาการมึนงง ในตอนท้ายของบทความฉันจะเล่าเรื่องเจ๋งๆ ให้คุณฟัง ในบทเรียน ตัวเลขที่ซับซ้อนสำหรับหุ่นเราพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ ตั้งแต่ตอนนี้ตัวอักษร "Z" ได้กลายเป็น ตัวแปรจากนั้นเราจะแสดงดังนี้: ในขณะที่ "x" และ "y" อาจต่างกัน ถูกต้องค่านิยม กล่าวโดยคร่าว ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปร และ ซึ่งใช้ค่า "ปกติ" จาก ข้อเท็จจริงนี้ประเด็นต่อไปนี้เป็นไปตามตรรกะ:

ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนสามารถเขียนได้ดังนี้
โดยที่ และ เป็นสองหน้าที่ของสอง ถูกต้องตัวแปร

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ส่วนจริงฟังก์ชั่น .
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ส่วนจินตภาพฟังก์ชั่น .

นั่นคือ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับฟังก์ชันจริงสองฟังก์ชัน และ เพื่อให้ทุกอย่างกระจ่างในที่สุด มาดูตัวอย่างการใช้งานจริง:

ตัวอย่างที่ 1

การตัดสินใจ:ตัวแปรอิสระ "z" อย่างที่คุณจำได้ เขียนเป็น ดังนั้น:

(1) แทนที่ด้วยฟังก์ชันเดิม

(2) สำหรับเทอมแรก ใช้สูตรคูณลดลง ในเทอมนั้นวงเล็บเปิดอยู่

(3) ยกกำลังสองอย่างระมัดระวัง อย่าลืมว่า

(4) การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่: เขียนเงื่อนไขใหม่ก่อน ซึ่งไม่มีหน่วยจินตภาพ(กลุ่มแรก) ตามด้วยเงื่อนไขที่มี (กลุ่มที่สอง) ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องสลับเงื่อนไขและ เวทีนี้สามารถข้ามได้ (จริง ๆ แล้วทำด้วยวาจา)

(5) กลุ่มที่สองถูกนำออกจากวงเล็บ

เป็นผลให้ฟังก์ชันของเราแสดงในรูปแบบ

ตอบ:
เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นเหล่านี้คืออะไร? ฟังก์ชันที่ธรรมดาที่สุดของสองตัวแปร ซึ่งหนึ่งสามารถพบความนิยมดังกล่าวได้ อนุพันธ์บางส่วน. ปราศจากความเมตตา - เราจะพบ แต่อีกหน่อย

โดยสังเขป อัลกอริธึมของปัญหาที่แก้ไขแล้วสามารถเขียนได้ดังนี้: เราแทนที่เป็นฟังก์ชันดั้งเดิม ดำเนินการลดความซับซ้อน และแบ่งคำศัพท์ทั้งหมดออกเป็นสองกลุ่ม - ไม่มีหน่วยจินตภาพ (ส่วนจริง) และหน่วยจินตภาพ (ส่วนจินตภาพ)

ตัวอย่าง 2

ค้นหาส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ก่อนที่คุณจะเข้าร่วมการต่อสู้บนเครื่องบินที่ซับซ้อนด้วยร่างจดหมาย ให้ฉันให้คุณมากที่สุด คำแนะนำที่สำคัญในหัวข้อนี้:

ระวัง!แน่นอนคุณต้องระวังทุกที่ แต่ในจำนวนที่ซับซ้อนคุณควรระวังมากกว่าที่เคย! จำไว้ว่าให้ขยายวงเล็บอย่างระมัดระวังอย่าให้สูญเสียอะไรเลย จากการสังเกตของฉัน ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการสูญเสียสัญญาณ ไม่ต้องรีบ!

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ตอนนี้ลูกบาศก์ จากการใช้สูตรคูณแบบย่อ เราได้:
.

สูตรสะดวกมากในทางปฏิบัติ เนื่องจากช่วยให้กระบวนการแก้ปัญหาเร็วขึ้นอย่างมาก

ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ฉันมีสองข่าว: ดีและไม่ดี ฉันจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ดี สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน กฎของความแตกต่างและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานนั้นใช้ได้ ดังนั้นอนุพันธ์จึงถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรจริง

ข่าวร้ายก็คือ ฟังก์ชันหลายๆ อย่างของตัวแปรเชิงซ้อน ไม่มีอนุพันธ์เลย และคุณต้องคิดออก มีความแตกต่างกันฟังก์ชั่นอย่างใดอย่างหนึ่ง และการ "ค้นหา" ว่าหัวใจของคุณรู้สึกอย่างไรก็เชื่อมโยงกับปัญหาอื่นๆ

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เพื่อให้ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีความจำเป็นและเพียงพอที่:

1) เพื่อให้มีอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่หนึ่ง ลืมสัญกรณ์เหล่านี้ไปได้เลย เพราะในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนนั้น สัญกรณ์รุ่นอื่นมักใช้ตามธรรมเนียม: .

