การเสียรูปที่เรียกว่าโค้งตามขวางแบบแบน การแก้ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับความแข็งแรงของวัสดุ

10.1. แนวคิดและคำจำกัดความทั่วไป

โค้งงอ- นี่คือประเภทของการโหลดที่แท่งโหลดด้วยโมเมนต์ในระนาบที่ผ่านแกนตามยาวของแกน

แท่งที่ทำการดัดเรียกว่าคาน (หรือแท่ง) ในอนาคตเราจะพิจารณาคานตรงซึ่งหน้าตัดมีความสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งแกน

ในความต้านทานของวัสดุ การดัดจะแบน เฉียง และซับซ้อน

โค้งแบน- การดัดซึ่งแรงทั้งหมดที่ดัดลำแสงอยู่ในระนาบสมมาตรของลำแสง (ในระนาบหลักอันใดอันหนึ่ง)

ระนาบหลักของความเฉื่อยของลำแสงคือระนาบที่ผ่านแกนหลักของส่วนตัดขวางและแกนเรขาคณิตของลำแสง (แกน x)

โค้งเฉียง- การดัดซึ่งโหลดกระทำในระนาบเดียวที่ไม่ตรงกับระนาบหลักของความเฉื่อย

โค้งที่ซับซ้อน- การดัดซึ่งโหลดกระทำในระนาบ (ตามอำเภอใจ) ที่แตกต่างกัน

10.2. การหาค่าแรงดัดภายใน

ให้เราพิจารณาลักษณะการดัดสองกรณี: ในกรณีแรกคานเท้าแขนจะงอโดยโมเมนต์เข้มข้น Mo; ในครั้งที่สองโดยแรงเข้มข้น F.

โดยใช้วิธีการของส่วนทางจิตและรวบรวมสมการสมดุลสำหรับส่วนที่ตัดของลำแสงเรากำหนดแรงภายในในทั้งสองกรณี:

สมการดุลยภาพที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์อย่างชัดเจน

ดังนั้นในกรณีทั่วไปของการดัดแบนในส่วนของลำแสงจากแรงภายในหกแรงสองอันเกิดขึ้น - โมเมนต์ดัด Mz และ แรงเฉือน Qy (หรือเมื่องอแกนหลักอื่น - โมเมนต์ดัด My และแรงตามขวาง Qz)

ในกรณีนี้ ตามการพิจารณาทั้งสองกรณีของการโหลด การดัดแบบแบนสามารถแบ่งออกเป็นแบบบริสุทธิ์และแบบขวางได้

โค้งบริสุทธิ์- การดัดแบบแบนซึ่งมีแรงภายในเพียงหนึ่งในหกที่เกิดขึ้นในส่วนของแท่ง - โมเมนต์ดัด (ดูกรณีแรก)

โค้งตามขวาง- การดัดซึ่งนอกเหนือไปจากโมเมนต์ดัดภายในแล้วแรงตามขวางยังเกิดขึ้นในส่วนของแกน (ดูกรณีที่สอง)

พูดอย่างเคร่งครัด เฉพาะการดัดงอที่บริสุทธิ์เท่านั้นที่เป็นของความต้านทานแบบธรรมดา การดัดตามขวางมีเงื่อนไขเรียกว่าความต้านทานประเภทง่าย ๆ เนื่องจากในกรณีส่วนใหญ่ (สำหรับคานที่ยาวเพียงพอ) การกระทำของแรงตามขวางสามารถละเลยในการคำนวณกำลัง

เมื่อกำหนดกำลังภายใน เราจะปฏิบัติตามกฎสัญญาณต่อไปนี้:

1) แรงตามขวาง Qy ถือเป็นค่าบวก หากมีแนวโน้มว่าจะหมุนองค์ประกอบลำแสงตามเข็มนาฬิกา

2) โมเมนต์ดัด Mz ถือเป็นค่าบวก หากเมื่อองค์ประกอบลำแสงโค้ง เส้นใยด้านบนขององค์ประกอบถูกบีบอัด และเส้นใยด้านล่างถูกยืดออก (กฎร่ม)

ดังนั้นการแก้ปัญหาการกำหนดแรงภายในในการดัดจะถูกสร้างขึ้นตามแผนต่อไปนี้: 1) ในขั้นตอนแรกเมื่อพิจารณาสภาวะสมดุลของโครงสร้างโดยรวมเราจะพิจารณาว่าหากจำเป็นจะไม่ทราบปฏิกิริยาของ ส่วนรองรับ (โปรดทราบว่าสำหรับคานเท้าแขน ปฏิกิริยาในการฝังสามารถและไม่พบหากเราพิจารณาลำแสงจากปลายอิสระ); 2) ในขั้นตอนที่สอง เราเลือกส่วนที่มีลักษณะเฉพาะของลำแสง โดยพิจารณาจากขอบเขตของส่วน จุดที่ใช้แรง จุดเปลี่ยนรูปร่างหรือขนาดของลำแสง จุดยึดลำแสง 3) ในขั้นตอนที่สาม เรากำหนดแรงภายในในส่วนของลำแสง โดยพิจารณาจากสภาวะสมดุลขององค์ประกอบลำแสงในแต่ละส่วน

10.3. การพึ่งพาอาศัยกันในการดัดงอ

มาสร้างความสัมพันธ์ระหว่างแรงภายในและแรงดัดงอภายนอก รวมไปถึงคุณลักษณะเฉพาะของไดอะแกรม Q และ M ความรู้ที่จะอำนวยความสะดวกในการสร้างไดอะแกรมและช่วยให้คุณควบคุมความถูกต้องได้ เพื่อความสะดวกของสัญกรณ์ เราจะแสดงว่า: M≡Mz, Q≡Qy

ลองจัดสรรองค์ประกอบขนาดเล็ก dx ในส่วนของลำแสงที่มีโหลดตามอำเภอใจในที่ที่ไม่มีแรงและโมเมนต์เข้มข้น เนื่องจากลำแสงทั้งหมดอยู่ในสภาวะสมดุล องค์ประกอบ dx จะยังอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของแรงตามขวางที่กระทำกับมัน โมเมนต์ดัด และโหลดภายนอก เนื่องจาก Q และ M มักจะแตกต่างกันไปตาม

แกนของลำแสงจากนั้นในส่วนขององค์ประกอบ dx จะมีแรงตามขวาง Q และ Q + dQ เช่นเดียวกับโมเมนต์ดัด M และ M + dM จากสภาวะสมดุลขององค์ประกอบที่เลือก เราได้รับ

สมการแรกจากสองสมการที่เขียนให้เงื่อนไข

จากสมการที่สอง โดยละเลยเทอม q dx (dx/2) เป็นปริมาณที่น้อยมากของลำดับที่สอง เราพบว่า

เมื่อพิจารณานิพจน์ (10.1) และ (10.2) ร่วมกันเราจะได้

ความสัมพันธ์ (10.1) (10.2) และ (10.3) เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล การพึ่งพาของ D. I. Zhuravsky ในการดัด

การวิเคราะห์ความแตกต่างของการขึ้นต่อกันในการดัดงอช่วยให้เราสร้างคุณสมบัติบางอย่าง (กฎ) สำหรับการสร้างไดอะแกรมของโมเมนต์ดัดและแรงเฉือน: a - ในพื้นที่ที่ไม่มีโหลดแบบกระจาย q ไดอะแกรม Q ถูกจำกัดเป็นเส้นตรงขนานกับ ฐานและไดอะแกรม M เป็นเส้นตรงลาดเอียง b - ในส่วนที่ใช้โหลดแบบกระจาย q กับลำแสง ไดอะแกรม Q ถูกจำกัดด้วยเส้นตรงที่ลาดเอียง และไดอะแกรม M ถูกจำกัดด้วยพาราโบลากำลังสอง

ในกรณีนี้ หากเราสร้างไดอะแกรม M "บนเส้นใยยืด" ความนูนของพาราโบลาจะถูกส่งไปในทิศทางของการกระทำของ q และส่วนปลายจะอยู่ในส่วนที่แผนภาพ Q ตัดกับฐาน ไลน์; ค - ในส่วนที่ใช้แรงเข้มข้นกับลำแสงบนไดอะแกรม Q จะมีการกระโดดตามค่าและในทิศทางของแรงนี้และบนไดอะแกรม M มีการหักเห ปลายพุ่งไปในทิศทางนี้ บังคับ; d - ในส่วนที่ใช้โมเมนต์เข้มข้นกับลำแสง จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงบนไดอะแกรม Q และบนไดอะแกรม M จะมีการกระโดดตามค่าของช่วงเวลานี้ e - ในส่วนที่ Q>0 ช่วงเวลาที่ M เพิ่มขึ้น และในส่วนที่ Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. ความเค้นปกติในการดัดโค้งบริสุทธิ์ของลำแสงตรง

ให้เราพิจารณากรณีของการดัดงอของลำแสงในระนาบบริสุทธิ์และหาสูตรสำหรับกำหนดความเค้นปกติสำหรับกรณีนี้

โปรดทราบว่าในทฤษฎีความยืดหยุ่น เป็นไปได้ที่จะได้รับการพึ่งพาที่แน่นอนสำหรับความเค้นปกติในการดัดงอแบบบริสุทธิ์ แต่ถ้าจะแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีการต้านทานของวัสดุ จำเป็นต้องแนะนำสมมติฐานบางประการ

มีสามสมมติฐานดังกล่าวสำหรับการดัด:

a - สมมติฐานของส่วนแบน (สมมติฐานของ Bernoulli) - ส่วนจะแบนก่อนการเสียรูปและยังคงแบนหลังจากการเสียรูป แต่จะหมุนรอบเส้นบางเส้นเท่านั้นซึ่งเรียกว่าแกนกลางของส่วนลำแสง ในกรณีนี้เส้นใยของลำแสงที่วางอยู่บนด้านหนึ่งของแกนกลางจะถูกยืดออกและอีกด้านหนึ่งจะถูกบีบอัด เส้นใยที่วางอยู่บนแกนกลางจะไม่เปลี่ยนความยาว

b - สมมติฐานความคงตัวของความเค้นปกติ - ความเค้นที่กระทำในระยะห่างเท่ากัน y จากแกนกลางจะคงที่ตลอดความกว้างของลำแสง

c – สมมติฐานเกี่ยวกับการไม่มีแรงกดด้านข้าง – เส้นใยตามยาวที่อยู่ใกล้เคียงจะไม่กดทับกัน