2) เพื่อดำเนินการที่เรียกว่า เงื่อนไข Cauchy-Riemann:

ในกรณีนี้อนุพันธ์จะมีอยู่จริงเท่านั้น!

ตัวอย่างที่ 3

การตัดสินใจแบ่งออกเป็นสามขั้นตอนติดต่อกัน:

1) ค้นหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน งานนี้ได้รับการวิเคราะห์ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นฉันจะเขียนโดยไม่มีความคิดเห็น:

ตั้งแต่ ดังนั้น:

ดังนั้น:

เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ฉันจะหยุดอีกที่หนึ่ง ช่วงเวลาทางเทคนิค: ในลำดับใดเขียนเงื่อนไขในส่วนจริงและจินตภาพ? ใช่ โดยพื้นฐานแล้วมันไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น ส่วนจริงสามารถเขียนได้ดังนี้: และจินตภาพ - แบบนี้: .

2) ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann มีสองของพวกเขา

เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบสภาพ เราพบว่า อนุพันธ์บางส่วน:

จึงเป็นไปตามเงื่อนไข

ไม่ต้องสงสัย ข่าวดีก็คืออนุพันธ์ย่อยมักจะง่ายมาก

เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่สอง:

มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกัน แต่มีสัญญาณตรงกันข้ามนั่นคือเงื่อนไขก็สำเร็จเช่นกัน

เป็นไปตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงสร้างความแตกต่างได้

3) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์นั้นง่ายมากและพบตามกฎปกติ:

หน่วยจินตภาพในการแยกความแตกต่างถือเป็นค่าคงที่

ตอบ: - ส่วนจริง เป็นส่วนจินตภาพ
เป็นไปตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann, .

มีอีกสองวิธีในการหาอนุพันธ์ แน่นอนว่าใช้น้อยกว่า แต่ข้อมูลจะเป็นประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจบทเรียนที่สอง - จะหาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนได้อย่างไร?

อนุพันธ์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ดังนั้น

จำเป็นต้องแก้ปัญหาผกผัน - ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องแยก . เพื่อที่จะทำสิ่งนี้ จำเป็นในแง่ของและเพื่อเอาออกจากวงเล็บ:

การดำเนินการย้อนกลับตามที่หลายคนสังเกตเห็นนั้นค่อนข้างจะทำได้ยากกว่า สำหรับการตรวจสอบ เป็นการดีกว่าเสมอที่จะนำนิพจน์และในฉบับร่าง หรือเปิดวงเล็บออกด้วยวาจาเพื่อให้แน่ใจว่าจะออกมาทุกประการ

สูตรกระจกสำหรับการหาอนุพันธ์:

ในกรณีนี้: นั่นเป็นเหตุผล:

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann หากตรงตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann ให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

โซลูชั่นด่วนและ ตัวอย่างแบบอย่างสัมผัสสุดท้ายเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

เงื่อนไขของ Cauchy-Riemann เป็นที่พอใจเสมอหรือไม่? ในทางทฤษฎีแล้ว สิ่งเหล่านี้มักจะไม่สำเร็จมากกว่าที่เป็นอยู่ แต่ใน ตัวอย่างการใช้งานจริงฉันจำกรณีที่มันไม่สำเร็จ =) ดังนั้นหากอนุพันธ์บางส่วนของคุณ "ไม่มาบรรจบกัน" มีความเป็นไปได้สูงมาก เราสามารถพูดได้ว่าคุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง

มาทำให้หน้าที่ของเราซับซ้อนขึ้น:

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann คำนวณ

การตัดสินใจ:อัลกอริธึมของโซลูชันได้รับการเก็บรักษาไว้อย่างสมบูรณ์ แต่ในตอนท้ายจะมีการเพิ่มแฟชั่นใหม่: ค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง สำหรับคิวบ์ ได้มาจากสูตรที่ต้องการแล้ว:

มากำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันนี้กัน:

ให้ความสนใจและให้ความสนใจอีกครั้ง!

ตั้งแต่ ดังนั้น:


ดังนั้น:
เป็นส่วนจริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ตรวจสอบเงื่อนไขที่สอง:

มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกัน แต่มีสัญญาณตรงกันข้ามนั่นคือเงื่อนไขก็สำเร็จเช่นกัน

เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงสร้างความแตกต่างได้:

คำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่ต้องการ:

ตอบ:, , เงื่อนไข Cauchy-Riemann เป็นที่พอใจ,

ฟังก์ชันที่มีคิวบ์เป็นเรื่องปกติ ดังนั้นตัวอย่างในการรวม:

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann คำนวณ.