ด้านคงที่ของปัญหา

ในการพิจารณาความเค้นในส่วนตัดขวางของลำแสง ก่อนอื่นให้พิจารณาด้านคงที่ของปัญหา ใช้วิธีการแบ่งส่วนทางจิตและรวบรวมสมการสมดุลสำหรับส่วนที่ตัดของลำแสง เราพบแรงภายในระหว่างการดัด ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ แรงภายในเพียงอย่างเดียวที่กระทำในส่วนของแท่งเหล็กที่มีการดัดงอแบบบริสุทธิ์คือโมเมนต์ดัดภายใน ซึ่งหมายความว่าความเค้นปกติที่เกี่ยวข้องจะเกิดขึ้นที่นี่

เราพบความสัมพันธ์ระหว่างแรงภายในและความเค้นปกติในส่วนคานโดยพิจารณาความเค้นบนพื้นที่เบื้องต้น dA ที่เลือกไว้ในส่วนตัดขวาง A ของลำแสงที่จุดที่มีพิกัด y และ z (แกน y จะชี้ลงด้านล่างอย่างง่ายดาย ของการวิเคราะห์):

ดังที่เราเห็น ปัญหาเกิดขึ้นไม่แน่นอนภายใน เนื่องจากไม่ทราบธรรมชาติของการกระจายของความเค้นปกติเหนือส่วนตัดขวาง ในการแก้ปัญหา ให้พิจารณารูปแบบทางเรขาคณิตของการเสียรูป

ด้านเรขาคณิตของปัญหา

พิจารณาการเสียรูปขององค์ประกอบลำแสงที่มีความยาว dx ที่เลือกจากแกนดัดที่จุดใดก็ได้ด้วยพิกัด x โดยคำนึงถึงสมมติฐานที่ยอมรับก่อนหน้านี้ของส่วนแบนหลังจากดัดส่วนลำแสงแล้วหมุนสัมพันธ์กับแกนกลาง (n.r. ) ด้วยมุมdϕในขณะที่เส้นใย ab ซึ่งอยู่ห่างจากแกนกลาง y จะกลายเป็น ส่วนโค้งวงกลม a1b1 และความยาวของมันจะเปลี่ยนไปตามขนาด ที่นี่เราจำได้ว่าความยาวของเส้นใยที่วางอยู่บนแกนกลางจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นส่วนโค้ง a0b0 (รัศมีความโค้งที่เราแสดงด้วย ρ) จะมีความยาวเท่ากับส่วน a0b0 ก่อนการเสียรูป a0b0=dx

ให้เราหาการเสียรูปเชิงเส้นสัมพัทธ์ εx ของเส้นใย ab ของคานโค้ง

การโค้งงอเป็นรูปแบบหนึ่งของการเปลี่ยนรูปซึ่งแกนตามยาวของลำแสงจะโค้งงอ คานตรงที่ใช้ดัดโค้งเรียกว่าคาน การโค้งงอตรงเป็นการโค้งงอที่แรงภายนอกที่กระทำต่อลำแสงอยู่ในระนาบเดียวกัน (ระนาบแรง) ที่เคลื่อนผ่านแกนตามยาวของลำแสงและแกนกลางหลักของความเฉื่อยของหน้าตัด

โค้งเรียกว่าบริสุทธิ์หากมีโมเมนต์ดัดเพียงครั้งเดียวในส่วนใดส่วนหนึ่งของคาน

การดัดซึ่งโมเมนต์ดัดและแรงตามขวางทำหน้าที่ในส่วนตัดขวางของคานเรียกว่าขวาง เส้นตัดของระนาบแรงและระนาบหน้าตัดเรียกว่า เส้นแรง

ปัจจัยแรงภายในในการดัดงอของคาน

ด้วยการดัดโค้งตามขวางแบบแบนในส่วนของลำแสง ปัจจัยแรงภายในสองประการเกิดขึ้น: แรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M เพื่อกำหนดพวกมัน ใช้วิธีตัดขวาง (ดูการบรรยายที่ 1) แรงตามขวาง Q ในส่วนของลำแสงจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของการฉายภาพบนระนาบส่วนของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อด้านหนึ่งของส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เครื่องหมายกฎสำหรับแรงเฉือน Q:

โมเมนต์ดัด M ในส่วนของลำแสงจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์เกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนี้ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อด้านหนึ่งของส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

กฎสัญญาณสำหรับโมเมนต์ดัด M:

การพึ่งพาอาศัยกันของ Zhuravsky

ระหว่างความเข้ม q ของโหลดแบบกระจาย นิพจน์สำหรับแรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M การพึ่งพาดิฟเฟอเรนเชียลถูกสร้างขึ้น:

ตามการพึ่งพาเหล่านี้ รูปแบบทั่วไปของไดอะแกรมของแรงตามขวาง Q และโมเมนต์ดัด M สามารถแยกแยะได้:

ลักษณะเฉพาะของไดอะแกรมของปัจจัยแรงภายในในการดัด

1. ในส่วนของลำแสงที่ไม่มีการกระจายโหลด โครง Q จะถูกนำเสนอ เส้นตรง ขนานกับฐานของไดอะแกรม และไดอะแกรม M เป็นเส้นตรงลาดเอียง (รูปที่ a)

2. ในส่วนที่ใช้แรงเข้มข้น บนไดอะแกรม Q ควรจะมี กระโดด เท่ากับค่าของแรงนี้และบนแผนภาพ M - จุดแตกหัก (รูปที่ ก).

3. ในส่วนที่ใช้โมเมนต์เข้มข้น ค่าของ Q จะไม่เปลี่ยนแปลง และไดอะแกรม M มี กระโดด เท่ากับค่าของช่วงเวลานี้ (รูปที่ 26, b).

4. ในส่วนของลำแสงที่มีการกระจายโหลดของความเข้ม q ไดอะแกรม Q จะเปลี่ยนตามกฎเชิงเส้น และแผนภาพ M - ตามพาราโบลาและ ความนูนของพาราโบลามุ่งตรงไปยังทิศทางของโหลดแบบกระจาย (รูปที่ ค, ง).

5. หากภายในส่วนคุณลักษณะของแผนภาพ Q ตัดกับฐานของแผนภาพ ในส่วนที่ Q = 0 โมเมนต์ดัดมีค่าสูงสุด M สูงสุด หรือ M นาที (รูปที่ ง)

ความเค้นดัดปกติ

กำหนดโดยสูตร:

โมเมนต์ความต้านทานของส่วนต่อการดัดคือค่า:

หมวดอันตรายเมื่อดัดจะเรียกส่วนตัดขวางของลำแสงซึ่งเกิดความเค้นปกติสูงสุด

ความเค้นสัมผัสในการดัดโค้งโดยตรง

กำหนดโดย สูตรของ Zhuravsky สำหรับแรงเฉือนในการดัดด้วยลำแสงตรง:

โดยที่ S ots - ช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่ตามขวางของชั้นตัดของเส้นใยตามยาวที่สัมพันธ์กับเส้นที่เป็นกลาง

การคำนวณกำลังดัด

1. ที่ การคำนวณการตรวจสอบ กำหนดความเครียดสูงสุดในการออกแบบ ซึ่งเปรียบเทียบกับความเค้นที่อนุญาต:

2. ที่ การคำนวณการออกแบบ การเลือกส่วนคานทำมาจากเงื่อนไข:

3. เมื่อกำหนดโหลดที่อนุญาต โมเมนต์ดัดที่อนุญาตจะพิจารณาจากเงื่อนไข:

การเคลื่อนไหวดัด

ภายใต้การกระทำของแรงดัดงอแกนของคานจะงอ ในกรณีนี้ การยืดของเส้นใยบนนูนและการบีบอัด - บนส่วนเว้าของลำแสง นอกจากนี้ยังมีการเคลื่อนที่ในแนวตั้งของจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดและการหมุนสัมพันธ์กับแกนกลาง ในการอธิบายลักษณะการเสียรูประหว่างการดัด จะใช้แนวคิดต่อไปนี้:

การโก่งตัวของลำแสง Y- การกระจัดของจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดของลำแสงไปในทิศทางตั้งฉากกับแกนของมัน

การโก่งตัวถือเป็นค่าบวกหากจุดศูนย์ถ่วงเคลื่อนขึ้นด้านบน ปริมาณการโก่งตัวจะแตกต่างกันไปตามความยาวของลำแสง กล่าวคือ y=y(z)

มุมการหมุนของส่วน- มุม θ ซึ่งแต่ละส่วนจะหมุนตามตำแหน่งเดิม มุมของการหมุนถือเป็นค่าบวกเมื่อส่วนนั้นหมุนทวนเข็มนาฬิกา ค่าของมุมการหมุนจะแปรผันไปตามความยาวของลำแสง ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ θ = θ (z)

วิธีที่ใช้กันทั่วไปในการพิจารณาการกระจัดคือวิธีการ โมราและ กฎของ Vereshchagin.

วิธี Mohr

ขั้นตอนการพิจารณาการกระจัดตามวิธี Mohr:

1. "ระบบเสริม" ถูกสร้างขึ้นและโหลดด้วยโหลดเดียว ณ จุดที่จะกำหนดการเคลื่อนที่ หากกำหนดการเคลื่อนที่เชิงเส้น แรงของหน่วยจะถูกนำไปใช้กับทิศทางของมัน เมื่อพิจารณาการกระจัดเชิงมุม โมเมนต์ของหน่วยจะถูกนำไปใช้

2. สำหรับแต่ละส่วนของระบบ นิพจน์ของโมเมนต์ดัด M f จากโหลดที่ใช้และ M 1 - จากการโหลดครั้งเดียวจะถูกบันทึก

3. อินทิกรัล Mohr ถูกคำนวณและรวมกันในทุกส่วนของระบบ ส่งผลให้ได้การกระจัดที่ต้องการ:

4. หากการกระจัดที่คำนวณได้มีเครื่องหมายบวก แสดงว่าทิศทางของมันสอดคล้องกับทิศทางของแรงหน่วย เครื่องหมายลบแสดงว่าการกระจัดจริงอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแรงหน่วย

กฎของ Vereshchagin

สำหรับกรณีที่ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัดจากโหลดที่กำหนดมีกฎเกณฑ์ และจากการโหลดครั้งเดียว - โครงร่างเป็นเส้นตรง จะสะดวกที่จะใช้วิธีการวิเคราะห์แบบกราฟิกหรือกฎของ Vereshchagin

โดยที่ A f คือพื้นที่ของไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด M f จากโหลดที่กำหนด y c คือพิกัดของไดอะแกรมจากโหลดเดี่ยวภายใต้จุดศูนย์ถ่วงของไดอะแกรม M f ; EI x - ความแข็งของส่วนลำแสง การคำนวณตามสูตรนี้จัดทำโดยส่วนต่างๆ ซึ่งแต่ละแผนภาพจะต้องไม่มีรอยร้าว ค่า (A f *y c) ถือเป็นค่าบวกหากไดอะแกรมทั้งสองตั้งอยู่ด้านเดียวกันของลำแสง และเป็นค่าลบหากอยู่ด้านตรงข้ามกัน ผลบวกของการคูณไดอะแกรมหมายความว่าทิศทางของการเคลื่อนที่ตรงกับทิศทางของหน่วยแรง (หรือโมเมนต์) ไดอะแกรมที่ซับซ้อน M f ต้องแบ่งออกเป็นตัวเลขง่ายๆ (ใช้ที่เรียกว่า "epur layering") ซึ่งแต่ละอันจะง่ายต่อการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง ในกรณีนี้ พื้นที่ของรูปแต่ละรูปจะถูกคูณด้วยพิกัดภายใต้จุดศูนย์ถ่วงของมัน

แนวขวางตรงเกิดขึ้นเมื่อโหลดทั้งหมดตั้งฉากกับแกนของแกนซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันและนอกจากนี้ระนาบของการกระทำยังเกิดขึ้นพร้อมกับแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วน การดัดตามขวางโดยตรงหมายถึงรูปแบบความต้านทานที่เรียบง่ายและ is สถานะความเครียดของเครื่องบิน, เช่น. ความเครียดหลักทั้งสองนั้นแตกต่างจากศูนย์ ด้วยการเปลี่ยนรูปประเภทนี้ แรงภายในจึงเกิดขึ้น: แรงตามขวางและโมเมนต์ดัด กรณีพิเศษของการดัดโค้งตรงคือ โค้งบริสุทธิ์ด้วยความต้านทานดังกล่าวมีส่วนของสินค้าภายในซึ่งแรงตามขวางหายไปและโมเมนต์ดัดไม่ใช่ศูนย์ ในส่วนตัดขวางของแท่งที่มีการดัดตามขวางโดยตรงจะเกิดความเค้นปกติและความเค้นเฉือน ความเค้นเป็นหน้าที่ของแรงภายใน ในกรณีนี้ ความเค้นปกติเป็นฟังก์ชันของโมเมนต์ดัด และความเค้นสัมผัสเป็นฟังก์ชันของแรงตามขวาง สำหรับการดัดตามขวางโดยตรง มีการแนะนำสมมติฐานหลายประการ:

1) ภาพตัดขวางของลำแสงซึ่งแบนก่อนการเสียรูปจะยังคงแบนและตั้งฉากกับชั้นที่เป็นกลางหลังจากการเสียรูป (สมมติฐานของส่วนแบนหรือสมมติฐานของ J. Bernoulli)สมมติฐานนี้มีไว้เพื่อการดัดงอที่บริสุทธิ์ และจะถูกละเมิดเมื่อมีแรงเฉือน ความเค้นเฉือน และการเสียรูปเชิงมุมปรากฏขึ้น

2) ไม่มีแรงกดร่วมกันระหว่างชั้นตามยาว (สมมติฐานเกี่ยวกับการไม่มีแรงกดของเส้นใย)จากสมมติฐานนี้ เป็นไปตามว่าเส้นใยตามยาวมีแรงตึงหรือแรงกดในแกนเดียว ดังนั้นกฎของฮุกจึงใช้การดัดได้อย่างแท้จริง

แท่งที่ดัดเรียกว่า บีม. เมื่อดัด เส้นใยส่วนหนึ่งจะถูกยืด ส่วนอีกส่วนหนึ่งจะถูกบีบอัด ชั้นของเส้นใยระหว่างเส้นใยยืดและเส้นใยอัดเรียกว่า ชั้นเป็นกลางผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนต่างๆ เส้นของจุดตัดกับส่วนตัดขวางของลำแสงเรียกว่า แกนกลาง. บนพื้นฐานของสมมติฐานที่แนะนำสำหรับการดัดงอแบบบริสุทธิ์ ได้สูตรสำหรับกำหนดความเค้นปกติ ซึ่งใช้สำหรับการดัดตามขวางโดยตรงด้วย ความเค้นปกติสามารถพบได้โดยใช้ความสัมพันธ์เชิงเส้น (1) ซึ่งอัตราส่วนของโมเมนต์ดัดต่อโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน (
) ในส่วนใดส่วนหนึ่งเป็นค่าคงที่ และระยะทาง ( y) ตามแกนพิกัดจากจุดศูนย์ถ่วงของส่วนจนถึงจุดที่กำหนดความเค้น แปรผันจาก 0 ถึง
.

. (1)

เพื่อกำหนดความเค้นเฉือนระหว่างการดัดในปี พ.ศ. 2399 วิศวกรชาวรัสเซีย-ผู้สร้างสะพาน D.I. Zhuravsky ได้รับการพึ่งพา

. (2)

ความเค้นเฉือนในส่วนใดส่วนหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของแรงตามขวางต่อโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน (
), เพราะ ค่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายในส่วนหนึ่ง แต่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของโมเมนต์คงที่ของพื้นที่ของส่วนที่ตัดกับความกว้างของส่วนที่ระดับของส่วนที่ตัด (
).

ในการดัดโค้งตรงมี การเคลื่อนไหว: การโก่งตัว (วี ) และมุมการหมุน (Θ ) . ในการตรวจสอบนั้นจะใช้สมการของวิธีการของพารามิเตอร์เริ่มต้น (3) ซึ่งได้มาจากการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ของแกนงอของลำแสง (
).

ที่นี่ วี 0 , Θ 0 ,เอ็ม 0 , คิว 0 – พารามิเตอร์เริ่มต้น x – ระยะห่างจากจุดกำเนิดของพิกัดถึงส่วนที่กำหนดการกระจัด , เอคือ ระยะทางจากจุดกำเนิดพิกัดถึงจุดยื่นคำร้องหรือจุดเริ่มต้นการบรรทุก

การคำนวณความแข็งแรงและความฝืดจะดำเนินการโดยใช้เงื่อนไขของความแข็งแรงและความแข็ง เมื่อใช้เงื่อนไขเหล่านี้ เราสามารถแก้ปัญหาการตรวจสอบได้ (ดำเนินการตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข) กำหนดขนาดของหน้าตัด หรือเลือกค่าที่อนุญาตของพารามิเตอร์โหลด มีเงื่อนไขความแข็งแกร่งหลายประการซึ่งบางส่วนได้รับด้านล่าง สภาพความแข็งแรงสำหรับความเครียดปกติดูเหมือนกับ:

, (4)

ที่นี่
– โมดูลัสส่วนที่สัมพันธ์กับแกน z, R คือความต้านทานการออกแบบสำหรับความเค้นปกติ

สภาพความแข็งแรงสำหรับแรงเฉือนดูเหมือนกับ:

, (5)

ที่นี่สัญกรณ์เหมือนกับในสูตร Zhuravsky และ R ส - การออกแบบความต้านทานแรงเฉือนหรือการออกแบบความต้านทานแรงเฉือน

สภาพความแข็งแรงตามสมมติฐานความแรงที่สามหรือสมมติฐานของความเค้นเฉือนสูงสุดสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

. (6)

สภาพความฝืดสามารถเขียนเพื่อ การโก่งตัว (วี ) และ มุมการหมุน (Θ ) :

โดยที่ค่าการกระจัดในวงเล็บเหลี่ยมนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างการทำภารกิจเดี่ยวครั้งที่ 4 (เทอม 2-8 สัปดาห์)

การจำแนกประเภทการดัดของแกน

โค้งงอเรียกว่าการเสียรูปประเภทนี้ซึ่งโมเมนต์ดัดเกิดขึ้นในส่วนตัดขวางของแกน ท่อนที่ใช้ดัดเรียกว่า คานหากโมเมนต์ดัดเป็นเพียงปัจจัยภายในในส่วนตัดขวาง แท่งก็จะสัมผัสได้ โค้งที่สะอาดถ้าโมเมนต์ดัดเกิดขึ้นพร้อมกับแรงตามขวาง เรียกว่า งอนั้น ตามขวาง

คาน เพลา เพลา และรายละเอียดโครงสร้างอื่นๆ ใช้ในการดัด

มาแนะนำแนวคิดกัน ระนาบที่ผ่านแกนกลางหลักอันหนึ่งของส่วนและแกนเรขาคณิตของแท่งเรียกว่า เครื่องบินหลักระนาบที่แรงภายนอกกระทำให้คานงอเรียกว่า เครื่องบินพลังงานเส้นตัดของระนาบแรงกับระนาบของหน้าตัดของแกนเรียกว่า สายไฟ.ขึ้นอยู่กับตำแหน่งสัมพัทธ์ของกำลังและระนาบหลักของลำแสง โค้งตรงหรือเฉียงจะแตกต่าง หากระนาบแรงตรงกับระนาบหลักอันใดอันหนึ่งแท่งนั้นก็จะประสบ โค้งตรง(รูปที่ 5.1, เอ) หากไม่ตรงกัน - เฉียง(รูปที่ 5.1, ข)

ข้าว. 5.1. ก้านโค้ง: เอ- ตรง; ข- เฉียง

จากมุมมองทางเรขาคณิต การดัดของแกนจะมาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงความโค้งของแกนแกน แกนเส้นตรงเริ่มต้นของแกนจะกลายเป็นโค้งเมื่องอ ด้วยการดัดโค้งโดยตรง แกนงอของแกนจะอยู่ในระนาบแรง โดยมีการดัดเฉียงในระนาบอื่นที่ไม่ใช่ระนาบแรง

เมื่อสังเกตการโค้งงอของแท่งยาง จะสังเกตได้ว่าส่วนหนึ่งของเส้นใยตามยาวถูกยืดออก ในขณะที่อีกส่วนหนึ่งถูกบีบอัด เห็นได้ชัดว่าระหว่างเส้นใยยืดและบีบอัดของแกนมีชั้นของเส้นใยที่ไม่มีแรงตึงหรือการบีบอัดที่เรียกว่า ชั้นเป็นกลางเส้นตัดของชั้นกลางของแท่งกับระนาบของหน้าตัดเรียกว่า เส้นส่วนที่เป็นกลาง

ตามกฎแล้ว โหลดที่กระทำต่อลำแสงนั้นสามารถนำมาประกอบกับหนึ่งในสามประเภท: แรงที่มีความเข้มข้น อาร์ช่วงเวลาที่เข้มข้น เอ็มความเข้มของโหลดแบบกระจาย ค(รูปที่ 5.2). ส่วนที่ 1 ของคานซึ่งอยู่ระหว่างส่วนรองรับเรียกว่า ช่วงส่วนที่สองของลำแสงซึ่งอยู่ที่ด้านหนึ่งของตัวรองรับ - คอนโซล

แรงที่กระทำในแนวตั้งฉากกับแกนของลำแสงและอยู่ในระนาบที่ผ่านแกนนี้ทำให้เกิดการเสียรูปที่เรียกว่า โค้งตามขวาง. ถ้าระนาบการกระทำของกำลังดังกล่าว – ระนาบหลักจากนั้นจะมีแนวโค้งตรง (แบน) ตามขวาง มิฉะนั้นจะเรียกว่าโค้งงอตามขวาง คานที่มีส่วนโค้งงอเป็นส่วนใหญ่ เรียกว่า บีม 1 .

การดัดตามขวางโดยพื้นฐานแล้วเป็นการผสมผสานระหว่างการดัดและการเฉือนแบบบริสุทธิ์ ในการเชื่อมต่อกับความโค้งของหน้าตัดเนื่องจากการกระจายแรงเฉือนที่ไม่สม่ำเสมอตามความสูง คำถามนี้เกิดขึ้นจากความเป็นไปได้ของการใช้สูตรความเค้นปกติ σ Xมาจากการดัดแบบบริสุทธิ์ตามสมมติฐานของส่วนที่แบน

1 คานช่วงเดียวที่มีปลายตามลำดับ ฐานรองรับคงที่ทรงกระบอกหนึ่งตัวและทรงกระบอกหนึ่งตัวที่สามารถเคลื่อนที่ได้ในทิศทางของแกนของลำแสง เรียบง่าย. ลำแสงที่มีปลายคงที่ด้านหนึ่งและปลายอีกด้านหนึ่งเรียกว่า คอนโซล. ลำแสงธรรมดาที่มีหนึ่งหรือสองส่วนห้อยอยู่บนฐานรองรับเรียกว่า คอนโซล.

นอกจากนี้หากส่วนต่าง ๆ ถูกนำออกจากจุดที่ใช้โหลด (ที่ระยะห่างไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความสูงของส่วนลำแสง) ดังนั้นในกรณีของการดัดแบบบริสุทธิ์สามารถสันนิษฐานได้ว่า เส้นใยไม่กดดันซึ่งกันและกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นใยแต่ละเส้นมีแรงตึงหรือแรงกดในแกนเดียว

ภายใต้การกระทำของโหลดแบบกระจาย แรงตามขวางในสองส่วนที่อยู่ติดกันจะแตกต่างกันตามจำนวนเท่ากับ qdx. ดังนั้นความโค้งของส่วนต่างๆ ก็จะแตกต่างกันเล็กน้อย นอกจากนี้เส้นใยจะกดดันซึ่งกันและกัน จากการศึกษาประเด็นนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วนพบว่าหากความยาวของคาน lค่อนข้างใหญ่เมื่อเทียบกับความสูง ชม. (l/ ชม.> 5) จากนั้นถึงแม้จะมีโหลดแบบกระจาย ปัจจัยเหล่านี้ไม่ได้ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อความเค้นปกติในส่วนตัดขวาง ดังนั้นจึงอาจไม่นำมาพิจารณาในการคำนวณเชิงปฏิบัติ

เอ บี ซี

ข้าว. 10.5 รูปที่ 10.6

ในส่วนที่อยู่ภายใต้ภาระเข้มข้นและใกล้พวกเขาการกระจาย σ Xเบี่ยงเบนไปจากกฎเชิงเส้น ค่าเบี่ยงเบนนี้ซึ่งมีลักษณะเฉพาะในท้องถิ่นและไม่ได้มาพร้อมกับการเพิ่มขึ้นของความเครียดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (ในเส้นใยที่รุนแรง) มักจะไม่นำมาพิจารณาในทางปฏิบัติ

ดังนั้นด้วยการดัดตามขวาง (ในระนาบ hu) ความเค้นปกติคำนวณโดยสูตร

σ X= – [Mz(x)/อิซ]y.

หากเราวาดส่วนที่อยู่ติดกันสองส่วนบนส่วนของแท่งที่ปราศจากโหลด แรงตามขวางในทั้งสองส่วนจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าส่วนโค้งของส่วนจะเท่ากัน ในกรณีนี้ไฟเบอร์ชิ้นใดก็ได้ อะบี(รูปที่ 10.5) จะย้ายไปตำแหน่งใหม่ ก"ข"โดยไม่มีการยืดตัวเพิ่มเติม ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนขนาดของความเค้นปกติ

ให้เราพิจารณาความเค้นเฉือนในส่วนตัดขวางผ่านความเค้นคู่ที่ทำหน้าที่ในส่วนตามยาวของคาน

เลือกจากแถบองค์ประกอบที่มีความยาว dx(รูปที่ 10.7 ก) ลองวาดส่วนแนวนอนในระยะไกลกัน ที่จากแกนกลาง zโดยแบ่งองค์ประกอบออกเป็นสองส่วน (รูปที่ 10.7) และพิจารณาความสมดุลของส่วนบนซึ่งมีฐาน

ความกว้าง ข. ตามกฎของการจับคู่แรงเฉือน ความเค้นที่กระทำในส่วนตามยาวจะเท่ากับความเค้นที่กระทำในส่วนตัดขวาง ด้วยเหตุนี้ ภายใต้สมมติฐานที่ว่าแรงเฉือนในไซต์ ขกระจายอย่างสม่ำเสมอ เราใช้เงื่อนไข ΣX = 0 เราได้รับ:

N * - (N * +dN *)+

โดยที่: N * - ผลลัพธ์ของแรงตั้งฉาก σ ในส่วนตัดขวางด้านซ้ายขององค์ประกอบ dx ภายในพื้นที่ "ตัด" A * (รูปที่ 10.7 d):

โดยที่: S \u003d - ช่วงเวลาคงที่ของส่วน "ตัด" ของหน้าตัด (พื้นที่แรเงาในรูปที่ 10.7 c) ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า

จากนั้นคุณสามารถเขียน:

สูตรนี้ได้รับในศตวรรษที่ 19 โดยนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรชาวรัสเซีย D.I. Zhuravsky และหมีชื่อของเขา และถึงแม้ว่าสูตรนี้จะเป็นค่าประมาณ เนื่องจากเป็นค่าเฉลี่ยความเค้นเหนือความกว้างของส่วนนั้น แต่ผลลัพธ์ของการคำนวณโดยใช้สูตรนี้สอดคล้องกับข้อมูลการทดลองเป็นอย่างดี

ในการพิจารณาความเค้นเฉือนที่จุดใดๆ ของส่วนที่เว้นระยะห่าง y จากแกน z สิ่งใดสิ่งหนึ่งควร:

กำหนดจากไดอะแกรมขนาดของแรงตามขวาง Q ที่กระทำในส่วนนั้น

คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย I z ของส่วนทั้งหมด

ลากผ่านจุดนี้ระนาบขนานกับระนาบ xzและกำหนดความกว้างของหน้าตัด ข;

คำนวณโมเมนต์คงที่ของพื้นที่คัทออฟ S เทียบกับแกนกลางหลัก zและแทนที่ค่าที่พบลงในสูตรของ Zhuravsky

ให้เรากำหนดเป็นตัวอย่าง แรงเฉือนในส่วนตัดขวางของสี่เหลี่ยม (รูปที่ 10.6, c) โมเมนต์คงที่เกี่ยวกับแกน zส่วนต่าง ๆ ของส่วนเหนือบรรทัด 1-1 ซึ่งกำหนดความเค้นเราเขียนในรูปแบบ:

มันเปลี่ยนตามกฎของพาราโบลาสี่เหลี่ยม ความกว้างของมาตรา ในสำหรับลำแสงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีค่าคงที่กฎของการเปลี่ยนแปลงของความเค้นสัมผัสในส่วนจะเป็นพาราโบลา (รูปที่ 10.6, c) สำหรับ y = และ y = − ความเค้นในแนวสัมผัสเท่ากับศูนย์ และบนแกนที่เป็นกลาง zพวกเขาไปถึงจุดสูงสุด

สำหรับลำแสงที่มีหน้าตัดเป็นวงกลมบนแกนกลาง เรามี