การตัดสินใจและตัวอย่างเสร็จสิ้นเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ในทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงซ้อน ฟังก์ชันอื่นๆ ของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนยังถูกกำหนดด้วย: เลขชี้กำลัง ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ ฟังก์ชันเหล่านี้มีคุณสมบัติที่แปลกและแปลกประหลาด - และน่าสนใจจริงๆ! ฉันต้องการบอกคุณจริงๆ แต่ที่นี่ มันเพิ่งเกิดขึ้น ไม่ใช่หนังสืออ้างอิงหรือหนังสือเรียน แต่เป็นวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นฉันจะพิจารณางานเดียวกันที่มีฟังก์ชันทั่วไปบางอย่าง

ครั้งแรกเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า สูตรออยเลอร์:

สำหรับใคร ถูกต้องตัวเลข สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

คุณยังสามารถคัดลอกลงในสมุดบันทึกของคุณเพื่อใช้อ้างอิงได้

พูดอย่างเคร่งครัดมีสูตรเดียวเท่านั้น แต่โดยปกติ เพื่อความสะดวก พวกเขายังเขียน กรณีพิเศษด้วยตัวบ่งชี้ลบ พารามิเตอร์ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวอักษรตัวเดียว อาจเป็นนิพจน์ที่ซับซ้อน ฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือต้องใช้ ถูกต้องเท่านั้นค่านิยม อันที่จริงเราจะเห็นมันตอนนี้:

ตัวอย่าง 7

หาอนุพันธ์

การตัดสินใจ:แนวทั่วไปของปาร์ตี้ยังคงไม่สั่นคลอน - จำเป็นต้องแยกแยะส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดและแสดงความคิดเห็นในแต่ละขั้นตอนด้านล่าง:

ตั้งแต่ ดังนั้น:

(1) แทน "z"

(2) หลังจากการแทนที่ จำเป็นต้องแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออก อันดับแรกในเลขชี้กำลังผู้แสดงสินค้า เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เปิดวงเล็บ

(3) เราจัดกลุ่มส่วนจินตภาพของตัวบ่งชี้ โดยนำหน่วยจินตภาพออกจากวงเล็บ

(4) ใช้ การกระทำของโรงเรียนกับองศา

(5) สำหรับตัวคูณ เราใช้สูตรออยเลอร์ ในขณะที่ .

(6) เราเปิดวงเล็บเป็นผล:

เป็นส่วนจริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

การดำเนินการเพิ่มเติมเป็นมาตรฐาน มาตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann กัน:

ตัวอย่างที่ 9

กำหนดส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann อย่างไรก็ตาม เราจะไม่พบอนุพันธ์

การตัดสินใจ:อัลกอริธึมการแก้ปัญหาคล้ายกับสองตัวอย่างก่อนหน้านี้มาก แต่มีมาก จุดสำคัญนั่นเป็นเหตุผลที่ ระยะแรกฉันจะแสดงความคิดเห็นอีกครั้งทีละขั้นตอน:

ตั้งแต่ ดังนั้น:

1) เราแทนที่แทน "z"

(2) ขั้นแรก เลือกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ภายในไซนัส. เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้เปิดวงเล็บ

(3) เราใช้สูตร ในขณะที่ .

(4) ใช้ ความเท่าเทียมกันของไฮเพอร์โบลิกโคไซน์: และ ความแปลกประหลาดของไซน์ไฮเปอร์โบลิก: . ไฮเปอร์โบลิกแม้ว่าจะไม่ใช่ของโลกนี้ แต่ในหลาย ๆ ด้านก็คล้ายกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่คล้ายคลึงกัน

ในท้ายที่สุด:
เป็นส่วนจริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ความสนใจ!เครื่องหมายลบหมายถึงส่วนจินตภาพและไม่ว่าในกรณีใดเราไม่ควรสูญเสียมัน! สำหรับภาพประกอบ ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann:

เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann

ตอบ:, , เงื่อนไขของ Cauchy-Riemann เป็นที่น่าพอใจ

ด้วยโคไซน์ ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เราเข้าใจด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 10

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann

ฉันจงใจยกตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ เพราะทุกคนสามารถรับมือกับบางอย่าง เช่น ถั่วลิสงที่ปอกเปลือกแล้วได้ ในขณะเดียวกัน ฝึกความสนใจของคุณ! Nutcracker ในตอนท้ายของบทเรียน

สรุปแล้วฉันจะพิจารณาอีกครั้งหนึ่ง ตัวอย่างที่น่าสนใจเมื่ออาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนอยู่ในตัวส่วน เราพบกันสองครั้งในทางปฏิบัติ เรามาวิเคราะห์อะไรง่ายๆ กัน โอ้ ฉันแก่แล้ว...

ตัวอย่าง 11

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann

การตัดสินใจ:อีกครั้ง จำเป็นต้องแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันออก
ถ้า แล้ว

คำถามเกิดขึ้นจะทำอย่างไรเมื่อ "Z" อยู่ในตัวส่วน?

ทุกอย่างเรียบง่าย - มาตรฐานจะช่วยได้ วิธีการคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตได้ถูกนำไปใช้ในตัวอย่างบทเรียนแล้ว ตัวเลขที่ซับซ้อนสำหรับหุ่น. มาจำสูตรโรงเรียนกัน ในตัวส่วนเรามีอยู่แล้ว ดังนั้นนิพจน์คอนจูเกตจะเป็น ดังนั้น คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วย: